1.3 弧度制 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（北师大版2019）

§3　弧度制 第一章　三角函数 学习目标 1.了解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换. 2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集之间的一一对应关系. 3.掌握并能应用弧度制下的扇形弧长公式和面积公式. 生活中在度量时，会用到不同的单位制，比如，度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制.角的度量是否也可以用不同的单位制呢？ 导语 内容索引 一、角度制与弧度制 二、角度制与弧度制的换算 课时对点练 三、用弧度制表示有关的角 随堂演练 四、扇形的弧长与面积公式 角度制与弧度制 一 问题1　角度是怎么定义的？ 提示　把圆周等分成360份，称其中每一份所对的圆心角为1度，这种用度做单位来度量角的制度称为角度制. 问题2　观察图(1)，图(2)，弧AB与弧A′B′都与什么有关？ 提示　与圆心角和半径有关. 问题3　弧长与半径的比值有什么关系呢？ 提示　弧长与半径的比值等于圆心角. 角度制 以 作为单位来度量角的单位制叫作角度制，用周角的_____ 作为一个单位，称为1度角 弧度制 在单位圆中，把长度等于1的弧所对的圆心角称为1弧度的角.其单位用符号rad表示，读作 .以 作为单位来度量角的方法，称作弧度制 1.角度制和弧度制 度 弧度 弧度 知识梳理 9 2.弧度数的计算 正 负 0 知识梳理 10 注意点： (1)弧度制是十进制，角度制是六十进制. (2)无论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一个与半径大小无关的定值. (3)在单位圆中，每一段弧的长度就是它所对圆心的正角的弧度数. 知识梳理 11 例1　下列各命题中，真命题是 A.1弧度就是1°的圆心角所对的弧 B.1弧度是长度等于半径的弧 C.1弧度是1°的弧与1°的角之和 D.1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角的大小 √ 根据弧度制和角度制的规定可知A，B，C均错误，D正确. 12 (1)圆心角α与所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的. (2)任意角的弧度数与实数是一一对应的关系. 反思感悟 13 跟踪训练1　下列说法正确的是 A.1弧度的圆心角所对的弧长等于半径 B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大 C.所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等 D.用弧度表示的角都是正角 √ 14 对于A，根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故A正确； 对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误； 对于C，只有在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是相等的，故C错误； 对于D，用弧度表示的角也可以是负角或零角，故D错误. 15 二 角度制与弧度制的换算 1.角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 360°＝ rad 2π rad＝_______ 180°＝ rad π rad＝_______ 1°＝ rad≈ rad 1 rad＝ ≈__________ 2π 360° π 180° 0.017 45 57°18′ 知识梳理 17 45° 90° 0 135° 270° 2.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 知识梳理 18 注意点： (2)角度化弧度时，将分、秒化成度，再化成弧度. 知识梳理 19 例2　把下列角度化成弧度或弧度化成角度. (1)72°； (2)－300°； 20 (3)2； 21 (1)角度与弧度互化技巧 (2)通常“弧度”或“rad”省略不写. 反思感悟 22 ∴α<β<γ<θ＝φ. 23 三 用弧度制表示有关的角 例3　将－1 125°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π.并判断它是第几象限角. 所以－1 125°是第四象限角. 25 延伸探究　在本例的条件下，在[－4π，4π]范围内找出与α终边相同的角的集合. 知k＝－2，－1,0,1， 26 用弧度制表示终边相同的角的两个关键点 (1)用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍. (2)注意角度制与弧度制不能混用，保持单位的统一性. 反思感悟 27 跟踪训练3　(1)用弧度制表示与150°角终边相同的角的集合为 √ 28 (2)用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内(包含边界)的角θ的集合. 终边落在射线OA上的角为θ＝135°＋k·360°，k∈Z， 终边落在射线OB上的角为θ＝－30°＋k·360°，k∈Z， 29 四 扇形的弧长与面积公式 问题4　在初中所学习的角度制下，扇形的弧长和面积公式分别是什么？ 知识梳理 32 例4　(1)已知一扇形的圆心角是72°，半径为20，求扇形的面积. 设扇形弧长为l， 33 (2)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数. 34 设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l cm，半径为R cm， ①代入②得R2－5R＋4＝0，解得R1＝1，R2＝4. 当R＝1时，l＝8，此时，θ＝8>2π舍去. ① ② 扇形的弧长和面积的求解策略 (1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是 (其中l是扇形的弧长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π). (2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解. 反思感悟 36 跟踪训练4　若扇形的圆心角为216°，弧长为30π，求扇形的半径及面积. 设扇形的半径为r，弧长为l，面积为S， 37 1.知识清单： (1)弧度制的概念. (2)弧度与角度的相互转化. (3)扇形的弧长与面积的计算. 2.方法归纳：消元法. 3.常见误区：弧度与角度混用. 课堂小结 随堂演练 五 1.下列说法中，错误的是 A.半圆所对的圆心角的大小是π rad B.周角的大小等于2π C.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A，B，C均正确，D错误. 1 2 3 4 √ 2.若α＝－2 rad，则α的终边在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 1 2 3 4 √ 3.与60°终边相同的角可表示为 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 4.周长为9 cm，圆心角为1 rad的扇形面积为____ cm2. 设扇形的半径为r cm，弧长为l cm， 课时对点练 六 1.角 的终边所在的象限是 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础巩固 16 √ 2.若一个扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也变为原来的2倍，则 A.扇形的面积不变 B.扇形的圆心角不变 C.扇形的面积增大到原来的2倍 D.扇形的圆心角增大到原来的2倍 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 当R，l均变为原来的2倍时，α不变. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵α不变，∴S变为原来的4倍. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A，B中弧度与角度混用，不正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 k为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线y＝x左上部分(包含边界)，k为奇数时集合对应的区域为第三象限内直线y＝x的右下部分(包含边界). √ 5.(多选)圆的一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设该弦所对的圆周角为α， 则其圆心角为2α或2π－2α，由于弦长等于半径， √ √ 6.如果2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 7.－135°化为弧度为______， 化为角度为______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 660° 16 8.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝ (弦×矢＋矢2).弧田(如图)由圆弧和其所对的弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为 ，半径为4 m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是_____ m2.(精确到1 m2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知角α＝1 200°. (1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以角α是第二象限角. (2)在区间[－4π，0]上找出与α终边相同的角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为k∈Z，所以k＝－2或k＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知在半径为10 cm的圆O中，弦AB的长为10 cm. (1)求弦AB所对的圆心角α的大小； 由⊙O的半径r＝10 cm＝AB， 知△AOB是等边三角形， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合运用 16 11.(多选)下列表示中正确的是 A.终边在x轴上的角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z} √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A，B显然正确. 12.自行车的大链轮有88齿，小链轮有20齿，当大链轮逆时针转过1周时，小链轮转过的弧度是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 13.一段圆弧的长度等于其所在圆的圆内接正方形的边长，则这段圆弧所对的圆心角为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，设圆的半径为R， √ 14.扇形圆心角为 ，半径为a，则扇形内切圆的面积与扇形面积之比为______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，设内切圆半径为r， 2∶3 所以S圆∶S扇＝2∶3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 拓广探究 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为k1∈Z，k2∈Z，所以k1－k2∈Z. 16.如图，动点P，Q从点A(4,0)出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转 弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转 弧度，求P，Q第一次相遇时所用的时间及点P，Q各自走过的弧长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，设P，Q第一次相遇时所用的时间是t 秒， 所以t＝4， 即P，Q第一次相遇时所用的时间为4秒. 度 0° 1° 30° ____ 60° ____ 弧度 ____ ____ ____ 度 120° ____ 150° 180° ____ 360° 弧度 ____ ____ π 2π (1)牢记180°＝π rad，充分利用1°＝ rad和1 rad＝进行换算. 72°＝72× rad＝ rad. －300°＝－300× rad＝－ rad. 2 rad＝2×＝. － rad＝－×＝－40°. (4)－. 在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键，由它可以得到：度数×＝弧度数，弧度数×＝度数. θ＝105°＝105×＝， ∵<<1<， 跟踪训练2　已知α＝15°，β＝，γ＝1，θ＝105°，φ＝，试比较α，β，γ，θ，φ的大小. α＝15°＝15×＝， －1 125°＝－1 125×＝－＝－8π. 其中<<2π， 所以是第四象限角， 所以所求角的集合为. 依题意，与α终边相同的角为＋2kπ，k∈Z， 由－4π≤＋2kπ≤4π，k∈Z， 得－≤k≤，k∈Z， A. B. C. D. 150°＝150×＝，故与150°角终边相同的角的集合为. 故终边落在阴影部分的角θ的集合为. 即θ＝＋2kπ，k∈Z. 即θ＝－＋2kπ，k∈Z， 提示　l＝，S＝. n为度数 α为弧度数 扇形的弧长 l＝ l＝αr 扇形的面积 S＝ S＝lr＝α·r2 因为圆心角72°＝72×＝ rad， 所以扇形的弧长l＝αr＝×20＝8π， 所以扇形的面积S＝lr＝×8π×20＝80π. 依题意有 当R＝4时，l＝2，此时，θ＝＝. 综上可知，扇形圆心角的弧度数为.  S＝lR＝αR2 ∵216°＝216×＝， ∴l＝αr＝r＝30π，解得r＝25， ∴S＝lr＝×30π×25＝375π. A.＋k·360°(k∈Z) B.60°＋2kπ(k∈Z) C.60°＋2k·360°(k∈Z) D.＋2kπ(k∈Z) 由题意可知所以 所以S＝lr＝(cm2). ＝＋2π，是第一象限角， 故是第一象限角. ∵l＝αR，∴α＝. 扇形的面积S＝αR2， 3.(多选)下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是 A.45°＋2kπ(k∈Z) B.＋k·360°(k∈Z) C.－315°＋k·360°(k∈Z) D.＋2kπ(k∈Z) ＝＋2π，所以与的终边相同.－315°＝45°－360°，所以－315°也与45°终边相同，即与终边相同. 4.集合中的角所表示的范围(阴影部分)是 A. B. C. D. 所以可得2α＝或2π－2α＝， 解得α＝或α＝. A.sin 2 B. C.2sin 1 D.tan 1 由图可知，弦长AB＝2，所以半径为，由弧长公式可得lAB＝αr＝. rad － －135°＝－135× rad＝－ rad； rad＝×＝660°. ＝120°，根据题意得 弦＝2×4sin ＝4(m)，矢＝4－2＝2(m)， 因此弧田面积＝(弦×矢＋矢2)＝×(4×2＋22)＝4＋2≈9(m2). 因为α＝1 200°＝1 200×＝＝＋3×2π，所以角α与的终边相同， 又<<π， 因为与角α终边相同的角为＋2kπ，k∈Z， 所以由－4π≤＋2kπ≤0，k∈Z， 得－≤k≤－，k∈Z. 故在区间[－4π，0]上与角α终边相同的角是－，－. ∴α＝∠AOB＝60°＝. 由(1)可知α＝，r＝10 cm， ∴弧长l＝αr＝×10＝(cm)， ∴S扇形＝lr＝××10＝(cm2)， 而S△AOB＝·AB·AB＝×10×5＝25(cm2)， ∴S＝S扇形－S△AOB＝25(cm2). B.终边在第二象限的角的集合为 C.终边在坐标轴上的角的集合是 D.终边在直线y＝x上的角的集合是 对于C，终边在x轴上的角的集合为{α|α＝kπ，k∈Z}，终边在y轴上的角的集合为，其并集为，故C正确； 对于D，终边在直线y＝x上的角的集合为或，其并集为，故D不正确. A. B. C. D. 由题意，当大链轮逆时针转过1周时，小链轮逆时针转过周，小链轮转过的弧度是×2π＝. A. B. C. D. 则正方形边长为R， ∴弧长l＝R， ∴α＝＝＝. 则r＝， 所以S圆＝π×2＝， S扇＝a2×＝， 15.若角α与角x＋有相同的终边，角β与角x－有相同的终边，那么α与β间的关系为 A.α＋β＝0 B.α－β＝0 C.α＋β＝2kπ(k∈Z) D.α－β＝＋2kπ(k∈Z) 由题可知α＝x＋＋2k1π(k1∈Z)，  β＝x－＋2k2π(k2∈Z)， 所以α－β＝＋2(k1－k2)π(k1∈Z，k2∈Z). 所以α－β＝＋2kπ(k∈Z). 则t·＋t·＝2π， 点P走过的弧长为×4＝， 点Q走过的弧长为×4＝. $$