6.4.3余弦、正弦定理（5）课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.4.3余弦定理、正弦定理（5） 1 学习目标 能根据已知条件画出草图，理解三角形中的边角联系. 掌握三角形面积公式及正弦定理的基本作用，利用正弦定理 解决问题. 能从三角形的边与角这两个角度入手，利用正弦定理处理相 关问题. 在利用正弦定理解决问题的过程中，有利用方程思想解决问 题的意识，学会分析问题与解决问题. 1 学习重点与难点 学习重点:掌握三角形面积公式， 利用正弦定理解决解三角形中的问题. 学习难点:在利用正弦定理解决问题的过程中，如何判断 三角形解的个数. 知识回顾 正弦定理： a b c sin A sin B sin C   . 作用一：已知两边及一边所对的角，求角； 作用二：已知两角及一边，求边. a C A b B C A c A=？ B a=？ b=？ a b c sin A sin B sin C    ? 这个比值有没有几何意义呢？ 提出问题 同学们在学习正弦定理的过程中，想没想过这个问题： 我们该如何来探究这个问题呢？可以先来考虑直角三角形. 在Rt △ ABC 中， a b c sin A sin B sin C    c . 这个比值c 有没有几何意义呢？当然，c 是 Rt △ ABC 的斜边长， c 还可表示什么呢？很容 易联想到，c 是Rt△ ABC 外接圆的直径. 形成猜想 猜想：在△ ABC 中， a b c sin A sin B sin C    2R （其中R 是△ ABC 外接圆的半径）？ 我们可以用特殊的等边三角形再进行验 证，发现这个结论依然成立. b c sin A sin B sin C 猜想：在△ ABC 中， a    2R . （其中R 是△ ABC 外接圆的半径） C b c B A a C b c B A a R 证明猜想 b c sin A sin B sin C 证明：在△ ABC 中， a    2R （. 其中R 是△ ABC 外接圆的半径） 分析已知条件和问题. 建立条件与问题之间的联系. 作出示意图. b a c R R A B C O 证明猜想 证明：在△ AOB 中， AB  c,OA  OB  R,AOB  2C ， 所以c2  R2  R2  2R  R  cos 2C . 所以c2  2R2  2R2  (1 2sin2 C). 所以c2  4R2 sin2 C .又因为c, R  0 ， 所以c  2Rsin C .即 c  2R . 同理，可证 a sin C b   2R . 所以 a sin A sin B b c sin A sin B sin C    2R . b a c R R A B C O 形成结论 重要结论： 在△ ABC 中， a b c sin A sin B sin C    2R . （其中R 是△ ABC 外接圆的半径） 重要变形： a  2R  sin A， b  2R  sin B ， c  2R  sin C . 在初中的学习中，遇到三角形的问题 时我们经常需要求三角形的面积. 那么，能否用三角形边和角的正弦表 示三角形的面积呢？ a A B c b C 新知学习 ABC S  1 AB  CD  1 c  bsin A  1 bc sin A． 2 2 2 2 2 ABC 同理，易得S  1 ac  sin B  1 ab  sin C ． ABC C b B A c a D S  1 bc  sin A  1 ac  sin B  1 ab  sin C ． 三角形面积公式 2 2 2 例题讲解 C=？ a=？ A=？ 根据问题与条件，设计解题思路，选择运算公式. 这是已知三角形两边及其一边的对角求解三角形的问题， 可以利用正弦定理． 2, c  2 ，解这个三角形并求 例 1：在△ ABC 中，已知B  30,b  △ ABC 的面积． 分析与解： 画出示意图. 标出已知条件. 例题讲解 解：由正弦定理 sin B sin C b c 2 2 sinC sin 30  得，  ． 2 所以sin C  2 . 因为c  b, B  30，所以30  C 180. 所以C  45或C 135. 为什么角C 有两个值？ 例 1：在△ ABC 中，已知B  30,b  2, c  2 ，解这个三角形并求 △ ABC 的面积． 例题讲解 （1）当C  45时， A  105.由 a b sin A sin B  得 a  b sin A  2 sin105  2 sin(60  45) sin B sin 30 sin 30 2(sin 60cos 45  cos 60sin 45)  sin 30 3 2 1 2  2(   1  2 ) 2 2 2 2  3  1. 45° a=？ A 30° c=2 B b= 2 C 2 此时， S ABC  1 ac  sin B  1 ( 2 2 3 1)  2  sin 30  3  1. 例题讲解 （2）当C 135时， A  15. 由 a b 得 sin A sin B a  b sin A  2 sin15  sin B sin 30 sin 30  sin 30 2( 1 2 2  3  2  1 ) 2 2 2 2 2(sin 45cos30  cos 45sin 30)   3 1. A 2 sin(45  30) B C=135° c=2 a=？ 30° b= 2 2 此时， S ABC  1 ab  sinC  1  ( 2 2 3  1)  2  sin135  3 1 . 例题讲解 小结：画出示意图；注意多解. b= 2 30° c=2 B A A 30° c=2 B b= 2 b= 2 A b= 2 30° c=2 B 例 1：在△ ABC 中，已知B  30,b  2, c  2 ，解这个三角形并求 △ ABC 的面积． 一、正弦定理： a b c   =2R. 作用一：已知两边及一边所对的角，求角； 作用二：已知两角及一边，求边. a sin A sin B sin C C A b B C A c A=？ B a=？ b=？ 课堂小结 课堂小结 三、对多解的认识与理解. A 30° c=2 B b= 2 四、运用方程的思想来分析问题. 五、画出示意图，标出已知条件；选择恰当的解题思路. 二、三角形面积公式： ABC S  1 bc sin A  1 ac sin B  1 ab sin C ． 2 2 2 课后作业 作业：课本 P48 页练习 1-3： 高中数学 谢谢观看！ $$