6.3相似图形 同步练习2024-2025学年苏科版数学九年级下册

6.3相似图形 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列命题中：①所有的等腰三角形都相似；②有一对锐角相等的直角三角形相似；③四个内角对应相等的两个四边形相似； ④两个正方形相似；正确的个数为                               （    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．用同一张底片洗出两张照片，一张为2寸，另一张为6寸，则这两张照片上的图像的大小比例为(　　) A． B． C． D．不能确定 3．一个四边形的各边之比为1∶2∶3∶4，和它相似的另一个四边形的最小边长为，则它的最大边长为（    ） A． B． C． D． 4．观察下列各组中的两个图形，其中两个图形一定相似的一组是（   ） A．    B．    C．   D．    5．下列图形不是相似图形的是（ ） A．同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片 B．用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原有放大过程中原有图案和放大图案 C．某人的侧身照片和正面照片 D．大小不同的两张中国地图 6．如图，E，F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，若矩形ABCD∽矩形EABF，AB=1．求矩形ABCD的面积为（　　　） A．1 B． C． D．2 7．两个相似多边形的周长之比为，则它们的面积之比为（    ） A． B． C． D． 8．下列叙述正确的是（    ） A．任意两个等腰三角形相似 B．任意两个平行四边形相似 C．任意两个矩形相似 D．任意两个正方形相似 9．如图，一张矩形纸片ABCD的长AB＝xcm，宽BC＝ycm，把这张纸片沿一组对边AB和D的中点连线EF对折，对折后所得矩形AEFD与原矩形ADCB相似，则x：y的值为（　　） A．2 B． C． D． 10．下列结论中，错误的有：（    ） ①所有的菱形都相似；②放大镜下的图形与原图形不一定相似； ③等边三角形都相似；④有一个角为110度的两个等腰三角形相似；⑤所有的矩形不一定相似． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．下列说法正确的是（    ） A．边数相同的两个正多边形相似 B．边数相同且对应角相等的两个多边形相似 C．边数相同且对应边成比例的两个多边形相似 D．边数相同、周长相等且对应角相等的两个多边形相似 12．如图，在正五边形ABCDE中，对角线AD，AC与EB分别交于点M，N，则下列结论正确的是（ ） A．EM：AE=2： B．MN：EM=： C．AM：MN=： D．MN：DC=：2 二、填空题 13．已知两个相似多边形的一组对应边分别是15cm和23cm，它们的周长差40cm，则其中较大多边形的周长是 cm． 14．相似多边形的定义：各角分别 、各边 的两个多边形叫做相似多边形． 15．如图，菱形的较短对角线长为10，较长对角线长为24，要拼出和小菱形相似的较长对角线长为120的大菱形，需要小菱形的个数是 . 16．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC，如果DE=2AD，AE=3，那么EC= ． 17．两个相似六边形的相似比为，它们周长的差是，那么周长较大的六边形周长为 ． 三、解答题 18．如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相交于点C，点E是AB弧上一点，且AD⊥CD于点D，AC平分∠DAB （1）求证：直线CD与⊙O相切；（2）若AD＝2，AC＝，求AB的长. 19．如图，矩形草坪的长为a米，宽为b米（），沿草坪四周外围有宽为x米的环形小路． （1）草坪的长与宽的比值________，外围矩形的长与宽的比值________；（用含有a、b、x的代数式表示） （2）请比较m与n的大小； （3）图中的两个矩形相似吗？为什么？ 20．如图，在中，平分． (1)求作使点E在上，且；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，求长． 21．如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB＝4. (1)求AD的长； (2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．    22．已知一次函数y=x+2与反比例函数，其中一次函数y=x+2的图象经过点P（k，5）． ①试确定反比例函数的表达式； ②若点Q是上述一次函数与反比例函数图象在第三象限的交点，求点Q的坐标． （2）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠C=45°，AD=1，BC=4，E为AB中点，EF∥DC交BC于点F，求EF的长． 23．如图，四边形四边形，且，，，，，，．    (1)请直接写出：　　度； (2)求边和的长． 24．如图，已知线段与直线平行，是的平分线，交直线于点E． (1)尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线，交于点F，连接并延长交直线于点G，（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，某学习小组讨论发现线段之间存在一定的数量关系，请你根据该兴趣小组的思路完成下面的填空： 解：，理由如下，如图所示， ， ， 为的垂直平分线， ， 在和中，， ， ， ， 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《6.3相似图形》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C C C C D D B B 题号 11 12 答案 A D 1．B 【分析】利用相似多边形的定义进行判定后即可确定正确的选项. 【详解】①所有的等腰三角形形状不一定相同，故不一定都相似，故错误； ②有一对锐角相等的直角三角形相似，根据已知可得出三角形对应角相等，故正确； ③四个角对应相等的两个四边形相似，错误； ④两个正方形相似，正确； 正确的有2个. 故选：. 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解相似多边形的定义，难度不大. 2．A 【详解】试题分析：根据题意可知两张照片上的图像的大小比例为2：6=1：3，故选A． 3．C 【分析】设它的最大边长为，根据相似图形的性质求解即可得到答案 【详解】解：设它的最大边长为， ∵两个四边形相似， ∴， 解得， 即该四边形的最大边长为． 故选C． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，牢记“相似多边形对应边的比相等”是解题的关键． 4．C 【分析】形状相同的图形称为相似图形．结合图形，对选项一一分析，排除错误答案即可． 【详解】解：A、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意； B、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意； C、两个图形形状相同，相似，符合题意． D、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是相似形的定义，相似图形的形状必须完全相同；相似图形的大小不一定相同． 5．C 【分析】此题主要考查了相似图形的定义．利用相似图形的定义分别分析得出符合题意的图形即可． 【详解】解：A、同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片，是形状相同的图形，不合题意； B、用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原有图案和放大图案，是形状相同的图形，不合题意； C、某人的侧身照片和正面照片，不是形状相同的图形，符合题意； D、大小不同的两张中国地图，是形状相同的图形，不合题意； 故选：C． 6．C 【分析】要求矩形的面积只要求出BC的长就可以，可以依据相似多边形的对应边的比相等，可以求出BC，进而得出面积即可． 【详解】解：由矩形ABCD∽矩形EABF可得， 设AE=x，则AD=BC=2x， 又AB=1， ∴， 可得：． ∵矩形的长不能是负数， 解得：， ∴BC=2x=2×， ∴S矩形ABCD=BC×AB=×1=． 故选：C． 【点睛】此题考查相似多边形的性质，关键是掌握相似多边形的对应边的比相等． 7．D 【分析】根据相似多边形的性质，即可求解． 【详解】解：∵两个相似多边形的周长之比为， ∴两个相似多边形的相似比为， ∴它们的面积之比为． 故选：D 【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方是解题的关键． 8．D 【分析】利用相似图形的定义逐一判断后即可得到答案． 【详解】解： A、任意两个等腰三角形不一定满足三边对应成比例，三个角分别对应相等，不一定相似，故选项不符合题意； B、任意两个平行四边形不一定满足边对应成比例，四个角对应相等，不一定相似，故选项不符合题意； C、任意两个矩形不一定满足边对应成比例，不一定相似，故选项不符合题意； D、任意两个两个正方形满足相似图形的定义，故选项符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查了相似图形的定义，掌握“对应角相等、对应边成比例的两个图形相似”是解本题的关键． 9．B 【分析】根据相似多边形对应边的比相等，可得到一个方程，解方程即可求得． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，宽BC＝ycm， ∴AD=BC=ycm， 由折叠的性质得：AE=AB=x， ∵矩形AEFD与原矩形ADCB相似， ∴，即， ∴x2=2y2， ∴x=y， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质、矩形的性质、翻折变换的性质；根据相似多边形对应边的比相等得出方程是解决本题的关键． 10．B 【分析】根据相似多边形的定义判断①⑤，根据相似图形的定义判断②，根据相似三角形的判定判断③④. 【详解】相似多边形对应边成比例，对应角相等，菱形之间的对应角不一定相等，故①错误； 放大镜下的图形只是大小发生了变化，形状不变，所以一定相似，②错误； 等边三角形的角都是60°，一定相似，③正确； 钝角只能是等腰三角形的顶角，则底角只能是35°，所以两个等腰三角形相似，④正确； 矩形之间的对应角相等，但是对应边不一定成比例，故⑤正确. 有2个错误，故选B. 【点睛】本题考查相似图形的判定，注意相似三角形与相似多边形判定的区别. 11．A 【分析】根据相似多边形的概念：如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个或多个多边形叫做相似多边形，进行逐个判定，A正确，B、C、D错误. 【详解】A选项，边数相同的两个正多边形对应角相等，对应边成比例，相似，故A项正确； B选项，矩形和正方形的边数相同且对应角相等，但矩形和正方形不相似，故B项错误； C选项，菱形和正方形边数相同且对应边成比例，但菱形和正方形不相似，故C项错误； D选项，由周长相等的矩形和正方形不相似，易知D项错误. 故选A. 【点睛】此题主要考查相似多边形的性质，熟练掌握，即可解题. 12．D 【详解】试题分析：∵五边形ABCDE是正五边形， ∴DE=AE=AB，∠AED=∠EAB=108°， ∴∠ADE=∠AEM=36°， ∴△AME∽△AED， ∴， ∴AE2=AD•AM， ∵AE=DE=DM， ∴DM2=AD•AM， 设AE=DE=DM=2， ∴22=AM（AM+2）， ∴AM=﹣1，（负值设去）， ∴EM=BN=AM=﹣1，AD=+1， ∵BE=AD， ∴MN=BE﹣ME﹣BN=3﹣， ∴MN：CD=：2， 故选D． 考点：正多边形和圆． 13．115 【详解】试题分析：先求出两相似多边形的相似比是，再根据相似比设出两多边形的周长为15x、23x，然后根据周长的差列方程得23x﹣15x=40，解得x=5，因此较大多边形的周长是23×5=115cm． 考点：相似多边形的性质 14． 相等 成比例 【解析】略 15．25 【分析】首先根据相似求出相似比，然后设小菱形的面积为单位1，根据面积比等于相似比的平方，则可求出大菱形的面积，即可得出小菱形的个数. 【详解】解：∵大菱形与小菱形相似， ∴其相似比为， 设小菱形的面积为单位1，则大菱形的面积为 所以需要小菱形的个数为25. 【点睛】此题主要考查相似多边形相似比的性质，熟练掌握，即可解题. 16．6． 【分析】由BE平分∠ABC，DE∥BC，易得△BDE是等腰三角形，即可得BD=2AD，又由平行线分线段成比例定理，即可求得答案． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴∠DEB=∠CBE， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE， ∴∠ABE=∠DEB， ∴BD=DE， ∵DE=2AD， ∴BD=2AD， ∵DE∥BC， ∴AD：DB=AE：EC， ∴EC=2AE=2×3=6． 故答案为6． 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理以及等腰三角形的判定与性质．注意掌握线段的对应关系是解此题的关键． 17．60 【分析】设周长较大的六边形周长为，则周长较小的六边形周长为，然后利用相似多边形的性质列方程求解即可． 【详解】解：设周长较大的六边形周长为，则周长较小的六边形周长为， 由题意得：＝， 解得：， 经检验：是原方程的根， ∴周长较大的六边形周长为， 故答案为：60． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，熟知相似多边形的周长比等于相似比是解题的关键． 18．（1）CD是⊙O的切线，理由见解析（2） 【分析】(1)要证DC是⊙O的切线,只要连接OC,求证∠OCD=90°即可; (2)求AB的长,可以先证明△ACD∽△ABC,得出比例关系 【详解】证明:(1)连OC. ∵AD⊥DC ∴∠ADC=90° ∵AC平分∠DAB, ∴∠DAC=∠CAB. 又OC=OA ∴∠CAB=∠ACO ∴∠DAC=∠ACO ∴OC∥AD. ∴∠OCD=180°-∠ADC=90° 又OC是⊙O的半径, ∴CD是⊙O的切线 (2)连接BC ∵AB是O的直径 ∴∠ACB=90° 又∠ADC=90° ∴∠ADC=∠ACB=90° 由(1)可知∠DAC=∠CAB, ∴△ACD∽△ABC. 而AD=2，AC= AB= 故AB的长为 【点睛】此题考查切线的判定，利用切线的性质和三角形相似解题是解题关键 19．（1）， ；（2）；（3）图中的两个矩形不相似，见解析 【分析】（1）根据即可求解出m的值，然后分别求出外围矩形的长为a+2x，宽为b+2x由此求解即可； （2）利用作差法进行求解即可得到答案； （3）假设两个矩形相似那么m=n与事实矛盾，由此即可得到答案． 【详解】解：（1）∵矩形草坪的长为a米，宽为b米， ∴草坪的长与宽的比值，外围矩形的长与宽的比值； （2） ， ∵， ∴， ∴； （3）若图中的两个矩形相似，则， ∵， ∴图中的两个矩形不相似． 【点睛】本题主要考查了假设法，分式的混合运算，相似图形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 20．(1)见解析 (2)的长为 【分析】（1）根据作一个角等于已知角进行作图即可； （2）先求出∠C=30°，∠ABD=∠CBD=30°，再求出CD与BC的长，再由列出比例式，再求解即可 【详解】（1）作图如下： （2）∵，， ∴∠C=30°， ∵BD平分． ∴∠ABD=∠CBD=30°， ∵在Rt△ABC中，，∠C=30°， ∴， ∵在Rt△ABD中，，∠ABD=30°， ∴， ∴CD=2， ∵， ∴， ∴， 解得：CE=． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定及直角三角形的性质，解决本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质． 21．（1）AD＝4；（2）1∶. 【分析】（1）矩形DMNC与矩形ABCD相似，对应边的比相等，就可以得到AD的长； （2）相似比即为是对应边的比； 【详解】解：(1) 由已知得MN=AB，MD=AD=BC， ∵矩形DMNC与矩形ABCD相似， ∴ ∵ ∴ ∵AB＝4. ∴ ∴AD的长为4. (2)矩形DMNC与矩形ABCD的相似比为：= 22．解：（1）①因一次函数y=x+2的图象经过点P（k，5）， 所以得5=k+2， 解得k=3， 所以反比例函数的表达式为；（3分） ②联立得方程组， 解得或， 故第三象限的交点Q的坐标为（﹣3，﹣1）． （2）解：过点A作AG∥DC， ∵AD∥BC， ∴四边形AGCD是平行四边形，（2分） ∴GC=AD， ∴BG=BC﹣AD=4﹣1=3， 在Rt△ABG中， AG==，（4分） ∵EF∥DC∥AG， ∴， ∴EF==．（6分） 【详解】略 23．(1)83 (2)， 【分析】（1）根据相似多边形的对应角相等以及四边形内角和360度解决问题即可． （2）利用相似多边形的对应边成比例，解决问题即可． 【详解】（1）解：∵四边形四边形， ∴， ∴， 故答案为：83． （2）解：∵四边形四边形， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查相似多边形的性质，四边形内角和定理等知识，解题的关键是掌握相似多边形的性质，灵活运用所学知识解决问题． 24．(1)答案见解析 (2)，，， 【分析】（1）以A为圆心，为半径，画弧交于一点M，连接，交于点F，即为的垂直平分线，连接，并延长交于点G； （2）按照题中给出的思路证明即可． 【详解】（1）解：如下图，以A为圆心，为半径，画弧交于一点M，连接，交于点F，即为的垂直平分线，连接，并延长交于点G， 证明：， ， 平分， ， ， ， 根据作图可知：， ， ， ， ， ， 为的垂直平分线； （2），理由如下，如图所示， ， ， 为的垂直平分线， ， 在和中，， ， ， ， ， 故答案为：， ，，． 【点睛】本题考查了基本作图，平行线的性质，角平分线的定义，平行线分线段成比例，垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是掌握平行线分线段成比例，垂直平分线的判定与性质． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$