精品解析：安徽省合肥市肥西县宏图中学（合肥大地学校）2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

宏图大地中学2024-2025学年度（上）高一年级数学第三次段考试卷 命题人：李青 审题人：杨硕 考试时间：120分钟 试卷分值：150分 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 4. 已知正数，满足，则的最小值为（ ） A. 7 B. 9 C. 8 D. 10 5. 已知命题“”是假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 8. 溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标，在化学中，常用值来表示溶液的酸碱度．的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．已知A溶液中氢离子的浓度是0.135摩尔/升，则A溶液的值约为（参考数据：，） A. 0.268 B. 0.87 C. 1.13 D. 1.87 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 下列各组函数是同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 10. 已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的解集为 11. 已知函数，若有四个不同的零点，，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知函数为奇函数，为偶函数，，则_______． 13. 已知幂函数，且为偶函数，则的解析式________． 14. 设函数，若方程有且仅有1个实数根，则实数的取值范围是_______． 四、解答题 （15题13分，16，17题15分，18，19题17分，共77分） 15. 已知集合. （1）求； （2）求 16. 某主播在直播平台上销售一款成本为每件24元的商品.经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. （1）求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式； （2）若该主播按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ （3）若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于1280元，则每天的销售量最少应为多少件？ 17. 已知函数 （1）判断函数的奇偶性，并证明； （2）证明在区间 上是增函数； （3）求函数在区间上的最大值和最小值. 18. 已知集合，. （1）若，求； （2）命题，命题，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 19. 已知函数（且）的图象过点. （1）求实数的值； （2）解关于的不等式. （3）判断函数的零点个数，并证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宏图大地中学2024-2025学年度（上）高一年级数学第三次段考试卷 命题人：李青 审题人：杨硕 考试时间：120分钟 试卷分值：150分 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的并集运算即可求解. 【详解】 故选：B. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据真子集关系即可求解. 【详解】由于，故“”是“”的必要不充分条件， 故选：C 3. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称命题的否定判断. 【详解】命题，的否定为，. 故答案为：A. 4. 已知正数，满足，则的最小值为（ ） A. 7 B. 9 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为正数，满足， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故选：B 5. 已知命题“”是假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】已知原命题为假命题，那么它的否定“”为真命题.对于一元二次函数，要使其对于任意实数都大于等于，则需要考虑其判别式的取值范围. 【详解】已知原命题为假命题，那么它的否定“”为真命题. 对于一元二次函数，要使其对于任意实数都大于等于. 因为恒成立，所以，即，解得. 故选：A. 6. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合分段函数解析式求值即可. 【详解】因为， 所以， 故选：B. 7. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数定义域的求法来求得正确答案. 【详解】函数有意义，则有，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A 8. 溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标，在化学中，常用值来表示溶液的酸碱度．的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．已知A溶液中氢离子的浓度是0.135摩尔/升，则A溶液的值约为（参考数据：，） A. 0.268 B. 0.87 C. 1.13 D. 1.87 【答案】B 【解析】 【分析】由的计算公式及对数的基本运算求解即可. 【详解】解：由题意得 . . 故选：B 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 下列各组函数是同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数相等的标准，定义域相等，法则相同逐项判断即可. 【详解】对于选项A，的定义域为的定义域为， 定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数； 对于选项B，的定义域为的定义域为， 定义域相同对应关系不同，不是同一个函数； 对于选项C，的定义域的定义域为，定义域相同， 且，与对应关系也相同，是同一个函数； 对于选项D，的定义域为的定义域为， 两函数定义域相等，但对应关系不同，不是同一个函数. 故选：AC. 10. 已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的解集为 【答案】ABC 【解析】 【分析】分析可知，且的根为，利用韦达定理求，即可判断ABC；代入不等式运算求解即可判断D. 【详解】因为不等式的解集为或， 可知，且的根为，故A正确； 则，可得， 则，，B正确；C正确； 因为，即，且， 则0，解得， 所以的解集为，D错误． 故选：ABC． 11. 已知函数，若有四个不同的零点，，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】数形结合，可判断A的真假；根据时，函数图象的对称性，可判断B的真假；根据时，函数的解析式即对数的运算可判断C的真假；举反例可说明D是错误的. 【详解】左函数草图如下： 对A：由图可知，若有四个不同的零点，则，故错误； 对B：因为，且关于直线对称，所以，故B正确； 对C：因为，所以，， 由，故C正确； 对D：因为，所以，因为函数在上单调递减，所以，即，故D错误. 故选：BC 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知函数为奇函数，为偶函数，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由函数解析式和奇偶性可得，，从而由可得，综合可得的解析式． 【详解】函数为奇函数，则， 为偶函数，则， 因为①，则， 所以②， 则由①-②可得. 故答案为：． 13. 已知幂函数，且为偶函数，则的解析式________． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的定义求出的值，再根据偶函数的定义写出的解析式. 【详解】因为幂函数，， ∴，解得或； 又为偶函数， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，满足题意， ∴. 故答案为：. 14. 设函数，若方程有且仅有1个实数根，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式作出函数图象，将方程有且仅有1个实数根转化为函数与直线的图象有且只有一个交点，数形结合即可求解. 【详解】方程有且仅有1个实数根， 即函数与直线的图象有且只有一个交点， 作出函数的图象，如图： 结合图象可得. 故答案为：. 四、解答题 （15题13分，16，17题15分，18，19题17分，共77分） 15. 已知集合. （1）求； （2）求 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由交集、并集运算即可求解； （2）由交并补的混合运算即可求解. 【小问1详解】 由条件可得：； 【小问2详解】 或 所以或 16. 某主播在直播平台上销售一款成本为每件24元的商品.经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. （1）求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式； （2）若该主播按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ （3）若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于1280元，则每天的销售量最少应为多少件？ 【答案】（1） （2）元，元 （3） 【解析】 【分析】（1）设出一次函数解析式，利用待定系数法求得正确答案. （2）求得利润的表达式，利用二次函数的性质求得最值以及此时对应的单价. （3）根据已知条件列不等式，根据函数的单调性求得销售量的最小值. 【小问1详解】 设，由图可知，函数图象过点， 所以，解得，所以， 由解得. 所以每天的销售量与销售单价之间的函数关系式是. 【小问2详解】 若单价不低于成本价24元，且不高于50元销售， 则， 则利润， 其开口向下，对称轴为， 所以当时，利润取得最大值为， 所以当单价为元时，取得最大利润为元. 【小问3详解】 由（2）得利润， 又该商品每天获得的利润不低于1280元， 则，整理得， 即，解得， 销售量是减函数，所以当时，销售量最小， 且最小值为件. 17. 已知函数 （1）判断函数的奇偶性，并证明； （2）证明在区间 上是增函数； （3）求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1） 为奇函数. 证明：由已知，函数的定义域为． 则，都有， 且， 所以函数为奇函数． （2） 任取，且，则， 那么， 因为， 所以，，， 所以， 所以， 所以在上是增函数． （3）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）首先求出函数的定义域，再根据奇偶性的定义证明即可； （2）利用单调性的定义证明，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可. （3）根据的奇偶性与单调性得到在区间的单调性，从而求出函数的最值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为为奇函数，且在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 所以当时，取得最小值，即， 当时，取得最大值，即. 18. 已知集合，. （1）若，求； （2）命题，命题，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解指数不等式求出集合，再求； （2）由题意可得是的真子集，得到不等式组，求出答案. 【小问1详解】 集合， 集合. 则； 【小问2详解】 若是的充分不必要条件，则是的真子集，且， 可得，解得， 所以实数的取值范围为. 19. 已知函数（且）的图象过点. （1）求实数的值； （2）解关于的不等式. （3）判断函数的零点个数，并证明. 【答案】（1）2 （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）将点代入函数解析式求解； （2）易知在上单调递增，由求解； （3）由（1）得到函数，令，得到，转化为函数与的图象的交点个数求解. 【小问1详解】 解：因为函数（且）的图象过点. 所以，解得； 【小问2详解】 由复合函数的单调性知：在上单调递增， 又， 所以，即，即， 解得，所以不等式的解集为； 【小问3详解】 由（1）得函数， 令，得， 在同一坐标系中作出函数与的图象，如图所示： 则函数的零点个数即为两个函数图象交点的个数， 由图象知：函数的零点个数为1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $