2025年中考数学-二次函数综合压轴题：01线段周长问题

2025中考数学-二次函数综合压轴题：线段周长问题 1．如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，且，抛物线图象经过A，B，C三点． (1)求A，C两点的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)若点P是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点D，当的值最大时，求此时点P的坐标及的最大值． 2．如图，二次函数的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，且，E是线段上的一个动点，过点E作直线垂直于x轴交直线和抛物线分别于点D、F． (1)求抛物线的解析式； (2)设点E的横坐标为m．当m为何值时，线段有最大值，并写出最大值为多少； (3)若点P是直线上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以点P、Q、B、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．    (1)直接写出抛物线的解析式； (2)点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点，如果，求点的坐标； (3)点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，如果以点为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标． 4．如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的解析式 (2)点P在下方的抛物线上，连接，若，求点P的坐标； (3)点N在线段上，若存在最小值n，求点N的坐标及n的值 5．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线．    (1)直接写出点的坐标； (2)在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标和的最小值； (3)第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点．依题意补全图形，当的值最大时，求点的坐标． 6．如图，已知抛物线的图象与x轴交于点和，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，在抛物线的对称轴上求作一点M，使的周长最小，并求出点M的坐标和周长的最小值； (3)如图2，点P是x轴上动点，过点P作x轴的垂线分别交抛物线和直线于点F、G．设点P的横坐标为m，是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 7．已知抛物线为常数，经过点，点是轴正半轴上的动点． (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)点在拋物线上，当时，求的值； (3)点在抛物线上，当的最小值为时，求的值． 8．已知：如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点，点P是直线下方的抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)过P点作y轴的平行线交直线于点E，求线段的最大值． (3)在直线找一点Q，使得为等腰三角形，直接写出Q点． 9．如图，二次函数的图象交轴于点，点与点关于该二次函数图象的对称轴对称，已知一次函数的图象经过该二次函数图象上的点及点． (1)求二次函数与一次函数的解析式、 (2)点P是该抛物线上一动点，点从点沿抛物线向点运动（点不与、重合），过点作轴，交直线于点．请求出点在运动的过程中，线段的长度的最大值以及此时点的坐标： (3)抛物线上是否存在点，使，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，已知二次函数与轴交于点、，与轴交点为． (1)点C的坐标为________（用含m的代数式表示）； (2)点为该二次函数图象对称轴上一点，若最小值为，求的值． (3)在（2）的条件下，连接，点是直线下方二次函数图象上一点，连接，过点作，交于点，当时，求点的坐标． 11．如图1，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点． (1)求该抛物线所对应的函数关系式； (2)已知点是抛物线的顶点，点是线段上的一个动点（与点、不重合），过点E作轴于点，交抛物线于点． ①求四边形的面积； ②求的边上的高的最大值； ③如图2，在②的条件下，在x轴上是否存在点G，使得的值最小？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 12．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接、，点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作轴，垂足为点M，交于点Q． (1)求抛物线的解析式； (2)运动过程中是否存在点P，使线段的值最大？若存在，请求出这个最大值并求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)试探究在点P的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．【解答】（1）解：∵点B的坐标为，∴， ∵，∴，∴点； （2）解：设抛物线的表达式为：， 把点代入得：，解得：， 故抛物线的表达式为：； （3）解：∵直线过点， ∴可设其函数表达式为：， 将点代入得：;解得：， 故直线的表达式为：， 过点P作y轴的平行线交于点H， ∵， ， ∵轴，，∴， ∵， ∴， 设点 ，则点， ∴， ∵ ， ∴有最大值，当时，其最大值为， 此时点． 2．【解答】（1）解：∵二次函数的图像与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为， ∴， ∵， ∴，则， 把，代入二次函数解析式得， ， 解得，， ∴二次函数解析式为； （2）解：由（1）可知，二次函数解析式为，且，， ∴设直线所在直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵点的横坐标为，直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点， ∴点的横坐标为， ∴，， ∴， ∴当时，有最大值，且最大值为； （3）解：∵二次函数的图像与轴交于两点，且， ∴令时，，则，， ∴，且 ∵直线的解析式为，点P是直线上的一个动点， ∴设 ∴，， ∴当时 ∴ ∴ ∴， ∴当时， ∴ ∴如图所示，当四边形是菱形时 ∴;∴ ∴;∴； 当时， ∴ ∴如图所示，当四边形是菱形时 ∴;∴ ∴;∴； ∴时 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴如图所示，四边形是菱形 ∴ ∴ ∴ ∴； 当时， ∴ ∴ ∴或（舍去） ∴当时， ∴ ∴如图所示，四边形是菱形 ∴ ∴ ∴ ∴； 综上所述，存在点使得以点为顶点的四边形是菱形，且Q的坐标为或或或． 3．【解答】（1）解：由题意得：抛物线的解析式为： （2）解：如图所示：    令，可得， ∴ 设直线的解析式为：， 则，解得：， ∴直线的解析式为：， 设点，则 ∴ ∴;解得： ∴点的坐标为或 （3）解：由两点可得抛物线的对称轴为：直线， 设 为平行四边形的对角线时： ，解得：， ∴ 为平行四边形的对角线时： ，解得：， ∴ 为平行四边形的对角线时： ，解得：， ∴ 综上所述，点的坐标为 4．【解答】（1）解：将坐标代入得， ， 解得， 抛物线的解析式为：， （2）解：令，得， 则， 设直线的解析式为， 则，解得， 直线的解析式为， 如图，过点P作轴，交于点D． 设点P的坐标为，则点D的坐标为． ∴． 由，得． 解得，． ∴点P的坐标为或； （3）解：如图，作，垂足为点E． ， ， ， 为等腰直角三角形． ∴． ∴． 当点A，N，E共线时，有最小值． 最小值n为线段的长． 为等腰直角三角形． ， ， 为等腰直角三角形． ， 为等腰直角三角形． ∴，即点N 的坐标为． ∴． ∴n的值是． 5．【解答】（1）解：∵点关于对称轴的对称点为点，对称轴为直线， ∴点为； （2）当时，， ∴， 连接，      ∵， ∴， ∵点关于对称轴的对称点为点， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，为的长， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， ∵点在抛物线的对称轴上， ∴； ∴点，的最小值为； （3）过点作轴，垂足为，连接交于点，如图所示，      ∵， 设抛物线的解析式为：， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则：， 由（2）知：直线：， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，此时． 6．【解答】（1）解：将点A、B的坐标代入抛物线表达式得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：如图，连接交于点M，此时最小， 又因为是定值，所以此时的周长最小． 令时，则有，即， ∴， ，同理， ∴此时的周长； 是抛物线的对称轴，抛物线与x轴交点和， ，对称轴为， 由，得， ， 又∵点M在第四象限，且在抛物线的对称轴上， ； （3）解：存在这样的点P，使是以为腰的等腰三角形． 设直线的解析式为，把点B、C坐标代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点P的横坐标为m， ∴点，点， 则，，， 当时，则，解得（舍去）或4； 当时，则，解得（舍去）或； 综上，或或． 7．【解答】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 即， 当时，， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：∵抛物线经过点， ∴， 即， ∴抛物线的解析式为，对称轴为直线， ∵点在抛物线上， ∴， ∵， ∴，， ∴点在第四象限，且在抛物线对称轴的右侧， 如图1，过点D作轴，垂足为E，则点， AI   ∴，，得， ∴在中，， ∴， ∵点，点，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵点在抛物线上， ∴， ∴点在第四象限，且在直线的右侧， 取点，如图2，过点M作直线的垂线，垂足为G，过点Q作轴于点H，则点，    ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当、、三点共线时，最小， 此时，， 在中，可知， ∴，， ∵点，， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴． 8．【解答】（1）∵二次函数的图象经过点和点， ∴， ∴． ∴这个二次函数的表达式为． （2）∵点P是直线下方的抛物线上一动点， ∴设，， 设直线的解析式为， 将点和点代入， ∴， ∴， ∴直线的解析式为． ∵过P点作y轴的平行线交直线于点E， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值为， ∴线段的最大值为． （3）①∵， ∴， ∴， ∴当点Q与点B重合时，满足为等腰三角形， ∴； ②当时，过点Q作于点D，如图， ∵， ∴ ， ∴点Q的纵坐标为， ∵点Q在直线上， ∴， ∴． ∴Q； ③当时，过点Q作于点E，如图， ∵， ∴，． ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，过点Q作于点F，如图， ∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上，直线找一点Q，使得为等腰三角形，Q点坐标为或或或． 9．【解答】（1）解：∵二次函数经过点， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为：， 当时，， ∴， 抛物线的对称轴为：， ∴， 设直线的解析式为，将点，代入得： ， 解得：， ∴一次函数的解析式为：； （2）解：如图所示，过点作轴，点从点沿抛物线向点运动（点不与、重合）， 设点，则点， ∴， ∵， ∴当时，最大值为， 当时，， ∴点； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴点Q到的距离为， ①当点在上方时，作，如图所示，交y轴于点，过点F作，使得，过点作轴，设与y轴交于点，则， ∴， 当点与点重合时， ∴， ∴，不符合题意； ∴点一定在轴正半轴上， ∵，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，将点F代入得：， 联立二次函数与一次函数得： 解得：或， 此时点或； ②当点在下方时，作，如图所示，交轴于点，过点作，交于点，使得，过点作轴，设与轴交于点，则， ∴， ∴，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴点， 设直线的解析式为：，将点M代入得：， 联立二次函数与一次函数得： 解得：或， 此时点或； 综上所述，或；或或． 10．【解答】（1）解：把、代入得， ， 解得， 点的坐标为， 故答案为：； （2）解：由（1）知，二次函数的解析式为， 对称轴为直线， 点与点关于对称轴对称， 连接交对称轴于， 则此时，， ，点， ， （负值舍去）； （3）解：如图， 过作轴交与，过作轴交延长线于，如图： 由（2）知，二次函数的解析式为， 设， 设直线解析式为，由，得 ，解得， 直线解析式为， ， ， 在中，令得， ， ， 轴， ， ， ， ， ， ， 解得或． 或． 11．【解答】（1）∵抛物线与x轴交于，两点， ∴设该抛物线的解析式为：． ∵过点， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为：． （2）∵， ∴抛物线的顶点坐标为 ∴四边形的面积； 即四边形的面积 ②设直线的解析式为：， 把点，代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为：． ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 设的边上的高为，如图， 设点E为，则， 则， 在中，， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； ③以点A为顶点作，过点G作于点M， ∴， ∴，即三点共线时，有最小值，即为的长，此时点G在点的位置， 如图： 由可知，当时，， ∴有最大值时，点E的坐标为， 则， 在中，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为 12．【解答】（1）解：把，代入得，， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：存在， 抛物线与轴交于点， ， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， 点的横坐标为，过点作轴， ，， ， 当时，线段的值最大，这个最大值为4， 此时点的坐标为； （3）解：由（2）直线的解析式为， 设， 当时，， 解得，（舍去）； ∴， 当时，， 解得：（舍去），（舍去）； 当时，， 解得， ∴． 综上所述，满足条件的点坐标为或． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$