专题01 平行线中的拐点模型之猪蹄模型（M型）与锯齿模型-2024-2025学年七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版2024）

专题01 平行线中的拐点模型之猪蹄模型（M型）与锯齿模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（猪蹄模型（M型）与锯齿模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 1 模型1.猪蹄模型（M型）与锯齿模型 1 9 模型1.猪蹄模型（M型）与锯齿模型 图1 图2 图3 如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN. 如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2. 如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n. （1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下：如图1，过点P作PQ∥AM， ∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ， ∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B． （2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， 故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， （3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 七年级的学生刚刚开始接触几何的证明，普遍会出现证明步骤不规范，在书写的时候也会出现无从下手的情况，做题速度也普遍变慢，只有少数学生能够在规定时间内正确作答。所以，只要学生能够学会利用平行线的性质和判定的几个基本模型去解决相应的几何问题，会起到事半功倍的效果。 例1．（2024七年级上·广东·专题练习）如图，，，，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质、正确作出辅助线是解题关键． 过点P作，结合题意可知，根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”证得，，然后根据和的度数计算即可． 【详解】解：过点P作，如下图，∵，， ∴，    ∴，，∴．故选：D． 例2．（24-25八年级上·绵阳市·期中）图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．若，则的大小为 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等．首先求出和，再根据平行线的性质求出和即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，∴， ∴．故答案为：． 例3．（2023下·湖北黄冈·七年级阶段练习）如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则α与β一定满足的等式是（　　）    A．α+β＝180° B．α+β＝90° C．β＝3α D．α﹣β＝90° 【答案】D 【分析】过C作CF∥AB，根据平行于同一条直线的两条直线平行得到AB∥DE∥CF，根据平行线的性质得到作差即可． 【详解】详：过C作CF∥AB，    ∵AB∥DE，∴AB∥DE∥CF，∴ ∴故选：D． 【点睛】考查平行公理已经平行线的性质，解题的关键是注意辅助线的作法，作出辅助线． 例4．（23-24七年级下·广东·期中）如图，已知，的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为，第二次操作，分别作和的平分线，交点为，第三次操作，分别作和的平分线，交点为，…第次操作，分别作和的平分线，交点为，若∠度，则 度． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，图形类的规律探索，熟知平行线的性质是解题的关键．先过作，根据，得出，再根据平行线的性质，得出，进而得到；同理得出，，，，据此得到规律，最后求得的度数． 【详解】解：过作， ，，，， 和的平分线交点为，． 和的平分线交点为，； 和的平分线，交点为， ；； 以此类推，，当∠度时，等于．故答案为：． 例5．（2023下·陕西咸阳·七年级统考期中）【问题背景】如图，点A是直线上一点，点C是直线上一点，B是直线之间的一点，连接，．(1)如图1，过点B作，试说明：；【问题探究】(2)如图2，作，与的角平分线交于点F，若，求的度数． 【答案】(1)见解析(2)150° 【分析】（1）根据平行线的性质得到，再由，即可证明．（2）先根据角平分线的定义得到，，再求出，根据（1）的结论推出，即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵，，，∴， ∵，∴． （2）解：∵平分，∴，． ∵，∴．由（1）可得． ∵，∴， ∴的度数为150°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟知平行线的性质是解题的关键． 例6．（2023下·浙江温州·七年级校联考期中）如图，已知，点，分别在，上，点，在两条平行线，之间，与的平分线交于点．若，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点，，作的平行线，容易得出，和是角平分线，所以，进一步求即可． 【详解】解：如图所示，过点，，作，，， ．，．， ，，，， ，，， 和是角平分线，， ，， ，，， ，即．故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质以及平角的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质，正确做出辅助线是解题的关键． 例7．（2023下·四川凉山·七年级校考阶段练习）如图，，则 ． 【答案】/度 【分析】可过点，分别作，，进而利用同旁内角互补得出结论． 【详解】解：如图，过点，分别作，，    ∵，∵，则，,, ∴,∴,故答案为． 【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，平行公理的推论，掌握两直线平行，同旁内角互补是解决此题的关键． 例8．（2023·浙江七年级期中）如图（1）所示是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断口一般是参差不齐的，那么请你深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问题”．（1）如图（2）所示，已知，请问，，有何关系并说明理由； （2）如图（3）所示，已知，请问，，又有何关系并说明理由； （3）如图（4）所示，已知，请问与有何关系并说明理由． 【答案】见解析. 【解析】解：（1）∠E=∠B+∠D，理由如下： 过点E作直线a∥AB，则a∥AB∥CD，则∠B=∠1，∠D=∠2，∴∠BED=∠1+∠2=∠B+∠D . （2）∠E+∠B+∠D =360°，理由如下：过点E作直线b∥AB，则b∥AB∥CD∴∠B+∠3=180°，∠4+∠D=180° ∴∠B+∠3+∠4+∠D =360°即∠E+∠B+∠D =360°. （3）∠B+∠F+∠D=∠E+∠G，理由如下： 过点E，F，G作直线c∥AB，d∥AB，e∥AB，则c∥AB∥d∥e∥CD， 则∠B=∠5，∠6=∠7，∠8=∠9，∠10=∠D ∴∠B+∠EFG+∠D=∠5+∠7+∠8+∠10=∠5+∠6+∠9+∠10=∠BEF+∠FGD. 例9．（2023下·山东菏泽·七年级统考期中）已知． (1)如图，为，之间一点，连接，，得到，求证：； (2)如图，连接，，平分，平分，且，所在的直线交于点． ①如图，当点在点A的左侧时，若，，求的度数．②如图，当点在点A的右侧时，设，，请你求出的度数．（用含有，的式子表示）    【答案】(1)见解析(2)①的度数为 ②的度数为 【分析】（1）根据平行线的判定定理与性质定理解答即可； （2）①如图，过点作，当点在点A的左侧时，根据，，根据平行线的性质及角平分线的定义即可求的度数；如图，过点作，当点在点A的右侧时，，，根据平行线的性质及角平分线的定义即可求出的度数． 【详解】（1）解：如图，过点作，          则有，，，，； （2）如图，过点作，有，，．， ．即， 平分，平分，，， ．的度数为； 如图，过点作，有．， ，．． ．即， 平分，平分，，， ，的度数为 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质，添加合适的辅助线． 1．（2024·河南洛阳·统考二模）如图，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，从而可得，则有，，即可求的度数． 【详解】解：过点作，如图， ，，，， ．故选：C． 【点睛】本题考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用． 2．（2023下·湖北孝感·七年级统考期中）如图，直线，将一块含角（）的直角三角尺按图中方式放置，其中A，C两点分别落在直线a，b上，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点B作，求出，进而求出，再证明即可求出度数． 【详解】解：过点B作，∴． ∵，∴．∵，∴，∴．故选C．    【点睛】本题考查了平行线性质的应用－拐点问题，常用的解答方法是过过拐点作其中一条线的平行线，利用平行线的传递性说明与另一条线也平行，然后利用平行线的性质解答即可． 3．（2023下·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，于C，E是上一点，，，，，则与与之间的数量关系为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用可以证明，，从而得到，再由，，推出，从而得到，继而选出选项. 【详解】解：过点H作    ∵，∴∵，∴∴ ∴ 同理可得： 又∵， ∴ ∵，，∴， ∴ ∴故选：C． 【点睛】本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 4．（2023下·四川成都·七年级统考期末）如图，直线， 的平分线交直线于点D，若，则的度数为 ．    【答案】/19度 【分析】过点B作，利用平行线的性质求得，从而得到，再运用角平分线的性质得到，继而求出，最后利用平行线的性质得到． 【详解】过点B作，∵，，∴∴，    又∵，∴，∴， 又∵是 的平分线，∴，∴， 又∵，∴． 【点睛】本题考查角平分线的定义，平分线的性质等知识，掌握平行线的性质是解题的关键． 5．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，，，，，， ． 【答案】36 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质．根据三角形内角和定理，可得，从而得到，再由平行线的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵，∴， ∵，， ∴， ∵，∴，∴， ∵，∴．故答案为：36 6．（2023下·广西崇左·七年级统考期末）如图：，，，则 ．    【答案】 【分析】过点E作，然后根据两直线平行，内错角相等求解即可． 【详解】解：如图，过点E作，    ∵，∴，∴， ∴，∴，故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，此类题目过拐点作平行线是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用． 7．（2023下·绵阳市七年级课时练习）如图，，，，．    （1）当时， ；（2）当时， ． 【答案】 45 60 【分析】（1）过点作，则，根据平行线的性质证明，同理可得，则，再根据，，得到，，由此即可得到答案；（2）仿照（1）求解即可． 【详解】解：（1）如图所示：过点作．    ，，∴，，． ．同理：． ∵，∴， ∵，，∴，， ∴，故答案为：； （2）如图所示：过点作．    ，，∴，，． ．同理：． ∵，∴， ∵，，∴，， ∴，故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是平行线的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键． 8．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图1，当光线在空气进入水中时，会发生折射，满足入射角与折射角的度数比为，如图2，在同一平面上，两条光线同时从空气进入水中，两条入射光线与水平面夹角度数分别为x，y，在水中两条折射光线的夹角度数为，则 ．（用含x，y的式子表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质，能够正确的识别图形，找出角与角之间的关系．先过点，，分别作水平线的垂线，证明，根据平行线的性质证明，由，则，，进而求解． 【详解】如图所示：过点，，分别作水平线的垂线， ∴，∴， ∵，∴，， ∴，故答案为：． 9．（2022上·河南平顶山·八年级统考期末）（1）如图1，，，，直接写出的度数．（2）如图2，，点为直线间的一点，平分，平分，写出与之间的关系并说明理由．（3）如图3，与相交于点，点为内一点，平分，平分，若，，直接写出的度数． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）过点作，可得，，根据即可求解；（2）过点作，可求出，过点作，可求出，由此即可求解； （3）延长交于点，可得，，平分，平分，可得，由此即可求解． 【详解】解：（1）如图，过点作， ∵，∴，∴，， ∵，，∴，， ∴． （2），理由如下：过点作， ∵，∴，∴，， ∵平分，平分，∴，， ∴，同理，过点作， ∴，∴，， ∵，∴， ∴，∴，即． （3）如图，延长交于点， ∴， ， ∵平分，平分，∴，， ∴，∴， ∴，∴， ∴． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，理解平行线的性质，三角形外角的性质是解题的关键． 10．（2023下·广西钦州·七年级统考期末）如图，已知． （1）求的度数；（2）若平分，与的延长线交于点，且，求的度数． 【答案】（1）∠GFD=34°；（2）∠BEG=54°． 【分析】（1）由题意直接根据平行线的性质即两直线平行内错角相等进行分析即可求解； （2）根据题意过点G作GI//AB，根据平行线的性质和角平分线的定义即可求解． 【详解】解：（1）∵AB//CD，∴∠C=∠CAH=34°，∵AC//GF，∴∠GFD=∠C=34° （2）过点G作GI//AB∴∠HGI=∠H=10°， ∵AB//CD，∴GI//CD∴∠IGF=∠GFD=34°，∴∠HGF=∠HGI+∠IGF=10°+34°=44°， 又∵HG平分∠EGF∴∠HGE=∠HGF=44°，∴∠BEG=∠HGE+∠HGI=44°+10°=54°. 【点睛】本题考查平行线的性质以及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． 11．（2023下·内蒙古包头·七年级统考期末）已知：点E、点G分别在直线AB、直线CD上，点F在两直线外，连接EF、FG.(1) 如图1，AB∥CD，求证：∠AEF＋∠FGC＝∠EFG； (2) 若直线AB与直线CD不平行，连接EG，且EG同时平分∠BEF和∠FGD 如图2，请探索∠AEF、∠FGC、∠EFG之间的数量关系？并说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）2∠EFG=∠AEF+∠FGC，理由见解析． 【分析】（1）过F作FQ∥AB，利用平行线的性质，即可得到∠AEF+∠FGC=∠EFQ+∠GFQ=∠EFG； （2）延长AB，CD，交于点P，依据∠FEP=180°-∠AEF，∠FGP=180°-∠FGC，即可得到∠FEP+∠FGP=360°-（∠AEF+∠FGC），再根据四边形内角和，即可得到四边形EFGP中，∠F+∠P=360°-（∠FEP+∠FGP）=∠AEF+∠FGC，进而得出结论． 【详解】（1）如图1，过F作FQ∥AB， ∵AB∥CD，∴FQ∥CD，∴∠AEF=∠QFE，∠FGC=∠GFQ，∴∠AEF+∠FGC=∠EFQ+∠GFQ=∠EFG； （2）如图2，延长AB，CD，交于点P， ∵EG同时平分∠BEF和∠FGD，∴∠FEG=∠PEG，∠FGE=∠PGE，∴∠EFG =∠P， ∵∠FEP=180°-∠AEF，∠FGP=180°-∠FGC，∴∠FEP+∠FGP=360°-（∠AEF+∠FGC）， ∵四边形EFGP中，∠EFG +∠P=360°-（∠FEP+∠FGP） =360°-[360°-（∠AEF+∠FGC）]=∠AEF+∠FGC，即2∠EFG=∠AEF+∠FGC． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，四边形内角和定理，解决问题的关键是作平行线构造内错角，利用两直线平行，内错角相等得出结论． 12．（2023下·绵阳市·七年级专题练习）已知，AB∥CD，点E在CD上，点G，F在AB上，点H在AB，CD之间，连接FE，EH，HG，∠AGH＝∠FED，FE⊥HE，垂足为E．（1）如图1，求证：HG⊥HE； （2）如图2，GM平分∠HGB，EM平分∠HED，GM，EM交于点M，求证：∠GHE＝2∠GME；（3）如图3，在（2）的条件下，FK平分∠AFE交CD于点K，若∠KFE：∠MGH＝13：5，求∠HED的度数． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）40° 【分析】（1）根据平行线的性质和判定解答即可；（2）过点H作HP∥AB，根据平行线的性质解答即可； （3）过点H作HP∥AB，根据平行线的性质解答即可． 【详解】证明：（1）∵AB∥CD，∴∠AFE＝∠FED， ∵∠AGH＝∠FED，∴∠AFE＝∠AGH，∴EF∥GH，∴∠FEH+∠H＝180°， ∵FE⊥HE，∴∠FEH＝90°，∴∠H＝180°﹣∠FEH＝90°，∴HG⊥HE； （2）过点M作MQ∥AB， ∵AB∥CD，∴MQ∥CD，过点H作HP∥AB，∵AB∥CD，∴HP∥CD， ∵GM平分∠HGB，∴∠BGM＝∠HGM＝∠BGH，∵EM平分∠HED，∴∠HEM＝∠DEM＝∠HED， ∵MQ∥AB，∴∠BGM＝∠GMQ，∵MQ∥CD，∴∠QME＝∠MED， ∴∠GME＝∠GMQ+∠QME＝∠BGM+∠MED，∵HP∥AB，∴∠BGH＝∠GHP＝2∠BGM， ∵HP∥CD，∴∠PHE＝∠HED＝2∠MED， ∴∠GHE＝∠GHP+∠PHE＝2∠BGM+2∠MED＝2（∠BGM+∠MED），∴∠GHE＝∠2GME； （3）过点M作MQ∥AB，过点H作HP∥AB， 由∠KFE：∠MGH＝13：5，设∠KFE＝13x，∠MGH＝5x，由（2）可知：∠BGH＝2∠MGH＝10x， ∵∠AFE+∠BFE＝180°，∴∠AFE＝180°﹣10x， ∵FK平分∠AFE，∴∠AFK＝∠KFE＝ ∠AFE，即，解得：x＝5°， ∴∠BGH＝10x＝50°，∵HP∥AB，HP∥CD，∴∠BGH＝∠GHP＝50°，∠PHE＝∠HED， ∵∠GHE＝90°，∴∠PHE＝∠GHE﹣∠GHP＝90°﹣50°＝40°，∴∠HED＝40°． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质定理以及灵活构造平行线是解题的关键． 13．（2023下·湖北武汉·七年级统考阶段练习）如图1，AB//CD，E是AB，CD之间的一点． (1)判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并证明你的结论；(2)如图2，若∠BAE，∠CDE的角平分线交于点F，直接写出∠AFD与∠AED之间的数量关系；(3)将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3，若∠AGD的余角等于2∠E的补角，求∠BAE的大小． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）作EF∥AB，如图1，则EF∥CD，利用平行线的性质得∠1=∠EAE，∠2=∠CDE，从而得到∠BAE+∠CDE=∠AED（2）如图2，由（1）的结论得∠AFD=∠BAE，∠CDF=∠CDE，则∠AFD=（∠BAE+∠CDE），加上（1）的结论得到∠AFD=∠AED；（3）由（1）的结论得∠AGD=∠BAF+∠CDG，利用折叠性质得∠CDG=4∠CDF，再利用等量代换得到∠AGD=2∠AED-∠BAE，加上90°-∠AGD=180°-2∠AED，从而计算出∠BAE的度数． 【详解】（1）∠BAE+∠CDE=∠AED理由如下：作EF∥AB，如图1 ∵AB∥CD∴EF∥CD∴∠1=∠BAE，∠2=∠CDE∴∠BAE+∠CDE=∠AED （2）如图2，由（1）的结论得∠AFD=∠BAF+∠CDF ∵∠BAE、∠CDE的两条平分线交于点F∴∠BAF=∠BAE，∠CDF=∠CDE ∴∠AFE=（∠BAE+∠CDE）∵∠BAE+∠CDE=∠AED∴∠AFD=∠AED （3）由（1）的结论得∠AGD=∠BAF+∠CDG 而射线DC沿DE翻折交AF于点G ∴∠CDG=4∠CDF ∴∠AGD=∠BAF+4∠CDF=∠BAE+2∠CDE=∠BAE+2（∠AED-∠BAE）=2∠AED-∠BAE ∵90°-∠AGD=180°-2∠AED∴90°-2∠AED+∠BAE=180°-2∠AED∴∠BAE=60° 【点睛】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等． 14．（2023下·山东聊城·七年级校考阶段练习）如图，已知直线，、和、分别交于点、、、，点在直线或上且不与点、、、重合．记，，．    (1)若点在图（1）位置时，求证：； (2)若点在图（2）位置时，写出、、之间的关系并给予证明． 【答案】(1)证明见解析(2)，证明见解析 【分析】此题两个小题的解题思路是一致的，过作直线、 的平行线，利用平行线的性质得到和、相等的角，然后结合这些等角和的位置关系，来得出、、的数量关系． 【详解】（1）过作，       ∵，∴，由两直线平行，内错角相等，可得：、； ∵，∴． （2）关系：．过作， ∵，∴，同（1）可证得：； ∵，∴，即． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，能够正确多出辅助线是解题关键． 15．（2023上·广东·八年级专题练习）如图1，，点，分别在，上，点在，之间．连接，，．    (1)直接写出与的数量关系为____________________； (2)如图2，的平分线和的平分线的反向延长线相交于点，求的度数； (3)如图3，为线段上一点，连接，和的平分线相交于点，直接写出和的数量关系为____________________． 【答案】(1)(2)的度数为(3) 【分析】（1）延长交于点，根据垂直定义可得，根据平行线的性质可得，然后再利用三角形的外角可得，即可解答； （2）过点作，从而可得，再利用平行线的性质可得，利用（1）的结论可得，然后利用角平分线的定义可得，最后根据，进行计算即可解答； （3）根据角平分线的定义可得，，再利用猪脚模型可得，，再利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】（1）解：延长交于点，如图所示：    ，，，， 是的一个外角，， ，故答案为：； （2）解：过点作，如图所示：，    ，，，由（1）得， ， 平分，平分，，， ， ，的度数为； （3）解：，理由如下：平分，平分， ，，由（1）可得， ，由（1）可得， ，， ，，故答案为：． 【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的有关计算，三角形外角的性质等，推导过程较为复杂，采用数形结合的方法，利用相关角的关系熟练进行等量代换是解题的关键． 16．（2023下·新疆伊犁·七年级校联考期中）如图，已知直线..，点O在直线....之间． (1)如果时，①求的度数；②直接写出与的数量关系； (2)若的度数为α，且，其余条件不变；猜想与的数量关系；并说明理由． 【答案】(1)①，②(2)，见解析 【分析】（1）①过点O作，则，然后根据平行线的性质即可求解；②根据平行线的性质和邻补角的意义求解即可；（2）根据平行线的性质和邻补角的意义即可求解． 【详解】（1）①过点O作，则， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴； ②．理由：∵，，∴， 又∵，∴； （2），理由：∵，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵，，∴，又∵∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质和邻补角的意义，解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行内错角相等． 17．（2023下·湖北·七年级统考期中）已知直线分别交直线于点，。(1)如图1，求证：；(2)如图2，N为直线之间的一点，，求的度数；(3)如图3，分别为直线之间不同的两点，连接，且平分，平分，，求的度数； 【答案】(1)见解析(2)112°(3) 【分析】（1）根据同角的补角相等可得，再根据同位角相等，平行线平行可得结论； （2）根据平行线的性质得到，根据题意可以求出、的度数，然后过N点作，则有，解题即可； （3）由（2）可知，由角平分线的定义得到，，如图，过M点作，推得，再根据解题即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，∴ （2）解：∵∴ 又∵∴∵ ∴， 如图，过N点作，∵，∴， ∴，，∴， （3）由（2）可知，∵平分，平分， ∴，，∴， 如图，过M点作，∵，∴， ∴ ∴， 又∵解得． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的性质，解方程，综合性较强，掌握平行线的性质是解题的关键． 18．（2023下·云南楚雄·七年级统考期末）已知分别在上，点在之间．    (1)如图1，之间的数量关系为_____．(2)如图2，，若，，求的度数． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）过点O作，根据平行线的性质得出，，即可得出；（2）设的度数为的度数为，则，由（1）得，，，根据，得出，即可求出． 【详解】（1）解：过点O作，如图所示：    ∵，∴，∴，， ∴；故答案为：． （2）解：设的度数为的度数为，则，， 由（1）得，， ， ． ，∴，，． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握两直线平行，内错角相等． 19．（2023下·山东临沂·七年级校考阶段练习）已知：直线，点，分别在直线，上，点为平面内一点．    (1)如图1，探究，，的数量关系，并加以证明； (2)如图2，，平分，平分，，求的度数． 【答案】(1)，证明见解析(2) 【分析】（1）过点作，利用平行线的性质可得，，推得，即可求得；（2）利用角平分线的性质可得，，根据平行线的性质可得，由（1）的结论可得，等量代换即可求解． 【详解】（1）解：；证明：过点作，如图：    ∵，∴，∴，， ∵，∴． （2）解：∵平分，平分，∴，， ∵，∴，∵，∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，作出适当的辅助线，结合图形等量代换是解答此题的关键． 20．（2024下·江苏连云港·七年级统考期中）已知．    知识回顾（1）如图，点在两平行线之间，试说明：． 知识应用（2）如图，、分别平分、，利用中的结论，试说明：； （3）如图，直接写出、、、四个角之间的数量关系． 知识拓展（4）如图，若，，、分别平分、，那么 ______ ；只要直接填上正确结论即可 （5）如图，若、、三个角的和是，、分别平分、，那么 ______ 用含的式子表示 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）；（4） 【分析】过点作，利用猪脚模型进行计算，即可解答； 利用的结论可得得：，，再利用角平分线的定义可得，，然后进行计算即可解答； 根据角平分线的定义可得，，再利用的结论，从而进行计算可得，再利用的结论可得，然后进行计算即可解答； 过点作，过点作，从而可得，然后利用平行线的性质可得，从而可得，再利用平行线的性质可得，，从而可得，最后利用角平分线的定义可得，，从而用的结论可得，进行计算即可解答； 过点作，过点作，过点作，利用的解题思路进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，，    ，，， ，； 由得：，， 、分别平分、，，， ，即； ， 理由：、分别平分、，，， ， 由得：，， 即； 过点作，过点作，       ，，，， ，，， ，，，，， 、分别平分、，，， ，故答案为：； 过点作，过点作，过点作， ，，，， ，，， ， 、分别平分、，，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，列代数式，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 4 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 平行线中的拐点模型之猪蹄模型（M型）与锯齿模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（猪蹄模型（M型）与锯齿模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 1 模型1.猪蹄模型（M型）与锯齿模型 1 9 模型1.猪蹄模型（M型）与锯齿模型 图1 图2 图3 如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN. 如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2. 如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n. （1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下：如图1，过点P作PQ∥AM， ∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ， ∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B． （2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， 故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， （3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 七年级的学生刚刚开始接触几何的证明，普遍会出现证明步骤不规范，在书写的时候也会出现无从下手的情况，做题速度也普遍变慢，只有少数学生能够在规定时间内正确作答。所以，只要学生能够学会利用平行线的性质和判定的几个基本模型去解决相应的几何问题，会起到事半功倍的效果。 例1．（2024七年级上·广东·专题练习）如图，，，，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 例2．（24-25八年级上·绵阳市·期中）图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．若，则的大小为 ． 例3．（2023下·湖北黄冈·七年级阶段练习）如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则α与β一定满足的等式是（　　）    A．α+β＝180° B．α+β＝90° C．β＝3α D．α﹣β＝90° 例4．（23-24七年级下·广东·期中）如图，已知，的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为，第二次操作，分别作和的平分线，交点为，第三次操作，分别作和的平分线，交点为，…第次操作，分别作和的平分线，交点为，若∠度，则 度． 例5．（2023下·陕西咸阳·七年级统考期中）【问题背景】如图，点A是直线上一点，点C是直线上一点，B是直线之间的一点，连接，．(1)如图1，过点B作，试说明：；【问题探究】(2)如图2，作，与的角平分线交于点F，若，求的度数． 例6．（2023下·浙江温州·七年级校联考期中）如图，已知，点，分别在，上，点，在两条平行线，之间，与的平分线交于点．若，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 例7．（2023下·四川凉山·七年级校考阶段练习）如图，，则 ． 例8．（2023·浙江七年级期中）如图（1）所示是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断口一般是参差不齐的，那么请你深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问题”．（1）如图（2）所示，已知，请问，，有何关系并说明理由； （2）如图（3）所示，已知，请问，，又有何关系并说明理由； （3）如图（4）所示，已知，请问与有何关系并说明理由． 例9．（2023下·山东菏泽·七年级统考期中）已知． (1)如图，为，之间一点，连接，，得到，求证：； (2)如图，连接，，平分，平分，且，所在的直线交于点． ①如图，当点在点A的左侧时，若，，求的度数．②如图，当点在点A的右侧时，设，，请你求出的度数．（用含有，的式子表示）    1．（2024·河南洛阳·统考二模）如图，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（2023下·湖北孝感·七年级统考期中）如图，直线，将一块含角（）的直角三角尺按图中方式放置，其中A，C两点分别落在直线a，b上，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 3．（2023下·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，于C，E是上一点，，，，，则与与之间的数量关系为(    ) A． B． C． D． 4．（2023下·四川成都·七年级统考期末）如图，直线， 的平分线交直线于点D，若，则的度数为 ．    5．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，，，，，， ． 6．（2023下·广西崇左·七年级统考期末）如图：，，，则 ．    7．（2023下·绵阳市七年级课时练习）如图，，，，．    （1）当时， ；（2）当时， ． 8．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图1，当光线在空气进入水中时，会发生折射，满足入射角与折射角的度数比为，如图2，在同一平面上，两条光线同时从空气进入水中，两条入射光线与水平面夹角度数分别为x，y，在水中两条折射光线的夹角度数为，则 ．（用含x，y的式子表示）． 9．（2022上·河南平顶山·八年级统考期末）（1）如图1，，，，直接写出的度数．（2）如图2，，点为直线间的一点，平分，平分，写出与之间的关系并说明理由．（3）如图3，与相交于点，点为内一点，平分，平分，若，，直接写出的度数． 10．（2023下·广西钦州·七年级统考期末）如图，已知． （1）求的度数；（2）若平分，与的延长线交于点，且，求的度数． 11．（2023下·内蒙古包头·七年级统考期末）已知：点E、点G分别在直线AB、直线CD上，点F在两直线外，连接EF、FG.(1) 如图1，AB∥CD，求证：∠AEF＋∠FGC＝∠EFG； (2) 若直线AB与直线CD不平行，连接EG，且EG同时平分∠BEF和∠FGD 如图2，请探索∠AEF、∠FGC、∠EFG之间的数量关系？并说明理由. 12．（2023下·绵阳市·七年级专题练习）已知，AB∥CD，点E在CD上，点G，F在AB上，点H在AB，CD之间，连接FE，EH，HG，∠AGH＝∠FED，FE⊥HE，垂足为E．（1）如图1，求证：HG⊥HE； （2）如图2，GM平分∠HGB，EM平分∠HED，GM，EM交于点M，求证：∠GHE＝2∠GME；（3）如图3，在（2）的条件下，FK平分∠AFE交CD于点K，若∠KFE：∠MGH＝13：5，求∠HED的度数． 13．（2023下·湖北武汉·七年级统考阶段练习）如图1，AB//CD，E是AB，CD之间的一点． (1)判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并证明你的结论；(2)如图2，若∠BAE，∠CDE的角平分线交于点F，直接写出∠AFD与∠AED之间的数量关系；(3)将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3，若∠AGD的余角等于2∠E的补角，求∠BAE的大小． 14．（2023下·山东聊城·七年级校考阶段练习）如图，已知直线，、和、分别交于点、、、，点在直线或上且不与点、、、重合．记，，．    (1)若点在图（1）位置时，求证：； (2)若点在图（2）位置时，写出、、之间的关系并给予证明． 15．（2023上·广东·八年级专题练习）如图1，，点，分别在，上，点在，之间．连接，，．    (1)直接写出与的数量关系为____________________； (2)如图2，的平分线和的平分线的反向延长线相交于点，求的度数； (3)如图3，为线段上一点，连接，和的平分线相交于点，直接写出和的数量关系为____________________． 16．（2023下·新疆伊犁·七年级校联考期中）如图，已知直线..，点O在直线....之间． (1)如果时，①求的度数；②直接写出与的数量关系； (2)若的度数为α，且，其余条件不变；猜想与的数量关系；并说明理由． 17．（2023下·湖北·七年级统考期中）已知直线分别交直线于点，。(1)如图1，求证：；(2)如图2，N为直线之间的一点，，求的度数；(3)如图3，分别为直线之间不同的两点，连接，且平分，平分，，求的度数； 18．（2023下·云南楚雄·七年级统考期末）已知分别在上，点在之间．    (1)如图1，之间的数量关系为_____．(2)如图2，，若，，求的度数． 19．（2023下·山东临沂·七年级校考阶段练习）已知：直线，点，分别在直线，上，点为平面内一点．    (1)如图1，探究，，的数量关系，并加以证明； (2)如图2，，平分，平分，，求的度数． 20．（2024下·江苏连云港·七年级统考期中）已知．    知识回顾（1）如图，点在两平行线之间，试说明：． 知识应用（2）如图，、分别平分、，利用中的结论，试说明：； （3）如图，直接写出、、、四个角之间的数量关系． 知识拓展（4）如图，若，，、分别平分、，那么 ______ ；只要直接填上正确结论即可 （5）如图，若、、三个角的和是，、分别平分、，那么 ______ 用含的式子表示 4 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$