专题02 平行线中的拐点模型之铅笔头模型-2024-2025学年七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版2024）

专题02 平行线中的拐点模型之铅笔头模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（铅笔头模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 1 模型1.铅笔头模型 1 12 模型1.铅笔头模型 图1 图2 图3 如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN. 如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540° 如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°. 【证明】在图1中，过P作AM的平行线PQ， ∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°； 在图2中，过P1作AM的平行线P1C，过点P2作AM的平行线P2D， ∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN， ∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°； 在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线， 根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°． 例1．（23-24下·北京·七年级校考期末）如图，已知，下列结论正确的是（    ）    A．∠BAC＝∠DCE B．∠BAC＝∠CEF C．∠BAC＋∠ACE＝180° D．∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝360° 例2．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 例3．（2023下·陕西西安·七年级校联考期中）如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数是 ． 例4．（2023下·辽宁鞍山·七年级阶段练习）如图所示，AB∥CD，则∠A+∠E+∠F+∠C等于（   ） A．180° B．360° C．540° D．720° 例5．（2023下·山东青岛·七年级统考期中）如图，直线，点分别在直线和直线上，点在两条平行线之间，和的角平分线交于点，已知，则的度数为 ．    例6．（2023下·江苏南通·七年级统考期末）如图，直线，点E，F分别是直线上的两点，点P在直线和之间，连接和的平分线交于点Q，下列等式正确的是（　　）    A． B． C． D． 例7．（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）如图是一款长臂折叠护眼灯的示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为 ． 例8．（2023下·广东东莞·七年级校考期中）如图，已知AB∥CD． （1）如图1所示，∠1+∠2＝　 　； （2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝　 　；并写出求解过程． （3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝　 　； （4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝　 　． 例9．（2023下·江苏苏州·七年级校考期中）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等例如：在图①、图中②，都有，，设镜子与的夹角．    (1)如图①，若，判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由． (2)如图②，若，入射光线与反射光线的夹角，探索与的数量关系，并说明理由．(3)如图③，若，设镜子与的夹角，入射光线与镜面的夹角，已知入射光线从镜面开始反射，经过为正整数，且次反射，当第次反射光线与入射光线平行时，请直接写出的度数可用含有的代数式表示． 例10．（2023下·河南平顶山·七年级统考期中）我们知道，两条平行线被第三条直线所截，可以得到一些相等的角或者互补的角，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到将直线的位置关系转化为角的数量关系的作用．    问题初探：（1）如图1，，用等式表示之间的数量关系． 分析：过点作，则有，因为，所以，所以， 从而可以得到之间的数量关系． 请你直接写出之间的数量关系______． 类比再探：（2）如图2，，用等式表示之间的数量关系，并说明理由． 拓展应用：（3）利用上面（1）、（2）得出的结论完成下题： 已知，如图3，，与两个角的角平分线相交于点． ①若，求的度数． ②若的度数用表示，的度数用表示，则与的之间的关系式为______． 1．（2023·河南三门峡·校联考一模）如图，图1是某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”，可抽象为图2所示的数学图形．已知垂直地面上的直线于点，当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升（即始终平行于）．在该运动过程中，当时，的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（2023下·山东泰安·七年级校考期末）如图，已知直线，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．（2023下·山东菏泽·七年级统考期末）图1是男子竞技体操项目双杠的静止动作，图2是其俯视示意图，已知，若与的夹角为，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 4．（2024下·湖北·七年级统考期末）如图，，，则的度数是（      ）.    A． B． C． D． 5．（2024·贵州·模拟预测）如图，两条平行线分别截一个角的两条边，若，则（    ） A． B． C． D． 6．（2023下·江苏·七年级专题练习）如图，AB//ED，α＝∠A+∠E， β＝∠B+∠C+∠D，则β与α的数量关系是（   ） A．2β＝3α B．β＝2α C．2β＝5α D．β＝3α 7．（2023下·上海·七年级校考期中）如图，已知，，和的平分线交于点F，的度数是（　　） A． B． C． D． 8．（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知在四边形中，，点在，之间，为上一点，为上一点，平分交于点，交于点．下列结论：①，②，③．其中正确的结论有 ． 9．（23-24七年级下·宁夏银川·期末）如图1是一款落地的平板支撑架，，是可转动的支撑杆．调整支撑杆使得其侧面示意图如图2所示，此时平板，，，则 ． 10．（23-24七年级下·湖北荆州·阶段练习）如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，若，，则的度数为 ． 11．（2023下·吉林·七年级统考阶段练习）如图，，平分，若，，则 ．    12．（2023下·山东青岛·七年级校考期中）某路口红绿灯的平面示意图如图所示，平行于地面，垂直于地面，已知的度数是，则的度数是 °． 13．（2023下·江西吉安·七年级校联考期中）如图按虚线剪去长方形纸片的相邻两个角，并使，，则的度数为 ．    14．（24-25七年级上·广东·期末）如图，，、分别是、上的点，、分别平分、，若，，则 （用含，的代数式表示）    15．（2023下·广东梅州·七年级校考期中）如图，已知，点C在和之间、连接，与的平分线交于点F，求与之间的数量关系．    16．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如图，直线，D、A分别在、上，点E为两平行线内部一点． (1) 问题情境：如图1，探究的数量关系，并说明理由； 以下是小明的解题过程，请补充完整：（请完善解答过程，并在括号内填写相应的依据，请将答案按序号填在答卷相应的位置，符号“∵”表示“因为”，“∴”表示“所以”） 解：过点E作 ∵（已知） ∵ ∴①_______， ②_______（③_______） ∴ 即④_______． (2)问题迁移：（a）小明进一步思考么之间的数量关系，由于与与均互补，很容易得到之间的数量关系是：________．（只写结果，不需要证明）;（b）如图2，一副直角三角板包括，其中，，（符号“”表示“三角形”）若按如图2摆放（点E、C、F、A在同一直线上），则________； (3)知识应用：如图3，若和的角平分线交于点F，且，直接利用前面的结论，求的度数． 17．（2023下·广西南宁·七年级统考期末）（课本再现）（1）在一次数学课上，李老师让同学们独立完成课本第23页第7题的第（2）小题：如图1，已知，则有，已知，则有，那么__________． （类比探究）（2）在同学们都正确解答这道题后，李老师对这道题进行了改编：如图2，不变，当将点移动到点的位置时，请写出，，之间的数量关系．并说明理由． （拓展应用）（3）善于思考的南南同学猜想：将图1的部分与图2重合（如图3），不变，当，分别平分和时，请写出与之间的数量关系．并说明理由．            18．（2023下·山东淄博·七年级统考期中）阅读下列材料： 如图，，，分别是，上的点，点在，之间，连接，我们可以通过作辅助线证明结论：． 请你利用这个结论或证明思路，完成下列问题． 已知，，分别是，上的点，点在，之间，连接，． (1)如图，若，，请直接写出的度数； (2)如图，与的平分线交于点，用等式表示与的数量关系，并证明； (3)如图，与的平分线交于点，直接用等式表示与的数量关系． 19．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图1，已知直线，点P为平面上一点，E、F分别为、上一点．(1)求证：； (2)如图2，和的角平分线交于点R，直接写出与的数量关系． (3)如图3，在（2）条件下，G为上一点，且满足，当时，求的度数．    20．（2023下·江西南昌·七年级校考期中）【课本再现】 （1）①如图1，已知，直接写出，和满足的等式关系； ②如图2，已知，直接写出，和满足的等式关系； 【知识应用】（2）如图3是微信聊天对话框，图4是其示意图的一部分，已知，，写出，和满足的等式关系，并说明理由．           4 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 平行线中的拐点模型之铅笔头模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（铅笔头模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 1 模型1.铅笔头模型 1 12 模型1.铅笔头模型 图1 图2 图3 如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN. 如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540° 如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°. 【证明】在图1中，过P作AM的平行线PQ， ∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°； 在图2中，过P1作AM的平行线P1C，过点P2作AM的平行线P2D， ∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN， ∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°； 在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线， 根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°． 例1．（23-24下·北京·七年级校考期末）如图，已知，下列结论正确的是（    ）    A．∠BAC＝∠DCE B．∠BAC＝∠CEF C．∠BAC＋∠ACE＝180° D．∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝360° 【答案】D 【分析】根据平行线的性质逐项判断即可． 【详解】解：A.由无法得出，错误； B.由无法得出，错误； C.∵，∴，∴，错误； D.∵，∴，， ∴，正确；故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 例2．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定和性质．作，得到，利用邻补角求得的度数，根据平行线的判定和性质即可求解． 【详解】解：作，∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，∴，故选：D． 例3．（2023下·陕西西安·七年级校联考期中）如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数是 ． 【答案】/80度 【分析】过点F作，因为，所以，再根据平行线的性质可以求出，，进而可求出，再根据平行线的性质即可求得． 【详解】解：如图，过点F作， ∵，∴，∴，， ∵，，∴，，∴， ∵，∴．故答案为． 【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算． 例4．（2023下·辽宁鞍山·七年级阶段练习）如图所示，AB∥CD，则∠A+∠E+∠F+∠C等于（   ） A．180° B．360° C．540° D．720° 【答案】C 【详解】解：作EM∥AB，FN∥AB， ∵AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥CD．∴∠A+∠AEM=180°，∠MEF+∠EFN=180°，∠NFC+∠C=180°， ∴∠A+∠AEF+∠EFC+∠C=540°．故选：C． 例5．（2023下·山东青岛·七年级统考期中）如图，直线，点分别在直线和直线上，点在两条平行线之间，和的角平分线交于点，已知，则的度数为 ．    【答案】/141度 【分析】过点作，过点作．根据平行线的性质得到，结合角平分线的定义得到，同理可得． 【详解】解：过点作，过点作，    ∵，∴，，∴， ∵，∴，∴， ∵平分，平分，∴．故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作平行线构造内错角，利用两直线平行，内错角相等得出结论． 例6．（2023下·江苏南通·七年级统考期末）如图，直线，点E，F分别是直线上的两点，点P在直线和之间，连接和的平分线交于点Q，下列等式正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点P作，过点Q作，可得，从而得到，，，进而得到，再由角平分线的定义可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点P作，过点Q作，    ∵，∴， ∴，， ，∴， ∵和的平分线交于点Q，∴， ∴， ∵， ∴．故选：A． 【点睛】本题考查平行线的性质，平行公理的推论，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 例7．（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）如图是一款长臂折叠护眼灯的示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为 ． 【答案】/110度 【分析】本题考查平行线的判定和性质．解题的关键是过拐点构造平行线．过点作，过点作，根据平行线的性质和垂直的定义，进行求解即可． 【详解】解：过点作，过点作，则    ∴，， ∵，，， ∴，，， ∵，∴，∴，故答案为：． 例8．（2023下·广东东莞·七年级校考期中）如图，已知AB∥CD． （1）如图1所示，∠1+∠2＝　 　； （2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝　 　；并写出求解过程． （3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝　 　； （4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝　 　． 【答案】（1）180°；（2）360°；（3）540°；（4）（n-1）×180° 【分析】（1）由两直线平行，同旁内角互补，可得答案； （2）过点E作AB的平行线，转化成两个图1，同理可得答案； （3）过点E，点F分别作AB的平行线，转化成3个图1，可得答案； （4）由（2）（3）类比可得答案． 【详解】解：（1）如图1，∵AB∥CD， ∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）．故答案为：180°； （2）如图2，过点E作AB的平行线EF， ∵AB∥CD，∴AB∥EF，CD∥EF， ∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°，∴∠1+∠2+∠3=360°； （3）如图3，过点E，点F分别作AB的平行线， 类比（2）可知∠1+∠2+∠3+∠4=180°×3=540°，故答案为：540°； （4）如图4由（2）和（3）的解法可知∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=（n-1）×180°，故答案为：（n-1）×180°． 【点睛】此题考查了平行线的性质．注意掌握辅助线的作法是解此题的关键． 例9．（2023下·江苏苏州·七年级校考期中）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等例如：在图①、图中②，都有，，设镜子与的夹角．    (1)如图①，若，判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由． (2)如图②，若，入射光线与反射光线的夹角，探索与的数量关系，并说明理由．(3)如图③，若，设镜子与的夹角，入射光线与镜面的夹角，已知入射光线从镜面开始反射，经过为正整数，且次反射，当第次反射光线与入射光线平行时，请直接写出的度数可用含有的代数式表示． 【答案】(1)，见解析(2)，见解析(3)或 【分析】（1）在中，，，可得，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，，进而可得； （2）在中，，可得，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，，，在中，，可得与的数量关系；（3）分两种情况画图讨论：当时，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等，及内角和，可得当时，如果在边反射后与平行，则，与题意不符；则只能在边反射后与平行，根据三角形内角和定理推出，可得，由，且由（1）的结论可得，． 【详解】（1），理由如下：在中，，，， ，，， ，，，； （2），理由如下：在中，，， ，，，， 同理可得，，在中，， ； （3）或．理由如下：当时，如下图所示：       ，， ，， ，， 则，则，由内角和得． 当时，如果在边反射后与平行，由（1）可知，与题意不符； 则只能在边反射后与平行，如下图所示，设与的延长线交于点G， ∵，，∴， ∴，∴， 由，且由（1）的结论可得，，则． 综上所述：的度数为：或． 【点睛】本题考查了平行线的性质、列代数式，解决本题的关键是掌握平行线的性质，注意分类讨论思想的利用． 例10．（2023下·河南平顶山·七年级统考期中）我们知道，两条平行线被第三条直线所截，可以得到一些相等的角或者互补的角，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到将直线的位置关系转化为角的数量关系的作用．    问题初探：（1）如图1，，用等式表示之间的数量关系． 分析：过点作，则有，因为，所以，所以， 从而可以得到之间的数量关系． 请你直接写出之间的数量关系______． 类比再探：（2）如图2，，用等式表示之间的数量关系，并说明理由． 拓展应用：（3）利用上面（1）、（2）得出的结论完成下题： 已知，如图3，，与两个角的角平分线相交于点． ①若，求的度数． ②若的度数用表示，的度数用表示，则与的之间的关系式为______． 【答案】（1）；（2）；（3）①；② 【分析】（1）根据平行线的性质及平行于同一条直线的两条直线互相平行解答即可； （2）根据平行线的性质及平行于同一条直线的两条直线互相平行解答即可； （3）①根据平行线的性质及平行于同一条直线的两条直线互相平行，再根据角平分线的定义解答即可；②根据平行线的性质及平行于同一条直线的两条直线互相平行，再根据角平分线的定义解答即可． 【详解】解：过点作，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴； （2），理由如下：过点作，∴， ∵，∴，∴，∴．    （3）过点作，过点作， ①∵，，∴，， ∴， ∴，∴， ∵，∴， ∵平分，平分，∴，， ∴， ②∵，，∴，， ∴， ∴，∴， ∵，∴，∵平分，平分， ∴，， ∴，即．    【点睛】本题考查了平行线的性质，平行于同一条直线的两条直线互相平行，角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键． 1．（2023·河南三门峡·校联考一模）如图，图1是某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”，可抽象为图2所示的数学图形．已知垂直地面上的直线于点，当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升（即始终平行于）．在该运动过程中，当时，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图所示，过点C作，利用平行线的性质得到，进而求出，则． 【详解】解：如图所示，过点C作，∵，∴， ∴， ∵，即，∴， ∴，故选C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 2．（2023下·山东泰安·七年级校考期末）如图，已知直线，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作直线，，根据平行线的性质可得，，，进而即可求得． 【详解】解：如下图，分别过点、作直线，， ，，（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行） ，，，（两直线平行，内错角相等、同旁内角互补） ，，， ，，故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 3．（2023下·山东菏泽·七年级统考期末）图1是男子竞技体操项目双杠的静止动作，图2是其俯视示意图，已知，若与的夹角为，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点B作，则，利用平行线的性质，进行求解即可． 【详解】解：如图，过点B作，    ∵，∴，∴，， ∵，∴，∴．故选：D． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质．解题的关键是构造平行线． 4．（2024下·湖北·七年级统考期末）如图，，，则的度数是（      ）.    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作直线，根据平行的性质得到，从而求出的度数． 【详解】解：过点作直线，，， ，， ，，，故选：C．    【点睛】本题主要考查平行的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 5．（2024·贵州·模拟预测）如图，两条平行线分别截一个角的两条边，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，如图，过作，而，可得，再利用平行线的性质可得答案． 【详解】解：如图，过作，而， ∴，∴，， ∴，∴，∵，∴；故选C 6．（2023下·江苏·七年级专题练习）如图，AB//ED，α＝∠A+∠E， β＝∠B+∠C+∠D，则β与α的数量关系是（   ） A．2β＝3α B．β＝2α C．2β＝5α D．β＝3α 【答案】B 【分析】作CF//ED，利用平行线的性质求得β与α，再判断β与α的数量关系即可． 【详解】解：如图，作CF//ED，  ∵AB//ED，∴∠A+∠E=180°= α ， ∵ED//CF， ∴∠D+∠DCF=180°， ∵AB//ED，ED//CF，∴AB//CF，∴∠B+∠BCF=180°， ∴∠D+∠DCF+∠B+∠BCF=180°+180° 即 ∠B+∠C+∠D =360°= β ， ∴ β＝2α ． 故选B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟悉运用平行线的性质是解题的关键． 7．（2023下·上海·七年级校考期中）如图，已知，，和的平分线交于点F，的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点C作，根据平行公理得出，根据平行线的性质得出，，求出，根据，求出，根据角平分线定义得出，，求出，最后根据四边形内角和求出结果即可． 【详解】解：过点C作，如图所示： ∵，∴，∴，， ∴，即， ∵，∴，∴， ∵和的平分线交于点F，∴，， ∴， ∴．故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的定义，四边形内角和，解题的关键是熟练掌握相关的性质和定义，求出． 8．（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知在四边形中，，点在，之间，为上一点，为上一点，平分交于点，交于点．下列结论：①，②，③．其中正确的结论有 ． 【答案】①② 【分析】根据题意，画出正确的图形，角平分线的定义，根据平行线的性质、角的和与差推理即可．本题考查的是平行线的性质以及角的和与差，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，以及找到各角的和与差． 【详解】解：①，，，，， ，平分， ，，故①选项是正确的； ②由①知，，，， ，， ， ，，故②选项是正确的； ③由①知，，， ，故③选项是错误的．故答案为：①② 9．（23-24七年级下·宁夏银川·期末）如图1是一款落地的平板支撑架，，是可转动的支撑杆．调整支撑杆使得其侧面示意图如图2所示，此时平板，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质．作辅助线构建平行关系是解题的关键． 过点作，则有，由两直线平行，同旁内角互补，可知，通过角的等量代换可得到，最后根据两直线平行，内错角相等即可解答． 【详解】解：如图，过点作， ，，， ，，，， ，．故答案为：． 10．（23-24七年级下·湖北荆州·阶段练习）如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是过拐点构造平行线． 过点D作，过点E作，根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，过点D作，过点E作， ∵，∴，∵，∴， ∴，，， ∵，，∴， ∴，∴，故答案为：． 11．（2023下·吉林·七年级统考阶段练习）如图，，平分，若，，则 ．    【答案】50 【分析】先根据平行公理判定，进而利用平行线的性质及角平分线的定义即可求解． 【详解】解:如图，过点作,    ∵,，∴,∴,, ∵，，∴,,∴, ∵平分，故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质、平行公理及角平分线的定义，求出是解题关键． 12．（2023下·山东青岛·七年级校考期中）某路口红绿灯的平面示意图如图所示，平行于地面，垂直于地面，已知的度数是，则的度数是 °． 【答案】120 【分析】过点作，则有，利用平行线的性质可求得，则可求得，从而可求出的度数． 【详解】解：过点作，如图所示， ∵平行于地面，垂直于地面， ∴，，∴， ∴，， ∴，∴， ∴，∴．故答案为：120． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补． 13．（2023下·江西吉安·七年级校联考期中）如图按虚线剪去长方形纸片的相邻两个角，并使，，则的度数为 ．    【答案】/度 【分析】过点B作长方形边的平行线，然后根据两直线平行，同旁内角互补得出，再解答即可． 【详解】解：过点B作，    ∵，∴，∴ ∴，即， ∵，，∴的度数为．故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，此题的关键是加辅助线，然后利用平行线的性质求解即可． 14．（24-25七年级上·广东·期末）如图，，、分别是、上的点，、分别平分、，若，，则 （用含，的代数式表示）    【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理推论，过作，过作，则，再根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到的度数，掌握平行线的性质，平行公理推论是解题的关键． 【详解】解：如图，过作，过作，    又∵，∴，∴， ， ，∴， 又∵、分别平分、，∴，， ∴， ∴ ，故答案为：． 15．（2023下·广东梅州·七年级校考期中）如图，已知，点C在和之间、连接，与的平分线交于点F，求与之间的数量关系．    【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理．过点C作，推出，利用角平分线的定义求得，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：过点C作，    ∵，，∴，， ∴，∴， ∴， ∵与的平分线交于点F，∴， ∴，∴． 16．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如图，直线，D、A分别在、上，点E为两平行线内部一点． (1) 问题情境：如图1，探究的数量关系，并说明理由； 以下是小明的解题过程，请补充完整：（请完善解答过程，并在括号内填写相应的依据，请将答案按序号填在答卷相应的位置，符号“∵”表示“因为”，“∴”表示“所以”） 解：过点E作 ∵（已知） ∵ ∴①_______， ②_______（③_______） ∴ 即④_______． (2)问题迁移：（a）小明进一步思考么之间的数量关系，由于与与均互补，很容易得到之间的数量关系是：________．（只写结果，不需要证明）;（b）如图2，一副直角三角板包括，其中，，（符号“”表示“三角形”）若按如图2摆放（点E、C、F、A在同一直线上），则________； (3)知识应用：如图3，若和的角平分线交于点F，且，直接利用前面的结论，求的度数． 【答案】(1)①；②；③两直线平行，内错角相等；④； (2)（a）；（b）；(3)． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线定义等知识，解题的关键是： （1）过点E作，利用平行线的传递性可得出，利用平行线的性质可得出，，然后利用角的和差关系即可得出结论； （2）（a）过点E作，利用平行线的传递性可得出，利用平行线的性质可得出，，然后利用角的和差关系即可得出结论； （b）过F作，利用平行线的传递性可得出，利用平行线的性质可得出，，然后利用角的和差关系即可求解； （3）由（1）可知：，，结合已知条件可求，然后利用平角定义求出即可． 【详解】（1）解：过点E作 ∵（已知）∴∴， （两直线平行，内错角相等）∴ 即． 故答案为∶ ；；两直线平行，内错角相等；； （2）解：（a）过点E作 ∵（已知）∴ ∴， ∴，即 故答案为：； （b）过F作， ∵∴∴， ∵∴故答案为：； （3）解：由（1）可知：， ∵∴∵和的角平分线交于点F ∴，∴ ∵， ∴∴． 17．（2023下·广西南宁·七年级统考期末）（课本再现）（1）在一次数学课上，李老师让同学们独立完成课本第23页第7题的第（2）小题：如图1，已知，则有，已知，则有，那么__________． （类比探究）（2）在同学们都正确解答这道题后，李老师对这道题进行了改编：如图2，不变，当将点移动到点的位置时，请写出，，之间的数量关系．并说明理由． （拓展应用）（3）善于思考的南南同学猜想：将图1的部分与图2重合（如图3），不变，当，分别平分和时，请写出与之间的数量关系．并说明理由．            【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）．理由见解析 【分析】（1）利用平行线的可得，，进而得出；（2）过点D作，利用平行线的可得进而得出；（3）充分利用（1）（2）中的结论，即可得到． 【详解】解：（1）∵，∴， ∵，∴，∴， ∴；故答案为：； （2）过点D作，如图，    则有∵∴∴ ∴∴； （3）由（1）得，由（2）得，， ∵分别是的平分线，∴ ∴，∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 18．（2023下·山东淄博·七年级统考期中）阅读下列材料： 如图，，，分别是，上的点，点在，之间，连接，我们可以通过作辅助线证明结论：． 请你利用这个结论或证明思路，完成下列问题． 已知，，分别是，上的点，点在，之间，连接，． (1)如图，若，，请直接写出的度数； (2)如图，与的平分线交于点，用等式表示与的数量关系，并证明； (3)如图，与的平分线交于点，直接用等式表示与的数量关系． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据题意可知，，可得，从而可得答案； （2）由（1）同理可得：，，再证明，，从而可得答案； （3）由（1）同理可得：，，再证明，从而可得结论． 【详解】（1）解：由题意知，， ，，． ． （2）解：由（1）同理可得，， 与的平分线交于点，，， ．∴． （3）解：由（1）同理可得，， 与的平分线交于点，，， ， ．∴． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，角平分线的定义，作出合适的辅助线是解本题的关键． 19．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图1，已知直线，点P为平面上一点，E、F分别为、上一点．(1)求证：； (2)如图2，和的角平分线交于点R，直接写出与的数量关系． (3)如图3，在（2）条件下，G为上一点，且满足，当时，求的度数．    【答案】(1)过程见解析(2)(3) 【分析】对于（1），作，根据平行线的性质得，，可得答案； 对于（2），由（1）得，同理，再根据角平分线的定义得，然后根据平角定义得出答案； 对于（3），先根据平行线的性质和已知条件得，再根据，及，得出关于，，的式子，然后结合，可求出，最后根据平行线的性质得出答案． 【详解】（1）过点P作，    ∵，∴，∴，， ∴； （2）由（1）得，同理． ∵和的平分线交于点R，∴，， ∴． ∵，， ∴，即； （3）∵，∴． ∵，∴，∴． ∵，，∴， ∴，即． ∵，∴，解得． ∵，∴． 20．（2023下·江西南昌·七年级校考期中）【课本再现】 （1）①如图1，已知，直接写出，和满足的等式关系； ②如图2，已知，直接写出，和满足的等式关系； 【知识应用】（2）如图3是微信聊天对话框，图4是其示意图的一部分，已知，，写出，和满足的等式关系，并说明理由．           【答案】（1）①；②；（2），理由见解析 【分析】（1）①过点E作，可得，根据平行线的性质得到，从而可得；②过点E作，可得，根据平行线的性质得到，，从而可得；（2）过点E作，结合（1）②中的结论可得，，进一步可得结论． 【详解】解：（1）①如图1，过点E作， ∵，∴，∴， ∴，即；          ②如图，过点E作，∵，∴， ∴，，∴； （2），理由是：如图，过点E作， ∵，∴，在折线中，同（1）②可得： ；同理可得：； ∴，即． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $$