8.2一元线性回归模型及其应用（第2课时）课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

8.2一元线性回归模型及其应用 人教A版高中数学选择性必修第三册 第八章 成对数据的统计分析 人教A版高中数学选择性必修第三册 学习目标： 1．理解两个变量的相关关系的概念； 2．会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系； 探究1：生活经验告诉我们,儿子的身高与父亲的身高相关.一般来说,父亲的身高较高时，儿子的身高通常也较高.为了进一步研究两者之间的关系，有人调查了14名男大学生的身高及其父亲的身高，得到的数据如表所示. 新课导入 可以发现，散点大致分布在一条从左下角到右上角的直线附近，表明儿子身高和父亲身高线性相关.利用统计软件，求得样本相关系数为r≈0.886，表明儿子身高和父亲身高正线性相关，且相关程度较高。 探究2：儿子身高和父亲身高这两个变量之间的关系可以用函数模型刻画吗？ 表中的数据，存在父亲身高相同而儿子身高不同的情况.例如，第6个和第8个观测父亲的身高均为172cm，而对应的儿子的身高为176cm和174cm；同样在第3，4个观测中，儿子的身高都是170cm，而父亲的身高分别为173cm，169cm.可见儿子的身高不是父亲身高的函数同样父亲的身高也不是儿子身高的函数，所以不能用函数模型来刻画. 探究3：从成对样本数据的散点图和样本相关系数可以发现，散点大致分布在一条直线附近表明儿子身高和父亲身高有较强的线性关系.我们可以这样理解，由于有其他因素的存在，使儿子身高和父亲身高有关系但不是函数关系.那么影响儿子身高的其他因素是什么？ 影响儿子身高的因素除父亲的身外，还有母亲的身高、生活的环境、饮食习惯、营养水平、体育锻炼等随机的因素，儿子身高是父亲身高的函数的原因是存在这些随机的因素. 如果用x表示父亲身高，Y表示儿子的身高，用e表示各种其他随机因素影响之和，称e为随机误差，由于儿子身高与父亲身高线性相关，所以Y=bx+a+e. 一元线性回归模型 产生随机误差e的原因有： （1）除父亲身高外,其他可能影响儿子身高的因素,比如母亲身高、生活环境、饮食习惯和锻炼时间等. （2）在测量儿子身高时，由于测量工具、测量精度所产生的测量误差. （3）实际问题中，我们不知道儿子身高和父亲身高的相关关系是什么，可以利用一元线性回归模型来近似这种关系，这种近似关系也是产生随机误差e的原因. 问题：对于父亲身高为 的某一名男大学生，他的身高一定为 吗？ 他的身高 并不一定为 ，它仅是该子总体的一个观测值，这个观测值与均值有一个误差项 问题：为了研究两个变量之间的相关关系，我们建立了一元线性回归模型达式 刻画的是变量Y与变量x之间的线性相关关系，其中参数a和b未知，我们能否通过样本数据估计参数a和b? 与函数模型不同，回归模型的参数一般是无法精确求出的，只能通过成对样本数据估计这两个参数。参数a和b刻画了变量Y与变量x的线性关系，因此通过样本数据估计这两个参数，相当于寻找一条适当的直线，使表示成对样本数据的这些散点在整体上与这条直线最接近. 经验回归方程 注意： 最小二乘法 求回归系数 儿子的身高不一定会是177cm，这是因为还有其他影响儿子身高的因素，回归模型中的随机误差清楚地表达了这种影响，父亲的身高不能完全决定儿子的身高，不过，我们可以作出推测，当父亲的身高为176cm时，儿子身高一般在177cm左右. 如果把父亲身高为176cm的所有儿子身高作为一个子总体，那么177cm是这个子总体均值的估计值. 残差 残差图 作图时纵坐标 为残差,横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图． 根据一元线性回归模型中对随机误差的假定，残差应是均值为0、方差为σ^2的随机变量的观测值. 图（1）显示残差与观测时间有线性关系，应将时间变量纳入模型； 图（2）显示残差与观测时间有非线性关系，应在模型中加入时间的非线性函数部分； 图（3）说明残差的方差不是一个常数，随观测时间变大而变大； 图（4）的残差比较均匀地集中在以横轴为对称轴的水平带状区域内. 所以，只有图(4）满足一元线性回归模型对随机误差的假设。 残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较适合，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高． 残差图 决定系数 在使用经验回归方程进行预测时,需要注意下列问题: (1)经验回归方程只适用于所研究的样本的总体,例如,根据我国父亲身高与儿子身高的数据建立的经验回归方程,不能用来描述美国父亲身高与儿子身高之间的关系,同样,根据生长在南方多雨地区的树高与胸径的数据建立的经验回归方程,不能用来描述北方干早地区的树高与胸径之间的关系。 (2)经验回归方程一般都有时效性,例如,根据20世纪80年代的父亲身高与儿子身高的数据建立的经验回归方程,不能用来描述现在的父亲身高与儿子身高之间的关系。 (3)解释变量的取值不能离样本数据的范围太远,一般解释变量的取值在样本数据范围内,经验回归方程的预报效果会比较好,超出这个范围越远,预报的效果越差, (4)不能期望经验回归方程得到的预报值就是响应变量的精确值,事实上,它是响应变量的可能取值的平均值。 典例 1.两个变量 y与x的回归模型中，分别选择了 4 个不同模型，它们的相关指数 如下 ，其中拟合效果最好的模型是（ ）. A. 模型 1 的相关指数为 0.98 B. 模型 2 的相关指数为 0.80 C. 模型 3 的相关指数为 0.50 D. 模型 4 的相关指数为 0.25 2.下表是x和y之间的一组数据，则y关于x的经验回归方程必过(　　). x 1 2 3 4 y 1 3 5 7 A.点(2,3) B．点(1.5,4） C．点(2.5,4) D．点(2.5,5) A c 3.一次考试中，某班学生数学成绩均在90分以上，其中6名学生的数学、物理成绩如下表： 典例 （1）根据上表中学生的数学、物理成绩绘制散点图； （2）根据这些数据建立物理成绩y关于数学成绩x的经验回归直线方程； （3）若某位同学的数学成绩为122分，估计他的物理成绩. 解： 一元线性回归模型 经验回归方程 残差 残差图 决定系数 $$