8.1.2 样本相关系数（第2课时）课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

人教A版高中数学选择性必修第三册 第八章 成对数据的统计分析 8.1.2 样本相关系数 知识回顾 1.变量间的相关关系是什么？ 2.散点图是什么？ 3.变量相关关系的分类是什么？ 正相关 线性相关 两个变量有关系,但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系. 成对样本数据可用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图叫做散点图。 非线性相关 负相关 新课导入 散点图无法量化两个变量之间的相关程度的大小，更不能精确地说明成对样本数据之间关系的密切程度，那么我们如何才能寻找到这样一个合适的量来对样本数据的相关程度进行定量分析呢？ 通过散点图可以推断两个变量之间是否存在相关关系、是正相关还是负相关、是线性相关是非线性相关，但这些推断是定性的推断. 从定量的角度刻画成对样本数据的线性相关程度， 进而推断两个变量的线性相关程度。 样本相关数r 问题1：如何引入一个恰当的“数字特征”，对成对样本数据的相关程度进行定量分析？ 新课探究 利用上述方法处理表中的数据, 得到下图. 我们发现，这时的散点大多数分布在第一象限、第三象限, 大多数散点的横、纵坐标同号. 显然, 这样的规律是由人体脂肪含量与年龄正相关所决定的. 一般地，如果变量x和y正相关，那么关于均值平移后的大多数散点将分布在第一象限、第三象限，对应的成对数据同号的居多，如下图所示； · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 如果变量x和y负相关，那么关于均值平移后的大多数散点将分布在第二象限、第四象限，对应的成对数据异号的居多，如下图所示. 新课探究 思考：根据上述分析，你能利用正相关变量和负相关变量的成对样本数据平移后呈现的规律，构造一个度量成对样本数据是正相关还是负相关的数字特征吗？ 新课探究 一般情形下， 表明成对样本数据正相关； 　　　 表明成对样本数据负相关． 利用散点 的横、纵坐标是否同号， 可以构造一个量 新课探究 问题2：你认为 的大小一定能度量出成对样本数据的相关程度吗？ 在研究体重与身高之间的相关程度时，如果体重的单位不变，把身高单位由米改为厘米，单位的改变不会改变体重与身高之间的相关程度。 我们发现， 的大小与数据的度量单位有关，所以不能直接用它度量成对样本数据相关程度的大小。 为了消除单位的影响，进一步做“标准化”处理 当r>0时，称成对样本数据正相关； 当r<0时，称成对样本数据负相关． 我们称r为变量x和变量y的样本相关系数。 样本相关系数r是一个描述成对样本数据的数字特征，它的正负和绝对值的大小可以反映成对样本数据的变化特征： 新课探究 新课探究 问题3：样本相关系数r的大小与成对样本数据的相关程度有什么内在联系呢？ 标准化处理后的成对样本数据: 设其第一分量为 设其第二分量为 新课探究 问题3：样本相关系数r的大小与成对样本数据的相关程度有什么内在联系呢？ 追问1:当|r|=1时，成对样本数据之间具有怎样的关系？ 所以 当|r|=1时 ，向量 与 共线。 即存在实数 ,使得 成对样本数据（xi,yi)都落在直线 上 。 成对样本数据的两个分量之间满足一种线性关系. 新课探究 样本相关系数 对于变量x，y，利用成对样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)构造 则称r为变量x和变量y的样本相关系数. (2)当r>0时，称成对样本数据正相关;当r<0时，称成对样本数据负相关. (1)取值范围为[-1,1]： 当|r|越接近1时，线性相关程度越强，当|r|越接近0时，线性相关程度越弱．当|r|＝1时，表明成对样本数据都落在一条直线上；当r＝0时，只表明成对样本数据间没有线性相关关系，但不排除它们之间有其他相关关系． (3)若0.75≤|r|≤1，则认为y与x的线性相关程度很强； 若0.3≤|r|<0.75，则认为y与x的线性相关程度一般； 若|r|≤0.25，则认为y与x的线性相关程度较弱) 两个随机变量的相关性可以通过散点图对成对样本数据进行分析，而样本相关系数r可以反映两个随机变量之间的线性相关程度：r的符号反映相关关系的正负性，|r|的大小反映两个变量线性相关的程度，即散点集中于一条直线的程度． 判断线性相关程度：散点图+r 新课探究 图(1) 中成对样本数据的正线性相关程度很强. 图(2) 中成对样本数据的负线性相关程度比较强. 图(3)中 对样本数据的线性相关程度很弱. 图(4)中成对样本数据的线性相关程度极弱. 新课探究 小试牛刀 1.(多选)对两个变量的样本相关系数r，下列说法正确的是(　　) AD A.|r|越大，相关程度越大 B.|r|越小，相关程度越大 C.|r|趋近于0时，没有线性相关关系 D.|r|越接近1时，线性相关程度越强 解析　对于A，|r|越大，相关程度越大，A正确； 对于B，|r|越小，相关程度越小，B错误； 对于C，|r|趋近于0时，线性相关关系越弱，C错误； 对于D，|r|越接近1时，线性相关程度越强，D正确. 小试牛刀 2.(多选)下面的散点图与样本相关系数r一定不符合的是(　　　) ACD 解析　A中，由散点图可得，两相关变量呈负相关，故A错误； B中，由散点图可得，两相关变量呈正相关，且样本相关系数可能是r＝0.75； C中，若样本相关系数r＝－1，则所有的点应该分布在一条直线上，散点图显然不符合，故C错误； D中，若样本相关系数r＝1，则所有的点应该分布在一条直线上，散点图显然不符合，故D错误. 小试牛刀 3.对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数比较，正确的是(　　) A．r2<r4<0<r3<r1 B．r4<r2<0<r1< r3 C．r4<r2<0<r3<r1 D．r2<r4<0<r1<r3 A 小试牛刀 4.对四对变量y和x进行线性相关检验，已知n是观测值组数，r是样本相关系数，且已知： ①n＝7，r＝0.953 3；②n＝15，r＝0.301 2； ③n＝17，r＝0.499 1；④n＝3，r＝0.995 0. 则变量y和x线性相关程度最高的两组是(　　) A．①② B．①④ C．②④ D．③④ 解析：样本相关系数r的绝对值越大，变量x，y的线性相关程度越高 B 例1 根据表8. 1-1中脂肪含量和年龄的样本数据，推断两个变量 是否线性相关，计算样本相关系数，并推断它们的相关程度. 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 年龄/岁 23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58 60 61 脂肪含量/％ 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 课本例题 解: 由样本数据可得 由此可以推断脂肪含量和年龄这两个变量正线性相关，且相关程度很强. 课本例题 例1 根据表8. 1-1中脂肪含量和年龄的样本数据，推断两个变量 是否线性相关，计算样本相关系数，并推断它们的相关程度. 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 年龄/岁 23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58 60 61 脂肪含量/％ 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 解: 由样本数据可得 由此可以推断脂肪含量和年龄这两个变量正线性相关，且相关程度很强. 课本例题 例2 有人收集了某城市居民年收入(所有居民在一年内收人的总和) 与A商品销售额的10年数据，如下表所示. 第n年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 居民年收入/亿元 32.2 31.1 32.9 35.8 37.1 38.0 39.0 43.0 44.6 46.0 A商品销售额/万元 25.0 30.0 34.0 37.0 39.0 41.0 42.0 44.0 48.0 51.0 解: 画出散点图，推断成对样本数据是否线性相关，并通过样本相关系数推断居民年收入与A商品销售额的相关程度和变化趋势的异同. 画出成对样本数据的散点图，如图所示. 从散点图看，A商品销售额与居民年收 人的样本数据呈现出线性相关关系. 由样本数据计算得样本相关系数r≈0.95. 由此可以推断，A商品销售额与居民年收入正线性相关，即A商品销售额与居民年收入有相同的变化趋势，且相关程度很强. 课本例题 例3 在某校高一年级 中随机抽取25名男生，测得他们的身高、 体重、臂展等数据，如下表所示. 体重与身高、臂展与身高分别具有怎样的相关性? 编号 身高/cm 体重/kg 臂展/cm 编号 身高/cm 体重/kg 臂展/cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 173 179 175 179 182 173 180 170 169 1 77 177 178 174 55 71 52 62 82 63 55 81 54 54 59 67 56 169 170 172 177 174 166 174 1 69 1 66 176 170 174 170 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 166 176 176 175 169 184 169 182 171 177 173 173 66 61 49 60 48 86 58 54 58 61 58 51 161 166 165 173 162 189 164 170 164 173 165 169 课本例题 根据样本数据画出体重与身高、臂展与身高的散点图，分别如图 (1)和(2)所示，两个散点图都呈现出线性相关的特征. 解: 通过计算得到体重与身高、臂展与身高的样本相关系数分别约为0.34和0.78，都为正线性相关. 其中，臂展与身高的相关程度更高. 课本练习103页 1. 由简单随机抽样得到的成对样本数据的样本相关系数是否一定能确切地反映变量之间的相关关系? 为什么? 解：样本相关系数可以反映变量之间相关的正负性及线性相关的程度，但由于样本数据的随机性，样本相关系数往往不能确切地反映变量之间的相关关系. 一般来说，样本量越大，根据样本相关系数推断变量之间相关的正负性及线性相关的程度越可靠，而样本量越小则越不可靠. 一个极端的情况是，无论两个变量之间是什么关系，如果样本量取2，则计算可得样本相关系数的绝对值都是1 (在样本相关系数存在的情况下)，显然据此推断两个变量完全线性相关是不合理的. 课本练习103页 2. 已知变量x和变量y的3对随机观测数据(2, 2), (3, －1), (5, －7)，计算成对样本数据的样本相关系数. 能据此推断这两个变量线性相关吗? 为什么? 解： 由样本数据可得 虽然样本相关系数为－1，三个样本点在一条直线上，但是由于样本量太小，据此推断两个变量完全线性相关并不可靠. 课本练习103页 解: 3. 画出下列成对数据的散点图，并计算样本相关系数. 据此，请你谈谈样本相关系数在刻画成对样本数据相关关系上的特点. (1) (－2, －3), (－1, －1), (0, 1), (1, 3), (2, 5), (3, 7)； (2) (0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16)； (3) (－2, －8), (－1, －1), (0, 0), (1, 1), (2, 8), (3, 27); (4) (2, 0) (1, ), (0, 2), (－1, ), (－2, 0). 2 4 8 x -4 -3 2 0 -2 1 3 -1 6 y -2 • • • • • • 5 15 x 2 0 4 1 3 10 y • • • • • 2 0.5 1.5 x -3 2 0 -2 1 3 -1 1 y • • • • • • 5 10 20 x -10 -3 2 0 -2 1 3 -1 15 y -5 • • • • • • 25 样本相关系数主要刻画的是成对样本数据线性相关的程度. 课本练习103页 4. 随机抽取7家超市，得到其广告支出与销售额数据如下: 解： 由样本数据可得 正线性相关，相关性较强，销售额与广告支出的变化趋势相同. 超市 A B C D E F G 广告支出/万元 1 2 4 6 10 14 20 销售额/万元 19 32 44 40 52 53 54 请推断超市的销售额与广告支出之间的相关关系的类型、相关程度和变化趋势的特征. 课堂小结 1. 样本相关系数： 2.相关系数的性质： ① 当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，称成对样本数据负相关. ② |r|≤1； ③ 当|r|越接近1时，成对数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对数据的线性相关程度越弱；特别地，当|r|＝0时，成对数据的没有线性相关关系；当|r|＝1时，成对数据都落在一条直线上. 注：若0.75≤|r|≤1，则认为y与x的线性相关程度很强； 若0.3≤|r|<0.75，则认为y与x的线性相关程度一般； 若|r|≤0.25，则认为y与x的线性相关程度较弱) $$