5.4.2 二项式系数的性质课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

5.4.2 二项式系数的性质 作者编号：、32200 被誉为“世界七大奇迹”之一的古埃及的金字塔，以其宏伟的气势、严密的结构、精美绝伦的整体外观让世界叹服.而数学上也有“金字塔”，这就是二项式(a＋b)n的展开式在n＝1，2，…时的二项式系数而垒成的金字塔，称为杨辉三角，它是我国南宋数学家杨辉首先发现的，比欧洲的帕斯卡整整早发现了500年左右. 新课导入 作者编号：、32200 1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数较小时的各项的二项式系数. 2.理解二项式系数的性质并灵活运用. 学习目标 作者编号：、32200 当n依次取1，2，3，...时，(a+b)n展开式的二项式系数如图. 如图的表叫作二项系数表，历史上 也称为杨辉三角. 观察右图，你发现什么规律？ ①在同一行中,每行两端都是1,与这两个1“等距离”的二项式系数相等. 对称性 变化趋势： 先增大后减小. 新知讲解 作者编号：、32200 增减性与最大值 即 因为 当 ，即 时， 由对称性知， 时， Cnk随k的增加而增加； Cnk随k的增加而减小. 当n是偶数时，中间的一项 取得最大值； 当n是奇数时，中间的两项 和 相等,且同时取得最大值. 新知讲解 作者编号：、32200 观察右图，你发现什么规律？ ②在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和. 新知讲解 作者编号：、32200 例1.如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a，b是某行的前两个数，当a＝7时，b等于（ ） A.20 B.21 C.22 D.23 C 新知讲解 作者编号：、32200 问题：在二项式定理 (1)令a=b=1； (2)令a=1,b=-1. 写出所得等式，你能得到什么结论？ 解：(1)二项式定理中中，如果令a=b=1，则有 (2)令a=1，b=-1，则有 得 新知讲解 作者编号：、32200 二项式系数的性质： (1)二项展开式的二项式系数和为2n.即 (2)奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，且都等于2n-1. 即 归纳总结 新知讲解 作者编号：、32200 例2.已知(x2-1)n的展开式中，所有的二项式系数之和为1024，求： (1)n的值； (2)展开式中含有x6的项和该项的二次项系数. 解：(1)依题意可知2n=1024，因此n=10. (2)展开式的通项为 要使此项含有x6，必须有20–2k = 6，从而k=7， 因此含有x6的项为 该项的二项式系数是120. 新知讲解 作者编号：、32200 解：(1)当x＝1时，等号左边为(1－2)7＝－1， 等号右边为a0＋a1＋a2＋…＋a7， ∴a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1. 当x＝0时，a0＝1. ∴a1＋a2＋…＋a7＝－1－1＝－2. 例3.已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7. (1)求a1＋a2＋…＋a7； (2)求a1＋a3＋a5＋a7； (3)求|a0|＋|a1|＋…＋|a7|. 新知讲解 作者编号：、32200 例3.已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7. (2)求a1＋a3＋a5＋a7； (3)求|a0|＋|a1|＋…＋|a7|. (2)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1，① 令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37，② ①－②，得2(a1＋a3＋a5＋a7)＝－1－37， ∴a1＋a3＋a5＋a7＝－＝－1 094. (3)由展开式，知a1，a3，a5，a7均为负数，a0，a2，a4，a6均为正数， ∴|a0|＋|a1|＋…＋|a7|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7. 由(2)可知，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37， ∴|a0|＋|a1|＋…＋|a7|＝37＝2 187. 作者编号：、32200 归纳总结 对于(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn的展开式，求各项系数和时，可令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋an＝(a＋b)n. 若求奇数项和或偶数项和，可分别令x＝1和x＝－1，得 两式相加减即可求出结果． 对于形如(ax2＋bx＋c)n的式子，求其展开式的各项系数和，只需令x＝1. 对于(ax＋by)n(a，b为常数)的式子，求其展开式的各项系数和，可令x＝y＝1. 新知讲解 作者编号：、32200 1.杨辉三角如图所示，杨辉三角中的第5行除去两端数字1以外，均能被5整除，则具有类似性质的行是(　　) A.第6行 B.第7行 C.第8行 D.第9行 B 当堂检测 作者编号：、32200 2.在(a＋b)n的展开式中，第2项与第6项的二项式系数相等，则n＝(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 3.(x－1)11的展开式中，x的奇次幂项的系数之和是(　　) A.2 048 B.－1 023 C.－1 024 D.1 024 A D 当堂检测 作者编号：、32200 根据今天所学，回答下列问题： 1.二项式系数的性质分别是什么？ 课堂小结 作者编号：、32200 $$