5.4.1 二项式定理的推导 课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

5.4.1 二项式定理的推导 作者编号：、32200 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理. 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式. 3.正确运用二项展开式展开或化简某些二项式，运用通项求某些特定项、二项式系数或项的系数. 学习目标 作者编号：、32200 若今天是星期四， 天后的这一天是星期几呢？ ↓ 除以7的余数是多少？ ↓ ↓ 展开后的表达式是什么样的？ 新课导入 作者编号：、32200 已知， 思考：观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律？ 新知讲解 作者编号：、32200 根据多项式乘法法则， 展开式有三项：a2，ab，b2 2个(a+b)中选 2个a，0个b a2出现的次数 = 从2个(a+b)中取0个b(都取a)的组数 ,即a2只有1个 a2 a2 新知讲解 作者编号：、32200 1个(a+b)中选a，另一个(a+b)中选b 2个(a+b)都选b ab出现的次数=从2个(a+b)中取1个b的组数 ,即ab有2个； b2出现的次数=从2个(a+b)中取2个b的组数 ,即b2只有1个； ab b2 因此 ab ab b2 新知讲解 作者编号：、32200 思考：仿照上述过程，利用计数原理，写出(a+b)3，(a+b)4的展开式. a3 a2b a2b a2b 个数： 个数： 新知讲解 作者编号：、32200 ab2 ab2 ab2 b3 因此： 新知讲解 作者编号：、32200 a4 a3b ab3 b4 a2b2 新知讲解 作者编号：、32200 问题：根据以上分析，猜想(a+b)n的展开式是怎样的？ 各项是从n个因式中各取一个字母相乘得到关于a,b的n次单项式，有 ，共n+1项. 项的结构： 新知讲解 作者编号：、32200 …… 项的系数： 项是从n个因式中都取b，有 种． 项是从n个因式中取k个b，有 种； 项是从n个因式中取2个b，有 种； 项是从n个因式中取1个b，有 种； 项是从n个因式中都不取b，有 种； …… 学习目标 作者编号：、32200 二项式定理： (a+b)n的二项展开式 (1)展开式共有n+1项，比二项式的指数大1． (2)各项的次数都等于二项式的次数n； 字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列,次数由0递增到n． 注意： 新知讲解 作者编号：、32200 系数 称为k+1项的二项式系数， (3) 是展开式中第k+1项（通常用Tk+1表示） 叫做二项展开式的通项公式. 新知讲解 作者编号：、32200 例1.求 的展开式. 解：根据二项式定理， 新知讲解 作者编号：、32200 例2.写出展开式：. 解：方法一　 ＝ (2x)0 ＝32x5－120x2＋. 新知讲解 作者编号：、32200 例2.写出展开式：. 方法二　＝ ＝(4x3－3)5 ＝ (4x3)0(－3)5] ＝32x5－120x2＋. 新知讲解 作者编号：、32200 例3.求 的展开式中含x3的项. 解：因为 所以展开式中的第k+1项为 要使此项含x3，必须有9 – 2k = 3，从而有k = 3， 因此含x3的项为： 新知讲解 作者编号：、32200 归纳总结 求二项展开式中指定项的解题步骤 1.确定定理中的a , b , n 在题目中指的都是什么； 2.写通项公式 ，通过指数运算进行整理； 3.若所求指定项的次数为t，令指数运算后整理出的字母指数等于 t （常数项的指数为0），计算出 k ； 4.将 k 代入通项公式 ，即为所求． 新知讲解 作者编号：、32200 例4.求 的展开式中常数项的值和对应的二项式系数． 解：因为 所以展开式中的第k+1项为 要得到常数项，必须有3 –k = 0，从而有 k = 3， 因此常数项是第4项，且 可知常数项值为160，对应二项式系数 新知讲解 作者编号：、32200 1.在 的展开式中， 的系数为( @32@ ) A. B. C. D. 2.已知(x－)7的展开式的第4项等于5，则x等于(　　) A. B.－ C.7 D.－7 3. 的展开式中的常数项是70，则 ____. D B 4 当堂检测 作者编号：、32200 根据今天所学，回答下列问题： 1.二项式定理是怎样推导的？ 2.二项式系数和展开式通项分别是什么？ 课堂小结 作者编号：、32200 $$