5.2.2 排列数公式 课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

5.2.2 排列数公式 作者编号：、32200 中国共产党成立100周年之际，有30位老革命家参观完一大会址后，要在一大会址旁站成一排照相，那么这30位老革命家的排列顺序有多少种？这样的排列问题能否用一个公式来表示呢？ 新课导入 作者编号：、32200 1.能利用分步乘法计数原理推导排列数公式. 2.掌握排列数公式，并能运用排列数公式进行计算. 3.能应用排列及排列数公式解决某些实际问题. 学习目标 作者编号：、32200 第1位 第2位 n 种 (n-1)种 (1) 等于多少？ 问题：一般情况下， 等于多少？ 等于多少？ (2) 第1位 第2位 第3位 n 种 (n-1)种 (n-2)种 新知讲解 作者编号：、32200 (3)类比求排列数 和 的方法，排列数 等于多少？ ...... n 种 (n-1)种 (n-2)种 n-(m-1)种 第1位 第2位 第3位 第m位 ...... m个数 新知讲解 作者编号：、32200 排列数公式： 特征：(1) 是从n开始依次递减连续m个正整数的积； (2)其中 (3)符号 既表示一个结果，又表示一种运算. 新知讲解 作者编号：、32200 阶乘 一般地，在 中，当m=n时， 通常将上式的右边，从n到1连续n个正整数的乘积简写成：n！ (读作“n的阶乘”). 即 新知讲解 作者编号：、32200 当0<m<n时，注意到： 可将排列数用阶乘表示为： 为了使得上式对m=n时也成立，规定： . 0!=1 另外，为了方便起见，也规定 . 新知讲解 作者编号：、32200 归纳总结 当进行具体计算，或者 中m较小时，使用“连乘”形式计算比较方便. 排列数中含有“未知量”或需将算式“恒等变换”时，使用“阶乘”形式，可以简化列式. 排列数公式： 新知讲解 作者编号：、32200 例1：计算下列排列数： (1) ; (2) ; (3) ； (4) . 解：(1) (2) (3) (4) 排列数公式为: 新知讲解 作者编号：、32200 例2：若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”.现从2，3，4，5，6，9这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有多少个？ 解：由题意知可按十位数字的取值进行分类： 第一类，十位数字取9，有 个； 第二类，十位数字取6，有 个； 第三类，十位数字取5，有 个； 第四类，十位数字取4，有 个. 所以“伞数”的个数为 新知讲解 作者编号：、32200 例3：六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？ (1)甲不站右端，也不站左端； (2)甲、乙站在两端； (3)甲不站左端，乙不站右端． 解：(1)方法一　(位置分析法)因为甲不站左右两端， 故先从甲以外的5个人中任选两人站在左右两端，有种站法； 再让剩下的4个人站在中间的四个位置上，有种站法； 由分步乘法计数原理知，共有＝480种站法. 新知讲解 作者编号：、32200 方法二　(元素分析法)因为甲不能站左右两端，故先让甲排在除左右两端之外的任一位置上，有种站法； 再让余下的5个人站在其他5个位置上，有种站法； 由分步乘法计数原理知，共有＝480种站法. 方法三　(间接法)在排列时，我们对6个人不考虑甲站的位置全排列种站法； 但其中包含甲在左端或右端的情况，因此减去甲站左端或右端的排列数， 于是共有＝480种站法. 新知讲解 作者编号：、32200 (2)方法一　(元素分析法)首先考虑特殊元素，让甲、乙先站两端，有种站法； 再让剩下的4个人站在中间的四个位置全排列，有种站法； 由分步乘法计数原理知，共有＝48种站法. 方法二　(位置分析法)首先考虑两端两个位置，由甲、乙去站，有种站法； 再考虑中间4个位置，由剩下的4个人去站，有种站法； 由分步乘法计数原理知，共有＝48种站法． (2)甲、乙站在两端； 新知讲解 作者编号：、32200 (3)甲不站左端，乙不站右端． (3)方法一　(间接法)甲在左端的站法有种，乙在右端的站法有种， 而甲在左端且乙在右端的站法有种， 故共有＝504种站法． 方法二　(直接法)从元素甲的位置进行考虑，可分两类： 第1类，甲站右端有种站法； 第2类，甲站在中间4个位置之一，而乙不站在右端，可先排甲后排乙，再排其余4个人，有种站法， 故共有＝504种站法． 新知讲解 作者编号：、32200 归纳总结 带有限制条件的排列问题：“特殊”优先原则 新知讲解 作者编号：、32200 例3:3名男生,4名女生,这7个人站成一排,在下列情况下,各有多少种不同的站法. (1)男、女各站在一起. (2)男生必须排在一起. (3)男生不能排在一起. (4)男生互不相邻，且女生也互不相邻. 解：(1)(相邻问题捆绑法)男生必须站在一起，即把3名男生进行全排列, 有 种排法, 女生必须站在一起,即把4名女生进行全排列,有 种排法, 全体男生、女生各看作一个对象全排列有 种排法, 由分步乘法计数原理知共有 =288种排法. 作者编号：、32200 例3:3名男生,4名女生,这7个人站成一排,在下列情况下,各有多少种不同的站法. (2)男生必须排在一起.(3)男生不能排在一起. (4)男生互不相邻，且女生也互不相邻. (2)(捆绑法)把所有男生看作一个对象，与4名女生组成5个对象全排列， 故有 =720种不同的排法. (3)(不相邻问题插空法)先排女生有 种排法，把3名男生安排在4名女生隔成 的5个空中，有 种排法， 故有 =1 440种不同的排法. (4)先排男生有 种排法，让女生插空，有 =144种不同的排法. 作者编号：、32200 处理对象“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体,后局部”的原则. 对象相邻问题,一般用“捆绑法”,先把相邻的若干个对象“捆绑”为一个大对象与其余对象全排列,然后再松绑,将这若干个对象内部全排列. 对象不相邻问题,一般用“插空法”,先将不相邻对象以外的“普通”对象全排列,然后在“普通”对象之间及两端插入不相邻对象. 归纳总结 学习目标 作者编号：、32200 1.90×91×92×…×100可以表示为(　　) 　　　　　　　　　 2.某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有(　　) A.504种 B.960种 C.1 008种 D.1 108种 3.把5件不同产品摆成一排．若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种． B C 36 当堂检测 作者编号：、32200 根据今天所学，回答下列问题： 1.排列数公式是什么？应用排列数公式时需要注意什么？ 2.处理对象在、不在问题一般用什么办法？ 3.处理对象相邻、不相邻问题一般用什么办法？ 课堂小结 作者编号：、32200 $$