5.1.3 基本计数原理的简单应用课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

5.1.3 基本计数原理的简单应用 作者编号：、32200 随着人们生活水平的提高，车辆拥有量迅速增长，汽车牌号仅用一个字母和数字表示已经不能满足需求，再加上许多车主还希望车牌号“个性化”，因此，汽车号码需要进行扩容，这样就需要“数出”某种方案下的所有号码数，号码的个数是如何进行计算的呢？ 新课导入 作者编号：、32200 1.进一步理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别. 2.会正确应用这两个计数原理计数. 学习目标 作者编号：、32200 例1:在1，2，3，...，200中，能够被5整除的数共有多少个？ 分析：要完成的一件事： 如何完成： 解：第1类，末位数字是0的数，共有20个； 根据分类加法计数原理，在1，2，3...，200中，能够被5整除的数共有N=20+20=40个. 第2类，末位数字是5的数，共有20个. 找出能够被5整除的数； 能够被5整除的数，末位数字是 ，因此，我们把1，2，3...， 200中能够被5整除的数分为 类来计算. 0或5 2 新知讲解 作者编号：、32200 归纳总结 常见的组数问题及解题原则 （1）常见的组数问题：奇数、偶数、整除数、各数位上的和或数字间满足某种特殊关系等. 其次注意特殊数字对各数位上数字的要求，如偶数的个位数字为偶数、两位及其以上的数首位数字不能是0、被3整除的数各位数上的数字之和能被3整除等； （2）常见的解题原则： 首先明确题目条件对数字的要求，针对这一要求通过分类、分步进行组数； 最后先分类再分步从特殊数字或特殊位置进行组数. 新知讲解 作者编号：、32200 解：按照选择的女同学人数分为两类情况： 第一类：2位都是女同学，只有1种选法； 第二类：只有1位女同学，可以分为两步完成： 第一步，先从2位女同学中选出1人，共2种选法； 第二步，再从3位男同学中选出1人，共3种选法. 根据分步乘法计数原理：共有2×3=6种方法. 综上，根据分类加法计数原理：不同的选法共有1+6=7种. 例2:某班班委由2位女同学、3位男同学组成，现要从中选出2人去参加学校组织的培训活动，要求至少有1位女同学参加，则不同的选法共有多少种？ 新知讲解 作者编号：、32200 例3:高三年级的四个班到甲、乙、丙、丁、戊五个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有多少种？ 解：方法一　(直接法)以甲工厂分配班级情况进行分类，共分为四类： 第一类，四个班级都去甲工厂，此时分配方案只有1种情况； 第二类，有三个班级去甲工厂，剩下的一个班级去另外四个工厂，其分配方案共有4×4＝16(种)； 第三类，有两个班级去甲工厂，另外两个班级去其他四个工厂，其分配方案共有6×4×4＝96(种)； 新知讲解 作者编号：、32200 例3:高三年级的四个班到甲、乙、丙、丁、戊五个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有多少种？ 第四类，有一个班级去甲工厂，其他三个班级去另外四个工厂，其分配方案有4×4×4×4＝256(种). 综上所述，不同的分配方案有1＋16＋96＋256＝369(种). 方法二　(间接法)先计算四个班自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况， 即5×5×5×5－4×4×4×4＝369(种)方案. 新知讲解 作者编号：、32200 归纳总结 (1)当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树形图法、框图法或者图表法. (2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法： ①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理.一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若按对象特征抽取的，则按分类进行. ②间接法：去掉限制条件计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可. 选(抽)取与分配问题的常见类型及其解法 新知讲解 作者编号：、32200 例3:通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成，第一部分为用汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号，第二部分为由阿拉伯数字和英文字母组成的序号.其中，序号的编码规则为：（1）由 <m></m> 个阿拉伯数字和除 <m></m> ， <m></m> 之外的24个英文字母组成；（2）最多只能有2个英文字母.如果某地级市发牌机关采用5位序号编码，那么这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌？ 新知讲解 作者编号：、32200 解：由号牌编号的组成可知，这个发牌机关所能发放的最多号牌数就是序号的个数.根据序号编码规则，5位序号可以分为三类：没有字母，有1个字母，有2个字母. （1）当没有字母时，序号的每一位都是数字，确定一个序号可以分5个步骤，每一步都可以从10个数字中选1个，各有10种选法. 根据分步乘法计数原理，这类号牌的张数为 <m></m> . 序号的编码规则为：（1）由个阿拉伯数字和除<m></m> ， <m></m> 之外的24个英文字母组成；（2）最多只能有2个英文字母.如果某地级市发牌机关采用5位序号编码. 新知讲解 作者编号：、32200 （2）当有1个字母时，这个字母可以分别在序号的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位，这类序号可以分为五个子类. 当第1位是字母时，分5个步骤确定一个序号中的字母和数字： 第1步，从24个字母中选1个放在第1位，有24种选法； 第2～5步都是从10个数字中选1个放在相应的位置，各有10种选法. 根据分步乘法计数原理，号牌的张数为 <m></m> . 同理，其余四个子类号牌也各有240000张. 根据分类加法计数原理，这类号牌的张数共有</m> . 新知讲解 作者编号：、32200 （3）当有2个字母时，根据这2个字母在序号中的位置，可以将这类序号分为十个子类：第1位和第2位，第1位和第3位，第1位和第4位，第1位和第5位，第2位和第3位，第2位和第4位，第2位和第5位，第3位和第4位，第3位和第5位，第4位和第5位.当第1位和第2位是字母时，分5个步骤确定一个序号中的字母和数字： 1～2步都是从24个字母中选1个分别放在第1位、第2位，各有24种选法； 第3～5步都是从10个数字中选1个放在相应的位置，各有10种选法. 根据分步乘法计数原理，号牌的张数为 <m></m> ， 同理，其余九个子类号牌也各有576000张. 根据分类加法计数原理，号牌的张数为 <m></m> . 综合（1）（2）（3），根据分类加法计数原理，这个发牌机关最多能发放的汽车号牌的张数为 <m></m> . 作者编号：、32200 归纳总结 （1）当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法. （2）分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树形图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律. （3）混合问题一般是先分类再分步. 利用两个计数原理解题时的三个注意点： 新知讲解 作者编号：、32200 1.用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（ ） A.243 B.252 C.261 D.279 2.一学习小组有4名男生，3名女生，任选一名学生当数学科代表，共 有　　　　种不同选法;若选男、女生各一名当组长，共有　　　　种 不同选法.  B 7 12 当堂检测 作者编号：、32200 3.如图所示，用6种不同的颜色给图中的“笑脸”涂色，要求“眼睛”(即图中A，B所示区域)用相同颜色，则不同的涂法共有__________种． 216 当堂检测 作者编号：、32200 根据今天所学，回答下列问题： 1.常见的组数问题的解题原则是什么？ 2.选(抽)取与分配问题如何求解？ 3.用两个计数原理解决计数问题时需要注意什么？ 课堂小结 作者编号：、32200 $$