专题02 平行线中的拐点模型之铅笔头模型-2024-2025学年七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版2024）

专题02 平行线中的拐点模型之铅笔头模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（铅笔头模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 1 模型1.铅笔头模型 1 13 模型1.铅笔头模型 图1 图2 图3 如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN. 如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540° 如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°. 【证明】在图1中，过P作AM的平行线PQ， ∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°； 在图2中，过P1作AM的平行线P1C，过点P2作AM的平行线P2D， ∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN， ∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°； 在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线， 根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°． 例1．（2023下·广东茂名·七年级统考期中）如图，，=（    ）    A． B． C． D． 例2．（2023上·广东广州·八年级校考期中）如图，已知，，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 例3．（2023下·甘肃白银·七年级校考期中）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 例4．（2023下·广西南宁·七年级校考期末）如图，如果，那么（　　）    A． B． C． D． 例5．（2023下·陕西西安·七年级校考期中）如图，已知，和的平分线相交于F，，则的度数为 ． 例6．（2023下·浙江杭州·七年级校联考阶段练习）如图所示，，若，下列各式：①  ②  ③  ④ 其中正确的是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①④ 例7．（23-24七年级下·北京·阶段练习）图①是小明写字桌上的一款长臂折叠护眼台灯，支柱与桌面垂直，小明将台灯的灯管高度调节后如图②所示． 已知此时灯管与桌面平行， ， ，则调节杆和的夹角 ．    例8．（2023下·江苏南京·七年级统考期中）从特殊到一般是数学研究的常用方法，有助于我们发现规律，探索问题的解．    (1)如图1，，点E为、之间的一点．求证：． (2)如图2，，点E、F、G、H为、之间的四点．则______． (3)如图3，，则______． 例9．（2023下·广东深圳·七年级校考期中）【学习新知】： 射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为，则． （1）【初步应用】：生活中我们可以运用“激光”和两块相交的平面镜进行测距．如图2当一束“激光”射入到平面镜上、被平面镜反射到平面镜上，又被平面镜反射后得到反射光线．回答下列问题：①当，（即）时，求的度数． ②当时，任何射入平面镜上的光线经过平面镜和的两次反射后，入射光线与反射光线总是平行的．请你根据所学过的知识及新知说明．（提示：三角形的内角和等于） （2）【拓展探究】：如图3，有三块平面镜，，，入射光线经过三次反射，得到反射光线，已知，，若要使，求的度数． 例10．（2023下·湖北武汉·七年级统考期中）已知直线，点P在直线之间，连接． (1)如图1，若，直接写出的大小； (2)如图2，点Q在之间，，试探究和的数量关系，并说明理由；(3)如图3，的角平分线交CD于点M，且，点N在直线之间，连接，，直接写出的值（用含n的式子表示，题中的角均指大于且小于的角）． 1．（2024·贵州·模拟预测）如图，两条平行线分别截一个角的两条边，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023下·江苏·七年级专题练习）如图，AB//ED，α＝∠A+∠E， β＝∠B+∠C+∠D，则β与α的数量关系是（   ） A．2β＝3α B．β＝2α C．2β＝5α D．β＝3α 3．（2023·河南周口·校联考三模）如图，，，，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 4．（2023·河南三门峡·校联考一模）如图，图1是某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”，可抽象为图2所示的数学图形．已知垂直地面上的直线于点，当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升（即始终平行于）．在该运动过程中，当时，的度数是（    ） A． B． C． D． 5．（2023下·广东汕头·七年级统考期末）如图，已知直线，，，则 等于（   ）    A． B． C． D． 6．（2023上·广东八年级月考）如图所示，已知，那么（    ）    A．180° B．270° C．360° D．540° 7．（2023下·海南省直辖县级单位·八年级校考期末）如图，按虚线剪去长方形纸片的相邻两个角，并使，，，的度数为（    ）    A． B． C． D． 8．（2023上·四川绵阳·八年级统考开学考试）如图，已知，若，，则α与β之间的数量关系为 ．    9．（2023下·贵州安顺·七年级校考阶段练习）如图，已知ABCD，易得∠1+∠2+∠3=360°，∠1+∠2+∠3+∠4 =540°，根据以上的规律求∠1+∠2+∠3+…+∠n = °． 10．（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知在四边形中，，点在，之间，为上一点，为上一点，平分交于点，交于点．下列结论：①，②，③．其中正确的结论有 ． 11．（24-25七年级上·广东·期末）如图，，、分别是、上的点，、分别平分、，若，，则 （用含，的代数式表示）    12．（23-24七年级下·宁夏银川·期末）如图1是一款落地的平板支撑架，，是可转动的支撑杆．调整支撑杆使得其侧面示意图如图2所示，此时平板，，，则 ． 13．（23-24七年级下·湖北荆州·阶段练习）如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，若，，则的度数为 ． 14．（2023下·湖北襄阳·七年级统考期中）如图，，平分，平分，若，则 度． 15．（23-24七年级下·广东东莞·期中）补全下面的推理过程： 生活中常见一种折叠拦道闸，如图1所示，若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图2所示，垂直地面于点A，平行于地面，求的度数． 解；如图3，过点B作． ∵（已知）， （___________）（平行于同一条直线的两条直线平行） （___________）（_________________________________） ∵，（___________）°（_________________________________） ∵（___________） （___________）°． 16．（2023下·河南三门峡·七年级统考期末）下图所示的格线彼此平行，小明在格线中作已知角，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系，他先作出．    (1)如图1，点O在一条格线上，当时，__________；(2)如图2，点O在两条格线之间，用等式表示与之间的数量关系，并证明；（可根据证明的需要用a，b，c，…来表示图中的格线）；(3)在图3中，记与图中一条格线形成的锐角为，小明作射线，使得，记与图中一条格线形成的锐角为，请直接用等式表示与之间的数量关系． 17．（23-24七年级下·广东广州·期末）如图，点，，，四点共线，点，，，四点共线．，相交于点，点是直线与之间的一个动点，． (1)求证：；(2)若平分，平分，请探索并证明和之间的数量关系； (3)若，，（2）中的结论还成立吗？若成立请证明；若不成立，请写出你认为正确的结论，并证明． 18．（23-24七年级下·吉林·期末）如图，已知，的平分线与的平分线相交于点． (1)如图，求证：(ⅰ)；(ⅱ)． (2)如图，，，则与之间的关系为______； (3)当，且时，直接写出的度数用含、的式子表示． 19．（23-24七年级下·山西晋中·期中）综合与实践 【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如:（1）如图1，， ， ， 求的度数． 小明的思路是：过点作，通过平行线性质来求． 按小明的思路，易求得的度数为 度；  (直接写出答案) 【类比应用】（2）如图2，， 点在直线、之间． 则，， 存在一定的数量关系，请认真思考后得出结论，并进行证明． 【解决问题】（3）小明研究两条平行线间的拐点问题在生活中的应用．他发现家中的护眼灯是一款长臂折叠型的如图所示， 与桌面 垂直．当发光的灯管 恰好与桌面平行时， 若，，则的度数为 ． 20．（2023下·浙江宁波·七年级校联考期中）如图，已知C为两条相互平行的直线，之间一点，和的角平分线相交于F．．(1)求证：．(2)连接，当，时，求的度数．(3)若时，将线段沿射线方向平移，记平移后的线段为，B，C分别对应P，Q，当时，求的度数．    12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 平行线中的拐点模型之铅笔头模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（铅笔头模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 1 模型1.铅笔头模型 1 13 模型1.铅笔头模型 图1 图2 图3 如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN. 如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540° 如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°. 【证明】在图1中，过P作AM的平行线PQ， ∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°； 在图2中，过P1作AM的平行线P1C，过点P2作AM的平行线P2D， ∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN， ∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°； 在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线， 根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°． 例1．（2023下·广东茂名·七年级统考期中）如图，，=（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过C点作直线，根据平行线的性质可得，，然后再计算即可. 【详解】   如图，过C点作直线，，    ， ，，， 即.故选：B 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键. 例2．（2023上·广东广州·八年级校考期中）如图，已知，，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】本题考查平行线的判定和性质，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键． ∵，∴，∴ ∴， ∴，故选C． 例3．（2023下·甘肃白银·七年级校考期中）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，则，再根据平行线的性质可以求出、，进而可求出，再根据平行线的性质即可求得． 【详解】解：如图，过点作，，，    ，，． ，．． ．故选：C． 【点睛】本题考查平行线的性质，结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算是解题关键． 例4．（2023下·广西南宁·七年级校考期末）如图，如果，那么（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行线的性质，结合所作的辅助线，可以得出答案． 【详解】解：过点C作，过点D作．    ∵，∴， ∴，，, ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质及判定的相关知识点，掌握知识点是解答此题的关键． 例5．（2023下·陕西西安·七年级校考期中）如图，已知，和的平分线相交于F，，则的度数为 ． 【答案】/140度 【分析】连接，因为，所以，又由三角形内角和为，可得，可得，根据角平分线的定义可得，再根据四边形的内角和为可得答案． 【详解】解：连接，∵，， ，，， 又平分和，， ．故答案为：． 【点睛】此题考查了平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，还考查了三角形内角和定理，解题的关键是作出这条辅助线． 例6．（2023下·浙江杭州·七年级校联考阶段练习）如图所示，，若，下列各式：①  ②  ③  ④ 其中正确的是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①④ 【答案】D 【分析】过点E作，点F作，根据平行公理得，根据平行线的性质逐一计算解题即可． 【详解】解：如图，过点E作，∵，∴，       ∴，，∴，故①正确； 如图，过点F作，∵，∴， ∴，， ∴，即，故②不正确； 又∵，∴， 即，故③不正确； ∵，∴， ∵，∴， ， 故④正确；∴正确的为①④，故选D． 【点睛】本题考查平行线的性质，能作辅助线构造平行线转化角是解题的关键． 例7．（23-24七年级下·北京·阶段练习）图①是小明写字桌上的一款长臂折叠护眼台灯，支柱与桌面垂直，小明将台灯的灯管高度调节后如图②所示． 已知此时灯管与桌面平行， ， ，则调节杆和的夹角 ．    【答案】/100度 【分析】本题考查平行线的判定和性质．解题的关键是过拐点构造平行线．过点作，过点作，根据平行线的性质分别求出，，进而可求出的度数． 【详解】解：过点作，过点作，    ∴，∵，∴． ∵ ，，，∴，， ∵，∴，∴，∴，故答案为：． 例8．（2023下·江苏南京·七年级统考期中）从特殊到一般是数学研究的常用方法，有助于我们发现规律，探索问题的解．    (1)如图1，，点E为、之间的一点．求证：． (2)如图2，，点E、F、G、H为、之间的四点．则______． (3)如图3，，则______． 【答案】(1)证明见详解；(2)；(3)； 【分析】（1）过点作，可得，根据平行线的性质可得，，再计算角度和即可证明；（2）分别过点E、F、G、H作的平行线，在两相邻平行线间利用两直线平行同旁内角互补求得两角度和后，再将所有角度相加即可解答；（3）由（2）解答可知在、之间每有一条线段便可求得一个180°角度和，结合图3找出n和线段条数的关系便可解答； 【详解】（1）证明：如下图，过点作，      ∵，，∴， 根据两直线平行同旁内角互补可得：，， ∴，∴； （2）解：如下图，分别过点E、F、G、H作，，，， 结合（1）解答在两相邻平行线间可得：， ，，， ，将所有角度相加可得：； （3）解：由（2）解答可知在、之间每有一条线段便可求得一个180°角度和， 由图3可知：当、之间有2条线段时，，当、之间有3条线段时，， 当、之间有4条线段时，，当、之间有5条线段时，，…， 当、之间有条线段时，，∴； 【点睛】本题考查了平行线公理的推论，平行线的性质，归纳总结的解题思路，通过作辅助线将角度按组计算是解题关键． 例9．（2023下·广东深圳·七年级校考期中）【学习新知】： 射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为，则． （1）【初步应用】：生活中我们可以运用“激光”和两块相交的平面镜进行测距．如图2当一束“激光”射入到平面镜上、被平面镜反射到平面镜上，又被平面镜反射后得到反射光线．回答下列问题：①当，（即）时，求的度数． ②当时，任何射入平面镜上的光线经过平面镜和的两次反射后，入射光线与反射光线总是平行的．请你根据所学过的知识及新知说明．（提示：三角形的内角和等于） （2）【拓展探究】：如图3，有三块平面镜，，，入射光线经过三次反射，得到反射光线，已知，，若要使，求的度数． 【答案】（1）①；②见解析；（2） 【分析】（1）①先求出的度数，再利用平行线的性质求解即可； ②由求出，结合题意可得，，可求，进而求出，最后利用平行线的判定即可得证； （2）过点作，则，利用平行线的性质、三角形内角和等于可求，，，，，，最后在中求解即可． 【详解】解：（1）①∵，， ∴，∴， 又，∴； ②由题意知，，∵，∴，∴， ∴，∴； （2）过点作， ∵，∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， 又，∴，∴． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质，明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键． 例10．（2023下·湖北武汉·七年级统考期中）已知直线，点P在直线之间，连接． (1)如图1，若，直接写出的大小； (2)如图2，点Q在之间，，试探究和的数量关系，并说明理由；(3)如图3，的角平分线交CD于点M，且，点N在直线之间，连接，，直接写出的值（用含n的式子表示，题中的角均指大于且小于的角）． 【答案】(1)(2)；(3) 【分析】（1）过点P作，则，根据平行线的性质即可求解； （2）过点P作，过点Q作，则，，结合，即可得到结论；（3）过点P作，则，可得，过点N作，可得，即，结合，可得，进而可得结论. 【详解】（1）解： 过点P作，则， ∵，∴， ∵，∴，∴； （2）解：过点P作，过点Q作，则，， ∴， ∴，即，同理：， ∵，∴， ∴,∴； （3）解：过点P作，则， ∵，∴，即， ∵，∴，∴ 过点N作，∵，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵平分，∴，∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∴，∴， ∴， ∵，∴， ∴， ∵，∴，∴， ∴ ∴. 【点睛】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，添加辅助线，理清各个相关角的关系是关键. 1．（2024·贵州·模拟预测）如图，两条平行线分别截一个角的两条边，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，如图，过作，而，可得，再利用平行线的性质可得答案． 【详解】解：如图，过作，而， ∴，∴，， ∴，∴，∵，∴；故选C 2．（2023下·江苏·七年级专题练习）如图，AB//ED，α＝∠A+∠E， β＝∠B+∠C+∠D，则β与α的数量关系是（   ） A．2β＝3α B．β＝2α C．2β＝5α D．β＝3α 【答案】B 【分析】作CF//ED，利用平行线的性质求得β与α，再判断β与α的数量关系即可． 【详解】解：如图，作CF//ED，  ∵AB//ED，∴∠A+∠E=180°= α ， ∵ED//CF， ∴∠D+∠DCF=180°， ∵AB//ED，ED//CF，∴AB//CF，∴∠B+∠BCF=180°， ∴∠D+∠DCF+∠B+∠BCF=180°+180° 即 ∠B+∠C+∠D =360°= β ， ∴ β＝2α ． 故选B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟悉运用平行线的性质是解题的关键． 3．（2023·河南周口·校联考三模）如图，，，，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作，则，根据平行线的性质分别求出和，则． 【详解】解：如图，作，则，    ，，，， ， 故选D． 【点睛】本题考查根据平行线的性质求角的度数，解题的关键是正确添加辅助线． 4．（2023·河南三门峡·校联考一模）如图，图1是某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”，可抽象为图2所示的数学图形．已知垂直地面上的直线于点，当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升（即始终平行于）．在该运动过程中，当时，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图所示，过点C作，利用平行线的性质得到，进而求出，则． 【详解】解：如图所示，过点C作，∵，∴， ∴， ∵，即，∴， ∴，故选C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 5．（2023下·广东汕头·七年级统考期末）如图，已知直线，，，则 等于（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作的平行线，过点作的平行线，根据两直线平行，内错角相等可得，，再根据两直线平行，同旁内角互补求出，然后计算即可得解． 【详解】解：如图，过点作的平行线，过点作的平行线，则，， ，，， ，， ．故选：B．    【点睛】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．熟记性质并作辅助线是解题的关键． 6．（2023上·广东八年级月考）如图所示，已知，那么（    ）    A．180° B．270° C．360° D．540° 【答案】C 【分析】先根据平行线的性质得出，进而可得出结论． 【详解】过点C作，，，    ∴由得，， 即．故选：C． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补． 7．（2023下·海南省直辖县级单位·八年级校考期末）如图，按虚线剪去长方形纸片的相邻两个角，并使，，，的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作长方形边的平行线，然后根据两直线平行，同旁内角互补得出，再解答即可． 【详解】解：过点作，    ∵，∴， ∴，即， ∵，，∴的度数为．故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，此题的关键是加辅助线，然后利用平行线的性质求解． 8．（2023上·四川绵阳·八年级统考开学考试）如图，已知，若，，则α与β之间的数量关系为 ．    【答案】/ 【分析】过C作，过D作，得到，由平行线的性质推出，得到，即可得出结果． 【详解】解：过C作，过D作，∵，∴， ∴， ∴， ∴， ∵，∴．故答案为：．    【点睛】本题考查平行线的性质，关键是过点C作，过D作，得到，由平行线的性质即可解决问题． 9．（2023下·贵州安顺·七年级校考阶段练习）如图，已知ABCD，易得∠1+∠2+∠3=360°，∠1+∠2+∠3+∠4 =540°，根据以上的规律求∠1+∠2+∠3+…+∠n = °． 【答案】 【分析】过点P作平行于AB的直线，运用两次两条直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和；分别过点P，Q作AB的平行线，运用三次平行线的性质，即可得到四个角的和；同样作辅助线，运用（n-1）次平行线的性质，则n个角的和是． 【详解】解：（1）如图，过点P作一条直线PM平行于AB， ∵AB∥CD，AB∥PM∵AB∥PM∥CD， ∴∠1+∠APM=180°，∠MPC+∠3=180°，∴∠1+∠APC+∠3=360°； （2）如图，过点P、Q作PM、QN平行于AB，∵AB∥CD，∵AB∥PM∥QN∥CD， ∴∠1+∠APM=180°，∠MPQ+∠PQN=180°，∠NQC+∠4=180°；∴∠1+∠APQ+∠PQC+∠4=540°； 根据上述规律，显然作（n-2）条辅助线，运用（n-1）次两条直线平行，同旁内角互补． 即可得到∠1+∠2+∠3+…+∠n =180°（n-1）．故答案为： 【点睛】此题考查了平行线的性质．注意掌握辅助线的作法是解此题的关键． 10．（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知在四边形中，，点在，之间，为上一点，为上一点，平分交于点，交于点．下列结论：①，②，③．其中正确的结论有 ． 【答案】①② 【分析】根据题意，画出正确的图形，角平分线的定义，根据平行线的性质、角的和与差推理即可．本题考查的是平行线的性质以及角的和与差，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，以及找到各角的和与差． 【详解】解：①，，，，， ，平分， ，，故①选项是正确的； ②由①知，，，， ，， ， ，，故②选项是正确的； ③由①知，，， ，故③选项是错误的．故答案为：①② 11．（24-25七年级上·广东·期末）如图，，、分别是、上的点，、分别平分、，若，，则 （用含，的代数式表示）    【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理推论，过作，过作，则，再根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到的度数，掌握平行线的性质，平行公理推论是解题的关键． 【详解】解：如图，过作，过作，    又∵，∴，∴， ， ，∴， 又∵、分别平分、，∴，， ∴， ∴ ，故答案为：． 12．（23-24七年级下·宁夏银川·期末）如图1是一款落地的平板支撑架，，是可转动的支撑杆．调整支撑杆使得其侧面示意图如图2所示，此时平板，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质．作辅助线构建平行关系是解题的关键． 过点作，则有，由两直线平行，同旁内角互补，可知，通过角的等量代换可得到，最后根据两直线平行，内错角相等即可解答． 【详解】解：如图，过点作， ，，， ，，，， ，．故答案为：． 13．（23-24七年级下·湖北荆州·阶段练习）如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是过拐点构造平行线． 过点D作，过点E作，根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，过点D作，过点E作， ∵，∴，∵，∴， ∴，，， ∵，，∴， ∴，∴，故答案为：． 14．（2023下·湖北襄阳·七年级统考期中）如图，，平分，平分，若，则 度． 【答案】 【分析】过点作，利用平行线的性质可证得可以得到与的关系，即可求解． 【详解】解：过点作，如图： ， ，，， 的平分线与的平分线相交于点 ，， ，， ，，故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质和角平分线，解决问题的关键是作辅助线构造同旁内角以及内错角，依据平行线的性质进行推导计算，解题时注意数形结合思想的运用． 15．（23-24七年级下·广东东莞·期中）补全下面的推理过程： 生活中常见一种折叠拦道闸，如图1所示，若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图2所示，垂直地面于点A，平行于地面，求的度数． 解；如图3，过点B作． ∵（已知）， （___________）（平行于同一条直线的两条直线平行） （___________）（_________________________________） ∵，（___________）°（_________________________________） ∵（___________） （___________）°． 【答案】（或）；（或）；两直线平行，同旁内角互补；；垂直的定义；（）； 【分析】本题考查平行线的判定和性质．过点作，如图，由于，则，根据两直线平行，同旁内角互补得，由得，即，于是得到结论． 【详解】解：如图，过点作， ∵（已知）∴（平行于同一条直线的两条直线平行） ∴，（两直线平行，同旁内角互补） ∵，∴，（垂直的定义） ∵，∴，∴， ∴． 故答案为： ；；两直线平行，同旁内角互补；；垂直的定义；；． 16．（2023下·河南三门峡·七年级统考期末）下图所示的格线彼此平行，小明在格线中作已知角，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系，他先作出．    (1)如图1，点O在一条格线上，当时，__________；(2)如图2，点O在两条格线之间，用等式表示与之间的数量关系，并证明；（可根据证明的需要用a，b，c，…来表示图中的格线）；(3)在图3中，记与图中一条格线形成的锐角为，小明作射线，使得，记与图中一条格线形成的锐角为，请直接用等式表示与之间的数量关系． 【答案】(1)(2)，证明见解析(3)或 【分析】（1）先标出和，然后再根据平行的性质可得，然后再利用角的和差解答即可；（2）如图：过点C作一条直线平行于格线，标出和 ，再根据平行的性质可得，然后再利用角和差解答即可；（3）分两种情况：当射线在的内部，当射线在的外部，然后利用平行线的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵，∴， ∵，∴，∴，故答案为：；       （2）解：，证明如下：如图所示，过点O作， ∵，∴，∴，∵，∴； （3）解：设与图中一条格线形成的锐角为，与另一条格线形成的锐角为 当射线在的内部，如图： 在图中随意选择两条格线标出、且过O点作平行于格线的辅助线，并标出和， 由格线平行可得， ∵ ∴，即， ∴，即；       当射线在的外部，如图，过点O作平行于格线，∴， ∵，∴，∴； 综上所述：或． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．难点是作辅助线，第（2）要分类讨论，不要出现遗漏情况． 17．（23-24七年级下·广东广州·期末）如图，点，，，四点共线，点，，，四点共线．，相交于点，点是直线与之间的一个动点，． (1)求证：；(2)若平分，平分，请探索并证明和之间的数量关系； (3)若，，（2）中的结论还成立吗？若成立请证明；若不成立，请写出你认为正确的结论，并证明． 【答案】(1)证明见解析(2)，证明见解析(3)不成立；，证明见解析 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质即可得结论；（2）过点作，过点作，根据平行线的判定和性质以及角平分线的定义可得，，，，则，即可得到和之间的数量关系；（3）过点作，过点作，根据平行线的判定和性质和已知条件，得出，，，，则，从而得到和之间的数量关系． 【详解】（1）证明：如图，过点作，∴， ∵，∴，∴，∴． （2）解：，证明如下：过点作，过点作，由（1）知：， ∴，∴，， ∴，即，∵，∴， 又∵，∴，∴， ∴，即， ∵平分，平分，∴，， ∴，∴． （3）如图，（2）中的结论不成立，正确的结论是，证明如下： 过点作，过点作，由（2）得：，， ∵，，∴，， ∴，∴ 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，平行公理的推论，角平分线的定义等知识．正确添加辅助线、熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 18．（23-24七年级下·吉林·期末）如图，已知，的平分线与的平分线相交于点． (1)如图，求证：(ⅰ)；(ⅱ)． (2)如图，，，则与之间的关系为______； (3)当，且时，直接写出的度数用含、的式子表示． 【答案】(1)(ⅰ)见解析；(ⅱ)见解析(2)(3) 【分析】根据平行线的性质可得：；(ⅱ)根据平行线的性质可得：；设，，则，，，，根据和四边形内角和得等式可得结论；同将倍换为倍，同理可得结论． 【详解】（1）证明：(ⅰ)如图，过点作，，， ，，，，； (ⅱ)如图，过点作，，， ，，， ； （2）解：结论：，理由是： 设，，则，，，， 由得：，， ，， ，；故答案为：； （3）解：设，，则，，，， 由可得：，，， ，，． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质和角平分线、等分线及四边形的内角和的运用，解决问题的关键是作辅助线构造同旁内角以及内错角，依据平行线的性质进行推导计算，解题时注意类比思想的运用． 19．（23-24七年级下·山西晋中·期中）综合与实践 【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如:（1）如图1，， ， ， 求的度数． 小明的思路是：过点作，通过平行线性质来求． 按小明的思路，易求得的度数为 度；  (直接写出答案) 【类比应用】（2）如图2，， 点在直线、之间． 则，， 存在一定的数量关系，请认真思考后得出结论，并进行证明． 【解决问题】（3）小明研究两条平行线间的拐点问题在生活中的应用．他发现家中的护眼灯是一款长臂折叠型的如图所示， 与桌面 垂直．当发光的灯管 恰好与桌面平行时， 若，，则的度数为 ． 【答案】（1）（2），理由见解析（3） 【分析】本题考查了平行线的性质与判定；（1）过点作，得出，进而根据平行线的性质可得，即可求解；（2）过点作,根据平行线的性质可得 ，进而得出；（3）过点作得出，进而根据（1）的结论，即可求解． 【详解】（1）过点作，∵，∴， ∵ ， ， （2）理由如下:如图所示, 过点作, ，即 ； （3）如图所示，过点作 与桌面 垂直．∴ ∵∴ 由（1）可得故答案为：． 20．（2023下·浙江宁波·七年级校联考期中）如图，已知C为两条相互平行的直线，之间一点，和的角平分线相交于F．．(1)求证：．(2)连接，当，时，求的度数．(3)若时，将线段沿射线方向平移，记平移后的线段为，B，C分别对应P，Q，当时，求的度数．    【答案】(1)见解析(2)(3) 【分析】（1）平行线的性质和角平分线平分角，推出，进而得到，即可得证；（2）设，则，根据平行线的性质和角平分线平分角，求出，，再根据两直线平行，同旁内角互补，得到，进行求解即可；（3），得到，进而得到，根据平行线的性质和角平分线平分角，推出，根据，求出的度数，根据平移的性质，以及两直线平行同旁内角互补，得到，进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵，∴． ∵平分，∴，∴， ∵，∴，∴； （2）∵，设，则， ∵，∴，∵平分，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴； （3）如图，∵，∴，∴，    ∵，∴，∴， ∵分别平分，∴，∴，       ∵，∴，∴， ∵，∴， ∵线段沿直线方向平移得到线段，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴∴． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算．熟练掌握平行线的性质和判定定理，是解题的关键． 2 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $$