专题02 平行线中的拐点模型之铅笔头模型-2024-2025学年七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版2024）

专题02 平行线中的拐点模型之铅笔头模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（铅笔头模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 2 模型1.铅笔头模型 2 36 模型1.铅笔头模型 图1 图2 图3 如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN. 如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540° 如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°. 【证明】在图1中，过P作AM的平行线PQ， ∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°； 在图2中，过P1作AM的平行线P1C，过点P2作AM的平行线P2D， ∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN， ∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°； 在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线， 根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°． 例1．（2023下·浙江绍兴·七年级统考期末）如图，已知AB//CD，则，，之间的等量关系为（    ）    A． B． C． D． 例2．（23-24八年级下·浙江温州·开学考试）如图，在五边形中，，为了保证，则应等于（   ） A． B． C． D． 例3．（2023下·浙江金华·七年级统考期末）如图是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数为 ．    例4．（2023春·新疆·七年级校考阶段练习）如图，如果ABCD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝ °． 例5．（2024七年级上·广东·专题练习）如图，，分别为的平分线，则的度数为（　　） A． B． C． D． 例6．（2023下·安徽合肥·七年级校考期中）如图，，平分，平分，则与的数量关系为（        ）    A． B． C． D． 例7．（2024七年级下·浙江·专题练习）如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为 ． 例8．（2023上·广东广州·八年级校考开学考试）如图①所示，四边形为一张长方形纸片．如图②所示，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（、、），则 （度）；    （1）如图③所示，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（、、、），则 （度）； （2）如图④所示，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（、、、、），则 （度）； （3）根据前面的探索规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是 （度）． 例9．（2023下·河南安阳·七年级统考期末）【学习新知】 射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面的夹角为，反射光线与水平镜面的夹角为，则． (1)【初步应用】生活中我们可以运用“激光”和两块相交的平面镜进行测距．如图2当一束“激光”射到平面镜上，被平面镜反射到平面镜上，又被平面镜反射后得到反射光线，回答下列问题： ①当，（即时，求的度数； ②当时，任何射到平面镜上的光线经过平面镜和的两次反射后，入射光线与反射光线总是平行的．请你根据所学知识及新知说明理由． （提示：三角形的内角和等于 (2)【拓展探究】如图3，有三块平面镜，，，入射光线经过三次反射，得到反射光线已知，若要使，请直接写出的度数 ________； 例10．（2023下·重庆铜梁·七年级统考期末）如图1，已知点A是外一点，连接．求的度数． (1)阅读并补充下面推理过程： 解：过点A作，所以　 　，　 　． 又因为，所以．    (2)从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将 “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 如图2，已知，试说明 (3)如图3，已知，平分，平分，若 ，则的度数为 　 　°； (4)如图4，已知，平分，平分，平分，平分 ，平分，平分…，若，则的度数为 　 　；(用含a的代数式表示) 1．（2023下·浙江温州·七年级校联考期中）如图，直线，，垂足为，与相交于点，若，则（   ）.    A． B． C． D． 2．（2023下·浙江温州·七年级校联考期中）如图，已知直线，点为直线上一点，为射线上一点，若，，交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·贵州·模拟预测）如图，两条平行线分别截一个角的两条边，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023下·江苏·七年级专题练习）如图，AB//ED，α＝∠A+∠E， β＝∠B+∠C+∠D，则β与α的数量关系是（   ） A．2β＝3α B．β＝2α C．2β＝5α D．β＝3α 5．（2024·湖北武汉·模拟预测）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（2023下·重庆七年级课时练习）如图，两直线、平行，则（    ）． A． B． C． D． 7．（2023下·广东中山·七年级校联考期中）如图，已知：，则 （    ）    A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·广东·期末）如图，，、分别是、上的点，、分别平分、，若，，则 （用含，的代数式表示）    9．（23-24七年级下·宁夏银川·期末）如图1是一款落地的平板支撑架，，是可转动的支撑杆．调整支撑杆使得其侧面示意图如图2所示，此时平板，，，则 ． 10．（2023下·浙江宁波·七年级校考期中）如图所示，五边形中，，，，分别是，，的补角，若，，则等于 ．    11．（23-24七年级下·湖北荆州·阶段练习）如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，若，，则的度数为 ． 12．（2023下·天津滨海新·七年级统考期末）如图1，四边形为一张长方形纸片．    （1）如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（），则__________°． （2）如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（），则__________°． （3）如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（），则___________°． （4）根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是_______°． 13．（2023下·浙江七年级课时练习）已知．    (1)如图①，点C是夹在和之间的一点，当时，垂足为C，你知道是多少度吗？ (2)如图②，点，是夹在和之间的两点，请想一想：的度数为 ； (3)如图③，随着与之间点的增加，那么的度数为 ．（不必说明理由） 14．（2023下·浙江台州·七年级统考期末）七（2）班同学以“三角尺和平行线”为背景开展数学探究活动．如图1，直线，直角三角尺的锐角顶点A，C分别在直线上，点B在直线，之间， （1）当时， °．（2）如图2，在线段上取一点D，过点D作直线，若射线平分，且满足，则 °．    15．（2023下·浙江宁波·七年级统考期末）如图，，F为上一点，且平分，过点F作于点G，作交于点P，． (1)求证：．(2)若平分，求证：．    16．（2023下·浙江金华·七年级统考期中）如图，已知，P是直线间的一点，于点F，交于点E，．(1)求的度数；(2)如图2，射线从出发，以每秒的速度绕P点按逆时针方向旋转，当垂直时，立刻按原速返回至后停止运动；射线从出发，以每秒的速度绕E点按逆时针方向旋转至后停止运动．若射线，射线同时开始运动，设运动时间为t秒．①当为角平分线时，求的度数；②当时，求t的值．    17．（2023下·浙江杭州·七年级校考期中）已知直线，点为直线，间的动点，和的角平分线相交于点．(1)如图1，当，，求的度数； (2)如图1，当时，直接写出的度数；（用含的代数式表示） (3)如图2，点在直线，间运动到某一处，此时恰好，，求的度数． 18．（2023下·浙江·七年级期中）如图所示的格线彼此平行，在格线中作，记与格线形成的锐角为（位于格线上方），记与格线形成的锐角为（位于格线下方）． (1)①如图1，若点在一条格线上，当时，________；②如图2，分别作与的邻补角的角平分线，两线交于点（在内部），求的度数；(2)在图3中，当时，作射线，使得．与格线形成的锐角为，请直接用等式表示与之间的数量关系． 19．（2023下·浙江湖州·七年级统考期中）如图，已知点E在的延长线上，，平分. (1)若与互补，，求的度数；(2)若，探究并写出与的数量关系；(3)若，，求的值.    20．（2023下·浙江宁波·七年级统考期中）如图，，定点，分别在直线，上，在平行线，之间有一个动点，满足．（1）试问：，，满足怎样的数量关系？ 解：由于点是平行线，之间一动点，因此需对点的位置进行分类讨论．如图1，当点在的左侧时，易得，，满足的数量关系为；如图2，当点在的右侧时，写出，，满足的数量关系_________． （2）如图3，，分别平分和，且点在左侧． ①若，则的度数为______； ②猜想与的数量关系，并说明理由； ③如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，以此类推，则与满足怎样的数量关系？（直接写出结果） 4 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 平行线中的拐点模型之铅笔头模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（铅笔头模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 2 模型1.铅笔头模型 2 36 模型1.铅笔头模型 图1 图2 图3 如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN. 如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540° 如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°. 【证明】在图1中，过P作AM的平行线PQ， ∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°； 在图2中，过P1作AM的平行线P1C，过点P2作AM的平行线P2D， ∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN， ∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°； 在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线， 根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°． 例1．（2023下·浙江绍兴·七年级统考期末）如图，已知AB//CD，则，，之间的等量关系为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点E作EF∥AB，则EF∥CD，然后通过平行线的性质求解即可． 【详解】解：过点E作EF∥AB，则EF∥CD，如图，        ∵AB∥EF∥CD，∴∠γ+∠FED=180°， ∵∠ABE+∠FEB=180°，∠ABE=∠α，∠FED+∠FEB=∠β， ∴∠γ+∠FED+∠ABE+∠FEB=360°，∴∠α+∠β+∠γ=360°，故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键． 例2．（23-24八年级下·浙江温州·开学考试）如图，在五边形中，，为了保证，则应等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线求角度，过点作，如图所示，从而得到，结合平行线的判定与性质得到，，数形结合即可求出，熟练掌握平行线的判定与性质是解决问题的关键． 【详解】解：过点作，如图所示： ，，，， ，，故选：C． 例3．（2023下·浙江金华·七年级统考期末）如图是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数为 ．    【答案】 【分析】过顶点做直线支撑平台，直线将分成两个角，根据平行的性质即可求解． 【详解】解：过顶点做直线支撑平台，支撑平台工作篮底部， 、，， ，．    【点睛】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 例4．（2023春·新疆·七年级校考阶段练习）如图，如果ABCD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝ °． 【答案】540 【分析】过点E作，过点F作，再根据两直线平行，同旁内角互补即可作答． 【详解】过点E作，过点F作，如图， ∵，，，∴，， ∴∠B+∠BFN=180°，∠FEM+∠EFN=180°，∠D+∠DEM=180°， ∵∠DEF=∠DEM+∠FEM，∠BFE=∠BFN+∠EFN， ∴∠B+∠BFE+∠DEF+∠D=∠B+∠BFN+∠FEM+∠EFN+∠D+∠DEM=540°，故答案为：540． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，即两直线平行，同旁内角互补．构造辅助线，是解答本题的关键． 例5．（2024七年级上·广东·专题练习）如图，，分别为的平分线，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过E作，根据平行线的性质即可得到，再根据，分别为的角平分线，即可得出，最后根据四边形内角和进行计算即可解答． 本题主要考查了平行线的性质、角平分线等知识，正确作出辅助线构造平行线成为解题的关键． 【详解】解：如图所示，过E作，∵，∴， ∴，∴， 又∵，分别为的角平分线， ∴， ∴四边形中，．故选：D． 例6．（2023下·安徽合肥·七年级校考期中）如图，，平分，平分，则与的数量关系为（        ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先过点E作，过点F作，由，即可得，然后根据两直线平行，同旁内角互补，解答即可． 【详解】解：如图，过点E作，过点F作，    ∵，∴，∴，， ∴，∴， ∵平分，平分，∴，， ∴， ∵，∴，， ∴，∴， ∴，故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质及角平分线的性质，用到的知识点为：两直线平行内错角相等，角平分线的性质． 例7．（2024七年级下·浙江·专题练习）如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为 ． 【答案】100 【分析】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是过拐点构造平行线． 过点D作，过点E作，根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，过点D作，过点E作， ∵，∴，∵，∴， ∴，，， ∵，，∴，， ∴，故答案为：100． 例8．（2023上·广东广州·八年级校考开学考试）如图①所示，四边形为一张长方形纸片．如图②所示，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（、、），则 （度）；    （1）如图③所示，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（、、、），则 （度）； （2）如图④所示，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（、、、、），则 （度）； （3）根据前面的探索规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是 （度）． 【答案】 360 540 720 180n 【分析】过点作，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于的倍； （1）分别过、分别作的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于的三倍；（2）分别过、、分别作的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于的四倍；（3）根据前三问个的剪法，剪刀，剪出个角，那么这个角的和是度． 【详解】过作（如图②）．∵原四边形是长方形，∴， 又∵，∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行）． ∵，∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∵，∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∴，又∵，∴；        （）分别过、分别作的平行线，如图③所示， 用上面的方法可得； （）分别过、、分别作的平行线，如图④所示， 用上面的方法可得； （）由此可得一般规律：剪刀，剪出个角，那么这个角的和是度． 故答案为：；；；． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键，总结规律求解是本题的难点． 例9．（2023下·河南安阳·七年级统考期末）【学习新知】 射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面的夹角为，反射光线与水平镜面的夹角为，则． (1)【初步应用】生活中我们可以运用“激光”和两块相交的平面镜进行测距．如图2当一束“激光”射到平面镜上，被平面镜反射到平面镜上，又被平面镜反射后得到反射光线，回答下列问题： ①当，（即时，求的度数； ②当时，任何射到平面镜上的光线经过平面镜和的两次反射后，入射光线与反射光线总是平行的．请你根据所学知识及新知说明理由． （提示：三角形的内角和等于 (2)【拓展探究】如图3，有三块平面镜，，，入射光线经过三次反射，得到反射光线已知，若要使，请直接写出的度数 ________； 【答案】(1)①；②详见解析(2) 【分析】（1）①由可求，再根据已知的平行条件可得，从而求解；②由的度数求出，再根据，，可求出，根据平行线的判定和性质可得；（2）过点作，根据平行公理推论证明，根据平行线的性质，找出角与角之间的关系，求出，，进而可得，在由三角形内角和为，求出． 【详解】（1）解：（①∵，∴． 又∵，∴． ②由题意知，．∵，∴，∴， ∴，∴． （2）如图，过点作，．    ∴．∵，∴， ∵，∴，∴． 同理可得，∴． 又∵，∴，∴．故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，三角形内角和定理，解题关键是正确识别图形，找出角与角之间的关系． 例10．（2023下·重庆铜梁·七年级统考期末）如图1，已知点A是外一点，连接．求的度数． (1)阅读并补充下面推理过程： 解：过点A作，所以　 　，　 　． 又因为，所以．    (2)从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将 “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 如图2，已知，试说明 (3)如图3，已知，平分，平分，若 ，则的度数为 　 　°； (4)如图4，已知，平分，平分，平分，平分 ，平分，平分…，若，则的度数为 　 　；(用含a的代数式表示) 【答案】(1)(2)见解析(3)130(4) 【分析】（1）利用平行线的性质解答即可；（2）过点B作，得到，利用两直线平行内错角相等得到，由此得到结论；（3）过点B作，则，根据平行线的性质推出，再根据角平分线求出的度数； （4）依据（2）（3）的结论推理计算可得答案． 【详解】（1）解：过点A作，所以． 又因为，所以．故答案为：；          （2）解：过点B作，如图，∵，，∴， ∴，∴； （3）解：过点B作，则， ∴，，∴， ∵，∴， ∵平分，平分，∴，， 根据（2）的结论可得：，故答案为：130； （4）由（3）得，   ， ∵平分，平分，∴， ∵平分，平分 ， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴，故答案为：． 【点睛】此题考查了平行线的性质的应用，正确作出辅助线，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 1．（2023下·浙江温州·七年级校联考期中）如图，直线，，垂足为，与相交于点，若，则（   ）.    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，根据平行线的性质可得，根据垂线的定义和平行线的性质，推出，，再根据角的和差关系求出即可求解． 【详解】解：过点作，    ∵，∴，， ，，，．故选：B． 【点睛】本题主要考查对平行线的性质，平行公理的推论，垂线的定义等知识点的理解和掌握，正确作辅助线并能熟练地运用平行线的性质进行计算是解此题的关键． 2．（2023下·浙江温州·七年级校联考期中）如图，已知直线，点为直线上一点，为射线上一点，若，，交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，得到，，根据平行线的性质得到，求得，根据三角形的内角和即可得到结论． 【详解】解：，， 设，，，， ，， ，，， ，，故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，三角形的内角和，平角的定义是解题的关键． 3．（2024·贵州·模拟预测）如图，两条平行线分别截一个角的两条边，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，如图，过作，而，可得，再利用平行线的性质可得答案． 【详解】解：如图，过作，而， ∴，∴，， ∴，∴，∵，∴；故选C 4．（2023下·江苏·七年级专题练习）如图，AB//ED，α＝∠A+∠E， β＝∠B+∠C+∠D，则β与α的数量关系是（   ） A．2β＝3α B．β＝2α C．2β＝5α D．β＝3α 【答案】B 【分析】作CF//ED，利用平行线的性质求得β与α，再判断β与α的数量关系即可． 【详解】解：如图，作CF//ED，  ∵AB//ED，∴∠A+∠E=180°= α ， ∵ED//CF， ∴∠D+∠DCF=180°， ∵AB//ED，ED//CF，∴AB//CF，∴∠B+∠BCF=180°， ∴∠D+∠DCF+∠B+∠BCF=180°+180° 即 ∠B+∠C+∠D =360°= β ， ∴ β＝2α ． 故选B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟悉运用平行线的性质是解题的关键． 5．（2024·湖北武汉·模拟预测）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质．过作，得到，由，推出，由垂直的定义得到，由平行线的性质得出，即可求出结果． 【详解】解：过作，    ∵，∴，，，， ∵，，，故选：C． 6．（2023下·重庆七年级课时练习）如图，两直线、平行，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】分别过E点,F点,G点,H点作L1,L2,L3,L4平行于AB 观察图形可知，图中有5组同旁内角， 则故选D 【点睛】本题考查了平行线的性质，添加辅助线是解题的关键 7．（2023下·广东中山·七年级校联考期中）如图，已知：，则 （    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，根据平行线的性质得出，，再根据角的和差求解即可． 【详解】解：如图，过点作，    ，，，， ，，，， ，故选：B． 【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键． 8．（24-25七年级上·广东·期末）如图，，、分别是、上的点，、分别平分、，若，，则 （用含，的代数式表示）    【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理推论，过作，过作，则，再根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到的度数，掌握平行线的性质，平行公理推论是解题的关键． 【详解】解：如图，过作，过作，    又∵，∴，∴， ， ，∴， 又∵、分别平分、，∴，， ∴， ∴ ，故答案为：． 9．（23-24七年级下·宁夏银川·期末）如图1是一款落地的平板支撑架，，是可转动的支撑杆．调整支撑杆使得其侧面示意图如图2所示，此时平板，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质．作辅助线构建平行关系是解题的关键． 过点作，则有，由两直线平行，同旁内角互补，可知，通过角的等量代换可得到，最后根据两直线平行，内错角相等即可解答． 【详解】解：如图，过点作， ，，， ，，，， ，．故答案为：． 10．（2023下·浙江宁波·七年级校考期中）如图所示，五边形中，，，，分别是，，的补角，若，，则等于 ．    【答案】 【分析】过点E作，根据两直线平行，内错角、同位角相等，可得到，，即． 【详解】解：过点E作，此时为，为，如图所示：    ∵，∴，∴，， ∵，∴，故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，与补角有关的计算，理清思路是解题的关键． 11．（23-24七年级下·湖北荆州·阶段练习）如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是过拐点构造平行线． 过点D作，过点E作，根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，过点D作，过点E作， ∵，∴，∵，∴， ∴，，， ∵，，∴， ∴，∴，故答案为：． 12．（2023下·天津滨海新·七年级统考期末）如图1，四边形为一张长方形纸片．    （1）如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（），则__________°． （2）如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（），则__________°． （3）如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（），则___________°． （4）根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是____________°． 【答案】（1）360；（2）540；（3）720；（4）． 【分析】（1）过点E作EH∥AB，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于180°的2倍； （2）分别过E、F分别作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180°的三倍；（3）分别过E、F、G分别作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180°的三倍；（4）根据前三问个的剪法，剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度． 【详解】（1）过E作EH∥AB（如图②）． ∵原四边形是长方形，∴AB∥CD， 又∵EH∥AB，∴CD∥EH（平行于同一条直线的两条直线互相平行）． ∵EH∥AB，∴∠A+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）． ∵CD∥EH，∴∠2+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）．∴∠A+∠1+∠2+∠C=360°， 又∵∠1+∠2=∠AEC，∴∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°；        （2）分别过E、F分别作AB的平行线，如图③所示， 用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=540°； （3）分别过E、F、G分别作AB的平行线，如图④所示， 用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=720°； （4）由此可得一般规律：剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度． 故答案为：（1）360；（2）540；（3）720；（4）180n． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键，总结规律求解是本题的难点． 13．（2023下·浙江七年级课时练习）已知．    (1)如图①，点C是夹在和之间的一点，当时，垂足为C，你知道是多少度吗？ (2)如图②，点，是夹在和之间的两点，请想一想：的度数为 ； (3)如图③，随着与之间点的增加，那么的度数为 ．（不必说明理由） 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）如图所示，过点C作的平行线，则，由平行线的性质得到，，进而得到，再由，即可得到． （2）如图所示，过点作，则，由平行线的性质得到，同（1）可得，；（3）由（1）（2）可知，之间每多增加一个点，那么所得角度之和就会增加，据此规律求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点C作的平行线． ∵，∴，∴，， ∴． 又∵，∴．       （2）解：如图所示，过点作， ∵，∴，∴， 同（1）可得， ∴， ∴，故答案为：； （3）解：由（1）（2）可知，之间每多增加一个点，那么所得角度之和就会增加， ∴，故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，图形类的规律探索，熟知平行线的性质是解题的关键． 14．（2023下·浙江台州·七年级统考期末）七（2）班同学以“三角尺和平行线”为背景开展数学探究活动．如图1，直线，直角三角尺的锐角顶点A，C分别在直线上，点B在直线，之间，    （1）当时， °．（2）如图2，在线段上取一点D，过点D作直线，若射线平分，且满足，则 °． 【答案】 55 40 【分析】（1）易得，根据平行线的性质求得，则；（2）设，则，由角平分线的定义可得，由平行线的性质得，于是求得，在三角形中，利用三角形内角和定求解即可． 【详解】解：（1）由题意可知，， ∵，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∴；故答案为：55； （2）设，则， ∵射线平分，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∵，∴， 解得：，∴．故答案为：40． 【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，熟知平行线的性质是解题关键． 15．（2023下·浙江宁波·七年级统考期末）如图，，F为上一点，且平分，过点F作于点G，作交于点P，．    (1)求证：．(2)若平分，求证：． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】（1）由，得，利用平行线的性质及垂直的性质，结合平角可得，，进而可得结论； （2）利用角平分线的定义求得，，进而求得，即可得，进而证得结论． 【详解】（1）证明：∵，，∴，，∴， ∵，∴，∴； （2）证明：∵平分，∴，∴， ∵平分，∴∴，∴．    【点睛】本题考查平行线的性质，垂直的定义，角平分线的定义，理解相关性质及定义是解决问题的关键． 16．（2023下·浙江金华·七年级统考期中）如图，已知，P是直线间的一点，于点F，交于点E，．(1)求的度数；(2)如图2，射线从出发，以每秒的速度绕P点按逆时针方向旋转，当垂直时，立刻按原速返回至后停止运动；射线从出发，以每秒的速度绕E点按逆时针方向旋转至后停止运动．若射线，射线同时开始运动，设运动时间为t秒．①当为角平分线时，求的度数；②当时，求t的值．    【答案】(1)(2)①的度数为或；②或 【分析】（1）过点P作，则，根据平行线的判定和性质以及垂直的定义可得，再利用角的和差即可求解；（2）①当为角平分线时，则，再分两种情况：当和时，分别求解即可； ②分四种情况：当、、与，根据平行线的性质列出方程求解即可． 【详解】（1）过点P作，则， ∵，，∴，∴， ∵，∴；           （2）当为角平分线时，则， 分两种情况：当时，此时的运动时间秒， ∴，这时； 当时，此时的运动时间秒， ∴，这时；∴的度数为或； ②当即时，若，如图， 则，即，解得：，不合题意，舍去； 当时，若，如图，则，即，解得：；           当时，若，如图，则，即，解得：； 当时，不存在互相平行的情况；综上，当时，t的值是或． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质以及一元一次方程的应用，正确理解题意、熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 17．（2023下·浙江杭州·七年级校考期中）已知直线，点为直线，间的动点，和的角平分线相交于点． (1)如图1，当，，求的度数； (2)如图1，当时，直接写出的度数；（用含的代数式表示） (3)如图2，点在直线，间运动到某一处，此时恰好，，求的度数． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）如图所示，过点F作，则，由平行线的性质得到，由平角的定义求出，，再根据角平分线的定义求出，由此求出的度数即可求出的度数；（2）如图所示，过点C作，则，由平行线的性质得到，进而得到，再仿照（1）求出，则；（3）根据平行线的性质推出，再由（2）的结论得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点F作， ∵，，∴．∴， ∵，，∴，， ∵和的角平分线相交于点，∴， ∴，∴； （2）解：如图所示，过点C作， ∵，，∴，∴， ∴， ∵，， ∴， 由（1）可知， ∴，∴； （3）解：∵，，∴， ∴，由（2）可得，∴，∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟知角平分线的性质，添加平行线探究角的关系是解题的关键． 18．（2023下·浙江·七年级期中）如图所示的格线彼此平行，在格线中作，记与格线形成的锐角为（位于格线上方），记与格线形成的锐角为（位于格线下方）． (1)①如图1，若点在一条格线上，当时，________；②如图2，分别作与的邻补角的角平分线，两线交于点（在内部），求的度数；(2)在图3中，当时，作射线，使得．与格线形成的锐角为，请直接用等式表示与之间的数量关系． 【答案】(1)①；②(2) 【分析】（1）①根据平行线的性质进行分析即可得到答案；②根据邻补角和角平分线的性质，得到，，过点P作平行于格线，再根据平行线的性质，得到，，即可求出的度数；（2）过点O作平行于格线，根据平行线的性质，得到，进而得到 ，再根据，即可得到答案． 【详解】（1）解：①如图，过点O为顶点在点O所在的格线上作线段， 由题意可知，，， ，，，，故答案为：； ②由题意可知，，， 过点P作平行于格线，，， ； （2）解：过点O作平行于格线，， ，，， ，， 与格线形成的锐角为，． 【点睛】本题考查了平行线的性质，邻补角，角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的性质，找准角度之间的数量关系是解题关键． 19．（2023下·浙江湖州·七年级统考期中）如图，已知点E在的延长线上，，平分.    (1)若与互补，，求的度数；(2)若，探究并写出与的数量关系；(3)若，，求的值. 【答案】(1)(2)结论：(3) 【分析】（1）先求得，再根据平行线的性质求出，然后根据角平分线的定义即可解答； （2）根据平行线的性质可得，即为，再结合已知条件即得结论； （3）同（2）可得，结合已知条件以及角的代换即可求得结果. 【详解】（1）解：∵，，∴， ∵，∴，∴. ∵平分∴； （2）结论：理由：∵，∴， ∵，∴， ∵，∴.∴； （3） 解：∵，∴， （4） ∵，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴. 【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的性质、正确进行角的代换是解题的关键. 20．（2023下·浙江宁波·七年级统考期中）如图，，定点，分别在直线，上，在平行线，之间有一个动点，满足．（1）试问：，，满足怎样的数量关系？ 解：由于点是平行线，之间一动点，因此需对点的位置进行分类讨论．如图1，当点在的左侧时，易得，，满足的数量关系为；如图2，当点在的右侧时，写出，，满足的数量关系_________． （2）如图3，，分别平分和，且点在左侧． ①若，则的度数为______； ②猜想与的数量关系，并说明理由； ③如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，以此类推，则与满足怎样的数量关系？（直接写出结果） 【答案】（1）；（2）①130°；②，见解析；③∠EPF+22023∠EQ2023F＝360° 【分析】（1）过点P作PHAB，利用平行线的性质即可求解； （2）根据（1）的结论结合角平分线的定义，平角的定义，运用整体思想即可求解． 【详解】解：（1）如图2，当点P在EF的右侧时，过点P作PMAB，则PMCD， ∴∠AEP+∠EPM＝180°，∠PFC+∠MPF＝180°，∴∠AEP+∠EPM+∠PFC+∠MPF＝360°， 即：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；故答案为：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°； （2）①由（1）得：∠DFQ+∠BEQ＝∠EQF，∠PEA+∠PFC＝∠EPF， ∵∠EPF＝100°，∴∠PEA+∠PFC＝100°， ∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，∴∠DFP＝2∠DFQ，∠BEP＝2∠BEQ， ∵∠PFC+∠DFP＝180°，∠PEA+∠BEP＝180°，∴∠PFC+2∠DFQ＝180°，∠PEA+2∠BEQ＝180°， ∴∠PFC+2∠DFQ＋∠PEA+2∠BEQ＝360°，∴100°+2∠DFQ＋2∠BEQ＝360°， ∴∠DFQ+∠BEQ＝130°，∴∠EQF＝∠DFQ+∠BEQ＝130°，故答案为：130°； ②∠EPF+2∠EQF＝360°，理由如下： ∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，∴∠DFP＝2∠DFQ，∠BEP＝2∠BEQ， ∵∠PFC+∠DFP＝180°，∠PEA+∠BEP＝180°，∴∠PFC+2∠DFQ＝180°，∠PEA+2∠BEQ＝180°， ∴∠PFC+2∠DFQ＋∠PEA+2∠BEQ＝360°，∴∠PFC＋∠PEA +2(∠DFQ +∠BEQ)＝360°， ∵由（1）得：∠DFQ+∠BEQ＝∠EQF，∠PEA+∠PFC＝∠EPF， ∴∠EPF +2∠EQF＝360°； ③∵Q1E，Q1F分别平分∠QEB和∠QFD，∴∠DFP＝2∠DFQ＝22∠DFQ1，∠BEP＝2∠BEQ＝22∠BEQ1， ∵∠PFC+∠DFP＝180°，∠PEA+∠BEP＝180°，∴∠PFC+22∠DFQ1＝180°，∠PEA+22∠BEQ1＝180°， ∴∠PFC+22∠DFQ1＋∠PEA+22∠BEQ1＝360°，∴∠PFC＋∠PEA +22(∠DFQ1 +∠BEQ1)＝360°， ∵由（1）得：∠DFQ1+∠BEQ1＝∠EQ1F，∠PEA+∠PFC＝∠EPF，∴∠EPF +22∠EQ1F＝360°； 同理可得：∠EPF +23∠EQ2F＝360°，∠EPF +24∠EQ3F＝360°，……∴∠EPF+22023∠EQ2023F＝360°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理及推论，角平分线的定义等知识点，作辅助线后能求出各个角的度数，利用整体思想解决第（2）问是解此题的关键． 4 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$