2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册综合测试B卷

必修第一册综合测试B卷 一、单选题 1．已知集合，则 A． B． C． D． 2．点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．在平面直角坐标系中，角a的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则=（    ） A． B． C． D． 4．已知函数f（x）=x+tanx+1，若f（a）=2，则f（﹣a）的值为 A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．3 5．已知奇函数在上单调递增的，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D．． 6．已知函数在区间上单调递增，且在区间上有且仅有一解，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 7．下列函数在定义域中既是奇函数又是增函数的是 A． B． C． D． 8．已知函数，，若对任意，总存在，使得成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．有关函数，下列说法正确的是（    ） A．是奇函数 B．最小值为4 C．当时， D．函数有两个零点 10．在同一直角坐标系中，函数与且a≠1)的大致图象如图所示，则下列数中可能是实数a的取值的有（    ） A． B． C． D． 11．“”的充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知，若，则的范围是 . 13．已知函数，则的解集为 . 14．水池有两个相同的进水口和一个出水口，每个口进出水的速度如图甲、乙所示，某天0时到6时该水池的蓄水量如图丙所示，给出以下3个论断： ①0时到3时只进水不出水； ②3时到4时不进水只出水； ③4时到5时不进水也不出水. 则一定正确的论断是 (填序号). 四、解答题 15．已知函数. (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求的取值范围. 16．如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． (1)证明糖水不等式； (2)已知a，b，c是三角形的三边，求证：． 17．（1）； （2）. 18．已知函数，． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)求方程在内的所有实数根之和． 19．已知一次函数是R上的减函数，，且． （1）求函数的解析式； （2）当时，有最大值2，求实数m的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 必修第一册综合测试B卷参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D C B A D D D C AD BC CD 1．D 【分析】先化简集合，求出的补集，再根据并集的概念，即可求出结果. 【详解】或，， 又，. 故选D 【点睛】本题主要考查集合的混合运算，熟记并集与补集的概念即可，属于基础题型. 2．C 【分析】利用诱导公式可得，从而可得结果. 【详解】，为第三象限角， ， 在第三象限. 故选：C. 3．B 【解析】由任意角的三角函数的定义求出，再由诱导公式求出． 【详解】∵角a终边过点， ∴ ∴， 故． 故选：B． 【点睛】(1) 三角函数值的大小与点P（x,y）在终边上的位置无关，严格代入定义式子就可以求出对应三角函数值； (2) 当角的终边在直线上时，或终边上的点带参数必要时，要对参数进行讨论． 4．A 【详解】试题分析：先求出a+tana=1，由此能求出f（﹣a）的值． 解：∵函数f（x）=x+tanx+1，f（a）=2， ∴f（a）=a+tana+1=2，∴a+tana=1， ∴f（﹣a）=﹣a﹣tana+1=﹣1+1=0． 故选A． 考点：函数的值． 5．D 【分析】根据奇函数的单调性的性质，结合奇函数的定义进行求解即可. 【详解】因为奇函数在上单调递增的，且， 所以奇函数在上单调递增的，且，所以有： （1）当时，因为，所以当时，，当时，， 当时，由， 当时，由，所以， （2）当时，因为，所以当时，，当时，， 因此由， 综上所述：由， 故选：D 6．D 【分析】求出函数的增区间，然后由已知得出的一个范围，然后由再由方程在区间上有且仅有一解，结合正弦函数的最大值点求得的另一个范围，两者结合可得结论． 【详解】因为，令，， 即，， 所以函数的单调递增区间为，， 又因为函数在上单调递增， 所以，得，且， 又因为， 所以，又在区间上有唯一的实数解， 所以，且，可得. 综上，． 故选：D. 7．D 【详解】对于，即不是奇函数，又不是偶函数，不合题意；对于是偶函数，不合题意； 对于是奇函数，在定义域内递减，不合题意；对于是奇函数且递增，合题意，故选D. 8．C 【分析】若对任意，总存在，使得成立，等价于，利用函数的单调性求得在固定区间的最值，即可求得参数范围. 【详解】若对任意，总存在， 使得成立，即， 又在上单调递减， 所以． 且在上单调递减，在上单调递增， 又，， 所以，所以，解得， 即的取值范围是． 故选：C 9．AD 【分析】利用奇函数定义判断A，利用基本不等式求解判断BC，零点个数转化为方程根的个数判断D. 【详解】对于A，因为的定义域为，则定义域关于原点对称， 又，所以为奇函数，正确； 对于B，当时，则，当且仅当时， 即时，等号成立， 当时，，当且仅当， 即时，等号成立，所以的值域为，错误； 对于C，当时，，当且仅当时， 即时，等号成立，错误； 对于D，函数的零点即方程的根，即的根， 因为，所以方程有两个根， 所以函数有两个零点，正确； 故选：AD 10．BC 【解析】结合图像中的处的函数值关系，得到参数a的范围，从而得到选项. 【详解】由图象可知，则. 故选：BC. 11．CD 【分析】根据充分、必要性的定义判断“”的充分不必要条件. 【详解】由充分、必要性的定义：、是的必要不充分条件，、是的充分不必要条件. 故选：CD 12． 【分析】表示出N中不等式的解集，根据M与N交集不为空集，即可确定出a的范围． 【详解】集合，，则,解得： 故填. 【点睛】本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 13． 【分析】由题意求出函数的定义域，证明函数为奇函数，并且在定义域内为增函数，然后对不等式，变形为，结合定义域，利用增函数得到不等式组，解得答案. 【详解】由，解得， 又，故为奇函数， 因为，对任意， 有，所以， 即， 则， 故， 即，故在上为增函数， 由可得， 则，解得或， 即不等式的解集为. 故答案为：. 14．① 【分析】根据图表中数据，逐一分析①②③，即可得答案. 【详解】由甲、乙图可得进水速度为1，出水速度为2，结合丙图中0时到3时直线的斜率为2，即水量增加速度为2， 只进水不出水时，蓄水量增加的速度是2，故①正确； 不进只出水时，蓄水量减少的速度为2，3时到4时，减少速度为1，故②不正确； 4时到5时速度为0，若两个进水，一个出水时，蓄水量减少的速度也是0，故③不正确. 故答案为：① 15．(1) (2) 【分析】（1）借助换元法，令，可得，结合二次函数单调性计算即可得； （2）借助换元法，令，可得对于恒成立，参变分离后可得对于恒成立，借助对勾函数性质计算即可得. 【详解】（1）令，当时，， ， 由函数在上单调递减， 则， ， 故当时，求该函数的值域为； （2）由可得， 即对于恒成立， 当时，，恒成立； 当时，， 又在上单调递减，故， 故，即； 综上所述：. 16．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由作差法证明； （2）由糖水不等式变形证明． 【详解】（1）， 因为，所以， 所以，即． （2）因为是三角形的三边，所以， 由（1）知， 同理， 所以， 又， 所以 所以原不等式成立． 17．（1）109 （2）1 【分析】（1）利用指数的公式化简求值即可. （2）利用指数和对数的运算性质化简计算即可. 【详解】（1） （2）. 【点睛】本题考查指数、对数的化简求值，考查指数、对数的运算公式，考查学生的计算能力，属于基础题. 18．(1)最小正周期为，增区间为 (2) 【分析】（1）利用三角恒等化简函数解析式为，利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期，解不等式可得出函数的增区间； （2），数形结合可知函数与函数在上的图象有个交点，利用对称性可求得这个交点横坐标之和，进而可求得方程在内的所有实数根之和. 【详解】（1）解： ， 所以，函数的最小正周期为， 由得， 所以，函数的单调递增区间为. （2）解：当时，，令， 作出函数与函数在上的图象如下图所示： 可知函数与函数在上的图象有个交点， 设这四个交点的横坐标由小到大依次为、、、，设， 故方程在内有四个不等的实根、、、， 由图可知，点、关于直线对称，点、关于直线对称， 所以，， 解得. 19．（1）；（2）或． 【解析】（1）设．代入，可得解析式； （2）根据二次函数的对称轴分类讨论求最大值，由最大值为2可求得． 【详解】【解】（1）∵是R上的减函数， ∴设．故， ∴，解得或 又，得，∴ （2）由（1）知，则对称轴， ①当时，即时，解得，符合； ②当时，即时，，得或； 由故， 由①②可得或． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，考查二次函数的最值问题．二次函数是高中数学的重要内容之一，掌握二次函数的图象与性质是解题基础． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$