专题03 特殊的平行四边形中的最值模型之将军饮马、遛马、过桥模型-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）

专题03 特殊的平行四边形中的最值模型之将军饮马、遛马、过桥模型 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。 将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马（即将军遛马、造桥或过桥），主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就特殊的平行四边形背景下的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值） 1 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值） 5 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型） 10 模型4.将军遛马、造桥（过桥）模型 15 23 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 例1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，平行四边形，，，点为上一动点，则的最小值为 【答案】10 【详解】如图：作点A关于的对称点，连接交于点P，即为最小值， ，，， ，，∴，， ，，在中，， 点A和点关于轴对称，， 四边形是平行四边形，，， ，故答案为：10． 变式1．（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期中）如图，在矩形中，，动点 P满足，则点 P到A、B两点距离之和的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，作于，∴， ∵，∴，解得，， ∴在距离为2的直线上运动， 如图，作关于直线的对称点，连接，， 由轴对称的性质可得，，，∴， ∴当三点共线时，最小，为， 由勾股定理得，，故答案为：． 变式2．（23-24八年级下·河南漯河·期中）如图，已知菱形的周长为8，面积为，E为的中点，若P为对角线上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，过点C作于H，取中点F，连接， ∵菱形的周长为8，∴，∵菱形的面积为，∴， ∴，∴，∵点F为的中点，∴， ∴是等边三角形，∴；如图所示，连接，则是等边三角形， ∵E为的中点，∴，∴点E与点H重合，∴， 由菱形的对称性可得，， ∴当点，，在同一直线上时，的最小值为的长， 的最小值为，故答案为：． 变式3．（23-24八年级下·广东惠州·期中）如图，在正方形中，，点在边上，且，点是对角线上的动点，则的最小值是 ． 【答案】10 【详解】解：连接，交于，连接，如图， 四边形是正方形，，，点B与点D关于对称， ∴，当点在处时，最小，最小值的长， ，，， 的最小值为10，故答案为：10． 变式4．（2023·湖北十堰·模拟预测）如图，正方形的边长为1，的平分线交于点E．若点P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：作关于的对称点，再过作于， ，，，，， 是关于的对称点，，即为的最小值， 四边形是正方形，，， 在△中，，，， ，即的最小值为．故答案为：． 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。 模型（1）：点A、B在直线m同侧： 模型（2）：点A、B在直线m异侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。 当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’， 当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。 例1．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，菱形的边长是10，，交于点，点P为直线上一点，点P与点关于对称，为中点，连接、，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称最短路线，菱形的性质，勾股定理，解题的关键是能正确作出辅助线； 分别取的中点为，连接，点A关于的对称点，连接，三角形三边关系可得：，当P、、在同一直线上时，有最大值，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：四边形是菱形，是菱形的一条对称轴， 取的中点为，则与F关于对称，连接 取点A关于的对称点，连接 在中，由三角形三边关系可得：， ，，， 当P、、在同一直线上时，有最大值连接交于点O， ，，∴ 过点作交于点N，如图所示： 则四边形为矩形，，，， ，， 在中，由勾股定理可得：， 的最大值为，故答案为：． 例1．（2024·陕西渭南·二模）如图，在菱形中，为边中点，而点在边上，为对角线所在直线上一动点，已知，，且，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，取的中点，连接，四边形是菱形 在和中 连接 当共线时，最大，图中处 作于 ．即的最大值为． 变式1．（2023春·湖南永州·八年级统考期中）如图，在矩形中，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最大值为____________，的最小值为__________． 【答案】 【详解】解：①连接并延长交于点Q，则这个点Q满足使的值最大，最大值为的长度， ∵四边形是矩形，∴，，∴， ∵点O是的中点，∴， 又∵，∴，∴，， ∵，∴，过点P作于点P， ∵，∴四边形是矩形， ∴，，∴， ∴，∴； ②过点O作关于的对称点，连接交于点Q，的值最小， 的最小值为的长度，延长交于点G， ∵，点O是的中点，∴， ∴，，∴，， ∴，∴的最小值为：，故答案为：；． 变式2．（2022·河南南阳·一模）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P为直线CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为____． 【答案】6 【详解】如图，作A关于的对称点，连接并延长交延长线于点P，则点P就是使的值最大的点，，连接，∵为等腰直角三角形，， ∴，，∵，∴，∵点A与A′关于CD对称， ∴CD⊥AA′，，，∴， ∵AC=BC，∴，，∴， ∵，∴，∴是等边三角形，∴．故答案为：6 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型） 模型（1）：两定点+两动点 条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）；内外侧各一点（图1-2）；两个点都在内侧（图1-3） 图1-1 图1-1 图1-1 图2 模型（2）：一定点+两动点 条件：如图2，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 图1-1 图1-1 图1-1 图2 模型（1-1）（两点都在直线外侧型） 如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（1-2）（直线内外侧各一点型） 如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（1-3）（两点都在直线内侧型） 如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 模型（2）：如图（2），作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 例1．（23-24八年级下·广西南宁·期中）【问题提出】（1）为了探索代数式的最小值，老师进行了如下引导，如图1，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接．已知，设． ①则　　，　　.(用含x的代数式表示)． ②如图2，过点E作交的延长线于F，构造矩形，连接，此时A、C、E三点共线，的值最小，则的最小值=　　． 【迁移应用】（2）如图3，正方形中，点E在边上，点G在边上，且．已知，求的最小值． 【答案】（1）①　，；② 10；（2） 【详解】解：（1）①， 由勾股定理得：，；故答案为：　，； ②矩形中，， ，故答案为：10； （2）过点E作于点H，如图， ∵四边形为正方形，∴， ∵，∴四边形为矩形，∴，∴， ∵，∴，∵，∴． 在和中，，∴，∴ ， 如图，作点A关于的对称点，作点F关于的对称点，过作于K，连接， ∴，，∴， 则当三点共线时，最小，∴， ∴，即的最小值为． 变式1．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，在▱中，，，，对角线、相交于点，点、分别是边、上的点，连接、、． （1）点到直线的距离是 ；（2）周长的最小值是 ． 【答案】 3 【详解】解：（1）如图：过点作的垂线，交延长线于点， ∵四边形是平行四边形，∴， ，，∴ ，，∴点到直线的距离是3；故答案为：3； （2）如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，，， 则长为周长的最小值；由（1）知，在中，，， ，， 由对称性可知，，，是等腰三角形， 又，，， ∴周长的最小值；故答案为：. 变式2．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，菱形中，，，点为边上任意一点（不包括端点），连结，过点作，交边于点，点线段上的一点． (1)若点为菱形对角线的交点，为的中位线，求的值； (2)当的值最小时，请确定点的位置，并求出的最小值；(3)当的值最小，且的值最小时，在备用图中作出此时点，的位置，写作法并写出的最小值． 【答案】(1)4 (2)当点为中点，点关于对称的点与点坐在直线垂直于时，有最小值(3)6 【详解】（1）解：四边形是菱形，，， ，，则， 均为等边三角形，， 点为菱形对角线的交点，点为的中点，连接，， 为的中位线，，也为的中位线，则，，； （2）由（1）可知，均为等边三角形， 则，， ，，为等边三角形，，， 由菱形性质可知，与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，，连接，交于点，过点作垂直于的直线交于，交于， ，，又，， ，点为中点， ，，， ，由勾股定理得，，，， ，， 当，，三点在同一直线上，且与重合时取等号， 即当点与点重合（点为中点），与重合时取等号， 综上，当点为中点，点关于对称的点与点坐在直线垂直于时，有最小值． （3）同（2），与关于对称，在上，取点对应点，连接，则，连接 交于点，由（2）可得点为中点， 作关于对称的线段，取点的对应点，连接，则， 为等边三角形，，由对称可知：， 则，当，，，在同一条直线上时取等号，此时点为中点，，则， 过点（点），且，可知，为等边三角形， ，，， 即，，分别为，，的中点，此时，作图，如下： 作法：取的中点为，作交于；综上，的最小值为． 模型4.将军遛马、造桥（过桥）模型 模型（1）：将军遛马模型：已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。 点A、B在直线m异侧（图1-1）；点A、B在直线m同侧 （图1-2）； 图1-1 图1-2 图2 模型（2）：将军造桥（过桥）模型 已知，如图2，将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最小）。 将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB， 再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB. 图1-1 图1-2 图2 将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A点作AE∥m,且AE=PQ，作B关于m的对称点B’，连接B’E，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB， 根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’， 再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。 将军造桥（过桥）模型：如图2，过A点作AA’∥MN，且AA’=MN，连接A’B， ∵AA’∥MN，且AA’=MN ∴四边形APQC为平行四边形，故AM=A’N， ∵MN为定值，∴求AM+MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN。 再利用“两点之间线段最短”，可得AM+NB的最小值为A’B，故AM+MN+NB的最小值=A’B+MN。 例1．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，已知菱形的边长为2，，E为的中点，M、N是对角线上的两个动点，且，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：取边、的中点F、G，连接交于N，连接，，，如图， ∵菱形， F为的中点，G为的中点，∴F与G关于对称， ∴，此时最小， 又∵E为的中点，∴， ∵∴，，∴四边形为平行四边形， ∴∴∴此时， 最小，最小值等于， ∵菱形，∴，，∴是等边三角形， ∵G为的中点，∴，∴∴∴ ∴∴的最小值为．故答案为：． 变式1．（23-24八年级下·江苏连云港·期中）如图，菱形的的边长为3，，对角线上有两个动点、（点在点的左侧），若，则的最小值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：如图，连接交于点，作，使得，连接，， 则四边形是平行四边形，， ，的最小值为的长， 四边形是菱形，，， ，，是等边三角形，， ，，在中，． 的最小值为．故选：A． 变式2．（2023秋·河南南阳·九年级校联考期末）如图，在边长为的正方形中将沿射线平移，得到，连接、．求的最小值为______． 【答案】 【详解】如图，将△ABC沿射线CA平移到△AB′C′的位置，连接C′E、AE、DE， ∵AB∥GE∥DC且AB=GE=DC，∴四边形ABGE和四边形EGCD均为平行四边形， ∴AE∥BG，CG=DE，∴AE⊥CC′，由作图易得，点C与点C′关于AE对称，C′E=CE， 又∵CG=DE，∴EC+GC=C′E+ED，当点C′、E、D在同一直线时，C′E+ED最小， 此时，在Rt△C′D′E中，C′B′=4，B′D=4+4=8， C′D=， 即EC+GC的最小值为，故答案为：． 变式3．（2023·黑龙江牡丹江·校考模拟预测）如图，在等腰直角三角形中，，，线段在斜边上运动，且．连接，．则周长的最小值是______． 【答案】/ 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接、，过点作，且点在上方，，连接交于点，取，连接，． ，．，， ∴四边形为平行四边形，． ，，三点共线，此时的周长最小． ，，即，， 周长的最小值为：．故答案为：． 例2．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，中，，，，，；垂足分别为点F和E．点G和H分别是和上的动点，，那么的最小值为______．    【答案】 【详解】解：如图，过点E作交于点I，连接．      ∵中，，，∴，∴， ∴，．∵，，∴． ∵，∴四边形为平行四边形，∴．同理可得出． ∵，，∴四边形为平行四边形， ∴，∴四边形为平行四边形，   ∴，∴，∴当最小时，最小． ∵当点I，H，C三点共线时，最小，∴此时最小，如图， ∵，∴．∵∴四边形为平行四边形，∴，， ∵，，∴，∴，∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 变式1．（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）如图，在中，，，M、N分别是、边上的动点，且，则的最小值是________．    【答案】 【详解】作交于点E，在取，连接，延长至点，使，连接，作于点，如下图：    ，，为等边三角形，， ，，四边形为平行四边形， 同理得四边形与四边形为平行四边形， ，，， ， 中，， 中， ，的最小值是． 变式2．（23-24八年级下·广东深圳·期末）【综合实践活动】 【问题背景】如图，，表示两个村庄，要在，一侧的河岸边建造一个抽水站，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站应该修建在什么位置？ 【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题： 如图，，是直线同侧的两个点，点在直线上．在何处时，的值最小． 画图：如图，作关于直线的对称点，连结与直线交于点，点的位置即为所求． 证明：和关于直线对称 直线垂直平分 ________， 根据“________”（填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一列条直线．）可得最小值为________（填线段名称），此时P点是线段和直线的交点． 【问题拓展】如图4，村庄的某物流公司在河的对岸有一个仓库（河流两侧河岸平行，即），为了方便渡河，需要在河上修建一座桥（桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直），请问桥修建在何处才能使得到的路线最短？请你画出此时桥的位置（保留画图痕迹，否则不给分）． 【迁移应用】光明区某湿地公园如图5所示，四边形为花海景区，，米，米，长方形为人工湖景区，为了方便市民观景，公园决定修建一条步行观光路线（折线），为起点，终点在上，米，为湖边观景台，长度固定不变米），且需要修建在湖边所在直线上，步行观光路线的长度会随着观景台位置的变化而变化，请直接写出步行观光路线的最短长度． 【答案】【数学建模】， ① ，；【问题拓展】见解析【迁移应用】米 【详解】，①，；解：【问题拓展】桥修建在如图所示的位置才能使得到的路线最短； 解：【迁移应用】如图所示，过作，使得，作关于直线对称点，延长交于，连接交直线于，此时使得最短， ∵，，∴四边形是平行四边形，∴， ∵关于直线对称点，∴，，, ∴， 在△中，由勾股定理得， ∴， 故步行观光路线的最短长度为米． 1．（2024·山东泰安·二模）如图，在矩形中，，，点E是边的点，，点F是线段上一点，连接，以为直角边作等腰直角，为斜边，连接，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点G作于H，则，； 四边形是矩形，， ，，； ，，； 取中点O，连接，则，，四边形是平行四边形， ，四边形是矩形，，则点G在直线上运动； 连接，则垂直平分，，， 当三点共线时最小，从而最小，， 则由勾股定理，即的最小值为．故选：B． 2．（23-24八年级下·江苏徐州·阶段练习）如图正方形的面积为，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一动点，要使最小，则这个最小值为（   ） A．6 B．3 C． D． 【答案】A 【详解】解：设与交于点，连接、． 点与关于对称，，，∴当最小时，最小， ∵两点之间线段最短，∴当点P在点时，，即最小，∴的最小值为的长， 正方形的面积为36，，又是等边三角形，．故选：A． 3．（23-24八年级下·山东威海·期中）如图，点是菱形对角线上一动点，，，点，分别是边，的中点，则周长的最小值是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，作点关于的对称点，连接交于，此时有最小值，最小值为的长．菱形关于对称，是边上的中点，是的中点， 又是边上的中点，， ，四边形是平行四边形， ， ，即的最小值为， 连结，过点作，垂足为点， 在中，， ，的周长最小值是．故选：D． 4．（2024·山东聊城·三模）如图，四边形是矩形，点是边上任意一点（不与点A，D重合），连接，．点E，F分别是，的中点，连接，，，过点F作，交于点H．若，，则的最小值是（    ） A．5 B．8 C．10 D．13 【答案】B 【详解】解：∵四边形是矩形，，∴设，， ∵，∴，解得，∴，， ∵四边形是矩形，∴， ∵点E，F分别是，的中点，∴，∴，，， ∵，，∴四边形是平行四边形，∴， ∴， 延长到，使，连接交于点， 此时有最小值，∴， ∴的最小值是，故选：B． 5．（2023·广西·二模）已知，在河的两岸有A，B两个村庄，河宽为4千米，A、B两村庄的直线距离AB＝10千米，A、B两村庄到河岸的距离分别为1千米、3千米，计划在河上修建一座桥MN垂直于两岸，M点为靠近A村庄的河岸上一点，则AM+BN的最小值为(   ) A．2 B．1+3 C．3+ D． 【答案】A 【详解】解：如图，作BB'垂直于河岸，使BB′等于河宽，连接AB′，与靠近A的河岸相交于M，作MN垂直于另一条河岸，则MN∥BB′且MN＝BB′，于是MNBB′为平行四边形，故MB′＝BN． 根据“两点之间线段最短”，AB′最短，即AM+BN最短． ∵AB＝10千米，BC＝1+3+4＝8千米，∴在RT△ABC中，， 在RT△AB′C中，B′C＝1+3＝4千米，∴AB′＝千米；故选A． 6．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在正方形中，对角线与交于点，，是的中点，是对角线上的一条动线段，若的最大值为，则的长为 ． 【答案】1 【详解】解：如图，过点作的平行线，过点作的平行线，两平行线交于点，取关于的对称点，连接，，， ∵，，∴四边形是平行四边形，∴，， ∵关于的对称点是，是的中点，∴是的中点，即 在中，，∴， 当点运动到与点，在一条直线上的时候，即取到最大值，即， ∵，，∴，∴在中，，∴，∴．故答案为：1． 7．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知菱形的边长为4，，E为的中点，若P为对角线上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接，，，交于， 四边形是菱形，，，， ，，， ，，是等边三角形， 又是的中点，菱形的边长为， ，，，中，， 当点，，在同一直线上时，即点在点处时，的最小值为的长， 的最小值为，故答案为：． 8．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在矩形中，，，E是边上一点，，F是直线上一动点，将线绕点E逆时针旋转得到线段，连接，，则的周长最小值是 ． 【答案】18 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，并延长交于， ，，，将线绕点逆时针旋转得到线段，，， 将绕点逆时针旋转得到，，， ， 在和中，，， ，，点在过点且垂直的直线上运动， 作点关于直线的对称点，连接，则的最小值为的长， ，，四边形是矩形， ，，，， 的最小值为13，∴周长最小值为，故答案为：18． 9．（2024·江苏南通·二模）如图，在四边形中，，，．作，垂足为点M，连接，若，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过D作的平行线，过A作的平行线，两平行线交于点E， 即，四边形是平行四边形； ，四边形是矩形，，，； 连接，则当点M与的交点重合时，最小，从而最小，且最小值为线段的长；过C作，交延长线于点F，则， 四边形是矩形，，，； 在中，由勾股定理得，最小值为．故答案：． 10．（2024·陕西宝鸡·二模）如图，点是矩形的对称中心，点，分别在边，上，且经过点，，，，点是边上一动点．则周长的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，作关于的对称点，连接，交于，连接，    ，的最小值为，周长的最小值为， 作于，于，，， 点是矩形的对称中心，经过点， ∵，，，，， ，，，周长的最小值为． 11．（23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，在矩形中，，，E，F，G，H四点分别在长方形的各边上，且，，则四边形周长的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，作点E关于的对称点，连接交于点F，此时四边形周长取最小值，过点G作于点，    由轴对称的性质可知，，， 四边形是矩形，，，， ，，，， 在和中，，， ，同理可证，，， ，，四边形是矩形，，， ，，，，   ，， 四边形周长为， 即四边形周长的最小值为26，故答案为：26． 12．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，四边形中，，，，，，点为直线左侧平面上一点，的面积为，则的最大值为______ ． 【答案】5 【详解】解：如图，过点作于．，，， 过点作直线，作点关于直线的对称点，连接交直线于，此时的值最大，即的值最大，最大值为线段的长，过点作于． ，四边形是矩形，，， ，，， 的最大值为．故答案为：． 13．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在边长为8的菱形中，，为上方一点，且，则周长的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】解：过A作于E， ∵，四边形是菱形，∴， ∴，∴ ∴， 设点P到的距离为h，∴ ，即点P在平行于且到的距离为2的直线l上， 作点B关于直线l的对称点G，连接交直线l于点P，则此时，的值最小，最小值为的长， ∵，∴，∴， ∴，∴最小值为，∴周长的最小值为 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称—最短路线问题，菱形的性质，解直角三角形，勾股定理，正确作出辅助线确定点P的运动轨迹是解题的关键． 14．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）数学课本上有一题：如图1，四边形是正方形，点是的中点，，且交正方形外角平分线于点．求证． (1)课本中给出证法提示：取的中点，连接．请你在图1中补全图形．证明结论； (2)若点为边上一动点（点不重合），是等腰直角三角形，． ①如图2，连接，请你求出的大小； ②如图3，连接，当时，请你求出周长的最小值． 【答案】(1)见解析(2)①；② 【详解】（1）证明：如图，取的中点，连接， 四边形是正方形，分别为的中点， ，，，， 平分的外角，，，， ，，，， ，； （2）解：①在上取，连接，由（1）同理可得， ，，， ，，， ，，； ②连接，作，交的延长线于，交于，连接， 由①知，，，是等腰直角三角形，点与关于对称， ∴，∴ ∴当 三点共线时，有最小值，最小值为的长， ，，由勾股定理得， 周长的最小值为． 15．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，在菱形中，，，将向右平移得到（点在线段AC上），连接，，.在平移过程中， （1）若四边形是矩形，则 .（2）的最小值为 . 【答案】 【详解】解：（1）连接交于点，如图所示： 在菱形中，，，，，， 在中，，则， 将向右平移得到（点在线段上），， 若四边形是矩形，则，， 在中，，则，， 故答案为：； （2）连接，延长到，使，如图所示： 将向右平移得到（点在线段上）， ，，是平行四边形，， 在菱形中，由菱形对称性得到，， ，则当、、三点共线时，有最小值为， ，，是等边三角形，，， 是的一个外角，，， 在中，，，则， 的最小值为，故答案为：． 16．（2024·江苏扬州·一模）如图，正方形的边长为8，是的中点，是上的动点，过点作分别交，于点，．当取最小值时，则的长是 ． 【答案】/ 【详解】解：过作于，则，， 正方形的边长为8，，， 是的中点，，， ，，，，， 将沿方向平移至，连接，则，，， 当、、三点共线时，的值最小， 此时， ，．故答案为：． 17．（23-24八年级下·广东东莞·期中）如图，在矩形中，，点E，F分别是上的动点，，连接，则的最小值是 ． 【答案】5 【详解】解：连接，作点关于的对称点，连接，，如图所示： 则，，在矩形中，，， ，四边形是平行四边形，，四边形是矩形， ，的最小值等于的最小值，即的长度， ，，，根据勾股定理，得， 的最小值为5，故答案为：5 18．（2023·陕西西安·校考二模）如图，矩形中，，，点E是的中点，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为___________． 【答案】/ 【详解】解：作E关于的对称点，在上截取，连接，，， 则，∵四边形是矩形，∴，，，∴， ∵，∴四边形是平行四边形，∴，∴， ∵，E为的中点，∴， 由勾股定理得，即的最小值为．故答案为：． 19．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）已知，如图，为坐标原点，四边形为矩形，，，点是的中点，动点在线段上以每秒2个单位长的速度由点向运动. 设动点的运动时间为秒．(1)当为何值时，四边形是平行四边形；(2)在直线上是否存在一点，使得四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在线段上有一点且，直接写出四边形的周长的最小值 ，并在图上画图标出点的位置，    【答案】(1)(2)时，；时，；时， (3)；点的位置见解析 【详解】（1）解：四边形为矩形，，，，， 点是的中点，，由运动知，，， 四边形是平行四边形，，，； （2）解：①当点在的右边时，如图1， 四边形为菱形，， 在中，由勾股定理得：，，， ∵，； ②当点在的左边且在线段上时，如图2，四边形为菱形，， 在中，由勾股定理得：， ∴，，，∵，； ③当点在的左边且在的延长线上时，如图3， 四边形为菱形，， 在中，由勾股定理得：， ∴，，，∵，； 综上所述，时，；时，；时，； （3）解：如图，由知，，，， ∵，四边形是平行四边形，， 四边形的周长为， 最小时，四边形的周长最小， 作点A关于的对称点，连接交于，∴，∴， ∵两点之间线段最短，∴此时最小，即最小， ∵，∴的最小值为， ∴四边形的周长最小值为． 20．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）在矩形中， E、F是直线上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒 (1)如图1，M、N分别是中点，当 s时，四边形是矩形． (2)若在点E、F运动的同时，点G以每秒1个单位长度的速度从A出发，沿折线运动，点H以每秒1个单位长度的速度从C出发，沿折线运动． ①如图2，作的垂直平分线交于点P、Q，当四边形的面积是矩形面积的一半时，求t值；②如图3，在异于G、H所在矩形边上取P、Q，使得，顺次连接P、G、Q、H，则四边形周长的最小值是 ． 【答案】(1)或(2)①，②10 【详解】（1）解：如图，连接， 四边形是矩形，，，， 、分别是，中点，，， 、是直线上的两个动点，分别从，同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度， ，，，， ，，四边形为平行四边形，当时，四边形为矩形， ，，四边形是平行四边形， ，四边形是矩形，，在中，， 或，解得：或， 综上所述，当或时，四边形是矩形；故答案为：或； （2）解：①如图2，连接，垂直平分，， 在中，即，解得：， ，根据题意得：，， 四边形是矩形，，，， ，，，，， ，，，，，， 四边形是平行四边形，，四边形的面积是矩形面积的一半， ，， ，，解得：； ②如图3，作点关于的对称点，过点作于，连接，，则，，， ∵在点E、F运动的同时，点G以每秒1个单位长度的速度从A出发，沿折线运动，点H以每秒1个单位长度的速度从C出发，沿折线运动∴ ，， 四边形是矩形，，，∴ 、是直线上的两个动点，分别从，同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度， ，∵，， ，，，， 四边形是矩形，∴ ∵，∴∴ ∵四边形为平行四边形，四边形的周长为， 即当点，，三点共线时，四边形的周长最小，最小值为．故答案为：10． 20 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 特殊的平行四边形中的最值模型之将军饮马、遛马、过桥模型 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。 将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马（即将军遛马、造桥或过桥），主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就特殊的平行四边形背景下的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值） 1 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值） 5 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型） 10 模型4.将军遛马、造桥（过桥）模型 15 23 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 例1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，平行四边形，，，点为上一动点，则的最小值为 变式1．（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期中）如图，在矩形中，，动点 P满足，则点 P到A、B两点距离之和的最小值为 ． 变式2．（23-24八年级下·河南漯河·期中）如图，已知菱形的周长为8，面积为，E为的中点，若P为对角线上一动点，则的最小值为 ． 变式3．（23-24八年级下·广东惠州·期中）如图，在正方形中，，点在边上，且，点是对角线上的动点，则的最小值是 ． 变式4．（2023·湖北十堰·模拟预测）如图，正方形的边长为1，的平分线交于点E．若点P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。 模型（1）：点A、B在直线m同侧： 模型（2）：点A、B在直线m异侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。 当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’， 当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。 例1．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，菱形的边长是10，，交于点，点P为直线上一点，点P与点关于对称，为中点，连接、，则的最大值是 ． 例1．（2024·陕西渭南·二模）如图，在菱形中，为边中点，而点在边上，为对角线所在直线上一动点，已知，，且，则的最大值为 ． 变式1．（2023春·湖南永州·八年级统考期中）如图，在矩形中，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最大值为____________，的最小值为__________． 变式2．（2022·河南南阳·一模）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P为直线CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为____． 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型） 模型（1）：两定点+两动点 条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）；内外侧各一点（图1-2）；两个点都在内侧（图1-3） 图1-1 图1-1 图1-1 图2 模型（2）：一定点+两动点 条件：如图2，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 图1-1 图1-1 图1-1 图2 模型（1-1）（两点都在直线外侧型） 如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（1-2）（直线内外侧各一点型） 如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（1-3）（两点都在直线内侧型） 如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 模型（2）：如图（2），作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 例1．（23-24八年级下·广西南宁·期中）【问题提出】（1）为了探索代数式的最小值，老师进行了如下引导，如图1，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接．已知，设． ①则　　，　　.(用含x的代数式表示)． ②如图2，过点E作交的延长线于F，构造矩形，连接，此时A、C、E三点共线，的值最小，则的最小值=　　． 【迁移应用】（2）如图3，正方形中，点E在边上，点G在边上，且．已知，求的最小值． 变式1．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，在▱中，，，，对角线、相交于点，点、分别是边、上的点，连接、、． （1）点到直线的距离是 ；（2）周长的最小值是 ． 变式2．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，菱形中，，，点为边上任意一点（不包括端点），连结，过点作，交边于点，点线段上的一点． (1)若点为菱形对角线的交点，为的中位线，求的值； (2)当的值最小时，请确定点的位置，并求出的最小值；(3)当的值最小，且的值最小时，在备用图中作出此时点，的位置，写作法并写出的最小值． 模型4.将军遛马、造桥（过桥）模型 模型（1）：将军遛马模型：已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。 点A、B在直线m异侧（图1-1）；点A、B在直线m同侧 （图1-2）； 图1-1 图1-2 图2 模型（2）：将军造桥（过桥）模型 已知，如图2，将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最小）。 将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB， 再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB. 图1-1 图1-2 图2 将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A点作AE∥m,且AE=PQ，作B关于m的对称点B’，连接B’E，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB， 根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’， 再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。 将军造桥（过桥）模型：如图2，过A点作AA’∥MN，且AA’=MN，连接A’B， ∵AA’∥MN，且AA’=MN ∴四边形APQC为平行四边形，故AM=A’N， ∵MN为定值，∴求AM+MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN。 再利用“两点之间线段最短”，可得AM+NB的最小值为A’B，故AM+MN+NB的最小值=A’B+MN。 例1．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，已知菱形的边长为2，，E为的中点，M、N是对角线上的两个动点，且，连接，，则的最小值为 ． 变式1．（23-24八年级下·江苏连云港·期中）如图，菱形的的边长为3，，对角线上有两个动点、（点在点的左侧），若，则的最小值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 变式2．（2023秋·河南南阳·九年级校联考期末）如图，在边长为的正方形中将沿射线平移，得到，连接、．求的最小值为______． 变式3．（2023·黑龙江牡丹江·校考模拟预测）如图，在等腰直角三角形中，，，线段在斜边上运动，且．连接，．则周长的最小值是______． 例2．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，中，，，，，；垂足分别为点F和E．点G和H分别是和上的动点，，那么的最小值为______．    变式1．（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）如图，在中，，，M、N分别是、边上的动点，且，则的最小值是________．    变式2．（23-24八年级下·广东深圳·期末）【综合实践活动】 【问题背景】如图，，表示两个村庄，要在，一侧的河岸边建造一个抽水站，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站应该修建在什么位置？ 【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题： 如图，，是直线同侧的两个点，点在直线上．在何处时，的值最小． 画图：如图，作关于直线的对称点，连结与直线交于点，点的位置即为所求． 证明：和关于直线对称 直线垂直平分 ________， 根据“________”（填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一列条直线．）可得最小值为________（填线段名称），此时P点是线段和直线的交点． 【问题拓展】如图4，村庄的某物流公司在河的对岸有一个仓库（河流两侧河岸平行，即），为了方便渡河，需要在河上修建一座桥（桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直），请问桥修建在何处才能使得到的路线最短？请你画出此时桥的位置（保留画图痕迹，否则不给分）． 【迁移应用】光明区某湿地公园如图5所示，四边形为花海景区，，米，米，长方形为人工湖景区，为了方便市民观景，公园决定修建一条步行观光路线（折线），为起点，终点在上，米，为湖边观景台，长度固定不变米），且需要修建在湖边所在直线上，步行观光路线的长度会随着观景台位置的变化而变化，请直接写出步行观光路线的最短长度． 1．（2024·山东泰安·二模）如图，在矩形中，，，点E是边的点，，点F是线段上一点，连接，以为直角边作等腰直角，为斜边，连接，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 2．（23-24八年级下·江苏徐州·阶段练习）如图正方形的面积为，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一动点，要使最小，则这个最小值为（   ） A．6 B．3 C． D． 3．（23-24八年级下·山东威海·期中）如图，点是菱形对角线上一动点，，，点，分别是边，的中点，则周长的最小值是(   ) A． B． C． D． 4．（2024·山东聊城·三模）如图，四边形是矩形，点是边上任意一点（不与点A，D重合），连接，．点E，F分别是，的中点，连接，，，过点F作，交于点H．若，，则的最小值是（    ） A．5 B．8 C．10 D．13 5．（2023·广西·二模）已知，在河的两岸有A，B两个村庄，河宽为4千米，A、B两村庄的直线距离AB＝10千米，A、B两村庄到河岸的距离分别为1千米、3千米，计划在河上修建一座桥MN垂直于两岸，M点为靠近A村庄的河岸上一点，则AM+BN的最小值为(   ) A．2 B．1+3 C．3+ D． 6．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在正方形中，对角线与交于点，，是的中点，是对角线上的一条动线段，若的最大值为，则的长为 ． 7．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知菱形的边长为4，，E为的中点，若P为对角线上一动点，则的最小值为 ． 8．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在矩形中，，，E是边上一点，，F是直线上一动点，将线绕点E逆时针旋转得到线段，连接，，则的周长最小值是 ． 9．（2024·江苏南通·二模）如图，在四边形中，，，．作，垂足为点M，连接，若，则的最小值为 ． 10．（2024·陕西宝鸡·二模）如图，点是矩形的对称中心，点，分别在边，上，且经过点，，，，点是边上一动点．则周长的最小值为 ． 11．（23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，在矩形中，，，E，F，G，H四点分别在长方形的各边上，且，，则四边形周长的最小值为 ． 12．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，四边形中，，，，，，点为直线左侧平面上一点，的面积为，则的最大值为______ ． 13．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在边长为8的菱形中，，为上方一点，且，则周长的最小值为 ． 14．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）数学课本上有一题：如图1，四边形是正方形，点是的中点，，且交正方形外角平分线于点．求证． (1)课本中给出证法提示：取的中点，连接．请你在图1中补全图形．证明结论； (2)若点为边上一动点（点不重合），是等腰直角三角形，． ①如图2，连接，请你求出的大小； ②如图3，连接，当时，请你求出周长的最小值． 15．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，在菱形中，，，将向右平移得到（点在线段AC上），连接，，.在平移过程中， （1）若四边形是矩形，则 .（2）的最小值为 . 16．（2024·江苏扬州·一模）如图，正方形的边长为8，是的中点，是上的动点，过点作分别交，于点，．当取最小值时，则的长是 ． 17．（23-24八年级下·广东东莞·期中）如图，在矩形中，，点E，F分别是上的动点，，连接，则的最小值是 ． 18．（2023·陕西西安·校考二模）如图，矩形中，，，点E是的中点，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为___________． 19．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）已知，如图，为坐标原点，四边形为矩形，，，点是的中点，动点在线段上以每秒2个单位长的速度由点向运动. 设动点的运动时间为秒．(1)当为何值时，四边形是平行四边形；(2)在直线上是否存在一点，使得四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在线段上有一点且，直接写出四边形的周长的最小值 ，并在图上画图标出点的位置，    20．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）在矩形中， E、F是直线上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒 (1)如图1，M、N分别是中点，当 s时，四边形是矩形． (2)若在点E、F运动的同时，点G以每秒1个单位长度的速度从A出发，沿折线运动，点H以每秒1个单位长度的速度从C出发，沿折线运动． ①如图2，作的垂直平分线交于点P、Q，当四边形的面积是矩形面积的一半时，求t值；②如图3，在异于G、H所在矩形边上取P、Q，使得，顺次连接P、G、Q、H，则四边形周长的最小值是 ． 6 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$