专题01 旋转中的三种全等模型之手拉手、半角、对角互补模型-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）

专题01 旋转中的三种全等模型之手拉手、半角、对角互补模型 本专题重点分析旋转中的三类全等模型（手拉手、半角、对角互补模型），结合各类模型展示旋转中的变与不变，并结合经典例题和专项训练深度分析基本图形和归纳主要步骤，同时规范了解题步骤，提高数学的综合解题能力。 1 模型1.旋转中的手拉手模型 1 模型2.旋转中的半角模型 6 模型3.旋转中的对角互补模型 12 18 模型1.旋转中的手拉手模型 将两个三角形（或多边形）绕着公共顶点旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等。其中：公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。 等线段，共顶点，旋转前后的图形大小，形状不发生变化，只是位置不同而已。解题是通过三角形全等进行解决。SAS型全等（核心在于导角，即等角加（减）公共角）。 1）双等边三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 2）双等腰直角三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 3）双等腰三角形型 条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。 证明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD， 又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD， 又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°， 又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 4）双正方形形型 条件：四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，C为公共点；连接BG，ED交于点N。 结论：①△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。 证明： ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴BC=AC，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90° ∴∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG，即∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS）， ∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CMB=∠DMN，∴∠BCM=∠DNM=90°， 过点C作CP⊥DE,CQ⊥BG,则∠CPD=∠CPB=90°，又∵∠CBG=∠CDE，BC=DC，∴△BCQ≌△DCP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 例1．（2023·山东济南·二模）已知AD是等边△ABC的高，AC=2，点O为直线AD上的动点(不与点A重合)，连接BO，将线段BO绕点O顺时针旋转60°，得到线段OE，连接CE、BE． (1)问题发现：如图1，当点O在线段AD上时，线段AO与CE的数量关系为　 　，∠ACE的度数是　 　． (2)问题探究：如图2，当点O在线段AD的延长线上时，(1)中结论是否还成立？请说明理由． (3)问题解决：当∠AEC=30°时，求出线段BO的长 例2．（2023·重庆·八年级期末）如图①，在中，，，点，分别在边，上，且，此时，成立． （1）将绕点逆时针旋转时，在图②中补充图形，并直接写出的长度；（2）当绕点逆时针旋转一周的过程中，与的数量关系和位置关系是否仍然成立？若成立，请你利用图③证明，若不成立请说明理由；（3）将绕点逆时针旋转一周的过程中，当，，三点在同一条直线上时，请直接写出的长度． 例3．（2022·青海·中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形. (1)问题发现：如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：； (2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.           图1   图2 例4．（23-24八年级下·河南新乡·期末）四边形是正方形，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交射线于点F，以为边作平行四边形． (1)如图1，当时，点F落在边上，小明同学观察图形，认为四边形是一种特殊的平行四边形，经过思考，他过点E作，垂足分别为M，N，通过推理证明， 得到平行四边形是___；(2)当时，点F落在的延长线上，小明的结论还成立吗，请说明理由； (3)当，且时，连接，直接写出的长． 例5．（23-24八年级下·山东济南·期末）在等腰中，，以为底角顶点作等腰，使，连接，分别以、为邻边作，连接． (1)如图1，当点在边上（不与点、重合），且点在外部时，判断中，与的数量关系为______，位置关系为______； (2)如图2，将图1中绕点逆时针旋转，当点落在线段上时，连接．求证：； (3)如图3，将绕点继续逆时针旋转，当为菱形，且在的下方时，若，，求线段的长． 例6．（24-25八年级上·广东·期中）【模型建立】（1）如图1，、为等边三角形，连接、，求证：； 【模型应用】（2）如图2，在与中，，，，B、D、E三点在一条直线上，与交于点F，若点F为中点，，求的面积； 【拓展提高】（3）如图3，在与中，，，，与交于点F，，的面积为18，求的长． 模型2.旋转中的半角模型 半角模型概念：半角模型是指是指有公共顶点，较小角等于较大角的一半，较大的角的两边相等，通过旋转，可将角进行等量转化，构造全等三角形的几何模型。 旋转的条件：具有公共端点的等线段； 旋转的方法：以公共端点为旋转中心，相等的两条线段的夹角为旋转角； 旋转的目的：将分散的条件集中，隐蔽的关系显现。 1）正方形半角模型 条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°； 结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周长=2AB； ⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 证明：将△CBE绕点C逆时针旋转90°至△CDG，即△CBE≌△CDG， ∴∠ECB=∠GCD，∠B=∠CDG=90°，BE＝DG，CE＝CG； ∵ABCD是正方形，∴∠B=∠CDF=∠BCD=90°，BA＝DA；∴∠CDG+∠CDF=180°，故F、D、G共线。 ∵∠ECF=45°，∴∠BCE+∠DCF=45°，∴∠GCD+∠DCF=∠GCF=45°，∴∠ECF=∠GCF=45°， ∵CF＝CF，∴△CEF≌△CGF，∴EF＝GF，∵GF＝DG＋DF，∴GF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋DF+AE＋AF=AB＋AD=2AB，过点C作CH⊥EF，则∠CHE=90°， ∵△CEF≌△CGF，∴CD=CH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△CBE≌△CHE， ∴∠HEC=∠CBE，同理可证：∠HFC=∠DFC，即CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 2）等腰直角三角形半角模型 条件：ABC是等腰直角三角形（∠BAC=90°，AB＝AC），∠DAE=45°； 结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG，即△BAD≌△CAG， ∴∠BAD=∠CAG，∠B=∠GCA=45°，AD＝AG，BD＝CG； ∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°，∴∠CAG+∠EAC=∠GAE=45°，∴∠DAE=∠GAE=45°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△GAE，∴ED＝EG，∵ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，∴∠ECG=90°，∴GE2＝GC2＋EC2,∴DE2＝BD2＋EC2； 3）等边三角形半角模型（120°-60°型） 条件：ABC是等边三角形，BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°； 结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋CF；④AEF的周长=2AB； ⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 证明：将△DBE绕点D顺时针旋转120°至△DCG，即△BDE≌△CDG， ∴∠EDB=∠GDC，∠DBE=∠DCG，BE＝GC，DE＝DG； ∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=60°，∴∠GDC+∠CDF=∠GDF=60°，故∠GDF=∠EDF， ∵DF＝DF，∴△EDF≌△GDF，∴EF＝GF，∵GF＝CG＋CF，∴GF＝BE＋CF，∴EF＝BE＋CF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋CF+AE＋AF=AB＋AC=2AB， 过点D作DH⊥EF，DM⊥GF，则∠DHF=∠DMF=90°， ∵△EDF≌△GDF，∴DM=DH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△DHF≌△DMF， ∴∠HFD=∠MFD，同理可证：∠BFD=∠FED，即DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 4）等边三角形半角模型（60°-30°型） 条件：ABC是等边三角形，∠EAD=30°； 结论：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°；④DE2＝(BD＋EC)2+； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转60°至△ACF，即△BAD≌△CAF， ∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠FCA=60°，AD＝AF，BD＝CF； ∵∠DAE=30°，∴∠BAD+∠EAC=30°，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=30°，∴∠DAE=∠FAE=30°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE，∴ED＝EF，∵ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ECF=120°， 过点F作FH⊥BC，∴∠FCH=60°，∠CFH=30°，∴CH=CF=BD，FH=CF=BD， ∵在直角三角形中：FE2＝FH2＋EH2,∴DE2＝(BD＋EC)2+(BD)2； 5）任意角度的半角模型（-型） 条件：∠BAC=，AB=AC，∠DAE=； 结论：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。 证明：将△ABD绕点A逆时针°至△ACF，即△BAD≌△CAF， ∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠BCA=∠FCA=90°-，AD＝AF，BD＝CF；∴∠ECF=∠BCA+∠FCA=180°-。 ∵∠BAC=，∠DAE=，∴∠BAD+∠EAC=，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=，∴∠DAE=∠FAE=， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE。 例1．（2024·湖南湘潭·一模）【问题探究】综合实践课上，老师给出这样一个问题要求同学们进行小组合作探究：如图①，在中，，点在边上，．探究图中线段之间的数量关系． 小红同学这一个学习小组探究此问题的方法是：将绕点逆时针旋转，得到，连接（如图②），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及，可证，得．即可得出之间的数量关系．（1）请你根据小红同学这一学习小组的探究方法，写出探究结论： 在图②中，______度，之间的数量关系是______． 【问题延伸】（2）小明同学这一学习小组在上述探究的基础上，又进行了如下问题的探究： 如图③，在正方形中，点分别是边上的动点，连接交于，若．请你帮小明同学这一学习小组完成如下猜想： ①线段的数量关系是______；②线段的数量关系是______； 请任选一个你的猜想说明理由． 【问题解决】（3）请根据上述探究方法，解决如下问题：如图④，已知点，点，点位于轴正半轴，，试求出点的坐标． 例2．（2023·广东·八年级期中）如图，△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点D为BC边上一点．点E为线段CD上一点，且CE＝2，AB＝，∠DAE＝60°，则DE的长为 ______． 例3．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，直线l上依次有，，，四点，且，以为边作等边，连接，；若，，则的长是 ． 例4．（2023.山东八年级期中）综合与实践（1）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝45°，则MN，AM，CN的数量关系为 　 　． （2）如图2，在四边形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，试探索线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明． （3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN＝∠ABC，试探究线段MN、AM、CN的数量关系为 　 　． 例5．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）倡导研究性学习方式，着力教材研究，习题研究，是学生跳出题海，提高学习能力和创新能力的有效途径． (1)【问题背景】已知：如图1，点E、F分别在正方形的边上，，连接，则之间存在怎样的数量关系呢？ （分析：我们把绕点A顺时针旋转至，点G、B、C在一条直线上．） 于是易证得： 和 ，所以 ． 直接应用：正方形的边长为6，，则的值为 ． (2)【变式练习】已知：如图2，在中，，D、E是斜边上两点，且，请写出之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】在（2）的条件下，当绕着点A逆时针一定角度后，点D落在线段BC上，点E落在线段BC的延长线上，如图3，此时（2）的结论是否仍然成立，并证明你的结论．        例6．（23-24八年级下·陕西西安·期中）阅读理解（1）如图1，在正方形中，若、分别是，边上的点，，则我们常会想到：把绕点顺时针旋转得到，易证______，得出线段，，之间的数量关系为______； 类比探究（2）如图2，在等边中，，为边上的点，，，，求线段的长； 拓展应用（3）如图3．在中，，，点，在边上，，若是等腰的腰长，请求出的值．    模型3.旋转中的对角互补模型 对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。 思想方法：解决此类问题常用的辅助线画法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。 1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型） 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE， 根据上述条件易证：四边形ONCM为正方形，∴∠CON＝45°，OM=ON， 又∵OD＋OE＝OM-DM+ON+NE，∴OD＋OE=OM+ON=2ON=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴ 2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型） 条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.[来源:学科网ZXXK] 结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE， ∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE，根据上述条件易证：四边形ONCM为正方形， ∴∠CON＝45°，OM=ON，又∵OE－OD＝ON+NE-（DM-OM），∴OE－OD=ON+OM=2ON=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，. 3）“等边三角形对120°模型”（1） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°， ∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。 又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴。 4）“等边三角形对120°模型”（2） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D， 结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∠AOB+∠MCN＝180°，∴∠DCE=∠MCN＝60° ∴∠DCE-∠MCE=∠MCN-∠MCE，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。 又∵OD-OE＝OM+DM-（NE-ON），∴OD-OE=ON+OM=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴。 5）“120°等腰三角形对60°模型” 条件：△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°，PA平分∠BPC。 结论：PB+PC=PA； 证明：将△PAC绕点A顺时针旋转120°至△QAB，即△PAC≌△QAB， ∴∠ACP=∠ABQ，∠CAP=∠BAQ，AP＝AQ，PC＝QB； ∵∠BAC=120°，∠BPC=60°，∴∠ACP+∠ABP=180°，∴∠ABQ+∠ABP=180°，故P、B、Q共线。 又∵∠BPC=60°，PA平分∠BPC，∴∠APQ=60°，∵AP＝AQ，∴∠AQP=60°， 根据勾股定理易证：PQ=PA，又∵PQ=PB+QB=PB+PC，∴PB+PC=PA。 例1．（2024·河南周口·模拟预测）综合与实践课上，李老师与学生一起探究了如下与“中点”有关的问题． (1)如图1，在中，，，D是的中点，E，F分别在上，且，连接．若，则______ (2)如图2，在中，，D是的中点．E，F分别在上，连接．当，请写出线段之间的数量关系，并证明． (3)如图3，在中，，，D是的中点．E为直线上一动点，连接．过点D作，交直线于点F．请直接写出当时线段的长． 例2．（23-24九年级上·辽宁盘锦·期末）在图1，图2，图3中，， (1)问题探索：如图1，当点和点在直线异侧时，猜想，，三者之间数量关系．小明想出了下面的方法，延长到点，使得，连接，由于，证得，从而，且，所以，得到等腰直角，则小明得到线段，，之间的数量关系为 (2)问题解决：如图2，当点和在直线同侧时，与交于点，请你借鉴中的方法证明： (3)思维拓展：如图3，当点和在直线 异侧时，于点，猜想线段，，三之间的数量关系，并写出证明过程． 例3．（23-24广东八年级期末）提出问题：如图1，已知OC平分∠AOB，点D、E分别在OA，OB上．若∠ODC＝∠OEC＝90°，求证：CD＝CE． 思路梳理：(1)请根据思路梳理的过程填空． 证法1：由OC平分∠AOB，∠ODC＝∠OEC，OC＝OC，可得 ≌ ，则CD＝CE． 证法2：由OC平分∠AOB，∠ODC＝∠OEC＝90°，则CD＝CE，其理论依据是 ． 类比探究：(2)如图2，已知OC平分∠AOB，点D、E分别在OA，OB上．若∠ODC＋∠OEC＝180°，求证：CD＝CE． 拓展迁移：(3)如图3，已知OC平分∠AOB，点D在OA的反向延长线上，点E在OB上，且∠ODC＝∠OEC，若OC＝4，CE＝5，点C到OB的距离是3，则OD＋OE的值是 ．（直接写出结果，不说明理由） 例4．（2023春·江苏·八年级专题练习）感知：如图①，平分，，．判断与的大小关系并证明． 探究：如图②，平分，，，与的大小关系变吗？请说明理由．应用：如图③，四边形中，，，，则与差是多少（用含的代数式表示） 例 5．（2023.山西八年级期中）在中，，，于点, （1）如图1，点，分别在，上，且，当，时，求线段的长；（2）如图2，点，分别在，上，且，求证：； （3）如图3，点在的延长线上，点在上，且，求证：; 例6．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）【问题初探】（1）在数学课上，张老师给出如下问题：如图1，，平分，求证：． ①如图2，小强同学从角平分线性质的角度出发给出如下解题思路：过点C分别作，，垂足分别为M，N．以此来证明阴影部分的三角形全等得到． ②如图3，小颖同学从平分的条件出发给出另一种解题思路：过C作，交于点F．以此来证明阴影部分的三角形全等得到． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）张老师发现两名同学都运用了作垂线的方法造的全等三角形，为了帮助学生更好地感悟，张老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答．如图4，，平分，求证：． 【学以致用】（3）如图5，在中，，，D是边的中点，，与边相交于点E，与边相交于点F．请直接写出线段，和的数量关系． 1．（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，在正方形中，点、分别在、上，连接、、，．若，则一定等于（    ）    A． B． C． D． 2．（2024·成都市·八年级期末）如图，在边长为4的正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E在BD上，连接CE，作EF⊥CE交AB于点F，交AC于点G，连接CF交BD于点H，延长CE交AD于点M，连接FM，则下列结论：①点E到AB，BC的距离相等；②∠FCE = 45°；③∠DMC =∠FMC；④若DM = 2，则BF = ．正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，为的中点，直角绕点旋转，它的两条边分别交，的延长线于点，，连接，当，时，的长为 ． 4．（2022·福建·福州九年级期末）如图，△ABC是等边三角形，且，点D在边BC上，连按AD，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接DE，BE．则△BED的周长最小值是_________． 5．（2024八年级·浙江·培优）如图，为等边三角形，其边长为是等腰三角形，，在上有一动点，连接，在上有一点，使得与的夹角为，连接，则的周长为 ． 6．（2024·广东河源·八年级校考阶段练习）如图，在边长为6的正方形内作，交于点，交于点，连接，将绕点顺时针旋转90°得到，若，则的长为______． 7．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）如图，在正方形中，点，分别在，的延长线上，连接，，，与交于点．已知，．有以下四个结论： ①；②；③；④若，则的面积为． 以上结论中正确的是 ． 8．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，正方形的对角线相交于点O，点E，F分别在线段上，且，若，则 ． 9．（2024·江苏南京·九年级专题练习）（1）阅读理解：如图1，在正方形ABCD中，若E，F分别是CD，BC边上的点，∠EAF＝45°，则我们常会想到：把△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．易证△AEF≌_______，得出线段BF，DE，EF之间的数量关系为____________； （2）类比探究：如图2，在等边△ABC中，D，E为BC边上的点，∠DAE＝30°，BD=3，EC=4，求线段DE的长；（3）拓展应用：如图3，在△ABC中，AB=AC，∠BAC＝150°，点D，E在BC边上，∠DAE＝75°，若DE是等腰△ADE的腰长，请直接写出BD：CE的值． 10．（2023·福建泉州·统考二模）（1）如图1，在正方形中，，分别为，边上的点，且满足，连接，则，，之间的数量关系为________． （2）如图2，将沿斜边翻折得到，，分别为，边上的点，且，试猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想． （3）将两个全等的等腰直角和按如图3所示摆放在一起，为公共顶点，，，与边的交点分别为，，求证：．         11．（2024八年级·浙江·培优）已知，点是角平分线上一点，于点，于点，．(1)如图1，交于点，交于点，连接，求证：． (2)如图2，当绕点旋转一定的角度，交的反向延长线于点，交于点时，线段有怎样的数量关系?写出你的结论，不需证明． 12．（2024·贵州黔东南·八年级校联考期末）【探究发现】（1）如图1，在四边形中，对角线，垂足是O，求证：． 【拓展迁移】（2）如图2．以三角形的边、为边向外作正方形和正方形，求证：． （3）如图3，在（2）小题条件不变的情况下，连接，若，，，则的长_____________．（直接填写答案） 13．（2023·四川达州·八年级统考期末）问题发现：如图，在中，，为边所在直线上的动点(不与点、重合)，连结，以为边作，且，根据，得到，结合，得出，发现线段与的数量关系为，位置关系为； （1）探究证明：如图，在和中，，，且点在边上滑动(点不与点、重合)，连接．①则线段，，之间满足的等量关系式为_____；②求证: ；（2）拓展延伸：如图，在四边形中，．若，，求的长． 14．（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）(1)如图1，在中，，，，则与的数量关系是 ，与延长线的夹角 ；(2)如图2，四边形中，，，，连接，猜想、、之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)如图3，四边形中，，，，，，请直接写出的长为 ． 15．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）已知内角，分别以为边向外侧作等边和等边，连接交于点． (1)如图1，判断是否随的变化而变化？如果不变化，请求出的度数；如果变化，请用的代数式表示的度数；(2)连接，再依次连接四条线段的中点，得到四边形．①如图2，若，，，求四边形的面积； ②若的面积是，，的面积都是，求的面积． 16．（2023·浙江·八年级假期作业）已知为等边三角形，点D在边上，点F在射线上，以为一边作等边三角形，连接． (1)当点F与点A重合时，如图①，线段，，之间的数量关系是___________； (2)点F在边上时，如图②；当点F在边的延长线上时，如图③，猜想线段，，之间存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并对图③的猜想给予证明． 17．（23-24八年级下·广东深圳·阶段练习）如图与为正三角形，点为射线上的动点，作射线与直线相交于点，将射线绕点逆时针旋转，得到射线，射线与直线相交于点． +   (1)如图①，点与点重合时，点，分别在线段，上，求证：；(2)如图②，当点O在的延长线上时，E，F分别在线段的延长线和线段上，试探索三条线段之间的数量关系，并说明理由；(3)点O在线段上，若，，当时，请直接写出的长． 18．（2023春·江苏·八年级专题练习）问题初探：如图（1），中，，，点D是上一点，连接，以为一边作，使，，连接，猜想，和有怎样的数量关系，并说明理由． 类比再探：如图（2），中，，，点M是中点，点D是上一点，连接，以为一边作，使，，连接，若，则四边形的面积为多少，请说明理由． 19．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，是等边三角形，点D是边的中点，以D为顶点作一个的角，角的两边分别交直线于M、N两点，以点D为中心旋转（的度数不变）。(1)如图①，若，求证：； (2)如图②，若与不垂直，且点M在边上，点N在边上时，（1）中的结论是否成立？并说明理由；(3)如图③，若与不垂直，且点M在边上，点N在边的延长线上时，（1）中的结论是否成立？若不成立，写出之间的数量关系，并说明理由． 20．（23-24八年级下·河南新乡·期末）综合与实践 【问题呈现】如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点P旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点E、F（点F与点C，D不重合）．探索线段之间的数量关系． 【问题初探】（1）爱动脑筋的小茗发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论，线段的数量关系： ，线段之间的数量关系： ； 【问题引申】（2）如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你帮助小茗得出此时线段之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】（3）如图3，在（2）的条件下，当菱形的边长为8，点运动至与点距离恰好为7的位置，且旋转至时，请直接写出的长度． 2 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 旋转中的三种全等模型之手拉手、半角、对角互补模型 本专题重点分析旋转中的三类全等模型（手拉手、半角、对角互补模型），结合各类模型展示旋转中的变与不变，并结合经典例题和专项训练深度分析基本图形和归纳主要步骤，同时规范了解题步骤，提高数学的综合解题能力。 1 模型1.旋转中的手拉手模型 1 模型2.旋转中的半角模型 12 模型3.旋转中的对角互补模型 23 34 模型1.旋转中的手拉手模型 将两个三角形（或多边形）绕着公共顶点旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等。其中：公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。 等线段，共顶点，旋转前后的图形大小，形状不发生变化，只是位置不同而已。解题是通过三角形全等进行解决。SAS型全等（核心在于导角，即等角加（减）公共角）。 1）双等边三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 2）双等腰直角三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 3）双等腰三角形型 条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。 证明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD， 又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD， 又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°， 又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 4）双正方形形型 条件：四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，C为公共点；连接BG，ED交于点N。 结论：①△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。 证明： ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴BC=AC，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90° ∴∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG，即∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS）， ∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CMB=∠DMN，∴∠BCM=∠DNM=90°， 过点C作CP⊥DE,CQ⊥BG,则∠CPD=∠CPB=90°，又∵∠CBG=∠CDE，BC=DC，∴△BCQ≌△DCP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 例1．（2023·山东济南·二模）已知AD是等边△ABC的高，AC=2，点O为直线AD上的动点(不与点A重合)，连接BO，将线段BO绕点O顺时针旋转60°，得到线段OE，连接CE、BE． (1)问题发现：如图1，当点O在线段AD上时，线段AO与CE的数量关系为　 　，∠ACE的度数是　 　． (2)问题探究：如图2，当点O在线段AD的延长线上时，(1)中结论是否还成立？请说明理由． (3)问题解决：当∠AEC=30°时，求出线段BO的长 【答案】(1)AO=CE，∠ACE=90°；(2)成立，见解析；(3)BO=2或2 【解析】(1)解：AO=CE，∠ACE=90°，理由如下：∵线段BO绕点O顺时针旋转60°，得到线段OE， ∴BO=OE，∠BOE=60°，∴△BOE为等边三角形，∴∠OBE=60°，BE=BO，∴∠OBE=60°=∠OBD+∠DBE， ∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=60°=∠ABO+∠OBD，AB=AC， ∴∠ABO=∠CBE，在△ABO和△CBE中，， ∴△ABO≌△CBE(SAS)，∴AO=CE，∠BAO=∠BCE， ∵AD是等边三角形ABC的高，∴∠ACB=60°，AD也是∠BAC的平分线， ∴∠BAO=30°=∠BCE，∴∠ACE=∠BCE+∠ACB=30°+60°=90°，故答案为：AO=CE，∠ACE=90°； (2)解：成立，理由如下：如图：连接BE．∵线段BO绕点O顺时针旋转了60°得EO， ∴BO=EO，∠BOE=60°，∴△BOE是等边三角形，∴BO=BE，∠OBE=60°， ∵△ABC是等边三角形，∴BA=BC，∠ABC=60°， ∴∠ABC+∠OBC=∠OBE+∠OBC，即∠ABO=∠CBE， 在△ABO和△CBE中，∴△ABO≌△CBE(SAS)，∴AO=CE，∠BAO=∠BCE， ∵AD是等边△ABC的高，∴∠BCE=∠BAO=30°，∠BCA=60°， ∴∠ACE=∠BCE+∠ACB=30°+60°=90°，∴AO=CE，∠ACE=90°； (3)解：①当点O1在线段AD的延长线上时， 由(1)和(2)知：△BO1E1是等边三角形，∠ACE1=90°， ∵∠ACE1=90°，∠AE1C=30°，∴∠E1AC=60°， ∵∠BAC=60°，∴点A、B、E1在一条直线上， ∵在Rt△ACE1中，AC=2，∠AE1C=30°，∴A E1=4，∴BO1=BE1=2； ②当点O2在线段DA的延长线上时，∵∠ACE2=90°，∠AE2C=30°，AC=2， ∴AE2=4，， ∵△ABO2≌△CBE2(SAS)∴， ∵AD是等边△ABC的高，AB=AC=2，∴BD=1，， 在Rt△O2DB中，BD=1，而， ∴；综上，BO=2或． 例2．（2023·重庆·八年级期末）如图①，在中，，，点，分别在边，上，且，此时，成立． （1）将绕点逆时针旋转时，在图②中补充图形，并直接写出的长度；（2）当绕点逆时针旋转一周的过程中，与的数量关系和位置关系是否仍然成立？若成立，请你利用图③证明，若不成立请说明理由；（3）将绕点逆时针旋转一周的过程中，当，，三点在同一条直线上时，请直接写出的长度． 【答案】（1）补充图形见解析；；（2），仍然成立，证明见解析；（3）或． 【详解】解：（1）如图所示，根据题意得，点D在BC上，∴是直角三角形，且BC=，CE= 由勾股定理得，； （2），仍然成立. 证明：延长交于点， ∵，，，∴， 又∵，，∴，∴，， 在中，，∴，∴，∴. （3）①当点D在AC上方时，如图1所示， 同（2）可得∴AD=BE    同理可证 在Rt△CDE中，∴DE= 在Rt△ACB中，∴ 设AD=BE=x，在Rt△ABE中， ∴解得, ∴ ②当点D在AC下方时，如图2所示，同（2）可得∴AD=BE    同理可证 在Rt△CDE中，∴DE= 在Rt△ACB中，∴ 设AD=BE=x，在Rt△ABE中， ∴解得, ∴ . 所以,AD的值为或 例3．（2022·青海·中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形. (1)问题发现：如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：； (2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.           图1   图2 【答案】(1)见解析 (2)； 【解析】(1)证明：∵和是顶角相等的等腰三角形， ∴，，， ∴，∴． 在和中，，∴，∴． (2)解：，， 理由如下：由（1）的方法得，，∴，， ∵是等腰直角三角形，∴， ∴，∴， ∴． ∵，，∴．∵，∴， ∴．∴． 例4．（23-24八年级下·河南新乡·期末）四边形是正方形，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交射线于点F，以为边作平行四边形． (1)如图1，当时，点F落在边上，小明同学观察图形，认为四边形是一种特殊的平行四边形，经过思考，他过点E作，垂足分别为M，N，通过推理证明， 得到平行四边形是___；(2)当时，点F落在的延长线上，小明的结论还成立吗，请说明理由； (3)当，且时，连接，直接写出的长． 【答案】(1)正方形(2)成立，理由见解析(3) 【详解】（1）解：，∴四边形是矩形； ∵四边形是正方形，平分， ，∴四边形是正方形， ，，；； ，平行四边形是矩形，平行四边形是正方形，故答案为：正方形； （2）解：成立，理由如下：如图，过点E作，垂足分别为M，N， ，∵四边形是正方形，平分， ，∴四边形是正方形， ，，， 平行四边形是矩形，，， 平行四边形是正方形，故答案为：正方形； （3）解：如图，过点E作，垂足分别为M，N， ，， 四边形是正方形，点E为中点，， ， ，平行四边形是矩形， ∴此时点F与点C重合，即平行四边是正方形，， 是等腰直角三角形，， ，． 例5．（23-24八年级下·山东济南·期末）在等腰中，，以为底角顶点作等腰，使，连接，分别以、为邻边作，连接． (1)如图1，当点在边上（不与点、重合），且点在外部时，判断中，与的数量关系为______，位置关系为______； (2)如图2，将图1中绕点逆时针旋转，当点落在线段上时，连接．求证：； (3)如图3，将绕点继续逆时针旋转，当为菱形，且在的下方时，若，，求线段的长． 【答案】(1)；(2)证明见解析(3) 【详解】（1）解：；．理由如下：∵四边形是平行四边形，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴是等腰直角三角形； （2）证明：如图2，连接，设交于， ∵四边形是平行四边形，∴，∴， ∴，，∵，∴， ∵，∴，∵， ∴，∴，∴，， ∴，∴是等腰直角三角形，∴； （3）解：当四边形是菱形时，得．设交于， ∵，，∴垂直平分，∵，∴， 又∵，∴，∴． 例．（24-25八年级上·广东·期中）【模型建立】（1）如图1，、为等边三角形，连接、，求证：； 【模型应用】（2）如图2，在与中，，，，B、D、E三点在一条直线上，与交于点F，若点F为中点，，求的面积； 【拓展提高】（3）如图3，在与中，，，，与交于点F，，的面积为18，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）2.25；（3）6 【详解】（1）证明：和都是等边三角形， ，，，， 即．，； （2）解：作于点G，如图2所示：，， 在和中，，，，， ∵，，，∴， ∴，∴， ∵，∴， 在和中，,， ，， ∵点F为中点，； （3）解：连接，如图3所示：∵，，， ，，，，， 在和中，，，，， ，，为等腰直角三角形，， ，，， ，∴,，是公共部分，， 设的长度为a，则，解得：（负值已舍去），故的长度为6． 模型2.旋转中的半角模型 半角模型概念：半角模型是指是指有公共顶点，较小角等于较大角的一半，较大的角的两边相等，通过旋转，可将角进行等量转化，构造全等三角形的几何模型。 旋转的条件：具有公共端点的等线段； 旋转的方法：以公共端点为旋转中心，相等的两条线段的夹角为旋转角； 旋转的目的：将分散的条件集中，隐蔽的关系显现。 1）正方形半角模型 条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°； 结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周长=2AB； ⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 证明：将△CBE绕点C逆时针旋转90°至△CDG，即△CBE≌△CDG， ∴∠ECB=∠GCD，∠B=∠CDG=90°，BE＝DG，CE＝CG； ∵ABCD是正方形，∴∠B=∠CDF=∠BCD=90°，BA＝DA；∴∠CDG+∠CDF=180°，故F、D、G共线。 ∵∠ECF=45°，∴∠BCE+∠DCF=45°，∴∠GCD+∠DCF=∠GCF=45°，∴∠ECF=∠GCF=45°， ∵CF＝CF，∴△CEF≌△CGF，∴EF＝GF，∵GF＝DG＋DF，∴GF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋DF+AE＋AF=AB＋AD=2AB，过点C作CH⊥EF，则∠CHE=90°， ∵△CEF≌△CGF，∴CD=CH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△CBE≌△CHE， ∴∠HEC=∠CBE，同理可证：∠HFC=∠DFC，即CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 2）等腰直角三角形半角模型 条件：ABC是等腰直角三角形（∠BAC=90°，AB＝AC），∠DAE=45°； 结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG，即△BAD≌△CAG， ∴∠BAD=∠CAG，∠B=∠GCA=45°，AD＝AG，BD＝CG； ∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°，∴∠CAG+∠EAC=∠GAE=45°，∴∠DAE=∠GAE=45°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△GAE，∴ED＝EG，∵ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，∴∠ECG=90°，∴GE2＝GC2＋EC2,∴DE2＝BD2＋EC2； 3）等边三角形半角模型（120°-60°型） 条件：ABC是等边三角形，BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°； 结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋CF；④AEF的周长=2AB； ⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 证明：将△DBE绕点D顺时针旋转120°至△DCG，即△BDE≌△CDG， ∴∠EDB=∠GDC，∠DBE=∠DCG，BE＝GC，DE＝DG； ∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=60°，∴∠GDC+∠CDF=∠GDF=60°，故∠GDF=∠EDF， ∵DF＝DF，∴△EDF≌△GDF，∴EF＝GF，∵GF＝CG＋CF，∴GF＝BE＋CF，∴EF＝BE＋CF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋CF+AE＋AF=AB＋AC=2AB， 过点D作DH⊥EF，DM⊥GF，则∠DHF=∠DMF=90°， ∵△EDF≌△GDF，∴DM=DH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△DHF≌△DMF， ∴∠HFD=∠MFD，同理可证：∠BFD=∠FED，即DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 4）等边三角形半角模型（60°-30°型） 条件：ABC是等边三角形，∠EAD=30°； 结论：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°；④DE2＝(BD＋EC)2+； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转60°至△ACF，即△BAD≌△CAF， ∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠FCA=60°，AD＝AF，BD＝CF； ∵∠DAE=30°，∴∠BAD+∠EAC=30°，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=30°，∴∠DAE=∠FAE=30°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE，∴ED＝EF，∵ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ECF=120°， 过点F作FH⊥BC，∴∠FCH=60°，∠CFH=30°，∴CH=CF=BD，FH=CF=BD， ∵在直角三角形中：FE2＝FH2＋EH2,∴DE2＝(BD＋EC)2+(BD)2； 5）任意角度的半角模型（-型） 条件：∠BAC=，AB=AC，∠DAE=； 结论：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。 证明：将△ABD绕点A逆时针°至△ACF，即△BAD≌△CAF， ∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠BCA=∠FCA=90°-，AD＝AF，BD＝CF；∴∠ECF=∠BCA+∠FCA=180°-。 ∵∠BAC=，∠DAE=，∴∠BAD+∠EAC=，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=，∴∠DAE=∠FAE=， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE。 例1．（2024·湖南湘潭·一模）【问题探究】综合实践课上，老师给出这样一个问题要求同学们进行小组合作探究：如图①，在中，，点在边上，．探究图中线段之间的数量关系． 小红同学这一个学习小组探究此问题的方法是：将绕点逆时针旋转，得到，连接（如图②），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及，可证，得．即可得出之间的数量关系．（1）请你根据小红同学这一学习小组的探究方法，写出探究结论： 在图②中，______度，之间的数量关系是______． 【问题延伸】（2）小明同学这一学习小组在上述探究的基础上，又进行了如下问题的探究： 如图③，在正方形中，点分别是边上的动点，连接交于，若．请你帮小明同学这一学习小组完成如下猜想： ①线段的数量关系是______；②线段的数量关系是______； 请任选一个你的猜想说明理由． 【问题解决】（3）请根据上述探究方法，解决如下问题：如图④，已知点，点，点位于轴正半轴，，试求出点的坐标． 【答案】（1）；（2）①，②，理由见解析；（3） 【详解】解：（1）如图2，∵在中，，∴， 由旋转性质得，，，，∴， ∵，∴，则， ∴，又，，∴，则， 在中，，∴，故答案为：，； （2）猜想：①；②；选择猜想②，证明过程如下： ∵四边形是正方形，∴，， 如图③，将绕点B逆时针旋转，得到，则，，，，∴，则G、D、F、C共线， ∵，∴， ∴，又，，∴，∴， ∵，∴；故答案为：①；②； （3）如图，在y轴正半轴上截取，连接，，则， 由（1）得，∵点，点，∴，， ∴，，∴，解得， ∴，则点C坐标为． 例2．（2023·广东·八年级期中）如图，△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点D为BC边上一点．点E为线段CD上一点，且CE＝2，AB＝，∠DAE＝60°，则DE的长为 ______． 【答案】 【详解】解：如图，将绕点A逆时针旋转至，连接ME，过M作于Q，过A作 于F， ∵，，，AB＝，∴，， ∴，， ∴，． 在中，．∵，∴. 设，∴ ，，∴． ∵，，∴，∴． ∵．在和中，∴，∴， 由勾股定理得：，∴， ∴，即 ．故答案为：． 例3．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，直线l上依次有，，，四点，且，以为边作等边，连接，；若，，则的长是 ． 【答案】/ 【详解】解：设则为等边三角形， ，，，把绕点顺时针旋转得到， ，，， ，， 在和中，，，， ，，，过点作于，如图， ，点与点重合，即， 在中，，即，．故答案为． 例4．（2023.山东八年级期中）综合与实践（1）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝45°，则MN，AM，CN的数量关系为 　 　． （2）如图2，在四边形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，试探索线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明． （3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN＝∠ABC，试探究线段MN、AM、CN的数量关系为 　 　． 【答案】（1）MN=AM+CN；（2）MN=AM+CN，理由见解析；（3）MN=CN-AM，理由见解析 【详解】解：（1）如图，把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，在正方形ABCD中，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，AB=BC    ，∴∠BCM'+∠BCD=180°， ∴点M'、C、N三点共线，∵∠MBN=45°，∴∠ABM+∠CBN=45°， ∴∠M'BN=∠M'BC+∠CBN=∠ABM+∠CBN=45°，即∠M'BN=∠MBN， ∵BN=BN，∴△NBM≌△NBM'，∴MN= M'N，∵M'N= M'C+CN，∴MN= M'C+CN=AM+CN； （2）MN=AM+CN；理由如下：如图，把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，∵∠A+∠C＝180°，∴∠BCM'+∠BCD=180°，∴点M'、C、N三点共线， ∵∠MBN＝∠ABC，∴∠ABM+∠CBN=∠ABC＝∠MBN，∴∠CBN+∠M'BC =∠MBN，即∠M'BN=∠MBN， ∵BN=BN，∴△NBM≌△NBM'，∴MN= M'N，∵M'N= M'C+CN，∴MN= M'C+CN=AM+CN； （3）MN=CN-AM，理由如下：如图，在NC上截取C M'=AM，连接B M'， ∵在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠C+∠BAD=180°， ∵∠BAM+∠BAD=180°，∴∠BAM=∠C，∵AB＝BC，∴△ABM≌△CB M'， ∴AM=C M'，BM=B M'，∠ABM=∠CB M'，∴∠MA M'=∠ABC， ∵∠MBN＝∠ABC，∴∠MBN＝∠MA M'=∠M'BN，∵BN=BN，∴△NBM≌△NBM'，∴MN= M'N， ∵M'N=CN-C M'，  ∴MN=CN-AM．故答案是：MN=CN-AM． 例5．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）倡导研究性学习方式，着力教材研究，习题研究，是学生跳出题海，提高学习能力和创新能力的有效途径． (1)【问题背景】已知：如图1，点E、F分别在正方形的边上，，连接，则之间存在怎样的数量关系呢？ （分析：我们把绕点A顺时针旋转至，点G、B、C在一条直线上．） 于是易证得： 和 ，所以 ． 直接应用：正方形的边长为6，，则的值为 ． (2)【变式练习】已知：如图2，在中，，D、E是斜边上两点，且，请写出之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】在（2）的条件下，当绕着点A逆时针一定角度后，点D落在线段BC上，点E落在线段BC的延长线上，如图3，此时（2）的结论是否仍然成立，并证明你的结论．        【答案】(1)(2)，见解析(3)成立，见解析 【详解】（1）∵四边形是正方形，∴， 把绕点A顺时针旋转至，则与重合， ∴∴， ∴点G、B、C在一条直线上∵，∴， ∴，∴，∵，∴，∴， ∵，∴；∵正方形的边长为6，，∴， ∴，， 在中，，∴，解得，∴ 故答案为：； （2），理由如下：把顺时针旋转到的位置此时与重合，连接，       则，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴是直角三角形，∴，∴． （3）依然成立，理由如下：把顺时针旋转到的位置此时与重合，连接，则，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴是直角三角形，∴，∴． 例6．（23-24八年级下·陕西西安·期中）阅读理解（1）如图1，在正方形中，若、分别是，边上的点，，则我们常会想到：把绕点顺时针旋转得到，易证______，得出线段，，之间的数量关系为______； 类比探究（2）如图2，在等边中，，为边上的点，，，，求线段的长； 拓展应用（3）如图3．在中，，，点，在边上，，若是等腰的腰长，请求出的值．    【答案】（1），；（2）；（3）的值为或 【详解】解：（1）由旋转的性质可得：，，， ，， 在和中，，， ，，，故答案为：，； （2）如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，   ，  ，   ， 是等边三角形，， 由旋转的性质可得：，，，， ，， ，，，， 作交的延长线于点，， ， ，，，， ，， ，； （3）当时，如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接，过点作，交于点；在中，，，， ，，，， ，， 由旋转的性质可得：，，，，， ， ，，， ，， ，，，，，， ，，； 当时，如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接，过点作，交于点；在中，，，， ，，， ，， ， 由旋转的性质可得：，，，，， ，，，，， ，， ，，，，，， ，，， 综上所述，的值为或． 模型3.旋转中的对角互补模型 对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。 思想方法：解决此类问题常用的辅助线画法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。 1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型） 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE， 根据上述条件易证：四边形ONCM为正方形，∴∠CON＝45°，OM=ON， 又∵OD＋OE＝OM-DM+ON+NE，∴OD＋OE=OM+ON=2ON=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴ 2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型） 条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.[来源:学科网ZXXK] 结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE， ∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE，根据上述条件易证：四边形ONCM为正方形， ∴∠CON＝45°，OM=ON，又∵OE－OD＝ON+NE-（DM-OM），∴OE－OD=ON+OM=2ON=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，. 3）“等边三角形对120°模型”（1） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°， ∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。 又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴。 4）“等边三角形对120°模型”（2） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D， 结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∠AOB+∠MCN＝180°，∴∠DCE=∠MCN＝60° ∴∠DCE-∠MCE=∠MCN-∠MCE，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。 又∵OD-OE＝OM+DM-（NE-ON），∴OD-OE=ON+OM=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴。 5）“120°等腰三角形对60°模型” 条件：△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°，PA平分∠BPC。 结论：PB+PC=PA； 证明：将△PAC绕点A顺时针旋转120°至△QAB，即△PAC≌△QAB， ∴∠ACP=∠ABQ，∠CAP=∠BAQ，AP＝AQ，PC＝QB； ∵∠BAC=120°，∠BPC=60°，∴∠ACP+∠ABP=180°，∴∠ABQ+∠ABP=180°，故P、B、Q共线。 又∵∠BPC=60°，PA平分∠BPC，∴∠APQ=60°，∵AP＝AQ，∴∠AQP=60°， 根据勾股定理易证：PQ=PA，又∵PQ=PB+QB=PB+PC，∴PB+PC=PA。 例1．（2024·河南周口·模拟预测）综合与实践课上，李老师与学生一起探究了如下与“中点”有关的问题． (1)如图1，在中，，，D是的中点，E，F分别在上，且，连接．若，则______ (2)如图2，在中，，D是的中点．E，F分别在上，连接．当，请写出线段之间的数量关系，并证明． (3)如图3，在中，，，D是的中点．E为直线上一动点，连接．过点D作，交直线于点F．请直接写出当时线段的长． 【答案】(1)(2)，证明见解析(3) 【详解】（1）解：如图，连接， ，，D是的中点， ，，， ，，，， 又，，，故答案为：； （2）解：，证明：如图，延长到点G，使，连接，， ，，垂直平分，； D是的中点，，在和 中，， ，，， ，，， 是直角三角形，，； （3）解：如图，延长到点G，使，连接，，， ，，垂直平分，， D是的中点，，在和 中， ，，，， ，，， 是直角三角形，， ，，， 在中，，，， 设，则，，， ，解得，． 例2．（23-24九年级上·辽宁盘锦·期末）在图1，图2，图3中，， (1)问题探索：如图1，当点和点在直线异侧时，猜想，，三者之间数量关系．小明想出了下面的方法，延长到点，使得，连接，由于，证得，从而，且，所以，得到等腰直角，则小明得到线段，，之间的数量关系为 (2)问题解决：如图2，当点和在直线同侧时，与交于点，请你借鉴中的方法证明： (3)思维拓展：如图3，当点和在直线 异侧时，于点，猜想线段，，三之间的数量关系，并写出证明过程． 【答案】(1)(2)见解析(3) 【详解】（1）解：∵∴，， ∴，∴是等腰直角三角形， ∴∴； （2）证明：在上截取，连接， ∵，，∴， 设，则，，∴， 又∵，，∴，∴ ∴ ∴是等腰直角三角形，∴ ∴即 （3）解：如图所示，延长至，使得， ∵，∴，又∵，∴ 又∵∴，∴，又∵∴， ∴∴四边形是矩形， 又∵∴四边形是正方形，∴ ∴即 ∴ 例3．（23-24广东八年级期末）提出问题：如图1，已知OC平分∠AOB，点D、E分别在OA，OB上．若∠ODC＝∠OEC＝90°，求证：CD＝CE． 思路梳理：(1)请根据思路梳理的过程填空． 证法1：由OC平分∠AOB，∠ODC＝∠OEC，OC＝OC，可得 ≌ ，则CD＝CE． 证法2：由OC平分∠AOB，∠ODC＝∠OEC＝90°，则CD＝CE，其理论依据是 ． 类比探究：(2)如图2，已知OC平分∠AOB，点D、E分别在OA，OB上．若∠ODC＋∠OEC＝180°，求证：CD＝CE． 拓展迁移：(3)如图3，已知OC平分∠AOB，点D在OA的反向延长线上，点E在OB上，且∠ODC＝∠OEC，若OC＝4，CE＝5，点C到OB的距离是3，则OD＋OE的值是 ．（直接写出结果，不说明理由） 【答案】(1)；角平分线上的点到角的两边距离相等(2)证明见解析(3) 【解析】（1）证法1：如图1中，∵OC平分∠AOB，∴∠COD＝∠COE， 在△COD和△COE中， ，∴△COD≌△COE（AAS），∴CD＝CE． 故答案为：△COD，△COE； 证法2：∵OC平分∠AOB，∠ODC＝∠OEC＝90°，∴CD＝CE（角平分线上的点到角的两边距离相等）， 故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等； （2）证明：如图2，过点C作CQ⊥OA于点Q，CP⊥OB于点P， ∵∠ODC+∠OEC＝180°，∴∠DOE+∠DCE＝180° ∵∠OQC＝∠EPC＝90°，∴∠AOB+∠PCQ＝180°，∴∠PCQ＝∠DCE，∴∠DCQ＝∠ECP， ∵点C是∠AOB的平分线上，且CQ⊥OA，CP⊥OB，∴CQ＝CP， ∵∠OQC＝∠EPC＝90°，∴△CQD≌△CPE（ASA），∴CD＝CE； （3）解：如图3，过点C作CQ⊥OA于点Q，CP⊥OB于点P， ∴∠OQC＝∠EPC＝90°，∴∠AOB+∠PCQ＝180°，∵∠ODC＝∠CEO，∴∠DOE＝∠DCE， ∵∠DOE+∠AOB＝180°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠PCQ＝∠DCE，∴∠DCQ＝∠ECP， ∵点C是∠AOB的平分线上，且CQ⊥OA，CP⊥OB，∴CQ＝CP， ∵∠OQC＝∠EPC＝90°，∴△CQD≌△CPE（ASA），∴DQ＝PE， ∵OD＝DQ﹣OQ，OE＝OP+PE，∴OE+OD＝OP+PE+（DQ﹣OQ）＝PE+DQ＝2PE， ∵EC＝5，CP＝3，∴PE＝，∴OE+OD＝8．故答案为：8． 例4．（2023春·江苏·八年级专题练习）感知：如图①，平分，，．判断与的大小关系并证明． 探究：如图②，平分，，，与的大小关系变吗？请说明理由．应用：如图③，四边形中，，，，则与差是多少（用含的代数式表示） 【答案】感知：，证明见详解；探究：与的大小关系不变，理由见详解；应用：与差是． 【详解】感知：，理由如下： ∵，，∴，即，∵平分，∴； 探究：与的大小关系不变，还是相等，理由如下： 过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC，交AC延长线于点F，则∠DEB=∠DFC=90°，如图所示： ∵平分，∴DE=DF，∵，，∴∠B=∠DCF， ∴△DEB≌△DFC（AAS），∴； 应用：过点D作DH⊥AB于点H，DG⊥AC，交AC的延长线于点G，连接AD，如图所示： ∵，，∴，∵，∴， ∵，， ∴△DHB≌△DGC（AAS），且△DHB与△DGC都为等腰直角三角形， ∴，由勾股定理可得， ∴，∴，在Rt△AHD和Rt△AGD中，AD=AD，DH=DG， ∴Rt△AHD≌Rt△AGD（HL），∴， ∴，∴． 例 5．（2023.山西八年级期中）在中，，，于点, （1）如图1，点，分别在，上，且，当，时，求线段的长；（2）如图2，点，分别在，上，且，求证：； （3）如图3，点在的延长线上，点在上，且，求证：; 【答案】(1) ；(2)见解析；(3)见解析. 【详解】（1）解：，，， ，，， ，，，， ，，由勾股定理得，，即， 解得，，； （2）证明：，，， 在和中，，； （3）证明：过点作交的延长线于， ，则，，， ，，， 在和中，，， ，． 例6．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）【问题初探】（1）在数学课上，张老师给出如下问题：如图1，，平分，求证：． ①如图2，小强同学从角平分线性质的角度出发给出如下解题思路：过点C分别作，，垂足分别为M，N．以此来证明阴影部分的三角形全等得到． ②如图3，小颖同学从平分的条件出发给出另一种解题思路：过C作，交于点F．以此来证明阴影部分的三角形全等得到． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）张老师发现两名同学都运用了作垂线的方法造的全等三角形，为了帮助学生更好地感悟，张老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答．如图4，，平分，求证：． 【学以致用】（3）如图5，在中，，，D是边的中点，，与边相交于点E，与边相交于点F．请直接写出线段，和的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【详解】（1）①选择小强同学，证明：如图2，过点作于，于， 平分，，，， ，， 在与中，，； ②选择小颖同学，证明：如图3，过点作，交于点，则， ，平分，，且， ，，，， 在和中，，，． （2）如图，过点作，，垂足分别为，， ，又平分，， ，，在四边形中，， 又，， 又，，且，，，； （3）取中点，连接，点、分别是、边上的中点，， 是等边三角形，，，， ，，，， 1．（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，在正方形中，点、分别在、上，连接、、，．若，则一定等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：在正方形中，，， 将绕点顺时针旋转，得，、、三点共线，如图所示： 则，，，，， 在和中，，，， ，，， ，故选：A．    2．（2024·成都市·八年级期末）如图，在边长为4的正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E在BD上，连接CE，作EF⊥CE交AB于点F，交AC于点G，连接CF交BD于点H，延长CE交AD于点M，连接FM，则下列结论：①点E到AB，BC的距离相等；②∠FCE = 45°；③∠DMC =∠FMC；④若DM = 2，则BF = ．正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：如图1，过E点作、，∴， ∵在正方形ABCD中，，， ∴，即点E到AB，BC的距离相等，故①正确； ；∴，由∵，∴， ∴，∴（AAS）∴，∴，故②正确； 如图2，延长MD至P，使，连接，易证（SAS）∴，， ∵，∴，∴， 又∵，∴，∴，∴，，故③正确， 在边长为4的正方形ABCD中，，若，则， 设，则，， 在中，∴，解得：，故；④错误， 综上所述，正确的①②③，故选C． 3．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，为的中点，直角绕点旋转，它的两条边分别交，的延长线于点，，连接，当，时，的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，连接， ∵在中，，为的中点， ∴，，∴ ∵，∴ 在中，∴∴ ∵∴∴ 在中，，故答案为：． 4．（2022·福建·福州九年级期末）如图，△ABC是等边三角形，且，点D在边BC上，连按AD，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接DE，BE．则△BED的周长最小值是_________． 【答案】## 【详解】解：∵线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE， ∴AD=AE，∠DAE=60°，∴△ADE是等边三角形，∴DE=AD， ∵△ABC是等边三角形，AB=4，∴AB=AC，∠BAC=60°，BC=AB=4， ∴∠BAC=∠DAE，∴∠CAD=∠BAE，∴△ACD≌△ABE，∴CD=BE， ∴△BED的周长为BD+BE+DE=BD+CD+AD=BC+AD， ∴当AD最小时，△BED的周长最小，当AD⊥BC，时，AD最小，过A作AM⊥BC于M， ∴BM=BC=2，∴AM=，∴AD的最小值为， ∴△BED的周长最小值是4+．故答案为：4+． 5．（2024八年级·浙江·培优）如图，为等边三角形，其边长为是等腰三角形，，在上有一动点，连接，在上有一点，使得与的夹角为，连接，则的周长为 ． 【答案】18 【详解】解：如图，延长至点P，使，连接． ∵是等边三角形，∴． ∵，∴，∴，∴． 在和中，， ∴，∴． ∵，∴，∴，∴． 在和中，，∴，∴， ∴，∴的周长=.故答案为：18 6．（2024·广东河源·八年级校考阶段练习）如图，在边长为6的正方形内作，交于点，交于点，连接，将绕点顺时针旋转90°得到，若，则的长为______． 【答案】5 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，且边长为6， ∴，∵绕点顺时针旋转90°得到， ∴，∴点G、B、E三点共线， ∵，∴，∵AE=AE，∴，∴， 设，则有，∴在Rt△ECF中，由勾股定理可得， 即，解得：，∴；故答案为5． 7．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）如图，在正方形中，点，分别在，的延长线上，连接，，，与交于点．已知，．有以下四个结论： ①；②；③；④若，则的面积为． 以上结论中正确的是 ． 【答案】①②/②① 【详解】解：如图所示，在上截取，连接， ∵四边形是正方形 ∴， 在中，∴, ∴，∴， ∴是等腰直角三角形，∵，∴， 又∵，∴，∴，，故②正确； ∴，故①正确；∵∴垂直平分，∴ 若，则又∵∴垂直平分∴； 又∵，∴∴是等边三角形，∴,∴， ∵∴∴，在中， 设，则，∴ 在中，∴解得：或（舍去） ∴当且仅当时，，故③不一定正确； ④若，则，设， ∵在上，垂直平分，则 在中，∴解得：∴， ∴ ∴的面积为．故④不正确故答案为：①②． 8．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，正方形的对角线相交于点O，点E，F分别在线段上，且，若，则 ． 【答案】3 【详解】解：作交于点，连接，四边形是正方形， ，，，，， 在和中，，，，， ∵，，，，， 四边形是正方形，，， ，，∵，∴，∴，故答案为：3． 9．（2024·江苏南京·九年级专题练习）（1）阅读理解：如图1，在正方形ABCD中，若E，F分别是CD，BC边上的点，∠EAF＝45°，则我们常会想到：把△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．易证△AEF≌_______，得出线段BF，DE，EF之间的数量关系为____________； （2）类比探究：如图2，在等边△ABC中，D，E为BC边上的点，∠DAE＝30°，BD=3，EC=4，求线段DE的长；（3）拓展应用：如图3，在△ABC中，AB=AC，∠BAC＝150°，点D，E在BC边上，∠DAE＝75°，若DE是等腰△ADE的腰长，请直接写出BD：CE的值． 【答案】（1）；；（2）；（3）或 【详解】解：（1）把绕点顺时针旋转得到，可知：，，， ，， 在和中，≌，， ，，故答案为；． （2）如图，将△ACE绕点A顺时针旋转60°，得到△ABF，连接DF，过点F作FG⊥BC，交CB的延长线于点G，如图所示：∵△ABC是等边三角形，∴∠CAB＝∠ABC＝∠C＝60°，AB=AC， ∵∠DAE＝30°，∴∠CAE+∠BAD＝30°，∴∠DAF＝30°， 又∵AD=AD，∴△ADE≌△ADF，∴DE=DF，∵∠ABF＝∠ABC＝∠C＝60°，∠FBG＝60°， ∵BF=CE=4，∠G＝90°，∴BG＝BF=2，FG＝=， ∴DG＝5，∴在Rt△DFG中，DF=，∴线段DF的长为． （3）如图，将△ACE绕点A顺时针旋转150°，得到△ABG，连接DG，过点D作DH⊥BG，交BG的于点H，∠DAE＝75°，若DE是等腰△ADE的腰，∠ADE为顶角，则∠ADE=30°， ∵AB=AC，∠BAC=150°，∴∠ABC=∠C=（180°-150°）=15°， ∴由旋转性质得△ABG≌△ACE，∴BG=CE，AG=AE，∠ABG=∠C=15°，∴∠DBG=30°， ∵将△ACE绕点A顺时针旋转150°，得到△ABG，∴∠EAG=150°， ∵∠DAE＝75°，∴∠GAD=75°，∴∠ADE=30°， 在△ADE和△ADG中，，∴△ADE≌△ADG，∴∠GDA=∠ADE=30°，∴∠GDE=60°， ∵∠GDE=∠GBD+∠BGD，∴∠BGD=60°-30°=30°，∴BD=DG，∴BH=GH=BG=CE， 在Rt△BHD中，设HD=x，∵∠DBG=30°，∴BD=2x，由勾股定理得：BH=， ∴BG=2，∴CE=2，∴BD：CE=：3； 如图将△ACE绕点A顺时针旋转150°，得到△ABM，连接DM，过点M作MN⊥BD，交BD于点N， ∵∠DAE＝75°，若DE是等腰△ADE的腰长，∠E为顶角，∴∠E=30°， ∵AB=AC，∠BAC＝150°，∴∠C=∠ABC=15°，∴∠CAE=15°， ∴AE=CE=DE，∴∠BAD=150°-75°-15°=60°，由旋转性质可知△ABM≌△ACE， ∴∠BAM=∠CAE=15°，∠ABM=∠ACE=15°，AM=AE，BM=CE，∴∠MAD=15°+60°=75°=∠DAE， 在△MAD和△EAD中，，∴△MAD≌△EAD，∴DM=DE=CE=BM， ∵MN⊥BD，∴BN=DN=BD，∵∠MBD=∠ABM＋∠ABC=15°+15°=30°， ∴在Rt△BNM中 ，设MN=a，∴BM=2a，∴CE=2a， 由勾股定理得：BN=，∴BD=2a，∴BD：CE=2a：2a=：1=． 10．（2023·福建泉州·统考二模）（1）如图1，在正方形中，，分别为，边上的点，且满足，连接，则，，之间的数量关系为________． （2）如图2，将沿斜边翻折得到，，分别为，边上的点，且，试猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想． （3）将两个全等的等腰直角和按如图3所示摆放在一起，为公共顶点，，，与边的交点分别为，，求证：．         【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）证明见解析 【详解】解：（1）． 理由如下： 如图，将绕点顺时针旋转到的位置，      由旋转可得，．，． 在和中，，∴，∴． ∵，∴． （2），理由如下： 如图，将绕点顺时针旋转到的位置， 由旋转可得，，． ∵，∴，，三点共线． ∵，∴，∴． 在和中，，∴，∴． ∵，∴． （3）证明：如图，将绕点顺时针旋转至的位置，    则，，，旋转角．连接，在和中， ∵，，．∴，∴． ∵，∴，∴． 11．（2024八年级·浙江·培优）已知，点是角平分线上一点，于点，于点，．(1)如图1，交于点，交于点，连接，求证：． (2)如图2，当绕点旋转一定的角度，交的反向延长线于点，交于点时，线段有怎样的数量关系?写出你的结论，不需证明． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵点是角平分线上一点，，，∴， 如图所示，在上去，连接， ∴在中，，∴， ∴，，在四边形中，，， ∴， ∵，∴，∴， 在中，，∴，∴， ∵，∴． （2）解：如图所示，在线段上取， ∵点是角平分线上一点，，，∴， 在中，，∴， ∴，，∵，，∴， ∵，则， ∴， 在中，，∴，∴， ∵，，∴． 12．（2024·贵州黔东南·八年级校联考期末）【探究发现】（1）如图1，在四边形中，对角线，垂足是O，求证：． 【拓展迁移】（2）如图2．以三角形的边、为边向外作正方形和正方形，求证：． （3）如图3，在（2）小题条件不变的情况下，连接，若，，，则的长_____________．（直接填写答案） 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）． 【详解】解：（1）∵，∴∠AOD＝∠AOB＝∠COD＝∠BOC＝90°， 由勾股定理得：，， ∴； （2）∵在正方形和正方形中，AC＝AG，AE＝AB，∠CAG＝∠EAB＝90°， ∴∠CAG＋∠GAE＝∠EAB＋∠GAE，即∠CAE＝∠GAB，∴△CAE≌△GAB（SAS），∴∠CEA＝∠GBA， ∵∠GBA＋∠ANB＝90°，∠ANB＝∠MNE，∴∠CEA＋∠MNE＝90°，∴∠EMN＝90°，∴； （3）如图3，连接CG，BE，∵，，，∴AC＝8，AE＝， ∴AB＝10，∴CG＝，BE＝， ∵，∴由（1）可知：，即， ∵BC＞0，∴．故答案为：． 13．（2023·四川达州·八年级统考期末）问题发现：如图，在中，，为边所在直线上的动点(不与点、重合)，连结，以为边作，且，根据，得到，结合，得出，发现线段与的数量关系为，位置关系为； （1）探究证明：如图，在和中，，，且点在边上滑动(点不与点、重合)，连接．①则线段，，之间满足的等量关系式为_____；②求证: ；（2）拓展延伸：如图，在四边形中，．若，，求的长． 【答案】（1）①BC =CE+CD；②见解析；（2）AD＝6． 【详解】解：（1）①如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，     ∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中，， ∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，   ∴ BC=BD+CD=CE+CD，故答案为：BC=BD+CD=CE+CD． ②∵△BAD≌△CAE，∴∠B＝∠ACE＝45°， ∵∠ACB＝45°，∴∠BCE＝45°+45°＝90°， ∴DE2＝CE2+CD2， ∵AD＝AE，∠DAE＝90°，∴，∴2AD2＝BD2+CD2； （3）如图3， 过点A作AG⊥AD，使AG=AD，连接CG、DG，则△DAG是等腰直角三角形，∴∠ADG＝45°， ∵∠ADC＝45°，∴∠GDC＝90°，同理得：△BAD≌△CAG，∴CG＝BD＝13， 在Rt△CGD中，∠GDC＝90°，， ∵△DAG是等腰直角三角形，∴，∴AD＝＝6． 14．（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）(1)如图1，在中，，，，则与的数量关系是 ，与延长线的夹角 ；(2)如图2，四边形中，，，，连接，猜想、、之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)如图3，四边形中，，，，，，请直接写出的长为 ． 【答案】(1)，(2)(3) 【详解】（1）与的数量关系：， 证明：，，， 在和中，≌，， 故与的数量关系：；， ≌，，即：， 在中： ．故． （2）结论：，证明：如图，将绕点顺时针旋转，连接、， ，，是等边三角形，， ， ，， 在和中，≌，，， ，，， ， 在中，． （3）解：如图，将绕点顺时针旋转，连接、，延长交于， ，，是等腰直角三角形， ，，， ，，，， 在和中，≌，，， ，，， 设，，则有，， 在中，， 在中，， 由①②解得，， 在中，故的长为． 15．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）已知内角，分别以为边向外侧作等边和等边，连接交于点． (1)如图1，判断是否随的变化而变化？如果不变化，请求出的度数；如果变化，请用的代数式表示的度数；(2)连接，再依次连接四条线段的中点，得到四边形．①如图2，若，，，求四边形的面积； ②若的面积是，，的面积都是，求的面积． 【答案】(1)不变化，，详见解析 (2)①，详见解析②，详见解析 【详解】（1），不发生变化，理由如下：如图，设与交于点P， ∵和都为等边三角形，∴，，， ∴，∴，∴，， ∵，∴，∴； （2）①如图，连，设与交于点Q，连， ∵D，G分别为的中点，∴，， 同理：，， ，， ∴，，∴四边形为平行四边形， ∵，∴，∴四边形为菱形，∴， ∵，，∴，， ∴，∴为等边三角形， ∴四边形的面积等于的面积的2倍，如图，在中，过点G作交于点K， ∴，∴，∴， ∵都为等边三角形，D为边的中点，∴，， ∴，∴，∵，， ∴，即，三点共线， ∴在中，， ∵，∴， ∴； ②如图，过点M作交的延长线于点R， ∵，，∴，， ∵，∴， ∴，∴，∴， ∴． 16．（2023·浙江·八年级假期作业）已知为等边三角形，点D在边上，点F在射线上，以为一边作等边三角形，连接． (1)当点F与点A重合时，如图①，线段，，之间的数量关系是___________； (2)点F在边上时，如图②；当点F在边的延长线上时，如图③，猜想线段，，之间存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并对图③的猜想给予证明． 【答案】(1)(2)图②猜想：．图③猜想：，见解析 【详解】（1）证明：∵点F与点A重合，∴与都是等边三角形， ∴， ∴， ∴，∴，∴，∴， ∵，∴； （2）图②猜想：．图③猜想：． 图③证明：过点D作，交于点G，如图． ∵是等边三角形，∴． ∵，∴，．∴为等边三角形．∴． ∵为等边三角形，∴，． ∵，即，∴．∴． ∵，∴． 17．（23-24八年级下·广东深圳·阶段练习）如图与为正三角形，点为射线上的动点，作射线与直线相交于点，将射线绕点逆时针旋转，得到射线，射线与直线相交于点． +   (1)如图①，点与点重合时，点，分别在线段，上，求证：；(2)如图②，当点O在的延长线上时，E，F分别在线段的延长线和线段上，试探索三条线段之间的数量关系，并说明理由；(3)点O在线段上，若，，当时，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析；(2)，理由见解析；(3)4或2或6． 【详解】（1）证明：如图①中，∵与为正三角形， ∴，， ∵将射线绕点O逆时针旋转，，， ，，，； （2）解：，理由如下：，如图②，过点O作交与点H，    ， ，是等边三角形，，， ，，， ，，，， ，，∴； （3）解：作于H．，为正三角形，， ，， 如图③中，当点O在线段上，点E在线段上时．       ，，， 过点O作，交于N，是等边三角形，， ，， ，，，，， ，，； 如图③-2中，当点O在线段上，点E在线段上，点F在线段的延长线上时， 同法可证：，，； 如图③-3中，当点O在线段上，点F在线段上，点E在线段上时．      同法可证：，， ，； 如图③中，当点O在线段上，点F在线段的延长线上，点E在线段上时． 同法可知：，而， ，；综上所述，满足条件的的值为4或2或6． 18．（2023春·江苏·八年级专题练习）问题初探：如图（1），中，，，点D是上一点，连接，以为一边作，使，，连接，猜想，和有怎样的数量关系，并说明理由． 类比再探：如图（2），中，，，点M是中点，点D是上一点，连接，以为一边作，使，，连接，若，则四边形的面积为多少，请说明理由． 【答案】问题初探：；理由见解析；类比再探：四边形的面积为1 【详解】解：（1）；理由如下： ∵，，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴； （2）取的中点N，连接，如图所示： ∵点M是中点，∴，，∴， ∵，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴， ∴，∵，∴， ∵，∴，即，解得：或（舍去）， ∴，∴． 19．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，是等边三角形，点D是边的中点，以D为顶点作一个的角，角的两边分别交直线于M、N两点，以点D为中心旋转（的度数不变）。(1)如图①，若，求证：； (2)如图②，若与不垂直，且点M在边上，点N在边上时，（1）中的结论是否成立？并说明理由；(3)如图③，若与不垂直，且点M在边上，点N在边的延长线上时，（1）中的结论是否成立？若不成立，写出之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析(2)成立，理由见解析(3)不成立，，理由见解析 【详解】（1）证明：∵是等边三角形，∴， ∵点D是边的中点，∴，∵，∴，∴， 又，∴，∴，∴，∴，， ∵，，，∴，， ∴；即； （2）解：．理由：如图②，过D作于E，于F， ， 由（1）知：，，∴，，，∴， ∵，∴，∴， 又，∴，∴， ∴，即； （3）解：．理由：如图③，过D作于E，于F， 由（2）知：，∴，由（1）知：， ∴，即． 20．（23-24八年级下·河南新乡·期末）综合与实践 【问题呈现】如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点P旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点E、F（点F与点C，D不重合）．探索线段之间的数量关系． 【问题初探】（1）爱动脑筋的小茗发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论，线段的数量关系： ，线段之间的数量关系： ； 【问题引申】（2）如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你帮助小茗得出此时线段之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】（3）如图3，在（2）的条件下，当菱形的边长为8，点运动至与点距离恰好为7的位置，且旋转至时，请直接写出的长度． 【答案】（1），；（2），理由见解析；（3）的长度为4或2． 【详解】（1）解：，， ∵正方形，∴，， ∵，∴， ∵，，∴，∴，， ∴，∴；故答案为：，； （2）解：，理由如下；如图2，取的中点T，连接， ∵四边形为的菱形，∴，， ∴是等边三角形，∴，∴是等边三角形， ∴，， 又∵，∴，即， ∵，，∴，∴， ∴，∴； （3）解：由题意知，分靠近点B，靠近点D，两种情况求解； ①当点P靠近点B时，如图中，过点A作于H，连接，作交于G． 由（2）可知，是等边三角形，∴， ∴是等边三角形，则，∴，即， ∵，∴，由勾股定理得，， 由勾股定理得，，∴， 由（2）可知，，∴，∴； ②当点P靠近点D时，如图， 同理①，可得，， ∵，∴， 综上所述，满足条件的的长度为4或2． 6 / 58 学科网（北京）股份有限公司 $$