专题04 特殊的平行四边形中的最值模型之胡不归模型-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）

专题04 特殊的平行四边形中的最值模型之胡不归模型 胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。 1 模型1.胡不归模型（最值模型） 1 9 模型1.胡不归模型（最值模型） 从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？” 看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题. 补充知识：在直角三角形中锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即。 若无法理解正弦，也可考虑特殊直角三角形（含30°，45°，60°）的三边关系。 一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）。 1），记，即求BC+kAC的最小值. 2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值. 3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。 【最值原理】垂线段最短。 例1．（23-24九年级下·湖北·期中）如图，四边形是菱形，，且，M为对角线（不含点B）上任意一点，则的最小值为 ．    例2．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，矩形中，，，点是边上一动点，连接、，则的最小值为 ． 例3．（2023·云南昆明·统考二模）如图，正方形边长为4，点E是边上一点，且．P是对角线上一动点，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 例4．（23-24八年级下·湖北黄石·期末）如图，中，，，，为边上一点，则的最小值为 ． 例5．（23-24九年级上·山东日照·期末）如图，在矩形中，，，点P是对角线上的动点，连接，则的最小值为（    ） A． B．6 C． D．4 例6．（2023·广东佛山·校考一模）在边长为1的正方形中，是边的中点，是对角线上的动点，则的最小值为 ___________． 例7．（2024·重庆·九年级校考期中）如图，矩形的对角线，相交于点，关于的对称图形为．（1）求证：四边形是菱形；（2）连接，若，． ①求的值；②若点为线段上一动点（不与点重合），连接，一动点从点出发，以的速度沿线段匀速运动到点，再以的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动．当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求的长和点走完全程所需的时间． 1．（2023·四川攀枝花·统考二模）如图，中，，，，为边上的一动点，则的最小值等于（ ） A．2 B．4 C．3 D．5 2．（2023·湖北武汉·九年级期末）如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______． 3．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在矩形中，，，点为边上一点，则的最小值等于 ． 4．（2023·陕西宝鸡·统考二模）如图，在矩形中，，，点是对角线上的动点，连接，则的最小值为______． 5．（2023·广东中山·统考二模）如图，菱形的对角线，点E为对角线上的一动点，则的最小值为_________． 6．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，▱ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则2PB+ PD的最小值等于______. 7．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝2， BC＝2，点P是对角线AC上的动点，连接PD，则PA＋2PD的最小值________． 8．（2023·四川眉山·一模）两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD．如图所示若，P是对角线BD上的一个动点，则的最小值是______． 9．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，矩形ABCD中AB＝3，BC，E为线段AB上一动点，连接CE，则AE＋CE的最小值为___． 10．（2023·重庆沙坪坝·八年级校考期末）如图，在直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，分别以、为边作矩形，点、在直线上，且，则的最小值是 ． 11．（2023·黑龙江佳木斯·统考一模）如图，菱形ABCD中，，边长为3，P是对角线BD上的一个动点，则的最小值是______． 12．（2024·江苏镇江·统考一模）如图，在平行四边形中，，E为边上的一动点，那么的最小值等于______． 13．（2023·广东东莞·校考三模）如图，菱形ABCD的边长为6，∠B＝120°．点P是对角线AC上一点（不与端点A重合），则AP+PD的最小值为_____． 14．（2023上·湖北黄冈·八年级校考期中）如图，在长方形中，对角线．将长方形沿对角线折叠，得，点 M 是线段上一点．则的最小值为 ． 15．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）【课本探究】如图1所示，将两个含30°角的三角尺摆放在一起，可以证得△ABD是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 【小试牛刀】 如图2，在中，，AD平分，，则BC= 　　． 【变式探索】如图3，菱形ABCD的边长为6，，点P是对角线AC上一点（不与端点A重合），则的最小值为 ． 16．（23-24八年级下·湖北十堰·期末）【教材呈现】人教版八年级下册数学教材第69页有这样一个问题： 如图1，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形的外角的平分线于点F．求证．    (1)【思考尝试】教材有以下提示：取的中点G，连接，请在图1中补全图形，并解答这个问题． (2)【逆向思考】小明受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，正方形中，点E是线段延长线上一动点(点E与点C不重合)，是等腰直角三角形，．求证：平分请你思考并解答这个问题． (3)【拓展迁移】小华深入研究小明提出的这个问题，发现并提出新的问题：如图3，正方形的边长为4，E为射线上一动点，以为边作等腰，连接．则的最小值是 (请在横线上直接写出结果) 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 特殊的平行四边形中的最值模型之胡不归模型 胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。 1 模型1.胡不归模型（最值模型） 1 9 模型1.胡不归模型（最值模型） 从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？” 看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题. 补充知识：在直角三角形中锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即。 若无法理解正弦，也可考虑特殊直角三角形（含30°，45°，60°）的三边关系。 一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）。 1），记，即求BC+kAC的最小值. 2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值. 3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。 【最值原理】垂线段最短。 例1．（23-24九年级下·湖北·期中）如图，四边形是菱形，，且，M为对角线（不含点B）上任意一点，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，垂线段最短，锐角三角函数等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题． 如图，过点作于，过点作于．证明，求出，利用垂线段最短解决问题即可． 【详解】如图，过点作于，过点作于．    四边形是菱形，，∴，， ，，，， ，，， ，，，的最小值为，故答案为：． 例2．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，矩形中，，，点是边上一动点，连接、，则的最小值为 ． 【答案】3+2 【分析】过点C作直线CE，使CE与BC的夹角为30°，过点P作PE⊥CE，垂足为点E，则的最小值即为PA+PE的最小值，此时，PA+PE=AE，根据勾股定理求出BP=，进而即可求解． 【详解】解：过点C作直线CE，使CE与BC的夹角为30°，过点P作PE⊥CE，垂足为点E， ∵∠PCE=30°，PE⊥CE，∴PE=PC，∴的最小值即为PA+PE的最小值， 当PA和PE在同一直线上时，PA+PE最小，此时，PA+PE=AE， ∵∠APB=∠CPE，且∠PCE+∠CPE=∠PAB+∠APB=90°，∴∠PAB=∠PCE=30°，∴AP=2BP， ∴，解得：BP=（负值舍去），∴AP=，∴PE=， ∴AE=PA+PE=+=3+2，∴的最小值为3+2．故答案是：3+2． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，添加辅助线，构造含30°的直角三角形，是解题的关键． 例3．（2023·云南昆明·统考二模）如图，正方形边长为4，点E是边上一点，且．P是对角线上一动点，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】连接AC，作，证明当取最小值时，A，P，G三点共线，且，此时最 小值为AG，再利用勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半即可求出结果． 【详解】解：连接AC，作 ∵是正方形且边长为4，∴，，， ∵，∴，∴， ∴当取最小值时，A，P，G三点共线，且，此时最小值为AG， ∵，，∴，∵，∴， 设，则，∴，解得：， 设，则，∵，∴，解得： ∴，故选：D 【点睛】本题考查正方形的性质，动点问题，勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半，解题的关键是证明当取最小值时，A，P，G三点共线，且，此时最小值为AG． 例4．（23-24八年级下·湖北黄石·期末）如图，中，，，，为边上一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识，构造直角三角形是解题的关键．过点作交延长线于点，连接，根据平行四边形的性质，得到，由30度所对的直角边等于斜边一半，得到，进而得到，即，当点、、三点共线时，有最小值，即有最小值，此时，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，过点作交延长线于点，连接， ，，，在中，， ，，， 当点、、三点共线时，有最小值，即有最小值，此时， 在中，，，， 即的最小值为，故答案为：． 例5．（23-24九年级上·山东日照·期末）如图，在矩形中，，，点P是对角线上的动点，连接，则的最小值为（    ） A． B．6 C． D．4 【答案】B 【分析】直接利用已知得出，再将原式变形，进而得出最小值，进而得出答案． 【详解】解：过点A作，过点D作于点M，交于点P， ∵在矩形中，，， ∴， ∴， 则， ∴， ∴ ． 即的最小值为6．故选B． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，锐角三角函数的应用，理解题意，作出合适的辅助线是解本题的关键． 例6．（2023·广东佛山·校考一模）在边长为1的正方形中，是边的中点，是对角线上的动点，则的最小值为 ___________． 【答案】0 【分析】作于，可得出，从而得的最小值，将变形为，进一步得出结果． 【详解】解：如图，作于， ∵四边形是正方形，，，的最小值为0， ∵，∴的最小值为0，故答案为：0． 【点睛】本题考查了正方形的性质，解直角三角形等知识，解题关键是作辅助线转化线段． 例7．（2024·重庆·九年级校考期中）如图，矩形的对角线，相交于点，关于的对称图形为．（1）求证：四边形是菱形；（2）连接，若，． ①求的值；②若点为线段上一动点（不与点重合），连接，一动点从点出发，以的速度沿线段匀速运动到点，再以的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动．当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求的长和点走完全程所需的时间． 【答案】（1）证明见解析；（2）① ；②和 走完全程所需时间为 ． 【分析】（1）利用四边相等的四边形是菱形进行证明即可；（2）①构造直角三角形求即可； ②先确定点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时的位置，再计算运到的时间． 【详解】（1） 四边形 是矩形， ， 与 交于点O,且 关于 对称， ，， 四边形 是菱形； （2）①连接 ,直线 分别交 于点 ,交 于点 ， 关于 的对称图形为 ， ， 在矩形 中， 为 的中点，且O为AC的中点， 为 的中位线 ，   ，同理可得： 为 的中点， ，   ， ； ②过点P作 交 于点 ， 由 运动到 所需的时间为3s， 由①可得，， 点Q以 的速度从P到A所需的时间等于以 从M运动到A， 即：， 由O运动到P所需的时间就是OP+MA和最小. 如下图，当P运动到 ,即 时，所用时间最短.， 在 中，设， ， ，解得： ， ，和 走完全程所需时间为． 1．（2023·四川攀枝花·统考二模）如图，中，，，，为边上的一动点，则的最小值等于（ ） A．2 B．4 C．3 D．5 【答案】C 【分析】过点作，交的延长线于点，由锐角三角函数可得，即，则当点，点，点三点共线且时，有最小值，由可求最小值为． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点， ，，， ，， 当点，点，点三点共线且时，有最小值，即最小值为， ，．故答案为3． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短和锐角三角函数的性质，熟练应用相关性质是解题的关键． 2．（2023·湖北武汉·九年级期末）如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】作PH丄AD交AD的延长线于H，由直角三角形的性质可得HP=DP，因此PD+2PB=2(DP+PB)=2(PH+PB)，当H、P、B三点共线时HP+PB有最小值，即PD十2PB有最小值，即可求解． 【详解】如图，过点作，交的延长线于， 四边形是平行四边形，，∴ ∵PH丄AD∴∴，， ∴ 当点，点，点三点共线时，HP+PB有最小值，即有最小值， 此时 ，，，∴ ， 则最小值为，故答案为：． 【点睛】本题考查了胡不归问题，平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识．构造直角三角形是解题的关键． 3．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在矩形中，，，点为边上一点，则的最小值等于 ． 【答案】 【分析】过点C作直线，使与的夹角为，过点P作，垂足为点E，根据，，得出，说明的最小值即为的最小值，当和在同一直线上时，最小，此时，，求出其最小值即可． 【详解】解：过点C作直线，使与的夹角为，过点P作，垂足为点E，如图所示： 在矩形中，，，, ∵，，∴，∴的最小值即为的最小值，当和在同一直线上时，最小，此时，， ∵，且，∴， ∴，∴，∴，∴， ∴，∴的最小值为．故答案是：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，三角函数的应用，三角形内角和定理的应用，解题的关键是作出辅助线，找出最小时，点P的位置． 4．（2023·陕西宝鸡·统考二模）如图，在矩形中，，，点是对角线上的动点，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】直接利用已知得出，再将原式变形，进而得出最小值，进而得出答案． 【详解】过点A作，过点D作于点H，交于点， ∵在矩形中，，∴，∴，则， ∵， 此时最小，∴的最小值是．故答案为：． 【点睛】此题主要考查了胡不归问题，正确作出辅助线是解题关键． 5．（2023·广东中山·统考二模）如图，菱形的对角线，点E为对角线上的一动点，则的最小值为_________． 【答案】3 【分析】过点作的垂线，垂足为，过点作，根据已知条件求得的长，根据含30度角的直角三角形的性质，可得，当时，最小，股定理求得的长即可求解． 【详解】如图，过点作的垂线，垂足为，过点作， 中， ， 如图，当时，最小，最小值为 的最小值为．故答案为： 【点睛】本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，轴对称求线段和的最小值，垂线段最短，转化线段是解题的关键． 6．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，▱ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则2PB+ PD的最小值等于______. 【答案】 【分析】过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，根据四边形ABCD是平行四边形，得到 AB∥CD，推出PE=PD，由此得到当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，利用∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6求出PB+PE的最小值=AB=3，得到2PB+ PD的最小值等于6. 【详解】过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，∴∠EDC=∠DAB＝30°，∴PE=PD， ∵2PB+ PD=2（PB+PD）=2(PB+PE)， ∴当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上， ∵∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6，∴PB+PE的最小值=AB=3， ∴2PB+ PD的最小值等于6，故答案为：6. 【点睛】此题考查平行四边形的性质，直角三角形含30°角的问题，动点问题，将线段2PB+PD转化为三点共线的形式是解题的关键. 7．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝2， BC＝2，点P是对角线AC上的动点，连接PD，则PA＋2PD的最小值________． 【答案】6 【分析】直接利用已知得出∠CAB=60°，再将原式变形，进而得出PA+PD最小值，进而得出答案． 【详解】过点A作∠CAN=30°，过点D作DM⊥AN于点M，交AC于点P， ∵在矩形ABCD中，AB=2，BC=，∴tan∠CAB=， ∴∠CAB=60°，则∠DAC=30°，∵PA+2PD=2（PA+PD）， ， 此时PA+PD最小，∴PA+2PD的最小值是2×3=6．故答案为：6． 【点睛】此题主要考查了胡不归问题，正确作出辅助线是解题关键． 8．（2023·四川眉山·一模）两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD．如图所示若，P是对角线BD上的一个动点，则的最小值是______． 【答案】 【分析】先证明四边形ABCD是菱形，过点D作DE⊥BC于点E，连接AC，交BD于点O，可得，，然后根据勾股定理可得，则，进而求出，要使的值最小，则需要满足为最小，即为最小， 当B、P、M在同一直线上时，为最小，过点A作AM⊥AP，且使，连接BM，进而求解即可． 【详解】两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD， 即，四边形ABCD是平行四边形， ，，四边形ABCD是菱形， 过点D作DE⊥BC于点E，连接AC，交BD于点O，如图， ，， ，，， ，， ，过点A作AM⊥AP，且使，连接BM，如图， ，要使的值最小，则需要满足为最小，即为最小， 当B、P、M在同一直线上时，为最小，如图， ，，的最小值为，故答案为：． 【点睛】本题考查了三角函数、菱形的性质与判定及含30°直角三角形的性质，解题的关键是利用“胡不归”原理找到最小值的情况，然后根据三角函数及菱形的性质进行求解即可． 9．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，矩形ABCD中AB＝3，BC，E为线段AB上一动点，连接CE，则AE＋CE的最小值为___． 【答案】3 【详解】思路引领：在射线AB的下方作∠MAB＝30°，过点E作ET⊥AM于T，过点C作CH⊥AM于H．易证ETAE，推出AE+EC＝CE+ET≥CH，求出CH即可解决问题． 答案详解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°， ∴tan∠CAB，∴∠CAB＝30°，∴AC＝2BC＝2， 在射线AB的下方作∠MAB＝30°，过点E作ET⊥AM于T，过点C作CH⊥AM于H． ∵ET⊥AM，∠EAT＝30°，∴ETAE， ∵∠CAH＝60°，∠CHA＝90°，AC＝2，∴CH＝AC•sin6°＝23， ∵AE+EC＝CE+ET≥CH，∴AE+EC≥3，∴AE+EC的最小值为3，故答案为3． 10．（2023·重庆沙坪坝·八年级校考期末）如图，在直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，分别以、为边作矩形，点、在直线上，且，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】如图，过点B作BM∥AC交x轴于M，在直线BM上截取BB′＝DE＝1，过点B′作B′F⊥OM于F，过点E作EH⊥OC于H，连接B′H．证明BD＋EC＝B′E＋EH≥B′H，再根据B′H≥B′F，求出B′F即可解决问题． 【详解】如图，过点B作BM∥AC交x轴于M，在直线BM上截取BB′＝DE＝1，过点B′作B′F⊥OM于F，过点E作EH⊥OC于H，连接B′H． 与x轴交于点C，与y轴变于点A， 令x=0，y=，令y=0,得x= ∴A（0，），C（，0）， ∴OA＝，OC＝，∴AC==2OA，∴∠ACO＝30°， ∵EH⊥OC，∴EH＝EC，∵BB′＝DE，BB′∥DE，∴四边形DBB′E是平行四边形，∴BD＝B′E， ∵BM∥AC，∴∠BMC＝∠ACO＝30°，∵∠BCM＝90°，BC＝，∴BM＝2BC＝3， ∴B′M＝1＋3，∵∠MFB′＝90°，∴B′F＝MB′＝， ∵BD＋EC＝B′E＋EH≥B′H，B′H≥B′F，∴BD＋EC≥， ∴BD＋EC的最小值为，故答案为． 【点睛】本题考查一次函数的性质，解直角三角形，垂线段最短，矩形的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 11．（2023·黑龙江佳木斯·统考一模）如图，菱形ABCD中，，边长为3，P是对角线BD上的一个动点，则的最小值是______． 【答案】 【分析】求两条线段之和的最小值问题，通常转化为两点之间的距离，在平面中，两点间的距离最短． 【详解】解：如图所示： 过点作交于点，过点作交于点， 四边形是菱形，， ∴∠ABP=30°，，， 由垂线段最短可知，的最小值为的长， ， 即的最小值是：，故答案是：． 【点睛】本题考查了动点中的最短路径问题，解题的关键是：通过等量代换，转化为两点之间的距离． 12．（2024·江苏镇江·统考一模）如图，在平行四边形中，，E为边上的一动点，那么的最小值等于______． 【答案】3 【分析】如图，过作交的延长线于点，根据平行四边形的性质，推出，从而得到，进而得到，根据，可知，当三点共线时，线段的和最小，利用所对的直角边是斜边的一半即可得解． 【详解】解：如图，过作交的延长线于点， ∵四边形为平行四边形，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴当三点共线时，线段的和最小， ∵，，∴， 即：的最小值等于3；故答案为：3． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，以及含的直角三角形．通过添加辅助线，构造含的直角三角形，利用垂线段最短进行求解，是解题的关键．本题是胡不归模型，平时多归纳总结，可以快速解题． 13．（2023·广东东莞·校考三模）如图，菱形ABCD的边长为6，∠B＝120°．点P是对角线AC上一点（不与端点A重合），则AP+PD的最小值为_____． 【答案】3 【分析】过点P作PE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F，根据四边形ABCD是菱形，且∠B＝120°，∠DAC＝∠CAB＝30°，可得PE＝AP，当点D，P，E三点共线且DE⊥AB时，PE+DP的值最小，最小值为DF的长，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点P作PE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F, ∵四边形ABCD是菱形，且∠B＝120°,∴∠DAC＝∠CAB＝30°,∴PE＝AP; ∵∠DAF＝60°,∴∠ADF＝30°,∴AF＝AD＝×6＝3;∴DF＝3; ∵AP+PD＝PE+PD,∴当点D，P，E三点共线且DE⊥AB时, PE+DP的值最小，最小值为DF的长,∴AP+PD的最小值为3.故答案为：3. 【点睛】本题考查菱形性质，结合直角三角形、等边三角形的判定与性质知识点，准确判断最小值的判定. 14．（2023上·湖北黄冈·八年级校考期中）如图，在长方形中，对角线．将长方形沿对角线折叠，得，点 M 是线段上一点．则的最小值为 ． 【答案】 【分析】过点作于点，连接，过点作于点，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，进而得到，进而得到当三点共线时，的值最小为的长，再根据点到直线，垂线段最短，得到当时， 最小，即点与点重合，再利用含30度角的直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵在长方形中，对角线， ∴，∴， ∵将长方形沿对角线折叠，得，∴，∴， 过点作于点，连接，过点作于点，则：，， ∵，∴，∴， ∴当三点共线时，的值最小为的长， ∵点到直线，垂线段最短，∴当时， 最小，即点与点重合， ∵，∴，∴，∴， 即：的最小值为．故答案为：． 【点睛】本题考查折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，垂线段最短．解题的关键是理解两点之间线段最短，以及点到直线垂线段最短，添加辅助线构造特殊三角形． 15．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）【课本探究】如图1所示，将两个含30°角的三角尺摆放在一起，可以证得△ABD是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 【小试牛刀】 如图2，在中，，AD平分，，则BC= 　　． 【变式探索】如图3，菱形ABCD的边长为6，，点P是对角线AC上一点（不与端点A重合），则的最小值为 ． 【答案】[小试牛刀]6；[变式探索]； 【分析】[小试牛刀] 在中，，推出，再证明，即可得答案； [变式探索] 如图3，过点P作于点E，过点D作于点F，根据四边形ABCD是菱形，且，，得，当点D、P、E三点共线且时，的值最小，最小值为DF的长，可得答案； 【详解】[小试牛刀]解：如图2，在中， ， ， 平分，， ，，，， ，； [变式探索] 如图3，过点P作于点E，过点D作于点F， 四边形ABCD是菱形，且，，， ，，，， ，当点D、P、E三点共线且时，的值最小，最小值为DF的长， 的最小值为； 16．（23-24八年级下·湖北十堰·期末）【教材呈现】人教版八年级下册数学教材第69页有这样一个问题： 如图1，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形的外角的平分线于点F．求证．    (1)【思考尝试】教材有以下提示：取的中点G，连接，请在图1中补全图形，并解答这个问题． (2)【逆向思考】小明受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，正方形中，点E是线段延长线上一动点(点E与点C不重合)，是等腰直角三角形，．求证：平分请你思考并解答这个问题． (3)【拓展迁移】小华深入研究小明提出的这个问题，发现并提出新的问题：如图3，正方形的边长为4，E为射线上一动点，以为边作等腰，连接．则的最小值是 (请在横线上直接写出结果) 【答案】(1)见详解(2)见详解(3) 【分析】（1）取的中点，连接，利用同角的余角相等说明，再根据证明，得；（2）过点作交延长线于点H，则，证明，得出，从而得出，是等腰直角三角形，得出，即可得到；即可证出平分．（3）连接，作，交的延长线于，交于，连接，由（2）知，，得出是等腰直角三角形，，即可得到点与关于对称，根据对称性质得到，即可得到当三点共线时，最小，最小值为的长，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，即可得到，故的最小值为． 【详解】（1）证明：取的中点，连接，        ∵、分别为、的中点，∴，∴，∴， ∵平分，∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴； （2）证明：过点作交延长线于点H， 则，∵四边形是正方形，∴， ∵，∴， ，∴， ∴，∴， ∴，∴是等腰直角三角形，∴， ∴；∴平分． （3）连接，作，交的延长线于，交于，连接， 由（2）知，，∴是等腰直角三角形， ∴，∴点与关于对称，∴，∴ 当三点共线时，最小，最小值为的长， ∵，，由勾股定理得， ∵在中，，∴，∴， ∴的最小值为，则的最小值是． 【点睛】本题是四边形综合题，考查正方形的性质，轴对称-最短路线问题，全等三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 24 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$