专题03 特殊的平行四边形中的最值模型之瓜豆模型（原理）-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北京版）

专题03 特殊的平行四边形中的最值模型之瓜豆模型（原理） 动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹为直线型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 2 模型1.将军遛马模型 2 模型2.将军造桥（过桥）模型 2 3 模型1.瓜豆模型（原理）-直线轨迹 瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。 主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。 古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。 条件：1）如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？ 结论：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线． 证明：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中， 因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线． 条件：2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？ 结论：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。 证明：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可， 比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。 解题策略：1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值； 2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下四种方法进行确定： ①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线；②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④若动点轨迹用上述方法都不合适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。 例1．（23-24九年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，正方形的边长为4，，点E是直线上一个动点，连接，线段绕点B顺时针旋转得到，连接，则线段长度的最小值等于（    ）    A． B． C． D． 例2．（23-24八年级下·北京西城·期中）如图，在等腰中，，D是上一动点，以为底，在的右侧作等腰，若，则的最小值为（    ）． A．4 B．3 C．2 D．1 例3．（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图，菱形中，，，点在边上，且，动点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转60°至线段，连接，则线段长的最小值为 .    例4．（2024·北京·模拟预测）如图，在矩形中，，，点在线段上运动（含两点），连接，以点为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D．3 例5．（2023·四川内江·校考一模）如图，矩形中，已知，点F是上一动点，点P是的中点，连接，则的最小值为________． 例6．（2023上·福建三明·八年级统考期中）如图，在长方形中，，，为边上的点，且．为边上的动点，以为边在其右侧作等腰直角三角形，．设中点为，则的最小值为 ．      例7．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，在平行四边形中，，，点为射线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的最小值为 ． 1．（2024·山东泰安·校考一模）如图，矩形的边，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，连接，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 2．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）如图，菱形边长为，，点是射线上一动点，以为边向右侧作等边，连接，则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·北京海淀·期中）如图，是边长为4的等边三角形，是的中点，是直线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接．下列说法中正确的个数是（   ） ①；②；③；④点的运动过程中，的最小值是1 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2023·福建·福州八年级期末）如图，在中，，，，D为AB上一动点（不与点A重合），为等边三角形，过D点作DE的垂线，F为垂线上任意一点，G为EF的中点，则线段BG长的最小值是（ ） A． B．6 C． D．9 5．（2024·湖南长沙·一模）如图，矩形中，，F是上一点，E为上一点，且，连接，将绕着点E顺时针旋转到的位置，则的最小值为 ． 6．（23-24八年级下·山东德州·期中）如图，线段的长为10，点D在线段上运动，以为边长作等边．再以为边长，在线段上方作正方形，记正方形的对角线交点为O．连接，则线段的最小值为 ． 7．（2023·江苏·扬州八年级期末）如图，已知正方形的边长为，点是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转到连接，则的最小值是_____． 8．（2023·陕西师大附中三模）如图，正方形中，，点E为边上一动点，将点A绕点E顺时针旋转得到点F，则的最小值为__________． 9.（2023上·湖北武汉·九年级校联考期中）如图，已知，B为上一点，于A，四边形为正方形，P为射线上一动点，连接，将绕点C顺时针方向旋转得，连接，若，则的最小值为 ．    10．（2023·江苏无锡·一模）如图，长方形中，，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，将绕着点顺时针旋转到的位置，连接和，则的最小值为______． 11．（2023·湖北随州·统考一模）如图，在正方形中，点是上一动点，点是的中点，绕点顺时针旋转得到，连接，．则______，若正方形的边长为2，则点在射线上运动时，的最小值是______． 12．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，边长为a的等边中，是上中线且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是 ． 13．（23-24九年级上·北京朝阳·期中）如图，已知，，，，点D在所在直线上运动，以为边作等边三角形，则 ．在点D运动过程中，的最小值 ．    14．（24-25八年级下·北京海淀·期中）如图，等边边长为2，点D为边延长线上一动点，，，点F是线段的中点，连接． （1）用等式表示线段和的数量关系为： ； （2）线段长度的最小值为： ． 15．（23-24八年级上·北京石景山·期末）如图，在等边中，，点O在上，且，点E是边上一动点，连接，将线段绕点O逆时针旋转得到线段，且． （1）连接，则的形状为 ；（2）当点E在边上运动时，连接，则的最小值为 ． 16．（23-24九年级上·北京西城·期中）如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B，C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为 ． 17．（2023·四川成都·模拟预测）如图，四边形为矩形，对角线与相交于点，点在边上，连接，过做，垂足为，连接，若，，则的最小值为 ． 18．（23-24八年级下·江苏南通·期中）预备知识：在一节数学课上，老师提出了这样一个问题：随着变量的变化，动点在平面直角坐标系中的运动轨迹是什么?一番深思熟虑后，聪明的小明说：“是一条直线”，老师问：“你能求出这条直线的函数表达式吗？” 小明的思路如下：设这条直线的函数表达式为， 将点代入得：，整理得． 为任意实数，等式恒成立；，．，． 这条直线的函数表达式为． 请仿照小明的做法，完成问题：（1）随着变量的变化，动点在平面直角坐标系中的运动轨迹是直线，求直线的函数表达式． 问题探究：（2）如图1，在平面直角坐标系中，已知，，且，，则点的坐标为 ． 结论应用：（3）如图2，在平面直角坐标系中，已知点，是直线上的一个动点，连接，过点作，且，连接，求线段的最小值． 19．（23-24九年级下·北京·阶段练习）已知：在中，，，是边上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段． (1)如图1，当点在线段上时，求证：是的中点； (2)如图2，连接，取线段的中点，连接，直接写出的大小并证明； (3)若是的中点，，直接写出的最小值为______． 20．（2023上·北京西城·八年级校考期中）（1）如图①，在边长为的等边中，点为上一点，，过作，垂足为，点是线段上一动点，以为边向右作等边． （）过点作于，证明：． （）当点从点运动到点时，求点运动的路径长． （2）如图，在长方形中，，，．为上一点，且，为边上的一个动点，作顶角的等腰，连接，求的最小值．（提示：等腰直角三角形的三边长，，满足）    4 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 特殊的平行四边形中的最值模型之瓜豆模型（原理） 动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹为直线型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 2 模型1.将军遛马模型 2 模型2.将军造桥（过桥）模型 2 3 模型1.瓜豆模型（原理）-直线轨迹 瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。 主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。 古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。 条件：1）如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？ 结论：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线． 证明：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中， 因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线． 条件：2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？ 结论：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。 证明：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可， 比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。 解题策略：1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值； 2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下四种方法进行确定： ①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线；②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④若动点轨迹用上述方法都不合适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。 例1．（23-24九年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，正方形的边长为4，，点E是直线上一个动点，连接，线段绕点B顺时针旋转得到，连接，则线段长度的最小值等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接，在上截取，使得，连接，过点D作于点H．    ∵四边形是正方形，∴， ∴，∴， ∵，∴， 在和中，∴，∴， ∴点F在直线上运动，当点F与H重合时，的值最小， ∵∴，∴的最小值为，故选：B． 例2．（23-24八年级下·北京西城·期中）如图，在等腰中，，D是上一动点，以为底，在的右侧作等腰，若，则的最小值为（    ）． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】解：∵在等腰中，，∴, 如图1：当点D在点B处时，依题意作等腰, ∵是等腰直角三角形∴点为的中点,∴, 当点D在点C处时,依题意作等腰，∴, 如图2：设的中点为F，连接， ∵等腰，等腰，∴,， ∴,即,∴， ∴,∴∴所在的直线为点E的运动轨迹， 如图1：连接交于点，∴、， ∴垂直平分，∴的最小值即为的长，∴．故选B． 例3．（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图，菱形中，，，点在边上，且，动点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转60°至线段，连接，则线段长的最小值为 .    【答案】 【详解】解：在上取一点，使得，连接，，作直线交于，过点作于．    ，，是等边三角形，，， ，，是等边三角形，，， ，，， ，，点在射线上运动， 根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小， ，，，，，， ，四边形是平行四边形，，， ，，，的最小值为，故答案为：． 例4．（2024·北京·模拟预测）如图，在矩形中，，，点在线段上运动（含两点），连接，以点为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【详解】解：如图，以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H． ∵四边形是矩形，∴， ∵都是等边三角形，∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∴点Q在与过点F且与垂直的射线上运动，∵，∴， ∵，，∴点Q在射线上运动，∵，∴， ∵，∴． 根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，的值最小，最小值为3．故选D． 例5．（2023·四川内江·校考一模）如图，矩形中，已知，点F是上一动点，点P是的中点，连接，则的最小值为________． 【答案】 【详解】解：如图：当点F与点C重合时，点P在处，， 当点F与点E重合时，点P在处，，∴且． 当点F在上除点C、E处的位置时，有． 由中位线定理可知：且．∴点P的运动轨迹是线段， ∴当时，取得最小值．∵矩形中，，E为的中点， ∴为等腰直角三角形，．∴． ∴．∴．∴，即，∴的最小值为的长． 在等腰直角中，，∴∴的最小值是．故答案是：． 例6．（2023上·福建三明·八年级统考期中）如图，在长方形中，，，为边上的点，且．为边上的动点，以为边在其右侧作等腰直角三角形，．设中点为，则的最小值为 ．      【答案】 【分析】过点作于，过点作，证明，可得，可得点在平行且到距离为的直线上运动，则当点、、共线时，有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于，过点作，∴， ∵四边形是长方形也就是矩形，，， ∴，，∴， ∵是等腰直角三角形，，∴， ∴，∴， 在和中，，∴， ∴，∴点在平行且到距离为的直线上运动， 当点、、共线时，，则，此时有最小值， 此时，∴四边形是长方形， ∴，∴，∴的最小值为，故答案为：．      【点睛】本题考查长方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，等腰直角三角形的性质，垂线段最短，确定点的运动轨迹是解题的关键． 例7．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，在平行四边形中，，，点为射线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，以为边向下作等边，连接， 是等边三角形，，， 由旋转的性质可知：，，， 即：，， 在和中，，，， 根据垂线段最短可知，当时，的值最小，即的值最小，此时， 四边形是平行四边形，，，， ，， ，， 是等边三角形，，， ，的最小值为，故答案为：． 1．（2024·山东泰安·校考一模）如图，矩形的边，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，连接，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB，由“AAS”可证△GEH≌△EFA，可得GH＝AE＝1，可得点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，则当F与D重合时，CG有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝，BC＝3，∴∠B＝90°，CD＝，AD＝3， ∵AE＝1，∴BE＝，∵∠GHE＝∠A＝∠GEF＝90°， ∴∠GEH＋∠EGH＝90°，∠GEH＋∠FEA＝90°，∴∠EGH＝∠FEA， 又∵GE＝EF，∴△GEH≌△EFA（AAS），∴GH＝AE＝1， ∴点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动， ∴当F与D重合时，CG有最小值，此时AF＝EH＝3， ∴CG的最小值＝，故选B． 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，确定点G的运动轨迹是本题的关键． 2．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）如图，菱形边长为，，点是射线上一动点，以为边向右侧作等边，连接，则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，连接，可得和是等边三角形，进而证明得到，进而得到，延长交于，则在射线上运动，由等边三角形三线合一可得，即得到当点与重合时，取最小值，据此即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴和是等边三角形，∴，， ∵是等边三角形，∴，，∴， ∴，∴，∵四边形是菱形，，∴，∴， 延长交于，则在射线上运动， ∵是等边三角形，∴，∴， 当点与重合时，取最小值，如图， 此时，，故选：． 3．（24-25九年级上·北京海淀·期中）如图，是边长为4的等边三角形，是的中点，是直线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接．下列说法中正确的个数是（   ） ①；②；③；④点的运动过程中，的最小值是1 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：∵是边长为4的等边三角形，∴，， ∵是的中点，∴，故说法①正确； ∵将线段绕点逆时针旋转得到，∴，， ∴，∴，故说法②、③正确； 取线段的中点，连接，如图所示，∴， 在和中，，∴，∴， 当时，取最小值，如下图， ∵点为的中点，∴，∵，，是的中点， ∴，∴，∴点的运动过程中，的最小值是1，故说法④正确． 综上所述，说法正确的有4个．故选：D． 4．（2023·福建·福州八年级期末）如图，在中，，，，D为AB上一动点（不与点A重合），为等边三角形，过D点作DE的垂线，F为垂线上任意一点，G为EF的中点，则线段BG长的最小值是（ ） A． B．6 C． D．9 【答案】B 【分析】连接，，设交于点，先判定为线段的垂直平分线，再判定，然后由全等三角形的性质可得答案． 【详解】解：如图，连接，，设交于点， ，为的中点，，点在线段的垂直平分线上， 为等边三角形，，点在线段的垂直平分线上， 为线段的垂直平分线，，， 点在射线上，当时，的值最小，如图所示，设点为垂足， ，，，， 则在和中，，．， ∵，，，∴，， ∴，解得：，∴故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质，数形结合并明确相关性质及定理是解题的关键． 5．（2024·湖南长沙·一模）如图，矩形中，，F是上一点，E为上一点，且，连接，将绕着点E顺时针旋转到的位置，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，，设交于J．证明，根据垂线段最短计算即可． 【详解】解：如图，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，，设交于J． ∵四边形是矩形，，，， ∴，，，，∴， ∵，∴，在和中， ∵，∴∴， ∴点G的在射线上运动，∴当时，的值最小， ∵，∴， ∴四边形是矩形，∴，∴， ∴，∴， ∴，∴的最小值为，故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，解直角三角形，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，熟练掌握相应的知识是解题的关键． 6．（23-24八年级下·山东德州·期中）如图，线段的长为10，点D在线段上运动，以为边长作等边．再以为边长，在线段上方作正方形，记正方形的对角线交点为O．连接，则线段的最小值为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质．连接、，则、交于点O，连接并延长，过点B作于点M，证明，得出，证明点O一定在射线上，根据垂线段最短，得出点O在点M处时，线段取最小值，求出最小值即可． 【详解】解：连接、，则、交于点O，连接并延长，过点B作于点M，如图所示： ∵为等边三角形，∴，，∵四边形为正方形，∴，∵， ∴，∴，∴点O一定在射线上， ∵垂线段最短，∴点O在点M处时，线段取最小值， ∵，，∴，∴线段取最小值为5．故答案为：5． 7．（2023·江苏·扬州八年级期末）如图，已知正方形的边长为，点是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转到连接，则的最小值是_____． 【答案】 【详解】解：连接BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G， ∵将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，∴EF⊥DE，且EF＝DE， ∵，，∴∠EDA＝∠FEG， ∴在△AED和△GFE中，∴△AED≌△GFE（AAS），∴FG＝AE，， 又∵，∴，∴，∴， 又∵，∴是等腰直角三角形，∴， ∴BF是∠CBC′的角平分线，即F点在∠CBC′的角平分线上运动， 过点C作BF的对称点，则 ∴C点在AB的延长线上，是等腰直角三角形， ∴当D、F、C三点共线时，DF+CF＝最小， ∴在中，AD＝4，， ∴，∴DF+CF的最小值为，故答案为：． 8．（2023·陕西师大附中三模）如图，正方形中，，点E为边上一动点，将点A绕点E顺时针旋转得到点F，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】上截取，过点作交的延长线于点，证明，是等腰直角三角形，进而根据垂线段最短即可求解． 【详解】如图，上截取，过点作交的延长线于点， 正方形中，，将点A绕点E顺时针旋转得到点F， 是等腰直角三角形, 在射线上运动，则是等腰直角三角形， 与点重合时，取得最小值，等于 即的最小值为故答案为： 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，垂线段最短，求得的轨迹是解题的关键． 9.（2023上·湖北武汉·九年级校联考期中）如图，已知，B为上一点，于A，四边形为正方形，P为射线上一动点，连接，将绕点C顺时针方向旋转得，连接，若，则的最小值为 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及垂线段最短的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等以及垂线段最短进行解答．连接，依据构造全等三角形，即，将的长转化为的长，再依据垂线段最短得到当最短时，亦最短，根据，，即可求得的长的最小值． 【详解】解：如图，连接，    由题意可得，∴ ， 在和中，，  ∴，∴， 当时，最短，此时也最短， ∵， ，∴，∴ ∴， ∴当时， ，∴的最小值为．故答案为：． 10．（2023·江苏无锡·一模）如图，长方形中，，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，将绕着点顺时针旋转到的位置，连接和，则的最小值为______． 【答案】 【分析】如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接交于．首先证明，推出点在射线上运动，推出当时，的值最小，进一步即得答案． 【详解】解：如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，连接交于． ∵四边形是矩形，∴，， ∵，∴， 在和中，，∴（）， ∴，∴点在射线上运动，∴当时，的值最小， ∵，，，∴，∴， ∴，∴四边形是矩形， ∴，，∴，∴， ∴，∴，∴的最小值为，故答案为． 【点睛】本题考查旋转的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 11．（2023·湖北随州·统考一模）如图，在正方形中，点是上一动点，点是的中点，绕点顺时针旋转得到，连接，．则______，若正方形的边长为2，则点在射线上运动时，的最小值是______． 【答案】 /度 【分析】如图1所示，延长交的延长线于点，由“”可证，可得，由直角三角形的性质可得，由三角形内角和定理可求，可得，即可求出；如图2所示，连接，过点作于，由，知点在直线上运动，即得当时，有最小值为的长度，而，即有最小值为． 【详解】解：如图1所示，延长交的延长线于点， 点是的中点，，四边形是正方形，， ，，，， 又，，绕点顺时针旋转得到， ，，， ，， ，， ，； 如图2所示，连接，过点作于， ，点在直线上运动，当时，有最小值，最小值为的长度， ，，，即有最小值为，故答案为：，． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键． 12．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，边长为a的等边中，是上中线且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：连接∵均为等边三角形， ∴， ∴，∴，∴， ∵，∴， ∴点E在射线上运动（）， 作点A关于直线的对称点M，连接交于点，此时的值最小， ∵∴是等边三角形且与全等，∴，， ∵，∴，∴周长的最小值是 故答案为： 13．（23-24九年级上·北京朝阳·期中）如图，已知，，，，点D在所在直线上运动，以为边作等边三角形，则 ．在点D运动过程中，的最小值 ．    【答案】 4 【详解】解：以为边作等边，并作，垂足为点H，连接，如图：    ，，，，∴， ∴，，即，∴，， ∵都是等边三角形，∴，   ∴，即， 在和中，，∴，∴， ∴最小即是最小，∴当时，最小，此时， ∴四边形是矩形，∴，∴的最小值是．故答案为：4，． 14．（24-25八年级下·北京海淀·期中）如图，等边边长为2，点D为边延长线上一动点，，，点F是线段的中点，连接． （1）用等式表示线段和的数量关系为： ； （2）线段长度的最小值为： ． 【答案】 / 【详解】解：（1）如图1，延长至点M，使，连接、， ∵点F是线段的中点，∴，在和中，， ∴，∴，∴， ∵，，∴，∴，   ∵是等边三角形，∴， ∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∴， ∴是等边三角形，∴；故答案为：； （2）如图2，连接，取的中点N，作射线， ∵，，∴，∵点N是的中点，∴是的中位线， ∴，∴，∴点F的轨迹为射线，且， 当时，最短，∵，∴， 在，，∴，∴线段长度的最小值为：．故答案为：． 15．（23-24八年级上·北京石景山·期末）如图，在等边中，，点O在上，且，点E是边上一动点，连接，将线段绕点O逆时针旋转得到线段，且． （1）连接，则的形状为 ；（2）当点E在边上运动时，连接，则的最小值为 ． 【答案】 等边三角形 【详解】解：（1）根据旋转可知，， ∵，∴为等边三角形；故答案为：等边三角形； （2）在上取点F，使，连接，，如图所示： ∵为等边三角形，∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴为等边三角形，∴，， ∵，∴，即， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴点D在过点F且平行于的直线上，过点C作于点G， ∵垂线段最短，∴当点D与点G重合时，最小， ∵，，∴，∵，∴， ∵，∴，∴， ∴，即的最小值为．故答案为：． 16．（23-24九年级上·北京西城·期中）如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B，C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H． ∵四边形是矩形，∴，∵都是等边三角形， ∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴，∵，， ∴点Q在射线上运动，∵，∴， ∵，∴． 根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，的值最小，最小值为．故答案为：． 17．（2023·四川成都·模拟预测）如图，四边形为矩形，对角线与相交于点，点在边上，连接，过做，垂足为，连接，若，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，含直角三角形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，先根据面积法可计算的长为，根据三角形的三边关系可得：是一个定点，的轨迹为中垂线上的一部分，所以垂线段最短，可知的长是的最小值，最后由等边三角形三线合一的性质可得结论． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，，， ，，，， ，， 是一个定点，的轨迹为中垂线上的一部分，如下图所示，过点作于，过点作于，过点作于，所以垂线段最短，则的最小值为的值， ，，，中，， ，，，， 即的最小值为．故答案为：． 18．（23-24八年级下·江苏南通·期中）预备知识：在一节数学课上，老师提出了这样一个问题：随着变量的变化，动点在平面直角坐标系中的运动轨迹是什么?一番深思熟虑后，聪明的小明说：“是一条直线”，老师问：“你能求出这条直线的函数表达式吗？” 小明的思路如下：设这条直线的函数表达式为， 将点代入得：，整理得． 为任意实数，等式恒成立；，．，． 这条直线的函数表达式为． 请仿照小明的做法，完成问题：（1）随着变量的变化，动点在平面直角坐标系中的运动轨迹是直线，求直线的函数表达式． 问题探究：（2）如图1，在平面直角坐标系中，已知，，且，，则点的坐标为 ． 结论应用：（3）如图2，在平面直角坐标系中，已知点，是直线上的一个动点，连接，过点作，且，连接，求线段的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）仿照预备知识解答即可；（2）作轴于，轴于，证明，得出，，即可得解；（3）作轴于，轴于，证明，得出，，设，分三种情况：当时，时，时，分别求出的最小值，比较即可得出答案． 【详解】解：（1）设直线的表达式为， 将代入得：，整理得：， ∵为任意实数，等式恒成立，∴，，解得：，， ∴直线的表达式为； （2）如图，作轴于，轴于，∴，∴， ， ， ， ∵，∴，∴， 在和种，，∴，∴，， ∵，，∴，，∴，，∴，∴； （3）如图，作轴于，轴于，则，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，， ∵是直线上的一个动点，∴设， 在中，当时，，当时，，解得，∴，， 当时，，，∴， ∴，∴ ∵，∴随着的减小而增大，∴此时， 当时，，，∴， ∴，∴， ∵，，∴当时，为最小，最小值为； ， 当时，，，∴， ∴，∴， ∵，∴随着的增大而增大，∴此时∵，∴的最小值为． 【点睛】本题考查了求一次函数解析式、三角形全等的判定与性质、坐标与图形、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 19．（23-24九年级下·北京·阶段练习）已知：在中，，，是边上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段． (1)如图1，当点在线段上时，求证：是的中点； (2)如图2，连接，取线段的中点，连接，直接写出的大小并证明； (3)若是的中点，，直接写出的最小值为______． 【答案】(1)证明见解析(2)，证明见解析(3) 【详解】（1）证明：由旋转的性质可得，∴是等边三角形，∴， ∵，∴，又∵，∴是的中点； （2）解：，证明如下：如图所示，延长到G，使得，连接， 同（1）可证明是等边三角形，∴，， ∵，∴， ∴，∴，∴，∴， ∵点M为的中点，∴为的中位线，∴， ∴，∴； （3）解：如图所示，连接，∵点F是的中点，∴， ∵，∴，∵， ∴是等边三角形，∴， ∴，∴点E在直线上运动， 设直线交于T，过点F作垂直于直线于H，∴，∴， ∵，∴，∴， 由垂线段最短可知，当点E运动到点H，即时，有最小值，最小值为，故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，三角形中位线定理等等，证明点E的运动轨迹是直线是解题的关键． 20．（2023上·北京西城·八年级校考期中）（1）如图①，在边长为的等边中，点为上一点，，过作，垂足为，点是线段上一动点，以为边向右作等边． （）过点作于，证明：． （）当点从点运动到点时，求点运动的路径长． （2）如图，在长方形中，，，．为上一点，且，为边上的一个动点，作顶角的等腰，连接，求的最小值．（提示：等腰直角三角形的三边长，，满足）    【答案】（1）（i）见解析；（ii）点F运动的路径长为4；（2）． 【分析】（1）（i）证明，可得；（）以为一边向右作等边三角形，连接，以为一边向右作等边三角形，连接，证明，则，，再说明，且，则点在线段上运动，即可求出点运动的路径长为； （2）将线段绕点顺时针旋转到，作射线，连接交于点，证明，得，说明点在以点为端点且与平行的射线上运动，当时，线段最短，求出此时的长即可． 【详解】（1）（i）证明： ∵，，∴， ∵是边长为5等边三角形，∴，， ∵是等边三角形，∴，， ∵， ∴，∴，∴； ②如图①乙，以为一边向右作等边三角形，即，    ∵，，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴连接，以为一边向右作等边三角形，连接， 则，，∴， ∵，，∴，∴，， ∴，∴，，由（）得，∴， ∵，且，∴点在线段上运动， ∵当点与点重合时，则点与点重合；当点与点重合时，点与点重合， ∴点运动的路径长为． （2）如图②，将线段绕点E顺时针旋转到，作射线，连接交于点K，    ∵作顶角的等腰，∴，， ∴，∵， ∴， ∵四边形是长方形，∴， ∵，，∴， ∴，，∴， ∵，∴，∴点G在以点L为端点且与平行的射线上运动， ∴当时，线段最短，∵，∴，∴， ∴，∵，，， ∴，∴，∴的最小值是． 【点睛】此题重点考查等边三角形的判定与性质、直角三角形的判定、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、垂线段最短等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 2 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $$