专题04 特殊的平行四边形中的最值模型之费马点模型-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北京版）

专题04 特殊的平行四边形中的最值模型之费马点模型 费马点模型是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考试中都以中高档题为主。本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.费马点模型 1 12 模型1.费马点模型 皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等。 费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点。 结论：如图，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+MB+MC的值最小。 注意：上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A。（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°） 证明：法1：如图1，将△ABM绕点B逆时针旋转60°得到△EBN． ∴BM＝BN，EN＝AM，∠MBN＝60°，∴△BMN为等边三角形，∴BM＝MN， ∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小． 此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°； ∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°． 图1 图2 图3 法2：如图2，以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN． ∵△ABE为等边三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN． 在△AMB与△ENB中，∵，∴△AMB≌△ENB（SAS）． 连接MN．由△AMB≌△ENB知，AM＝EN．∵∠MBN＝60°，BM＝BN，∴△BMN为等边三角形． ∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小． 此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°； ∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°． 费马点的作法：如图3，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点。（具体原理可参考法1和法2） 【最值原理】两点之间，线段最短。 例1．（2024·福建泉州·八年级校考期末）如图，是边长为2的正方形内一动点，为边上一动点，连接，则的最小值为（    ）    A．4 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】将绕点A逆时针旋转得到，则知是等边三角形，转化为两定点之间的折线，再利用“垂线段最短”求最小值． 【详解】如图，将绕点A逆时针旋转得到，则是等边三角形，    作于H，交于G．则四边形是矩形， ∴，，，∴， ∴， ∵，∴， ∴的最小值．故选：D． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，两点之间线段最短时的位置的确定，解本题的关键是确定取最小值时的位置． 例2．（2023·陕西榆林·九年级校考期中）如图，点P是边长为4的菱形的对角线上一动点，若，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】将逆时针旋转得到，根据题意证明出是等边三角形，得到，进而得到，证明出当点，，，四点共线时，的值最小，即为的长度，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】如图所示，将逆时针旋转得到，    ∴，，∴是等边三角形 ∴∴ ∴当点，，，四点共线时，的值最小，即为的长度， ∵菱形的边长为4∴ ∵，∴∴ ∴的最小值为．故答案为：． 【点睛】此题考查了菱形的性质，勾股定理，旋转的性质，等边三角形的性质和判定等知识，解题的关键是将逆时针旋转得到． 例3．（2023春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，点M是矩形内一点，且，，N为边上一点，连接、、，则的最小值为______． 【答案】 【分析】将绕点A逆时针旋转得到，连接、，然后即可得为等边三角形，同理为等边三角形，接着证明当、、三条线段在同一直线上，的值最小，即的值最小，过点作于点E，即最小值为：，问题随之得解． 【详解】如图所示，将绕点A逆时针旋转得到，连接、， 根据旋转的性质有：，，， 为等边三角形，同理为等边三角形， ，，， 当线段、、三条线段在同一直线上，且该直线与垂直时，的值最小，即的值最小，如下图，过点作于点E，交于点F， 最小值为：，在矩形中，于点E， 即可知四边形是矩形，，即， 为等边三角形，，， ，， 的最小值为，故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，矩形的性质，等边三角形的判定定理与性质，勾股定理，垂线段最短等知识，作出合理的辅助线是解答本题的关键． 例4．（2023·广东深圳·二模）如图，是等边三角形，M是正方形ABCD对角线BD（不含B点）上任意一点，，（点N在AB的左侧），当AM+BM+CM的最小值为时，正方形的边长为______． 【答案】 【分析】首先通过SAS判定，得出，因为,,得出是等边三角形，AM+BM+CM=EN+MN+CM，而且为最小值，我们可以得出EC=，作辅助线，过点E作交CB的延长线于F，由题意求出，设正方形的边长为x，在中，根据勾股定理求得正方形的边长为． 【详解】∵为正三角形，∴，∴ ∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∴． 在和中，∴（SAS）∴ 在中，又∵，∴为等边三角形，∴． ∵AM+BM+CM最小值为．∴EN+MN+CM的最小值为即CE=． 过点E作交CB的延长线于F，可得． 设正方形的边长为x，则BF=，． 在，∵，∴ 解得（负值舍去）．∴正方形的边长为．故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形和正方形边相等的性质，全等三角形的判定，灵活使用辅助线，掌握直角三角的性质，熟练运用勾股定理是解题的关键． 例5．（2024上·河北沧州·九年级统考期末）如图，设是边长为1的正方形内的两个点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】将绕点A顺时针旋转至，将绕点D逆时针旋转至，则和是正三角形，进而可证当六点共线时的值最小．连接，则和是等边三角形，然后分别求出的值即可． 【详解】解：将绕点A顺时针旋转至；将绕点D逆时针旋转至， ∴，，，， ∴和都是等边三角形，∴，，， ∴， ∴当六点共线时的值最小． 连接，∵，，∴是等边三角形， ∴，∴在的垂直平分线上，同理可证，∴在的垂直平分线上， ∵四边形是正方形，∴，∴垂直平分， ∴，四边形是矩形，∴，， ∴，同理可求，∴， 即的值最小为．故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定，等边三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． 例6．（2024·四川达州·模拟预测）【问题发现】 （1）如图1，在中，，若将绕点O逆时针旋转得，连接，则________． 【问题探究】（2）如图2，已知是边长为的等边三角形，以为边向外作等边，P为内一点，连接，将绕点C逆时针旋转，得，求的最小值； 【实际应用】（3）如图3，在长方形中，边，P是边上一动点，Q为内的任意一点，是否存在一点P和一点Q，使得有最小值？若存在，请求出此时的长，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）作于，由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得，，再由含角的直角三角形的性质及勾股定理计算即可得出；（2）如图，连接，由旋转的性质可得，，，则是等边三角形，可得，即可得到，故当点、、、共线时，最小，最小值为的长，连接，作于交延长线于E，求出，则，进一步求出，，则，即的最小值为；（3）如图所示，将绕点A逆时针旋转得到，连接，同（2）可得当四点共线，且时，的值最小，即此时最小；设此时交于G，证明，则由三线合一定理得到，则；再证明四边形是矩形，得到，则． 【详解】解：（1）如图，作于， 在中，，将绕点逆时针旋转得到三角形， ，，， ，， ，，，， ，故答案为：； （2）如图，连接，将绕点C逆时针旋转得， ，，，∴是等边三角形，∴， ，当点、、、共线时，最小，最小值为的长， 连接，作于交延长线于E，，边长为， ，，， ，，， ，的最小值为； （3）如图所示，将绕点A逆时针旋转得到，连接， ∴，，∴都是等边三角形， ∴，∴， ∴当四点共线，且时，的值最小，即此时最小； 设此时交于G，在矩形中，，∴，∴，∴； ∵，∴四边形是矩形，∴，∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键在于利用旋转构造等边三角形，从而把三条不在一条直线的线段之和的问题，转换成几点共线求线段的最值问题是解题的关键． 例7．（2023上·广东广州·九年级校考期中）如图①，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于，两点，点为中点，四边形和四边形都是正方形． (1)求的长；(2)如图②，连接，，过点作于点，延长交于点，求证：； (3)如图③，，点在边上，且，为的中点，点为正方形内部一点，连接，，，请直接写出的最小值． 【答案】(1)(2)见详解(3) 【分析】（1）由直线解析式可求出的长，然后根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，即可求出答案；（2）过点作交延长线于点，过点作，垂足为，先证明，，再证明，即可得出结论；（3）将绕点逆时针旋转得到，连接，通过旋转构造的最小值为的长，即可解答． 【详解】（1）解：对于直线， 当时，，即，当时，，即， ∴，，∴， ∵点是的中点，，∴； （2）证明：过点作交延长线于点，过点作，垂足为， ∵四边形为正方形，∴，，， ∵，，∴，∴， ∴，∴，同理，∴，∴， ∵，，∴， 又∵，，∴，∴； （3）解：将绕点逆时针旋转得到，连接， 则，∴，， ∵，∴为等腰直角三角形，∴， ∴， ∴当共线时，有最小值，最小值为的长， 在正方形中，，，为的中点， ∴，，∴， 在中，，∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理、一次函数的性质等知识，熟练掌握相关性质并作出辅助线是解题关键． 1．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值是（　　） A．4+3 B．2 C．2+6 D．4 【答案】B 【详解】解：将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求． 由旋转的性质可知：△PFC是等边三角形，∴PC=PF， ∵PB=EF，∴PA+PB+PC=PA+PF+EF，∴当A、P、F、E共线时，PA+PB+PC的值最小， ∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∴tan∠ACB==，∴∠ACB=30°，AC=2AB=， ∵∠BCE=60°，∴∠ACE=90°，∴AE==.故选B． 2．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，四边形 是菱形，B=6，且∠ABC=60° ，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM 的最小值为________． 【答案】 【详解】以BM为边作等边△BMN，以BC为边作等边△BCE，则BM=BN=MN，BC=BE=CE，∠MBN=∠CBE=60°，∴∠MBC=∠NBE，∴△BCM≌△BEN，∴CM=NE，∴AM+MB+CM=AM+MN+NE．当A、M、N、E四点共线时取最小值AE．∵AB=BC=BE=6，∠ABH=∠EBH=60°，∴BH⊥AE，AH=EH，∠BAH=30°，∴BH=AB=3，AH=BH=，∴AE=2AH=．故答案为． 3．（23-24九年级上·陕西西安·期中）正方形的边长为4,为正方形内任意一点，连接、、,的最小值为 . 【答案】 【详解】解：如图，以A为中心，逆时针旋转△APD至△AP´D´，则△PAP´为等边三角形，则PA+PB+PD=PB+PP´+P´D´，∴当点B、P、P´、D´在同一条直线上时，PB+PP´+P´D´值最小，最小值为线段BD´长.作直线D´M⊥AB交BA延长线于M点， ∵AD´=AD=4，∠D´AM=30°，∴D´M=2，∴根据勾股定理得，AM=，∴BM=4+， ∴根据勾股定理得，BD´= == . ∴的最小值为.故答案为： 4．（2023·陕西榆林·二模）如图，M是正方形内一点，N为边上一点，连接、、，若，则的最小值为 ．    【答案】 【详解】如图，将绕点A逆时针旋转得到，连接，，，作于H，交于G，     ∵，，∴是等边三角形，同理，是等边三角形， ∴ ∵，，，∴， 又∵，，， 故的最小值为．故答案为：． 5．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，点P是矩形内部一点，若点P到A，B，C三点的距离之和的最小值为，，则这个矩形面积的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，将以为中心，顺时针旋转，得到，连接，， 由旋转得，，，， 是等边三角形，，， 当，，，共线时，的值最小，即等于的值，， 过点作的垂线，交延长线于点，设， ，四边形是矩形，，， ，， ，，，， ，，解得， ，，，故答案为：． 6．（23-24九年级下·江苏南京·自主招生）如图，已知，，，，． (1)求证：；(2)若M是上一点，P为内一点，则的最小值为______． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）解：证明：过点交于点E， ，四边形是平行四边形， ，，，，， 在中，，， 是直角三角形，即，； （2）解：如图，以为边构造等边和等边，连接，过点F作于点，设交于点Q， 和都是等边三角形，，， 即，， ，， 又M为上一动点，当时，取得最小值，等于的长， ，，， 如（1）图 ，，， ，的最小值为． 7．（2023·福建九年级月考）如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、、.设点的坐标为. （1）若建立平面直角坐标系，满足原点在线段上，点，.且（），则点的坐标为 ，点的坐标为 ；请直接写出点纵坐标的取值范围是 ；（2）若正方形的边长为2，求的长，以及的最小值. (提示：连接:，) 【答案】（1），，；（2），. 【详解】解：（1）如图1，以直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系， ∵四边形是正方形∴∵点，∴， 过作于∴∵将绕点逆时针旋转得到， ∴∴ ∵∴点纵坐标的取值范围是 故答案为：，， （2）如图所示，连接，过作，交的延长线于， 由旋转可得，，，∴是等边三角形，∴ ∵是等边三角形∴∴∴≌（） ∴∴ ∴当，，，在同一直线上时，的最小值是的长， 又∵，∴∴中， ∴∴ ∴中， ∴的最小值为 8．（2023·重庆綦江·九年级统考期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E、F分别是AB、BC上的动点，连接DE、DF、EF． (1)如图1，连接AF，若AF⊥BC，E为AB的中点，且EF＝5，求DF的长； (2)如图2，若BE＝BF，G为DE的中点，连接AF、AG、FG，求证：AG⊥FG； (3)如图3，若AB＝7，将△BEF沿EF翻折得到△EFP（始终保持点P在菱形ABCD的内部），连接AP、BP及CP，请直接写出当PA＋PB＋PC值最小时PB的长． 【答案】(1)(2)证明见解析(3) 【详解】（1）解：法一：如图1，过点D作DG⊥BC交BC的延长线于G， ∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°∴，∴ ∵AF⊥BC∴∠AFB＝90°，∴ ∴△BEF为等边三角形∴BF＝EF＝BC∴CF＝EF＝5 在中，∴CG＝CD＝5，DG＝CG＝5 ∵FG＝CF+CG＝10∴DF＝＝5 法二：∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°∴， ∵AF⊥BC∴∠AFB＝90°在中 ， ∵是的中点∴ ∵∴是等边三角形 ∵EF＝5，EF＝BE＝AB∴∴AF＝5 在中， DF＝＝5 ∴的值为． （2）证明：法一：如图2，延长AG交CD于H，连接AC，FH， ∵四边形ABCD为菱形∴AB∥CD，AB＝BC＝CD，∠ABC=∠ADC∴∠AEG＝∠HDG， ∵G为DE的中点，∴EG＝DG， 在△AEG和△HDG中，， ∴△AEG≌△HDG，∴AG＝HG，AE＝DH，∵BE＝BF，∠ABC＝60° ∴△BEF为等边三角形∴BE＝BF=EF，∴FC＝DH，AC＝AD 在△AFC和△AHD中，，∴△AFC≌△AHD∴AH＝AF 同理：△ABF≌△ACH∴∠BAF＝∠CAH ∴∠FAH＝∠FAC+∠CAH＝∠FAC+∠BAF＝∠BAC＝60°，∴△AFH是等边三角形∵AG＝HG∴AG⊥FG． 法二：如图4 延长AG交CD于H，连接FH， ∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD， ∵∠ABC＝60°∴∠BCD=120° ∴∠EAG＝∠DHG，∠AEG＝∠HDG，∵点G是DE中点，∴EG＝DG， 在△AEG和△HDG中，，∴△AEG≌△HDG∴AG＝HG，AE＝DH∴BE＝CH， ∵BE＝BF，∠ABC＝60°∴△BEF是等边三角形∴∠BEF＝60°，EF＝BE ∴∠AEF=120°∴∠AEF＝∠FCH，EF＝CH 在△AEF和△FCH中，∴△AEF≌△FCH∴AF＝HF ∵AG＝HG∴FG⊥AG （3）解：如图a在△ABC中，P为其中任意一点．连接AP，BP，得到△ABP． 以点B为旋转中心，将△ABP逆时针旋转 60°，得到△EBD ∴BD＝BP，∴△DBP 为一个等边三角形∴PB＝PD ∴PA+PB+PC＝DE+PD+PC ∴当E、D、P、C 四点共线时，为PA+PB+PC最小． 如图3，当B、P、G、D四点共线时，PA+PB+PC值最小，最小值为BD． ∵将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△DGC，∴△APC≌△DGC， ∴CP＝CG，∠PCG＝60°，∴△PCG是等边三角形，∴PG＝CG＝CP，∠GPC＝∠CGP＝60°． ∵菱形ABCD中，∠ABP＝∠CBP＝∠ABC＝30°，∴∠PCB＝∠GPC﹣∠CBP＝60°﹣30°＝30°， ∴∠PCB＝∠CBP＝30°，∴BP＝CP，同理，DG＝CG，∴BP＝PG＝GD． 连接AC，交BD于点O，则AC⊥BD．在Rt△BOC中，∵∠BOC＝90°，∠OBC＝30°，BC＝7， ∴OC＝，∴BO=∴BD＝2BO＝，∴BP＝BD＝ 即当PA+PB+PC值最小时PB的长为． 9．（2023上·福建龙岩·九年级校联考期中）如图，在等边三角形内有一点．       (1)若，，，求的度数；(2)若等边三角形边长为，求的最小值； (3)如图，在正方形内有一点，且，，，求正方形的边长． 【答案】(1)，(2)(3) 【详解】（1）解： 如图所示，    将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、，， ，，，， 是等边三角形，，， ，是直角三角形，， ，， （2）解：如图所示，将绕点顺时针旋转得到，         则，，，则是等边三角形，， 再将绕点顺时针旋转得到，则 ，，， 当四点共线时，取得最小值，即的长，设，交于点， ，， ，， 在中，，即的最小值为； （3）如图，将绕点逆时针旋转，得到， ，，，，， 是等腰直角三角形，，， ，是直角三角形，， 如图，延长，过点作于，则， ，，，，， ，即正方形的边长为． 10．（2023春·江苏·八年级校考周测）如图①，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接． (1)求证：；(2)如图1，当M点在何处时，的值最小．(3)如图2，在中，，，．若点是内一点，直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析(2)当E，N，M，C在同一直线上时(3) 【详解】（1）解：∵是等边三角形，∴, ∵，∴，∴， ∵，∴； （2）连接,当M点位于与的交点处时，的值最小,连接， 由（1）得，∴，∴， ∴是等边三角形，∴，∴， 根据两点之间线段最短，当点在同一条直线上时，取最小值，最小值为． （3）以点为旋转中心，顺时针旋转到，旋转角是，连接、，如图所示， 则，，，是等边三角形，，， ，当，，，四点共线时，最小，最小值就是的值， ，，，，，， ，． 11．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）（1）已知点E是正方形边上的一点，连接．如图1，把射线绕点B顺时针旋转交的延长线于点F，求证：；（2）边长把边沿翻折．①如图2，若点P落在对角线上，则 ；②如图3，点G在边上，，连接、，当点P落在内部时（不含边上），线段长度的取值范围为 ； （3）如图4，点M是正方形内一点，连接、，若，求最小值； （4）如图5，点M是矩形内一点，连接，若，，则最小值为 ． 【答案】（1）见解析；（2）①；②；（3）（4） 【详解】解：（1）由旋转的性质可得，， ∵四边形是正方形，∴，， ∵，，∴，∴，∴； （2）①由折叠的性质可得，，，， ∵四边形是正方形，∴，，， ∴，，∴，故答案为：； ②如图，当点P落到上，由折叠的性质可得，垂直平分，∴， ∵，，∴， 又∵，，∴，∴， 当点P落到上，连接，由折叠的性质可得，，，， ∴，∵，∴， 在中，，∴，∴， 又∵，∴，∴，∴， ∵点P在的内部，不含边，∴，故答案为：； （3）①当A、M、C不共线时，， ②当点A、M、C三点共线时，的值最小为， ∵，，∴是等腰直角三角形， ∴即最小值为； （4）如图，将绕点B逆时针旋转得到，∴，， 又∵，∴是等边三角形，∴，∴， ∴当点、、M、C共线时，的值最小，最小值是， 过点作的延长线于点N，由旋转的性质得，，， ∴，∴，∴， ∴，∴, 即的最小值是，故答案为：． 12．（2024·福建厦门·二模）根据以下思考，探索完成任务 费马点的思考 问题背景 17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德·费马，提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小，后来这点被称之为“费马点”．    素材1 解决这种问题的经典方法，就是利用旋转变换，将三条线段行转化： 如图：把绕点A逆时针旋转60度得到，连接，这样就把确定的最小值的问题转化成确定的最小值的问题了．当，四点共线时，线段的长为所求的最小值，容易证明，此时点P为的“费马点”．      素材2 图中所示的是一个正方形的厂区，其中顶点A，B，C，D分别为办公区、生产区、物流区和生活区，正方形边长为，准备在厂区内修建一研发区E，且从研发区E修建三条直线型道路直通办公区A，生产区B和物流区C修路的成本为200元/米．    任务一 感悟证明定理 请你根据素材1所给解决思路，证明所求线段转化的正确性．证明： 任务二 初步探索位置 在素材2中，请问研发区E建在哪片区域比较合适？（   ） A．内的区域 B．内的区域 任务三 拟定恰当方案 为了节约建设成本，问该研发区E应该修建在厂区的什么地方，才能使得花费最少，最少费用为多少？ 【答案】任务一：见解析；任务二：A；任务三：研发区E应建在内部，且满足时花费最少，最少费用为元 【分析】本题主要考查三角形的旋转变换的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识点，将待求线段的和通过旋转变换转化为同一直线上的线段来求是解题的关键，学会利用旋转的方法添加辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考压轴题． 任务一：证明是等边三角形即可证明结论；任务二：结合任务一结论选择即可； 任务三：把绕点B逆时针旋转60度得到，连接，为等边三角形，证出，当且仅当在上时，的值为最小，为，过点作，交延长线于点H，求出最小值，即可求出结论． 【详解】解：任务一：如图，由旋转得：，∴是等边三角形，∴， ∵，∴；    任务二：在素材2中，由题意得：要找一点E到A、B、C三点距离和最小， 研发区E建在内的区域比较合适，故选：A； （3）如图， 把绕点B逆时针旋转60度得到，则 ， 连接，为等边三角形，， 绕点B逆时针旋转60度得到，， ，， 当且仅当在上时，的值为最小，为， 此时，点E在内部，且满足， 过点作，交延长线于点H， 在中，，，， 在中，， 最小值为，此时费用为元．    13．（2024·陕西咸阳·模拟预测）【问题探究】（1）如图①，点P是等边内一点，，，，则的度数为______； 【类比迁移】（2）如图②，若点P是正方形内一点，，，，求的长； 【拓展应用】（3）如图③，某公园有一块矩形水池，米，米，为方便观赏游玩，工作人员计划在水池内P，Q两点处增加亭台，连接，且，怎样选择点P和点Q的位置，可以使最小？并求出的最小值． 【答案】（1）（2）（3）点在距离边和各400米，点距离边400米，距离边米的位置时，的值最小，为 【详解】解：∵为等边三角形，∴，将绕点B逆时针旋转得， 连接，如图，∴，，， ∴为等边三角形，∴，， 在中，，，，∴， ∴为直角三角形，且，∴．故答案为：． （2）∵四边形为正方形，∴， 将绕点B顺时针旋转得到，连接， ∴， ∴是等腰直角三角形，，∴， ∴，∴． （3）如图，过点作，将绕点旋转，得到，连接，设交于点，则：，，， ∴为等边三角形，为等边三角形， ∴∴， ∴当四点共线时，， ∵点在上，∴当时，最小，此时最小，此时， ∵为等边三角形，，，∴，， ∵四点共线∴，∴，关于对称，， ∴，∵矩形，∴，，， ∴四边形，都是矩形，∵，∴， ∴，∴，∵，∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴的最小值为， 综上，点在距离边和各400米，点距离边400米，距离边米的位置时，的值最小，为． 14．（2024·陕西·九年级开学考试）【问题提出】 （1）如图1，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，．若连接，则的形状是________． （2）如图2，在中，，，求的最小值． 【问题解决】（3）如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园，千米，，公园内有一个儿童游乐场E，分别从A、B、C向游乐场E修三条，求三条路的长度和（即）最小时，平行四边形公园的面积． 【答案】（1）等边三角形；（2）BC的最小值为；（3）平行四边形公园ABCD的面积为（平方米）． 【详解】（1）证明：的形状是等边三角形，理由如下; 由旋转知，BN=BM，∠MBN=60°∴△BMN为等边三角形 故答案为：等边三角形； （2）解：设AB=a，∵AB+AC=10，∴AC=10-AB=， 在Rt△ABC中，根据勾股定理得，， ∵，∴，即，∴，即BC的最小值为； （3）解：如图3，将△ABE绕点B逆时针旋转60°得到△A'BE'， ∴△ABE≌△A'BE'，∴∠A'E'B=∠AEB，AB=A'B，A'E'=AE，BE'=BE，∠EBE'=60°， ∴△EBE'为等边三角形，∴∠BE'E=∠BEE'=60°，EE'=BE，∴AE+BE+CE=A'E'+EE'+CE， 要AE+BE+CE最小，即点A'，E'，E，C在同一条线上，即最小值为A'C， 过点A'作A'F⊥CB，交CB的延长线于F，在Rt△A'FB中，∠A'BF=180°-∠ABA'-∠ABC=60°， 设BF=x，则A'B=2x， 根据勾股定理得，A'F=， ∵AB=A'B，∴AB=2x，∵AB+BC=6，∴BC=6-AB=6-2x，∴CF=BF+BC=6-x， 在Rt△A'FC中，根据勾股定理得，， ∴当x=，即AB=2x=3时，最小，此时，BC=6-3=3，A'F=， ∴平行四边形公园ABCD的面积为（平方千米）． 29 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 特殊的平行四边形中的最值模型之费马点模型 费马点模型是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考试中都以中高档题为主。本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.费马点模型 1 12 模型1.费马点模型 皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等。 费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点。 结论：如图，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+MB+MC的值最小。 注意：上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A。（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°） 证明：法1：如图1，将△ABM绕点B逆时针旋转60°得到△EBN． ∴BM＝BN，EN＝AM，∠MBN＝60°，∴△BMN为等边三角形，∴BM＝MN， ∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小． 此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°； ∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°． 图1 图2 图3 法2：如图2，以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN． ∵△ABE为等边三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN． 在△AMB与△ENB中，∵，∴△AMB≌△ENB（SAS）． 连接MN．由△AMB≌△ENB知，AM＝EN．∵∠MBN＝60°，BM＝BN，∴△BMN为等边三角形． ∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小． 此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°； ∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°． 费马点的作法：如图3，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点。（具体原理可参考法1和法2） 【最值原理】两点之间，线段最短。 例1．（2024·福建泉州·八年级校考期末）如图，是边长为2的正方形内一动点，为边上一动点，连接，则的最小值为（    ）    A．4 B．3 C． D． 例2．（2023·陕西榆林·九年级校考期中）如图，点P是边长为4的菱形的对角线上一动点，若，则的最小值为 ．    例3．（2023春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，点M是矩形内一点，且，，N为边上一点，连接、、，则的最小值为______． 例4．（2023·广东深圳·二模）如图，是等边三角形，M是正方形ABCD对角线BD（不含B点）上任意一点，，（点N在AB的左侧），当AM+BM+CM的最小值为时，正方形的边长为______． 例5．（2024上·河北沧州·九年级统考期末）如图，设是边长为1的正方形内的两个点，则的最小值为 ． 例6．（2024·四川达州·模拟预测）【问题发现】 （1）如图1，在中，，若将绕点O逆时针旋转得，连接，则________． 【问题探究】（2）如图2，已知是边长为的等边三角形，以为边向外作等边，P为内一点，连接，将绕点C逆时针旋转，得，求的最小值； 【实际应用】（3）如图3，在长方形中，边，P是边上一动点，Q为内的任意一点，是否存在一点P和一点Q，使得有最小值？若存在，请求出此时的长，若不存在，请说明理由． 例7．（2023上·广东广州·九年级校考期中）如图①，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于，两点，点为中点，四边形和四边形都是正方形． (1)求的长；(2)如图②，连接，，过点作于点，延长交于点，求证：； (3)如图③，，点在边上，且，为的中点，点为正方形内部一点，连接，，，请直接写出的最小值． 1．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值是（　　） A．4+3 B．2 C．2+6 D．4 2．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，四边形 是菱形，B=6，且∠ABC=60° ，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM 的最小值为________． 3．（23-24九年级上·陕西西安·期中）正方形的边长为4,为正方形内任意一点，连接、、,的最小值为 . 4．（2023·陕西榆林·二模）如图，M是正方形内一点，N为边上一点，连接、、，若，则的最小值为 ．    5．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，点P是矩形内部一点，若点P到A，B，C三点的距离之和的最小值为，，则这个矩形面积的最小值是 ． 6．（23-24九年级下·江苏南京·自主招生）如图，已知，，，，． (1)求证：；(2)若M是上一点，P为内一点，则的最小值为______． 7．（2023·福建九年级月考）如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、、.设点的坐标为. （1）若建立平面直角坐标系，满足原点在线段上，点，.且（），则点的坐标为 ，点的坐标为 ；请直接写出点纵坐标的取值范围是 ；（2）若正方形的边长为2，求的长，以及的最小值. (提示：连接:，) 8．（2023·重庆綦江·九年级统考期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E、F分别是AB、BC上的动点，连接DE、DF、EF． (1)如图1，连接AF，若AF⊥BC，E为AB的中点，且EF＝5，求DF的长； (2)如图2，若BE＝BF，G为DE的中点，连接AF、AG、FG，求证：AG⊥FG； (3)如图3，若AB＝7，将△BEF沿EF翻折得到△EFP（始终保持点P在菱形ABCD的内部），连接AP、BP及CP，请直接写出当PA＋PB＋PC值最小时PB的长． 9．（2023上·福建龙岩·九年级校联考期中）如图，在等边三角形内有一点．       (1)若，，，求的度数；(2)若等边三角形边长为，求的最小值； (3)如图，在正方形内有一点，且，，，求正方形的边长． 10．（2023春·江苏·八年级校考周测）如图①，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接． (1)求证：；(2)如图1，当M点在何处时，的值最小．(3)如图2，在中，，，．若点是内一点，直接写出的最小值． 11．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）（1）已知点E是正方形边上的一点，连接．如图1，把射线绕点B顺时针旋转交的延长线于点F，求证：；（2）边长把边沿翻折．①如图2，若点P落在对角线上，则 ；②如图3，点G在边上，，连接、，当点P落在内部时（不含边上），线段长度的取值范围为 ； （3）如图4，点M是正方形内一点，连接、，若，求最小值； （4）如图5，点M是矩形内一点，连接，若，，则最小值为 ． 12．（2024·福建厦门·二模）根据以下思考，探索完成任务 费马点的思考 问题背景 17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德·费马，提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小，后来这点被称之为“费马点”．    素材1 解决这种问题的经典方法，就是利用旋转变换，将三条线段行转化： 如图：把绕点A逆时针旋转60度得到，连接，这样就把确定的最小值的问题转化成确定的最小值的问题了．当，四点共线时，线段的长为所求的最小值，容易证明，此时点P为的“费马点”．      素材2 图中所示的是一个正方形的厂区，其中顶点A，B，C，D分别为办公区、生产区、物流区和生活区，正方形边长为，准备在厂区内修建一研发区E，且从研发区E修建三条直线型道路直通办公区A，生产区B和物流区C修路的成本为200元/米．    任务一 感悟证明定理 请你根据素材1所给解决思路，证明所求线段转化的正确性．证明： 任务二 初步探索位置 在素材2中，请问研发区E建在哪片区域比较合适？（   ） A．内的区域 B．内的区域 任务三 拟定恰当方案 为了节约建设成本，问该研发区E应该修建在厂区的什么地方，才能使得花费最少，最少费用为多少？ 13．（2024·陕西咸阳·模拟预测）【问题探究】（1）如图①，点P是等边内一点，，，，则的度数为______； 【类比迁移】（2）如图②，若点P是正方形内一点，，，，求的长； 【拓展应用】（3）如图③，某公园有一块矩形水池，米，米，为方便观赏游玩，工作人员计划在水池内P，Q两点处增加亭台，连接，且，怎样选择点P和点Q的位置，可以使最小？并求出的最小值． 14．（2024·陕西·九年级开学考试）【问题提出】 （1）如图1，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，．若连接，则的形状是________． （2）如图2，在中，，，求的最小值． 【问题解决】（3）如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园，千米，，公园内有一个儿童游乐场E，分别从A、B、C向游乐场E修三条，求三条路的长度和（即）最小时，平行四边形公园的面积． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$