专题03 特殊的平行四边形中的最值模型之将军饮马、遛马、过桥模型-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版）

专题03 特殊的平行四边形中的最值模型之将军饮马、遛马、过桥模型 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。 将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马（即将军遛马、造桥或过桥），主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就特殊的平行四边形背景下的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值） 1 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值） 6 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型） 9 模型4.将军遛马、造桥（过桥）模型 14 23 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 例1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，连接，，的垂直平分线交于E，交于F，P是线段上一动点，点Q为的中点．若，的面积是24，则的最小值为 ． 【答案】6 【详解】解：连接，∵，∴，， ∵，∴，∴，是等腰三角形，点Q是边的中点， ，，解得， 是线段的垂直平分线，点B关于直线的对称点为点， ∴，的长为的最小值，∴的最小值．故答案为：6． 变式1．（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图，在矩形中，，，动点P满足，则周长的最小值为 ．    【答案】 【详解】解：设中边上的高是h．    ∵，∴，∴， ∴动点P在与平行且与的距离是2的直线l上， 如图，作A关于直线l的对称点，连接，则就是周长的最小值， 在中，，，∴， 即， 即周长的最小值为．故答案为：． 变式2．（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）如图，点是边长为的菱形对角线上的一个动点，点，分别是，边上的中点，则的最小值是 ． 【答案】1 【详解】如图，作点关于的对称点，连接交于， 此时有最小值，最小值为的长． ∵菱形关于对称，是边上的中点，∴是的中点， 又∵是边上的中点，∴，， ∴四边形是平行四边形，∴， ∴，即的最小值为1．故答案为：1． 变式3．（23-24九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，正方形边长为6，、是边的三等分点，点是对角线上的动点，则的最小值是 ．    【答案】 【详解】解∶作点关于的对称点，连接，交于，连接，如下图：    则得长度即为所求．由题可知会落在上，、是边的三等分点， ，， ∴在中，的最小值是．故答案为：． 变式4．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，正方形ABCD的边长是5，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：作D关于AE的对称点D′，交AE于F，再过D′作D′P′⊥AD于P′，交AE于N， 则DD′⊥AE，∴∠AFD＝∠AFD′，∵AF＝AF，∠DAE＝∠CAE，∴△DAF≌△D′AF， ∴D′是D关于AE的对称点，AD′＝AD＝5， 当重合时，DQ+PQ ∴D′P′即为DQ+PQ的最小值， ∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAD′＝45°，∴AP′＝P′D′， ∴在Rt△AP′D′中，P′D′2+AP′2＝AD′2，AD′2＝25，∵AP′＝P′D'，2P′D′2＝AD′2，即2P′D′2＝25， ∴P′D′＝，即DQ+PQ的最小值为．故答案为： 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。 模型（1）：点A、B在直线m同侧： 模型（2）：点A、B在直线m异侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。 当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’， 当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。 例1．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，菱形的边长是10，，交于点，点P为直线上一点，点P与点关于对称，为中点，连接、，则的最大值是 ． 【答案】 【详解】解：四边形是菱形，是菱形的一条对称轴， 取的中点为，则与F关于对称，连接 取点A关于的对称点，连接 在中，由三角形三边关系可得：， ，，， 当P、、在同一直线上时，有最大值连接交于点O， ，，∴ 过点作交于点N，如图所示： 则四边形为矩形，，，， ，， 在中，由勾股定理可得：， 的最大值为，故答案为：． 变式1．（23-24八年级下·福建莆田·期中）如图，在矩形中，对角线上一动点E，连接，过点E作于点F，，求的最小值为 ．    【答案】2 【详解】过点A作的对称点，连接，则， ∴，∴当点，E，F共线时，最小，即最小， 此时，， 在中，，∴，， ∴，∴是等边三角形， ∴，∴，∴，∴，故答案为2．    变式2．（2022·河南南阳·一模）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P为直线CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为____． 【答案】6 【详解】如图，作A关于的对称点，连接并延长交延长线于点P，则点P就是使的值最大的点，，连接，∵为等腰直角三角形，， ∴，，∵，∴，∵点A与A′关于CD对称， ∴CD⊥AA′，，，∴， ∵AC=BC，∴，，∴， ∵，∴，∴是等边三角形，∴．故答案为：6 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型） 模型（1）：两定点+两动点 条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）；内外侧各一点（图1-2）；两个点都在内侧（图1-3） 图1-1 图1-1 图1-1 图2 模型（2）：一定点+两动点 条件：如图2，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 图1-1 图1-1 图1-1 图2 模型（1-1）（两点都在直线外侧型） 如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（1-2）（直线内外侧各一点型） 如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（1-3）（两点都在直线内侧型） 如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 模型（2）：如图（2），作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 例1．（23-24八年级下·广西南宁·期中）【问题提出】（1）为了探索代数式的最小值，老师进行了如下引导，如图1，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接．已知，设． ①则　　，　　.(用含x的代数式表示)． ②如图2，过点E作交的延长线于F，构造矩形，连接，此时A、C、E三点共线，的值最小，则的最小值=　　． 【迁移应用】（2）如图3，正方形中，点E在边上，点G在边上，且．已知，求的最小值． 【答案】（1）①　，；② 10；（2） 【详解】解：（1）①， 由勾股定理得：，；故答案为：　，； ②矩形中，， ，故答案为：10； （2）过点E作于点H，如图， ∵四边形为正方形，∴， ∵，∴四边形为矩形，∴，∴， ∵，∴，∵，∴． 在和中，，∴，∴ ， 如图，作点A关于的对称点，作点F关于的对称点，过作于K，连接， ∴，，∴， 则当三点共线时，最小，∴， ∴，即的最小值为． 变式1．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，在▱中，，，，对角线、相交于点，点、分别是边、上的点，连接、、． （1）点到直线的距离是 ；（2）周长的最小值是 ． 【答案】 3 【详解】解：（1）如图：过点作的垂线，交延长线于点， ∵四边形是平行四边形，∴， ，，∴ ，，∴点到直线的距离是3；故答案为：3； （2）如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，，， 则长为周长的最小值；由（1）知，在中，，， ，， 由对称性可知，，，是等腰三角形， 又，，， ∴周长的最小值；故答案为：. 变式2．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，菱形中，，，点为边上任意一点（不包括端点），连结，过点作，交边于点，点线段上的一点． (1)若点为菱形对角线的交点，为的中位线，求的值； (2)当的值最小时，请确定点的位置，并求出的最小值；(3)当的值最小，且的值最小时，在备用图中作出此时点，的位置，写作法并写出的最小值． 【答案】(1)4 (2)当点为中点，点关于对称的点与点坐在直线垂直于时，有最小值(3)6 【详解】（1）解：四边形是菱形，，， ，， 则， 均为等边三角形，， 点为菱形对角线的交点，点为的中点，连接，， 为的中位线，，也为的中位线， 则，，； （2）由（1）可知，均为等边三角形， 则，， ，，为等边三角形，，， 由菱形性质可知，与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，，连接，交于点，过点作垂直于的直线交于，交于， ，，又，， ，点为中点， ，，， ，由勾股定理得，，，， ，， 当，，三点在同一直线上，且与重合时取等号， 即当点与点重合（点为中点），与重合时取等号， 综上，当点为中点，点关于对称的点与点坐在直线垂直于时，有最小值． （3）同（2），与关于对称，在上，取点对应点，连接，则，连接 交于点，由（2）可得点为中点， 作关于对称的线段，取点的对应点，连接，则， 为等边三角形，，由对称可知：， 则，当，，，在同一条直线上时取等号，此时点为中点，，则， 过点（点），且，可知，为等边三角形， ，，， 即，，分别为，，的中点，此时，作图，如下： 作法：取的中点为，作交于；综上，的最小值为． 模型4.将军遛马、造桥（过桥）模型 模型（1）：将军遛马模型：已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。 点A、B在直线m异侧（图1-1）；点A、B在直线m同侧 （图1-2）； 图1-1 图1-2 图2 模型（2）：将军造桥（过桥）模型 已知，如图2，将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最小）。 将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB， 再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB. 图1-1 图1-2 图2 将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A点作AE∥m,且AE=PQ，作B关于m的对称点B’，连接B’E，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB， 根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’， 再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。 将军造桥（过桥）模型：如图2，过A点作AA’∥MN，且AA’=MN，连接A’B， ∵AA’∥MN，且AA’=MN ∴四边形APQC为平行四边形，故AM=A’N， ∵MN为定值，∴求AM+MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN。 再利用“两点之间线段最短”，可得AM+NB的最小值为A’B，故AM+MN+NB的最小值=A’B+MN。 例1．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）如图，在矩形中，，，点E为中点，P、Q为边上两个动点，且，则四边形周长的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在上截取线段，作点关于的对称点，连接与交于一点即为点，过点作的平行线交于一点，即为点，过点作的平行线交的延长线于点. 则四边形是平行四边形，∴， ∵为边的中点，∴，∴ ∵，∴， ∴四边形的周长的最小值 ，故选C． 变式1．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图所示，菱形是无锡某乐园主题区域的平面示意图，分别是该区域的四个入口，两条主干道交于点．请你帮助苏州乐园的管理人员解决以下问题：乐园管理人员为提升游客游览的体验感，准备修建三条绿道，其中点M在上，点N在上，且，修建绿道每千米费用为4万元，请你计算修建这三条绿道投入资金的最小值为 万元． 【答案】/ 【详解】解：如图，过点作，过点作，连接， ，，，， ，， 当的值最小时，的值最小， ∵，，四边形是平行四边形， ，，当点，点，点共线时，， ，，，， 的最小值为，投入资金的最小值为：万元． 故答案为： 变式2．（23-24九年级下·山东泰安·期中）如图，在边长为1的菱形中，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，，则的最小值为 【答案】 【详解】解：在边长为1的菱形中，，，， 将沿射线的方向平移得到，，， 四边形是菱形，，，，，， 四边形是平行四边形，，的最小值的最小值， 点在过点且平行于的定直线上，作点关于定直线的对称点，连接交定直线于， 则的长度即为的最小值，在中，，， ，，，， ，， ．故答案为：． 变式3．（23-24八年级下·山东威海·期中）如图，在平行四边形中，，，将线段沿着直线上下平移得到线段，连接，，则的最小值是 ． 【答案】13 【详解】解：连接，∵平行四边形，∴，， 由平移性质得：，，四边形为平行四边形， ，， 作关于直线的对称点，连接，，交延长线于， 由对称性得：，，，， ，，，，， ∵，，，的最小值为，故答案为： 例2．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，中，，，，，；垂足分别为点F和E．点G和H分别是和上的动点，，那么的最小值为______．    【答案】 【详解】解：如图，过点E作交于点I，连接．       ∵中，，，∴，∴， ∴，．∵，，∴． ∵，∴四边形为平行四边形，∴．同理可得出． ∵，，∴四边形为平行四边形， ∴，∴四边形为平行四边形，   ∴，∴，∴当最小时，最小． ∵当点I，H，C三点共线时，最小，∴此时最小，如图， ∵，∴．∵∴四边形为平行四边形，∴，， ∵，，∴，∴，∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 变式1．（2023·江苏苏州·校考二模）如图，在中，．如果在三角形内部有一条动线段，且，则的最小值为________．    【答案】 【详解】解：在上取一点，使得，连接，如图所示：       ，，四边形是平行四边形，，， 将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作交的延长线于，如图所示： ，，是等边三角形，，， ，，，， ，，， ，，，，，， ，， ，的最小值为，故答案为：． 变式2．（2024·陕西西安·二模）如图1，正方形的边长为4，点是对角线上两动点，且，将点沿的方向平移2个单位得到点，连接、． (1)①四边形的形状为_____________； ②连接、，当点，，共线时，的值为_____________． (2)自古以来，黄河就享有“母亲河”的美誉，是中华文明的发源地之一，也是中华民族生生不息、赖以生存的摇篮．如图2，某地黄河的一段出现了分叉，形成了“”字型支流，分叉口有一片三角形地带的湿地，在支流1的左上方有一村庄，支流2的右下方有一开发区，为促进当地的经济发展，经政府决定在支流1和支流2上分别修建一座桥梁、（支流1的两岸互相平行，支流2的两岸也互相平行，桥梁均与河岸垂直），你能帮助政府计算一下由村庄到开发区理论上的最短路程吗？（即和的最小值）．经测量，、两地的直线距离为2000米，支流1、支流2的宽度分别为米、250米，且与线段所夹的锐角分别为、． 【答案】(1)①平行四边形；②6．(2)米 【详解】（1）解：①由平行的性质可得， ∴四边形是平行四边形，故答案为：平行四边形； ②∵四边形是正方形，∴，， ∴， ∵，∴，∴，∴， 由正方形的对称性可得，由平行四边形的性质可得， ∴，故答案为：6； （2）解：如图所示，将点A沿着垂直于支流1的河岸的方向平移米得到，连接，将点B沿着垂直于支流2的河岸的方向平移米得到，连接， ∴四边形和四边形都是平行四边形，∴， ∴， ∴当四点共线时，最小，即此时最小； 如图所示， 分别延长交于H， ∵支流1和支流2与线段所夹的锐角分别为、， ∴，∴，∴米， ∴米，∴米，米， ∴米， ∴的最小值为米． 1．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）如图，正方形的边长为4，点M，N分别在上，将正方形沿折叠，使点D落在边上的点E处，折痕与相交于点Q，点G为中点，连接，随着折痕位置的变化，的最小值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】如图，取中点P，连接、，    ∵正方形的边长为4，∴，∴ 由折叠的性质可知，，Q为中点， ∵为直角三角形，∴，∴， ∵，∴，∴的最小值为，故选：D． 2．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在矩形中，，，点P在上，点Q在上，且，连接、，则的最小值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【详解】解：如图，连接，，在矩形中，，∴， ∵，∴四边形是平行四边形，∴四边形是矩形，∴， 则，则的最小值转化为的最小值， 在的延长线上截取，连接， ∵，∴是的垂直平分线，∴，∴， 连接，则， ∵，，∴．∴的最小值为13．故选：D． 3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在正方形中，对角线与交于点，，是的中点，是对角线上的一条动线段，若的最大值为，则的长为 ． 【答案】1 【详解】解：如图，过点作的平行线，过点作的平行线，两平行线交于点，取关于的对称点，连接，，， ∵，，∴四边形是平行四边形，∴，， ∵关于的对称点是，是的中点，∴是的中点，即 在中，，∴， 当点运动到与点，在一条直线上的时候，即取到最大值，即， ∵，，∴，∴在中，，∴，∴．故答案为：1． 4．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在菱形中，，点E是的中点，点P是对角线上的动点，连接、，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：设与相交于点O，连接，，如图所示： ∵四边形为菱形，∴垂直平分，， ∴，∴，∴当最小时，最小， ∴当D、P、E三点共线时最小，即最小， ∵，∴，∵点E是的中点， ∴，，∴， ∴最小值为．故答案为：． 5．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在正方形中，对角线与交于点，，是的中点，是对角线上的一条动线段，若的最大值为，则的长为 ． 【答案】1 【详解】解：如图，过点作的平行线，过点作的平行线，两平行线交于点，取关于的对称点，连接，，， ∵，，∴四边形是平行四边形，∴，， ∵关于的对称点是，是的中点，∴是的中点，即 在中，，∴， 当点运动到与点，在一条直线上的时候，即取到最大值，即， ∵，，∴，∴在中，，∴，∴．故答案为：1． 6．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，点是正方形对角线上的三等分点（靠近点），点、为边上的动点，且，当取最小值时， ． 【答案】6 【详解】如图，当时，取最小值，过P作，此时， ∵是正方形，点是正方形对角线上的三等分点（靠近点），且， ∴，，则 ，， 则，，此时，故答案为：6． 7．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）如图，在矩形中，，，点E在上且．点G为的中点，点P为边上的一个动点，F为的中点，则的最小值为 ． 【答案】5 【详解】连接，∵点G为的中点， F为的中点，∴，， ∴，作 A关于直线的对称点H，连接，交于点M， ∵，， ∴当P与M重合时，取得最小值， ∵矩形中，，，点E在上且．∴， ∴，∴．故答案为：． 8．（2023·陕西铜川·统考三模）如图，正方形的对角线相交于点，，点在上，且，点是上一动点，则的最小值为 ______ ． 【答案】 【详解】解：过点作的对称点，连接，作于点， ∵在正方形中，∴是等腰直角三角形，∴， ∵，∴四边形是正方形，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，∴的最小值为；故答案为． 【点睛】本题考查了轴对称—最短路径问题，勾股定理，正方形的性质，正确做出辅助线是解题的关键． 9．（2023·安徽滁州·校联考二模）如图，矩形的边，E是上一点，，F是上一动点，M、N分别是的中点，则的最小值是______． 【答案】 【详解】解：，，，，， 延长到，使，连接， 则，，当、、在同一直线上时，最小，最小值为． 在中，，即最小为5， 、分别是、的中点，，，的最小值为． 故答案为：. 10．（2023·陕西渭南·统考一模）如图，菱形的对角线相交于点O，点E是线段上的动点，连接，以为边，在的右侧作等边，连接，若，，则的最小值是_____________． 【答案】 【详解】解：如图， 在菱形中，，，，， ∵，∴，都是等边三角形，∴，， ∵是等边三角形，∴，，∴， ∴，∴．∴，∴点F在射线上运动．垂直平分， 延长，分别交、于点、H，连接，∴，∴， ∴当点F与点重合时，取得最小值，最小值为的长． 在中，，，∴，∴， ∴．故答案为： 11．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，、是正方形的边、上的动点，且，点在上，当，时，的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，连接交于点， ∵正方形，，∴，则 ∵∴，又∴∴, ∵，∴，∴，在上截取，则 ∴四边形是平行四边形∴，∴ 作点关于的对称点，连接交于点， ∴重合时此时取得最小值，∴， 又，∴中，故答案为：． 12．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在菱形中，，，将△ABC向右平移得到（点在线段上），连接，，．在平移过程中， （1）若四边形是矩形，则 ；（2）的最小值为 ． 【答案】 4 12 【详解】解：（1）连接交于点，如图所示： ∵在菱形中，，，∴，，∴， 在中，，则， ∵将向右平移得到（点在线段上），∴， 若四边形是矩形，则，∴， ，在中，， ，∴，故答案为：4； （2）连接，延长到，使，如图所示： ∵将向右平移得到（点在线段上），∴，， ∴是平行四边形，∴， ∵在菱形中，由菱形对称性得到，∴， ∴，则当、、三点共线时，有最小值为， ∵，∴，∴是等边三角形， ∴，， ∵由于是的一个外角，∴，∴， 在中，，，则， ，∴的最小值为12，故答案为：12． 13．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在长方形中，分别为上的两个动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：过作交于，过作，且使，连接， 四边形是平行四边形，，当、、三点共线时，最小， ，，∵在长方形中， ∴ ， 在中，解得（负值已舍去）， ，， ，为直角三角形，，， ，，， ，的最小值为，故答案为：． 14．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）如图，正方形与矩形在直线l的同侧，边在直线l上，且．保持正方形不动，将矩形 沿直线l左右移动，连接， 则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，连接， 以，为邻边作平行四边形，则，， ，当，，三点共线时，的最小值为的长， 过点作于，由题可得，， 中，，的最小值为，故答案为：． 15．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在菱形中，，，在边上有一线段由B向C运动，点F到达点C后停止运动，E在F的左侧，，连接，则周长的最小值为______．    【答案】8 【详解】解：如图，过点作交于点，则四边形为平行四边形， ，，再作点关于的对称点，连接，则，连接与交于点，当运动到点时，，，三点共线，此时取最小值，即取最小值，则此时的周长最小．    过点作，过点作交于点，， ，，连接，，，四边形为矩形，   ，，， 周长的最小值，故答案为：． 【点睛】本题考查了关于移动线段中三角形周长最小值问题，勾股定理，菱形的性质等知识，添加合适的辅助线转化为两点间距离问题是解题关键． 16．（2023·四川成都·模拟预测）如图，菱形的边在轴上，顶点坐标为，顶点坐标为，点在轴上，线段轴，且点坐标为，若菱形沿轴左右运动，连接、，则运动过程中，四边形周长的最小值是________． 【答案】13+ 【详解】∵点坐标为，点坐标为，∴OC＝4，OD＝3， ∴在Rt△COD中，CD＝5，∵四边形是菱形，∴AD＝CD＝5， ∵坐标为，点 在轴上，线段轴，∴EF＝8， 连接OA，过点A作AF1∥DF交EF于点F1， 则四边形ADFF1是平行四边形，FF1=AD=5，∴EF1=EF-FF1=3，∵点E，O关于AD对称，∴OA=AE， 当O，A，F1三点共线时，AE+DF=OA+AF1=OF1，为所求线段和的最小值， 在Rt△OEF1中，OF1＝，∴四边形周长的最小值： AD＋EF＋AE＋DF＝ AD＋EF＋ OF1＝5＋8＋＝13+． 【点睛】本题考查菱形，勾股定理，平移，轴对称，解决问题的关键是熟练掌握菱形的性质，勾股定理解直角三角形，平移图形全等性，轴对称性质． 17．（2022·四川自贡·中考真题）如图，矩形中，，是的中点，线段在边上左右滑动；若，则的最小值为____________． 【答案】 【详解】解：如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小， ∴G'E=GE，AG=AG'，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD=BC=2∴CH∥EF， ∵CH=EF=1， ∴四边形EFCH是平行四边形，∴EH=CF，∴G'H=EG'+EH=EG+CF， ∵AB=4，BC=AD=2，G为边AD的中点，∴AG=AG'=1 ∴DG′=AD+AG'=2+1=3，DH=4-1=3， ∴，即的最小值为．故答案为： 18．（2023春·黑龙江牡丹江·八年级校考期中）问题背景：（1）如图（1），在公路的一侧有，两个工厂，，到公路的垂直距离分别为和，，之间的水平距离为．现需把厂的产品先运送到公路上然后再转送到厂，则最短路线的长是_____． 问题探究：（2）如图（2），和是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，，点，重合，点，重合，将沿直线平移，得到，连接，．试探究在平移过程中，是否存在最小值．若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 问题解决：（3）如图（3），A，B分别是河岸m一侧的两个旅游景点，它们到河岸的垂直距离分别是和，，的水平距离是．游客在景点游览完后，乘坐大巴先到河岸上的码头甲处，改乘游轮沿河航行到达码头乙，再乘坐大巴到达景点．请问码头甲，乙建在何处才能使从到的旅游路线最短，并求出最短路线的长． 【答案】（1）（2）存在，最小值为（3）最短路线长为 【详解】解：（1） 如图 （1）， 点 是公路上的一点， 假设先把产品运送到点 处， 再转送到 厂， 作点 关于 的 对称点， 连接，， 连接 交于点， 则 ，， 当点 与点 重合时， 取得最小值， 为 的长． 连接， 交于点， 过点 作 于点， 过点 作， 垂足为点， 则，四边形 是矩形， ，，又，， 即最短路线的长是．故答案为：． （2） 存在．理由如下，如图 （2）， 过点 作直线， 作点 关于直线的对称点， 连接 ，，交直线于点， 过点 作交直线 于点， 连接，，， 则． 由平移知，．又 ， 四边形 是平行四边形，， 由平移知， 又，四边形 是平行四边形， 当点 与点重合时， 最小， 最小值为 的长． 过点 作 交 的延长线于点， 则 为等腰直角三角形． ，，， 的最小值为．故答案为：存在，最小值为． （3） 如图 （3），设码头乙为点， 码头甲为点， 连接，， 过点 作， 且， 作点 关于 的对称点， 连接 交于点． 连接， 则．是平行四边形， ， 点 ，N重合时，旅游路线最短． 过点 作直线， 过点 作 于点，则 ，，， ，．故答案为：最短路线长为． 19．（23-24九年级下·吉林长春·期中）【问题初探】（1）数学活动课上，张老师给出如下问题：如图①，在中，，，点是边上一点，连结，在右侧作，使，，连结．求证：． ①小智同学从和都是等腰直角三角形这个条件出发给出如下解题思路：通过证明，将转化为． ②小慧同学从结论的角度出发给出另外一种解题思路：如图②，在线段上截取，连结，通过证明，将转化为． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【拓展延伸】（2）如图③，在正方形中，是边上一动点（点不与点重合），将线段绕点顺时针旋转90°得到线段，连结、，若，则周长的最小值为________． 【答案】（）证明见解析；（）． 【详解】解：（）选择小智同学的解题思路： ∵，，∴，， ∵，，∴，， ∴，，∴，∴， ∴，∴； 选择小慧同学的解题思路：如图，在线段上截取，连接， ∵，，∴， ∵，∴，∴，， ∵，∴，∴， 又∵，∴，∴，即； （）如图，在线段延长线上截取，连接、、， 由【问题初探】可知：，又∵在正方形中，， ∴，∴与时关于的对称，∴， ∴，当A、P、三点共线时，取最小值，； ∴周长的最小值为：. 20．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图，已知矩形中，，，点E、F分别为上的两个动点，且，请回答下列问题： (1)如图1，若点G是的中点，求证：四边形是菱形； (2)如图2，在点E、F的运动过程中，线段的长度是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．(3)直接写出的最小值为______． 【答案】(1)见解析(2)线段的长度为定值(3) 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，∴，∴，， ∵点G是的中点，∴，∴， ∴，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是菱形； （2）解：线段的长度为定值， 如图2，取的中点O，过O作，交于P，于Q，连接 ，， ∵，，∴四边形是平行四边形，∴． ∵，∴，由（1）知，四边形是菱形，∴，， 设，在矩形中，，，，， ∴，， 在中，由得，解得， 在中，，，∴， ∴，则，故线段的长度为定值； （3）解：过C作，且，连接，， 则四边形是平行四边形，∴， ∴，当A、F、共线时取等号，此时最小，最小值为的长， ∵，，∴，在中，，， ∴，故的最小值为，故答案为：． 4 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 特殊的平行四边形中的最值模型之将军饮马、遛马、过桥模型 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。 将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马（即将军遛马、造桥或过桥），主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就特殊的平行四边形背景下的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值） 1 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值） 6 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型） 9 模型4.将军遛马、造桥（过桥）模型 14 23 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 例1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，连接，，的垂直平分线交于E，交于F，P是线段上一动点，点Q为的中点．若，的面积是24，则的最小值为 ． 变式1．（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图，在矩形中，，，动点P满足，则周长的最小值为 ．    变式2．（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）如图，点是边长为的菱形对角线上的一个动点，点，分别是，边上的中点，则的最小值是 ． 变式3．（23-24九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，正方形边长为6，、是边的三等分点，点是对角线上的动点，则的最小值是 ．    变式4．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，正方形ABCD的边长是5，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是 ． 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。 模型（1）：点A、B在直线m同侧： 模型（2）：点A、B在直线m异侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。 当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’， 当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。 例1．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，菱形的边长是10，，交于点，点P为直线上一点，点P与点关于对称，为中点，连接、，则的最大值是 ． 变式1．（23-24八年级下·福建莆田·期中）如图，在矩形中，对角线上一动点E，连接，过点E作于点F，，求的最小值为 ．    变式2．（2022·河南南阳·一模）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P为直线CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为____． 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型） 模型（1）：两定点+两动点 条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）；内外侧各一点（图1-2）；两个点都在内侧（图1-3） 图1-1 图1-1 图1-1 图2 模型（2）：一定点+两动点 条件：如图2，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 图1-1 图1-1 图1-1 图2 模型（1-1）（两点都在直线外侧型） 如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（1-2）（直线内外侧各一点型） 如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（1-3）（两点都在直线内侧型） 如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 模型（2）：如图（2），作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 例1．（23-24八年级下·广西南宁·期中）【问题提出】（1）为了探索代数式的最小值，老师进行了如下引导，如图1，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接．已知，设． ①则　　，　　.(用含x的代数式表示)． ②如图2，过点E作交的延长线于F，构造矩形，连接，此时A、C、E三点共线，的值最小，则的最小值=　　． 【迁移应用】（2）如图3，正方形中，点E在边上，点G在边上，且．已知，求的最小值． 变式1．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，在▱中，，，，对角线、相交于点，点、分别是边、上的点，连接、、． （1）点到直线的距离是 ；（2）周长的最小值是 ． 变式2．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，菱形中，，，点为边上任意一点（不包括端点），连结，过点作，交边于点，点线段上的一点． (1)若点为菱形对角线的交点，为的中位线，求的值； (2)当的值最小时，请确定点的位置，并求出的最小值；(3)当的值最小，且的值最小时，在备用图中作出此时点，的位置，写作法并写出的最小值． 模型4.将军遛马、造桥（过桥）模型 模型（1）：将军遛马模型：已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。 点A、B在直线m异侧（图1-1）；点A、B在直线m同侧 （图1-2）； 图1-1 图1-2 图2 模型（2）：将军造桥（过桥）模型 已知，如图2，将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最小）。 将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB， 再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB. 图1-1 图1-2 图2 将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A点作AE∥m,且AE=PQ，作B关于m的对称点B’，连接B’E，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB， 根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’， 再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。 将军造桥（过桥）模型：如图2，过A点作AA’∥MN，且AA’=MN，连接A’B， ∵AA’∥MN，且AA’=MN ∴四边形APQC为平行四边形，故AM=A’N， ∵MN为定值，∴求AM+MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN。 再利用“两点之间线段最短”，可得AM+NB的最小值为A’B，故AM+MN+NB的最小值=A’B+MN。 例1．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）如图，在矩形中，，，点E为中点，P、Q为边上两个动点，且，则四边形周长的最小值为（     ） A． B． C． D． 变式1．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图所示，菱形是无锡某乐园主题区域的平面示意图，分别是该区域的四个入口，两条主干道交于点．请你帮助苏州乐园的管理人员解决以下问题：乐园管理人员为提升游客游览的体验感，准备修建三条绿道，其中点M在上，点N在上，且，修建绿道每千米费用为4万元，请你计算修建这三条绿道投入资金的最小值为 万元． 变式2．（23-24九年级下·山东泰安·期中）如图，在边长为1的菱形中，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，，则的最小值为 变式3．（23-24八年级下·山东威海·期中）如图，在平行四边形中，，，将线段沿着直线上下平移得到线段，连接，，则的最小值是 ． 例2．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，中，，，，，；垂足分别为点F和E．点G和H分别是和上的动点，，那么的最小值为______．    变式1．（2023·江苏苏州·校考二模）如图，在中，．如果在三角形内部有一条动线段，且，则的最小值为________．    变式2．（2024·陕西西安·二模）如图1，正方形的边长为4，点是对角线上两动点，且，将点沿的方向平移2个单位得到点，连接、． (1)①四边形的形状为_____________； ②连接、，当点，，共线时，的值为_____________． (2)自古以来，黄河就享有“母亲河”的美誉，是中华文明的发源地之一，也是中华民族生生不息、赖以生存的摇篮．如图2，某地黄河的一段出现了分叉，形成了“”字型支流，分叉口有一片三角形地带的湿地，在支流1的左上方有一村庄，支流2的右下方有一开发区，为促进当地的经济发展，经政府决定在支流1和支流2上分别修建一座桥梁、（支流1的两岸互相平行，支流2的两岸也互相平行，桥梁均与河岸垂直），你能帮助政府计算一下由村庄到开发区理论上的最短路程吗？（即和的最小值）．经测量，、两地的直线距离为2000米，支流1、支流2的宽度分别为米、250米，且与线段所夹的锐角分别为、． 1．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）如图，正方形的边长为4，点M，N分别在上，将正方形沿折叠，使点D落在边上的点E处，折痕与相交于点Q，点G为中点，连接，随着折痕位置的变化，的最小值为（   ） A．3 B． C．4 D． 2．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在矩形中，，，点P在上，点Q在上，且，连接、，则的最小值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在正方形中，对角线与交于点，，是的中点，是对角线上的一条动线段，若的最大值为，则的长为 ． 4．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在菱形中，，点E是的中点，点P是对角线上的动点，连接、，则的最小值是 ． 5．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在正方形中，对角线与交于点，，是的中点，是对角线上的一条动线段，若的最大值为，则的长为 ． 6．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，点是正方形对角线上的三等分点（靠近点），点、为边上的动点，且，当取最小值时， ． 7．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）如图，在矩形中，，，点E在上且．点G为的中点，点P为边上的一个动点，F为的中点，则的最小值为 ． 8．（2023·陕西铜川·统考三模）如图，正方形的对角线相交于点，，点在上，且，点是上一动点，则的最小值为 ______ ． 9．（2023·安徽滁州·校联考二模）如图，矩形的边，E是上一点，，F是上一动点，M、N分别是的中点，则的最小值是______． 10．（2023·陕西渭南·统考一模）如图，菱形的对角线相交于点O，点E是线段上的动点，连接，以为边，在的右侧作等边，连接，若，，则的最小值是_____． 11．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，、是正方形的边、上的动点，且，点在上，当，时，的最小值是 ． 12．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在菱形中，，，将△ABC向右平移得到（点在线段上），连接，，．在平移过程中， （1）若四边形是矩形，则 ；（2）的最小值为 ． 13．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在长方形中，分别为上的两个动点，且，则的最小值为 ． 14．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）如图，正方形与矩形在直线l的同侧，边在直线l上，且．保持正方形不动，将矩形 沿直线l左右移动，连接， 则的最小值为 ． 15．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在菱形中，，，在边上有一线段由B向C运动，点F到达点C后停止运动，E在F的左侧，，连接，则周长的最小值为______．    16．（2023·四川成都·模拟预测）如图，菱形的边在轴上，顶点坐标为，顶点坐标为，点在轴上，线段轴，且点坐标为，若菱形沿轴左右运动，连接、，则运动过程中，四边形周长的最小值是________． 17．（2022·四川自贡·中考真题）如图，矩形中，，是的中点，线段在边上左右滑动；若，则的最小值为____________． 18．（2023春·黑龙江牡丹江·八年级校考期中）问题背景：（1）如图（1），在公路的一侧有，两个工厂，，到公路的垂直距离分别为和，，之间的水平距离为．现需把厂的产品先运送到公路上然后再转送到厂，则最短路线的长是_____． 问题探究：（2）如图（2），和是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，，点，重合，点，重合，将沿直线平移，得到，连接，．试探究在平移过程中，是否存在最小值．若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 问题解决：（3）如图（3），A，B分别是河岸m一侧的两个旅游景点，它们到河岸的垂直距离分别是和，，的水平距离是．游客在景点游览完后，乘坐大巴先到河岸上的码头甲处，改乘游轮沿河航行到达码头乙，再乘坐大巴到达景点．请问码头甲，乙建在何处才能使从到的旅游路线最短，并求出最短路线的长． 19．（23-24九年级下·吉林长春·期中）【问题初探】（1）数学活动课上，张老师给出如下问题：如图①，在中，，，点是边上一点，连结，在右侧作，使，，连结．求证：． ①小智同学从和都是等腰直角三角形这个条件出发给出如下解题思路：通过证明，将转化为． ②小慧同学从结论的角度出发给出另外一种解题思路：如图②，在线段上截取，连结，通过证明，将转化为． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【拓展延伸】（2）如图③，在正方形中，是边上一动点（点不与点重合），将线段绕点顺时针旋转90°得到线段，连结、，若，则周长的最小值为________． 20．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图，已知矩形中，，，点E、F分别为上的两个动点，且，请回答下列问题： (1)如图1，若点G是的中点，求证：四边形是菱形； (2)如图2，在点E、F的运动过程中，线段的长度是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．(3)直接写出的最小值为______． 2 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$