专题01 旋转中的三种全等模型之手拉手、半角、对角互补模型-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版）

专题01 旋转中的三种全等模型之手拉手、半角、对角互补模型 本专题重点分析旋转中的三类全等模型（手拉手、半角、对角互补模型），结合各类模型展示旋转中的变与不变，并结合经典例题和专项训练深度分析基本图形和归纳主要步骤，同时规范了解题步骤，提高数学的综合解题能力。 1 模型1.旋转中的手拉手模型 1 模型2.旋转中的半角模型 12 模型3.旋转中的对角互补模型 22 33 模型1.旋转中的手拉手模型 将两个三角形（或多边形）绕着公共顶点旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等。其中：公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。 等线段，共顶点，旋转前后的图形大小，形状不发生变化，只是位置不同而已。解题是通过三角形全等进行解决。SAS型全等（核心在于导角，即等角加（减）公共角）。 1）双等边三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 2）双等腰直角三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 3）双等腰三角形型 条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。 证明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD， 又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD， 又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°， 又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 4）双正方形形型 条件：四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，C为公共点；连接BG，ED交于点N。 结论：①△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。 证明： ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴BC=AC，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90° ∴∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG，即∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS）， ∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CMB=∠DMN，∴∠BCM=∠DNM=90°， 过点C作CP⊥DE,CQ⊥BG,则∠CPD=∠CPB=90°，又∵∠CBG=∠CDE，BC=DC，∴△BCQ≌△DCP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 例1．（2023·广东·八年级校考阶段练习）如图，在边长为8的等边△ABC中，点D是AB的中点，点E是平面上△ABC外一点，且DE=2，连接BE，将线段EB绕点E顺时针旋转60°得到线段EF，连接AF，CE．  (1)判断△BEF的形状，并说明理由；(2)求证：AF=CE； (3)当点D，E，F在同一直线上时，请你在备用图中画出符合条件的图形，并求出此时BE的长． 备用图 例2．（23-24八年级下·辽宁大连·阶段练习）【问题初探】（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，点D是斜边上的一点，连接，试说明之间的数量关系，并说明理由．有两名同学给出如下的证明思路：如图2，小唐同学思考的时候，想到通过旋转变换将三条边转移到同一个三角形中，再根据三角形的特点确定三条边的数量关系如图2．过点C作，使，连接把问题解决； 如图3，小孟同学思考的时候，想到等腰三角形的“三线合一”的性质，作底边的垂线构造直角三角形．然后将三边转移到这个三角形解决问题，如图3，过点C作，交于点E把问题解决； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分折】（2）李老师发现之前两名同学都运用转化思想，将证明线段的关系转化为我们熟悉的角的关系去理解；为帮助同学更好的感悟转化思想，李老师又提出一个问题，请你解答：如图4，四边形中，；连接，猜想之间的数量关系，并证明你的猜想； 【学以致用】（3）如图5，四边形中，，求的长． 例3．（2022·青海·中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形. (1)问题发现：如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：； (2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.           图1   图2 例4．（23-24八年级下·广东湛江·期末）综合实践：如图1，点E为正方形内一点，，点为正方形外一点，且，，延长交于点F，连接．    (1)试判断四边形的形状，并说明理由；(2)如图2，若，请猜想线段与的数量关系，并加以证明；(3)如图1，若，，请求出的长． 例5．（23-24八年级下·河南郑州·期中）如图，等腰直角中，，为边上一点，以为直角边作如图所示的等腰直角．连接，为中点，连接，． (1)如图1所示，与的数量关系为：＿＿＿＿；位置关系为：＿＿＿＿＿＿． (2)如图2所示，将绕点逆时针旋转，（1）中结论是否仍然成立？若成立请证明，若不成立说明理由．(3)小霖发现无论绕点旋转多少度，（2）中的结论总能成立，请利用（2）中的结论帮助小霖解决如下问题：若，将继续绕点旋转，当点落在直线上时，直接写出此时的面积． 例6．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图1，等边的边长为，点是直线上异于，的一动点，连接，以为边长，在右侧作等边，连接．【初步感知】（1）求证：； 【类比探究】（2）当点在直线上运动时，①与的数量关系是； ②的周长是否存在最小值？若存在，求此时的长；若不存在，说明理由； 【拓展应用】（3）当点在直线上运动时，能否形成直角三角形？若能，请直接写出此时的长；若不能，说明理由． 模型2.旋转中的半角模型 半角模型概念：半角模型是指是指有公共顶点，较小角等于较大角的一半，较大的角的两边相等，通过旋转，可将角进行等量转化，构造全等三角形的几何模型。 旋转的条件：具有公共端点的等线段； 旋转的方法：以公共端点为旋转中心，相等的两条线段的夹角为旋转角； 旋转的目的：将分散的条件集中，隐蔽的关系显现。 1）正方形半角模型 条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°； 结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周长=2AB； ⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 证明：将△CBE绕点C逆时针旋转90°至△CDG，即△CBE≌△CDG， ∴∠ECB=∠GCD，∠B=∠CDG=90°，BE＝DG，CE＝CG； ∵ABCD是正方形，∴∠B=∠CDF=∠BCD=90°，BA＝DA；∴∠CDG+∠CDF=180°，故F、D、G共线。 ∵∠ECF=45°，∴∠BCE+∠DCF=45°，∴∠GCD+∠DCF=∠GCF=45°，∴∠ECF=∠GCF=45°， ∵CF＝CF，∴△CEF≌△CGF，∴EF＝GF，∵GF＝DG＋DF，∴GF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋DF+AE＋AF=AB＋AD=2AB，过点C作CH⊥EF，则∠CHE=90°， ∵△CEF≌△CGF，∴CD=CH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△CBE≌△CHE， ∴∠HEC=∠CBE，同理可证：∠HFC=∠DFC，即CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 2）等腰直角三角形半角模型 条件：ABC是等腰直角三角形（∠BAC=90°，AB＝AC），∠DAE=45°； 结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG，即△BAD≌△CAG， ∴∠BAD=∠CAG，∠B=∠GCA=45°，AD＝AG，BD＝CG； ∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°，∴∠CAG+∠EAC=∠GAE=45°，∴∠DAE=∠GAE=45°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△GAE，∴ED＝EG，∵ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，∴∠ECG=90°，∴GE2＝GC2＋EC2,∴DE2＝BD2＋EC2； 3）等边三角形半角模型（120°-60°型） 条件：ABC是等边三角形，BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°； 结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋CF；④AEF的周长=2AB； ⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 证明：将△DBE绕点D顺时针旋转120°至△DCG，即△BDE≌△CDG， ∴∠EDB=∠GDC，∠DBE=∠DCG，BE＝GC，DE＝DG； ∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=60°，∴∠GDC+∠CDF=∠GDF=60°，故∠GDF=∠EDF， ∵DF＝DF，∴△EDF≌△GDF，∴EF＝GF，∵GF＝CG＋CF，∴GF＝BE＋CF，∴EF＝BE＋CF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋CF+AE＋AF=AB＋AC=2AB， 过点D作DH⊥EF，DM⊥GF，则∠DHF=∠DMF=90°， ∵△EDF≌△GDF，∴DM=DH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△DHF≌△DMF， ∴∠HFD=∠MFD，同理可证：∠BFD=∠FED，即DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 4）等边三角形半角模型（60°-30°型） 条件：ABC是等边三角形，∠EAD=30°； 结论：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°；④DE2＝(BD＋EC)2+； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转60°至△ACF，即△BAD≌△CAF， ∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠FCA=60°，AD＝AF，BD＝CF； ∵∠DAE=30°，∴∠BAD+∠EAC=30°，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=30°，∴∠DAE=∠FAE=30°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE，∴ED＝EF，∵ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ECF=120°， 过点F作FH⊥BC，∴∠FCH=60°，∠CFH=30°，∴CH=CF=BD，FH=CF=BD， ∵在直角三角形中：FE2＝FH2＋EH2,∴DE2＝(BD＋EC)2+(BD)2； 5）任意角度的半角模型（-型） 条件：∠BAC=，AB=AC，∠DAE=； 结论：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。 证明：将△ABD绕点A逆时针°至△ACF，即△BAD≌△CAF， ∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠BCA=∠FCA=90°-，AD＝AF，BD＝CF；∴∠ECF=∠BCA+∠FCA=180°-。 ∵∠BAC=，∠DAE=，∴∠BAD+∠EAC=，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=，∴∠DAE=∠FAE=， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE。 例1．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）（1）【阅读理解】如图，已知中，，点、是边上两动点，且满足， 求证：． 我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． 小明的解题思路：将半角两边的三角形通过旋转，在一边合并成新的，然后证明与半角形成的全等，再通过全等的性质进行等量代换，得到线段之间的数量关系． 请你根据小明的思路写出完整的解答过程． 证明：将绕点旋转至，使与重合，连接，…… （2）【应用提升】如图，正方形（四边相等，四个角都是直角）的边长为4，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线点运动；点点同时出发，以相同的速度沿射线方向向右运动，当点到达点时，点也停止运动，连接，过点作的垂线交过点平行于的直线于点，与相交于点，连接，设点运动时间为，①求的度数； ②试探索在运动过程中的周长是否随时间的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值． 例2．（2023·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2．∠BAC＝120°，点D，E都在边BC上，∠DAE＝60°，若BD＝2CE，求DE的长． 例3．（2024·广东·八年级专题练习）旋转变换是解决数学问题中一种重要的思想方法，通过旋转变换可以将分散的条件集中到一起，从而方便解决问题．已知，中，，点D、E在边BC上，且． (1)如图a，当时，将绕点A顺时针旋转到的位置，连结． ①　　；②求证：；(2)如图b，当时，猜想的数量关系，并说明理由． 例4．（2024·陕西延安·八年级统考期末）【问题提出】（1）如图①，在四边形中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且.求证：； 【问题探究】（2）如图②，在四边形中，，，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立?若成立，请说明理由；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并说明理由. 例5．（2023春·江苏·八年级期中）请阅读下列材料：已知：如图（1）在中，，点D、E分别为线段上两动点，若．探究线段三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把绕点A顺时针旋转，得到，连接，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题： (1)猜想三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想； (2)当动点E在线段上，动点D运动在线段延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；(3)已知：如图（3），等边三角形中，点D、E在边上，且，请你找出一个条件，使线段能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数． 模型3.旋转中的对角互补模型 对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。 思想方法：解决此类问题常用的辅助线画法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。 1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型） 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE， 根据上述条件易证：四边形ONCM为正方形，∴∠CON＝45°，OM=ON， 又∵OD＋OE＝OM-DM+ON+NE，∴OD＋OE=OM+ON=2ON=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴ 2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型） 条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.[来源:学科网ZXXK] 结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE， ∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE，根据上述条件易证：四边形ONCM为正方形， ∴∠CON＝45°，OM=ON，又∵OE－OD＝ON+NE-（DM-OM），∴OE－OD=ON+OM=2ON=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，. 3）“等边三角形对120°模型”（1） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°， ∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。 又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴。 4）“等边三角形对120°模型”（2） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D， 结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∠AOB+∠MCN＝180°，∴∠DCE=∠MCN＝60° ∴∠DCE-∠MCE=∠MCN-∠MCE，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。 又∵OD-OE＝OM+DM-（NE-ON），∴OD-OE=ON+OM=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴。 5）“120°等腰三角形对60°模型” 条件：△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°，PA平分∠BPC。 结论：PB+PC=PA； 证明：将△PAC绕点A顺时针旋转120°至△QAB，即△PAC≌△QAB， ∴∠ACP=∠ABQ，∠CAP=∠BAQ，AP＝AQ，PC＝QB； ∵∠BAC=120°，∠BPC=60°，∴∠ACP+∠ABP=180°，∴∠ABQ+∠ABP=180°，故P、B、Q共线。 又∵∠BPC=60°，PA平分∠BPC，∴∠APQ=60°，∵AP＝AQ，∴∠AQP=60°， 根据勾股定理易证：PQ=PA，又∵PQ=PB+QB=PB+PC，∴PB+PC=PA。 例1．（2023·江苏·八年级专题练习）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点． （1）如图1，E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF、求证：△DEF是等腰直角三角形 经过分析已知条件AB＝AC，D为BC的中点．容易联想等腰三角形三线合一的性质，因此，连结AD（如图2），以下是某同学由已知条件开始，逐步按层次推出结论的流程图．请帮助该同学补充完整流程图．补全流程图：① ， ②∠EDF＝ （2）如果E、F分别为AB、CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，试猜想△DEF是否仍为等腰直角三角形？请在备用图中补全图形、先作出判断，然后给予证明． 例2．（23-24九年级上·辽宁盘锦·期末）在图1，图2，图3中，， (1)问题探索：如图1，当点和点在直线异侧时，猜想，，三者之间数量关系．小明想出了下面的方法，延长到点，使得，连接，由于，证得，从而，且，所以，得到等腰直角，则小明得到线段，，之间的数量关系为 (2)问题解决：如图2，当点和在直线同侧时，与交于点，请你借鉴中的方法证明： (3)思维拓展：如图3，当点和在直线 异侧时，于点，猜想线段，，三之间的数量关系，并写出证明过程． 例3．（2024湖南一模）如图，已知，在的角平分线上有一点，将一个角的顶点与点重合，它的两条边分别与射线相交于点. （1）如图1，当绕点旋转到与垂直时，请猜想与的数量关系，并说明理由； （2）当绕点旋转到与不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由； （3）如图3，当绕点旋转到点位于的反向延长线上时，求线段与之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明. 例4．（2024·福建厦门·九年级校考期中）如图，（是常量）．点P在的平分线上，且，以点P为顶点的绕点P逆时针旋转，在旋转的过程中，的两边分别与，相交于M，N两点，若始终与互补，则以下四个结论：①；②的值不变；③四边形的面积不变；④点M与点N的距离保持不变．其中正确的为（　　） A．①③ B．①②③ C．①③④ D．②③ 例5．（23-24八年级·广东·期末）在中，，，于点,（1）如图1，点，分别在，上，且，当，时，求线段的长； （2）如图2，点，分别在，上，且，求证：； （3）如图3，点在的延长线上，点在上，且，求证：; 例6．（2023·江西九江·二模）问题提出 在综合与实践课上，某数学研究小组提出了这样一个问题：如图1，在边长为4的正方形的中心作直角，的两边分别与正方形的边，交于点E，F（点E与点B，C不重合），将绕点O旋转．在旋转过程中，四边形的面积会发生变化吗？ 爱思考的浩浩和小航分别探究出了如下两种解题思路． 浩浩：如图a，充分利用正方形对角线垂直、相等且互相平分等性质，证明了，则，．这样，就实现了四边形的面积向面积的转化． 小航：如图b，考虑到正方形对角线的特征，过点O分别作于点G，于点H，证明，从而将四边形的面积转化成了小正方形的面积． （1）通过浩浩和小航的思路点拨﹐我们可以得到__________；__________． 类比探究（2）①如图⒉，在矩形中，，，O是边的中点，，点E在上，点F在上，则__________． ②如图3，将问题中的正方形改为菱形，且，当时，其他条件不变，四边形的面积还是一个定值吗？若是，请求出四边形的面积；若不是，请说明理由． 拓展延伸（3）如图4，在四边形中，，，，，是的平分线，求四边形的面积． 1．（2024·江苏·八年级专题练习）如图，O为正△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论： ①可由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4； ③∠AOB＝150°；④S四边形AOBO′＝6+2；⑤ ，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②③⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤ 2．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，在正方形中，，为上一动点，交于，过作交于点，过作于，连结．在以下四个结论中：①；②；③；④．其中正确的结论有（    ） A．①③ B．②③ C．③④ D．②④ 3．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 4．（2022春·山东烟台·八年级校考期中）如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，BC上，若F是BC的中点，且∠EDF＝45°，则DE的长为 _____． 5．（2023·山东青岛·模拟预测）如图，在正方形中，O是对角线的交点，过点O作，分别交，于E，F，若，，则 ．    6．（2022秋·四川绵阳·九年级校联考阶段练习）已知，，是过点的直线，过点作于点，连接． (1)问题发现：如图(1)，过点作，与交于点，、、之间的数量关系是什么？并给予证明．(2)拓展探究：当绕点旋转到如图(2)位置时，、、之间满足怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明． 7．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，，，． (1)求线段的长；(2)如图2，连接，把线段绕点逆时针旋转90°到，连接，取线段的中点，连接，请判断线段与的数量关系，并说明理由；(3)如图3，点是线段上一点，把线段绕点逆时针旋转45°得到，连接，请直接写出线段的最小值． 8．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，中，在平面内将线段绕点A逆时针旋转得到线段，过点D作，分别交、于点E、F，连接． (1)如图1，若，．求的长度． (2)如图2，若，求证：． (3)如图3，在（2）问的条件下，若，点P在射线上运动，当取得最小值为时，在平面内将绕点B逆时针旋转度得到，当点恰好在线段上时，请直接写出的面积的值． 9．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）综合与实践 初步感知：在数学活动课上老师出示了如下的问题：如图1，已知正方形和等腰直角，且点E在正方形边上，点F在边的延长线上，连结，延长交于点M，求证：．(1)请你解决老师提出的问题； 深入探究：(2)勤学小组的同学将等腰直角绕着点B旋转到图2的位置，此时，连接，若，猜想线段与的数量关系并加以证明； 拓展应用：(3)在等腰直角绕着点B旋转过程中，当A、E、F三点共线时，如图3，若， ，请直接写出的长度． 10．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）【问题初探】 （1）在数学活动课上，王老师给出下面问题：如图1，和是等边三角形，点B、C、E不在同一条直线上，请找出图中的全等三角形并直接写出结论________________；（写出一对即可） 上面几何模型被称为“手拉手”模型，面对题目时我们也会“寻模而入，破模而出”．      【类比分析】（2）如下图，已知四边形中，，，是的平分线，且．将线段绕点E顺时针旋转得到线段．当时，连接，试判断线段和线段的数量关系，并说明理由； ①小明同学从结论出发给出如下解题思路：可以先猜测线段和线段的数量关系，然后通过逆用“手拉手”模型，合理添加辅助线，借助“全等”来解决问题； ②小玲同学从条件入手给出另一种解题思路：可以根据条件，则，再通过“手拉手”模型，合理添加辅助线，构造与全等的三角形来解决问题． 请你选择一名同学的解题思路（也可另辟蹊径）来解决问题，并说明理由． 【拓展延伸】（3）如下图，中，当时，点D、E为、上的点，，，若，，求线段的长．    11．（2024·福建福州·九年级校考期中）正方形ABCD和正方形AEFG的边长分别为3和1，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转．（1）当旋转至图1位置时，连接BE，DG，则线段BE和DG的关系为 ； （2）在图1中，连接BD，BF，DF，求在旋转过程中BDF的面积最大值； （3）在旋转过程中，当点G，E，D在同一直线上时，求线段BE的长． 12．（2024·上海·九年级专题练习）小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E在边BC上，∠DAE＝45°．若BD＝3，CE＝1，求DE的长． 小明发现，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转90º，得到△ACF，联结EF（如图2），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及∠DAE＝45°，可证△FAE≌△DAE，得FE＝DE．解△FCE，可求得FE（即DE）的长．(1)请回答：在图2中，∠FCE的度数是 ，DE的长为 ． 参考小明思考问题的方法，解决问题： (2)如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°．E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．猜想线段BE，EF，FD之间的数量关系并说明理由． 13．（2024·江西宜春·八年级校考阶段练习）（1）如图1，在四边形中，，，， E、F分别是、上的点，且，小王同学探究此问题的方法是:延长到点G，使，连接，证明．请直接写出、、条线段之间的数量关系． （2）如图2，若在四边形中，，与互补，E、F分别是，上的点，、、 是否还存在上述关系，若存在，请证明；若不存在，请说明理由． （3）如图3，四边形是边长为5的正方形，，求的周长． 14．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）已知正方形，，点是边上的一个动点（不与重合），将绕点顺时针旋转至，连接，设交于点，交于点． (1)如图，若，求的度数；(2)如图，点在上运动的过程中，线段与之间有怎样的数量关系，请证明你的发现；若，求此时的度数． (3)如图，连接，则的最小值是____________（直接写出答案）； 15．（2023·绵阳市八年级期中）在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系． (1)如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM＝DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ； (2)如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（1）问的结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由．(3)如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证明． 16．（2024·江苏·八年级专题练习）定义：一组对角互补，且对角线平分其中一个内角，称四边形为余缺四边形．如图1，四边形，，平分，则四边形为余缺四边形． 【概念理解】(1)用　 　（填序号）一定可以拼成余缺四边形． ①两个全等的直角三角形， ②两个全等的等边三角形； (2)如图1，余缺四边形，平分，若，，则　 ； 【初步应用】如图2，已知△ABC，∠BAC的平分线AP与BC的垂直平分线交于P点，连接PB、PC． (3)求证：四边形ABPC为余缺四边形；(4)若，，则的值为 ． 【迁移应用】(5)如图3，，等腰的B、C两点分别在射线上，且斜边 (P、A在两侧)，若B、C两点在射线、上滑动时，四边形的面积是否发生变化？若不变化，请说明理由；若变化，直接写出面积的最大的值． 17．（2024·江西赣州·八年级统考期末）定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如：在四边形中，，或，则四边形是“对补四边形”． (1)【概念理解】如图（1），四边形是“对补四边形”． ①若，则∠D的度数是_________； ②若，且，则_______． (2)【拓展延伸】如图（2），四边形是“对补四边形”，当，且时，猜测，，之间的数量关系，并加以证明． (3)【类比运用】如图（3），如图（4），在四边形中，，平分． ①如图（3），求证：四边形是“对补四边形”； ②如图（4），设，连接，当，且时，求的值． 18．（23-24八年级上·四川成都·期末）菱形ABCD中，，点O为射线CA上的动点，作射线OM与直线BC相交于点E，将射线OM绕点O逆时针旋转，得到射线ON，射线ON与直线CD相交于点F．（1）如图①，点O与点A重合时，点E，F分别在线段BC，CD上，请直接写出CE，CF，CA三条段段之间的数量关系；（2）如图②，点O在CA的延长线上，且，E，F分别在线段BC的延长线和线段CD的延长线上，请写出CE，CF，CA三条线段之间的数量关系，并说明理由； （3）点O在线段CA上，若，，当时，求BE的长． 19．（23-24八年级上·广东汕头·期末）已知为等边三角形，点为的垂直平分线上一点，连接、，点、分别在、所在的直线上，连接、． (1)如图①，若，点、在边、上，，则、、之间的数量关系是_______；若，则的周长为______； (2)如图②，点在上，，求证：； (3)如图③，点在边上，点在的延长线上，在（2）的条件下，若，证明：． 20．（2024·辽宁大连·模拟预测）【问题呈现】如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点E、F（点F与点C，D不重合）．探索线段之间的数量关系． 【问题初探】（1）爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论．请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【问题引申】（2）如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段、、之间的数量关系是 ； 【问题解决】（3）如图3，在（2）的条件下，当菱形的边长为8，点P运动至与A点距离恰好为7的位置，且旋转至时，的长度为 ． 2 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 旋转中的三种全等模型之手拉手、半角、对角互补模型 本专题重点分析旋转中的三类全等模型（手拉手、半角、对角互补模型），结合各类模型展示旋转中的变与不变，并结合经典例题和专项训练深度分析基本图形和归纳主要步骤，同时规范了解题步骤，提高数学的综合解题能力。 1 模型1.旋转中的手拉手模型 1 模型2.旋转中的半角模型 12 模型3.旋转中的对角互补模型 22 33 模型1.旋转中的手拉手模型 将两个三角形（或多边形）绕着公共顶点旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等。其中：公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。 等线段，共顶点，旋转前后的图形大小，形状不发生变化，只是位置不同而已。解题是通过三角形全等进行解决。SAS型全等（核心在于导角，即等角加（减）公共角）。 1）双等边三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 2）双等腰直角三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 3）双等腰三角形型 条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。 证明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD， 又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD， 又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°， 又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 4）双正方形形型 条件：四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，C为公共点；连接BG，ED交于点N。 结论：①△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。 证明： ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴BC=AC，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90° ∴∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG，即∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS）， ∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CMB=∠DMN，∴∠BCM=∠DNM=90°， 过点C作CP⊥DE,CQ⊥BG,则∠CPD=∠CPB=90°，又∵∠CBG=∠CDE，BC=DC，∴△BCQ≌△DCP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 例1．（2023·广东·八年级校考阶段练习）如图，在边长为8的等边△ABC中，点D是AB的中点，点E是平面上△ABC外一点，且DE=2，连接BE，将线段EB绕点E顺时针旋转60°得到线段EF，连接AF，CE．  (1)判断△BEF的形状，并说明理由；(2)求证：AF=CE； (3)当点D，E，F在同一直线上时，请你在备用图中画出符合条件的图形，并求出此时BE的长． 备用图 【答案】(1)△BEF是等边三角形(2)证明见解析(3) 【解析】（1）∵将线段EB绕点E顺时针旋转60°得到线段EF， ∴EB=EF，∴△BEF是等边三角形 （2）∵等边△ABC和△BEF ∴BF=BE，AB=BC， ∴即∠FBA=∠EBC ∴△FBA≌△EBC（SAS）∴AF=CE （3）图形如图所示： 过B作BM⊥EF于M，∵△BEF是等边三角形∴， ∵点D是AB的中点，∴ 在Rt△BMD中， ∵DE=2∴解得或（舍去） ∴ 例2．（23-24八年级下·辽宁大连·阶段练习）【问题初探】（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，点D是斜边上的一点，连接，试说明之间的数量关系，并说明理由．有两名同学给出如下的证明思路：如图2，小唐同学思考的时候，想到通过旋转变换将三条边转移到同一个三角形中，再根据三角形的特点确定三条边的数量关系如图2．过点C作，使，连接把问题解决； 如图3，小孟同学思考的时候，想到等腰三角形的“三线合一”的性质，作底边的垂线构造直角三角形．然后将三边转移到这个三角形解决问题，如图3，过点C作，交于点E把问题解决； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分折】（2）李老师发现之前两名同学都运用转化思想，将证明线段的关系转化为我们熟悉的角的关系去理解；为帮助同学更好的感悟转化思想，李老师又提出一个问题，请你解答：如图4，四边形中，；连接，猜想之间的数量关系，并证明你的猜想； 【学以致用】（3）如图5，四边形中，，求的长． 【答案】（1）；理由见详解；（2），理由见详解；（3） 【详解】（1）用小唐同学方法解答如下：， ∵， ，是等腰直角三角形， 在和中 ，∴是直角三角形， 故答案为 （2），理由如下：如图，将绕点顺时针旋转到，连接、， 是等边三角形， 在和中： ，在中， （3）将绕点顺时针旋转到，连接，延长交于F， ∴是等腰直角三角形， ， 在和中 设则， 在中，，①， 在中，②， 由① ②解得，， 在中，，故答案为：． 例3．（2022·青海·中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形. (1)问题发现：如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：； (2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.           图1   图2 【答案】(1)见解析 (2)； 【解析】(1)证明：∵和是顶角相等的等腰三角形， ∴，，， ∴，∴． 在和中，，∴，∴． (2)解：，， 理由如下：由（1）的方法得，，∴，， ∵是等腰直角三角形，∴， ∴，∴， ∴． ∵，，∴．∵，∴， ∴．∴． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三角形，等腰直角三角形的性质，判断出△ACD≌△BCE是解本题的关键． 例4．（23-24八年级下·广东湛江·期末）综合实践：如图1，点E为正方形内一点，，点为正方形外一点，且，，延长交于点F，连接．    (1)试判断四边形的形状，并说明理由；(2)如图2，若，请猜想线段与的数量关系，并加以证明；(3)如图1，若，，请求出的长． 【答案】(1)四边形是正方形，理由见解析(2)，证明见解析(3) 【详解】（1）解：四边形是正方形，理由： ∵四边形是正方形，∴，， ∵，，∴， ∵，，∴，∴，， ∵，∴， ∴，∴四边形是矩形，又，∴四边形是正方形； （2）解：如图2，过D作于H，则，       ∴，又， ∴，又，∴，∴， ∵，∴，∵四边形是正方形，， ∴，，∴，即； （3）解：如图1，过D作于H， 在中，，，∴， 由（2）知，，∴，， 在中，，∴． 【点睛】本题考查正方形的判定与性质、矩形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加合适的辅助线构造全等三角形是解答的关键． 例5．（23-24八年级下·河南郑州·期中）如图，等腰直角中，，为边上一点，以为直角边作如图所示的等腰直角．连接，为中点，连接，． (1)如图1所示，与的数量关系为：＿＿＿＿；位置关系为：＿＿＿＿＿＿． (2)如图2所示，将绕点逆时针旋转，（1）中结论是否仍然成立？若成立请证明，若不成立说明理由．(3)小霖发现无论绕点旋转多少度，（2）中的结论总能成立，请利用（2）中的结论帮助小霖解决如下问题：若，将继续绕点旋转，当点落在直线上时，直接写出此时的面积． 【答案】(1)；(2)成立；理由见解析(3)的面积为 【详解】（1）解：延长交于点F，取的中点H，连接，，如图所示： ∵、为等腰直角三角形，∴，，∴， ∵为的中点，为的中点，∴，∴，∴， ∵，H为的中点，∴，∴、M、H三点共线， ∵，，∴为等腰直角三角形，∵，∴，∴， ∵M为的中点，∴，∴，， ∴为等腰直角三角形，∴，； （2）解：成立；理由如下：延长交于点G，连接、，如图所示： ∵、为等腰直角三角形，∴，，，， 根据旋转可知：，∴，∴， ∴，∴，， ∵M为的中点，∴，∴， ∴，， ∵，∴，∵，，∴， ∴，，∴， ∵，，∴，，即，； （3）解：如图，点E在线段上时， ∵在中，，∴，∴， ∵M为的中点，∴，根据解析（2）可知：， ，∴； 当点E在线段延长线上时，如图所示： ∵在中，，∴，∴， ∵M为的中点，∴，根据解析（2）可知：， ，∴； 综上分析可知：的面积为． 例6．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图1，等边的边长为，点是直线上异于，的一动点，连接，以为边长，在右侧作等边，连接． 【初步感知】（1）求证：； 【类比探究】（2）当点在直线上运动时，①与的数量关系是； ②的周长是否存在最小值？若存在，求此时的长；若不存在，说明理由； 【拓展应用】（3）当点在直线上运动时，能否形成直角三角形？若能，请直接写出此时的长；若不能，说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）①；②；（3）或 【详解】（1）证明：、都是等边三角形， ．，，，， ，，． （2）①如图，当点在线段上、点在延长线上、点在延长线上时， 证明方法同第一问：、都是等边三角形， ，，，， ，，． 故答案为：． ②的周长存在最小值，由（1）得， ，，要使的周长最小，则最小， ，当时，的长最小，如图2， ，，； （3）当点在直线上运动时，能形成直角三角形，分两种情况， ①当时，作于点，如图3， ，，， ，，，， ，； ②当时，作于点，如图4， 同理得，，设，由（1）得，， ，由勾股定理得，， 即，解得，，， 综上，当点在直线上运动时，能形成直角三角形，的值为或． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理求最短路线问题、勾股定理等知识，灵活运用全等三角形的判定与性质、勾股定理是解答本题的关键． 模型2.旋转中的半角模型 半角模型概念：半角模型是指是指有公共顶点，较小角等于较大角的一半，较大的角的两边相等，通过旋转，可将角进行等量转化，构造全等三角形的几何模型。 旋转的条件：具有公共端点的等线段； 旋转的方法：以公共端点为旋转中心，相等的两条线段的夹角为旋转角； 旋转的目的：将分散的条件集中，隐蔽的关系显现。 1）正方形半角模型 条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°； 结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周长=2AB； ⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 证明：将△CBE绕点C逆时针旋转90°至△CDG，即△CBE≌△CDG， ∴∠ECB=∠GCD，∠B=∠CDG=90°，BE＝DG，CE＝CG； ∵ABCD是正方形，∴∠B=∠CDF=∠BCD=90°，BA＝DA；∴∠CDG+∠CDF=180°，故F、D、G共线。 ∵∠ECF=45°，∴∠BCE+∠DCF=45°，∴∠GCD+∠DCF=∠GCF=45°，∴∠ECF=∠GCF=45°， ∵CF＝CF，∴△CEF≌△CGF，∴EF＝GF，∵GF＝DG＋DF，∴GF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋DF+AE＋AF=AB＋AD=2AB，过点C作CH⊥EF，则∠CHE=90°， ∵△CEF≌△CGF，∴CD=CH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△CBE≌△CHE， ∴∠HEC=∠CBE，同理可证：∠HFC=∠DFC，即CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 2）等腰直角三角形半角模型 条件：ABC是等腰直角三角形（∠BAC=90°，AB＝AC），∠DAE=45°； 结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG，即△BAD≌△CAG， ∴∠BAD=∠CAG，∠B=∠GCA=45°，AD＝AG，BD＝CG； ∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°，∴∠CAG+∠EAC=∠GAE=45°，∴∠DAE=∠GAE=45°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△GAE，∴ED＝EG，∵ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，∴∠ECG=90°，∴GE2＝GC2＋EC2,∴DE2＝BD2＋EC2； 3）等边三角形半角模型（120°-60°型） 条件：ABC是等边三角形，BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°； 结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋CF；④AEF的周长=2AB； ⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 证明：将△DBE绕点D顺时针旋转120°至△DCG，即△BDE≌△CDG， ∴∠EDB=∠GDC，∠DBE=∠DCG，BE＝GC，DE＝DG； ∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=60°，∴∠GDC+∠CDF=∠GDF=60°，故∠GDF=∠EDF， ∵DF＝DF，∴△EDF≌△GDF，∴EF＝GF，∵GF＝CG＋CF，∴GF＝BE＋CF，∴EF＝BE＋CF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋CF+AE＋AF=AB＋AC=2AB， 过点D作DH⊥EF，DM⊥GF，则∠DHF=∠DMF=90°， ∵△EDF≌△GDF，∴DM=DH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△DHF≌△DMF， ∴∠HFD=∠MFD，同理可证：∠BFD=∠FED，即DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 4）等边三角形半角模型（60°-30°型） 条件：ABC是等边三角形，∠EAD=30°； 结论：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°；④DE2＝(BD＋EC)2+； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转60°至△ACF，即△BAD≌△CAF， ∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠FCA=60°，AD＝AF，BD＝CF； ∵∠DAE=30°，∴∠BAD+∠EAC=30°，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=30°，∴∠DAE=∠FAE=30°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE，∴ED＝EF，∵ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ECF=120°， 过点F作FH⊥BC，∴∠FCH=60°，∠CFH=30°，∴CH=CF=BD，FH=CF=BD， ∵在直角三角形中：FE2＝FH2＋EH2,∴DE2＝(BD＋EC)2+(BD)2； 5）任意角度的半角模型（-型） 条件：∠BAC=，AB=AC，∠DAE=； 结论：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。 证明：将△ABD绕点A逆时针°至△ACF，即△BAD≌△CAF， ∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠BCA=∠FCA=90°-，AD＝AF，BD＝CF；∴∠ECF=∠BCA+∠FCA=180°-。 ∵∠BAC=，∠DAE=，∴∠BAD+∠EAC=，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=，∴∠DAE=∠FAE=， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE。 例1．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）（1）【阅读理解】如图，已知中，，点、是边上两动点，且满足， 求证：． 我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． 小明的解题思路：将半角两边的三角形通过旋转，在一边合并成新的，然后证明与半角形成的全等，再通过全等的性质进行等量代换，得到线段之间的数量关系． 请你根据小明的思路写出完整的解答过程． 证明：将绕点旋转至，使与重合，连接，…… （2）【应用提升】如图，正方形（四边相等，四个角都是直角）的边长为4，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线点运动；点点同时出发，以相同的速度沿射线方向向右运动，当点到达点时，点也停止运动，连接，过点作的垂线交过点平行于的直线于点，与相交于点，连接，设点运动时间为，①求的度数； ②试探索在运动过程中的周长是否随时间的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值． 【答案】（1）见解析；（2）①；②不变，2 【详解】（1）如图1，将绕点旋转至，使与重合，连接， ∵绕点旋转至，∴ ∴，，， ∵，，∴∴ ∵∴ ∵∴∴ ∵∴ （2）①如图2，由题意： ∵四边形是正方形，∴，∵∴ ∵∴∴ ∴ 在和中∵∴∴∴ ②的周长不随时间的变化而变化，如图3，延长到，使，连接， 在和中∵∴∴， ∵，∴，∴ 在和 中∵∴ ∴ ∴ ∵正方形（四边相等，四个角都是直角）的边长为4 ∴的周长 ∴的周长是定值8． 例2．（2023·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2．∠BAC＝120°，点D，E都在边BC上，∠DAE＝60°，若BD＝2CE，求DE的长． 【答案】DE＝3﹣3． 【详解】解：将绕点A逆时针旋转120°得到，取的中点G，连接，如图所示： 过点作于点，如图， ∵，，∴， 在中， ，∴， ∴，∴，∴，∴． ∵，∴，∴为等边三角形， ∴，∴，∴为直角三角形， ∵，∴，∴． 在和中，，∴，∴． 设，则，在中，， ＝x，∴，∴， ∴，答：的长为． 例3．（2024·广东·八年级专题练习）旋转变换是解决数学问题中一种重要的思想方法，通过旋转变换可以将分散的条件集中到一起，从而方便解决问题．已知，中，，点D、E在边BC上，且． (1)如图a，当时，将绕点A顺时针旋转到的位置，连结． ①　　；②求证：；(2)如图b，当时，猜想的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①；②见解析(2)，见解析 【详解】（1）①解：由旋转知，， ∵，∴，∴， ∴，故答案为：； ②证明：由①知，，∵，∴，∴； （2）解：，理由如下：如图， 将绕点A顺时针旋转到的位置，连结，∴， ∴，∴，∴， 在中，，∴， ∴，根据勾股定理得，，∴， 同（1）②的方法得，，∴． 例4．（2024·陕西延安·八年级统考期末）【问题提出】（1）如图①，在四边形中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且.求证：； 【问题探究】（2）如图②，在四边形中，，，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立?若成立，请说明理由；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）结论不成立，应当是理由见解析 【详解】（1）证明：如图①，延长到点，使，连接. 又∵，， ∴，∴，， 又∵，∴，∴， 又∵，∴，∴， ∵，∴； （2）解：结论不成立，应当是， 理由：如图②，在上截取，使，连接， ∵，，∴， 又∵，，∴，∴，， 又∵，∴，∴， 又∵，，∴，∴， ∵，∴． 例5．（2023春·江苏·八年级期中）请阅读下列材料：已知：如图（1）在中，，点D、E分别为线段上两动点，若．探究线段三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把绕点A顺时针旋转，得到，连接，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题： (1)猜想三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想； (2)当动点E在线段上，动点D运动在线段延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；(3)已知：如图（3），等边三角形中，点D、E在边上，且，请你找出一个条件，使线段能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数． 【答案】(1)(2)不变，见解析(3)， 【详解】（1），证明如下： 将绕A顺时针旋转后成，连接， ∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴，∴， 在中，∴；故答案为：； （2）关系式仍然成立．证明：将沿直线对折，得，连接 ∴，∴，， 又∵，∴，∵， ，∴， 又∵，∴， ∴ ∴，∴在中，，即； 解法二：将绕点A顺时针旋转得到．连接． ∴，∵，∴， ∵，∴，∵，∴，∴， ∵∴； （3）当时，线段能构成一个等腰三角形． 如图，与（2）类似，以为一边，作，在上截取， 可得．∴．∴． 若使为等腰三角形，只需，即， ∴当时，线段能构成一个等腰三角形，且顶角为． 模型3.旋转中的对角互补模型 对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。 思想方法：解决此类问题常用的辅助线画法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。 1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型） 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE， 根据上述条件易证：四边形ONCM为正方形，∴∠CON＝45°，OM=ON， 又∵OD＋OE＝OM-DM+ON+NE，∴OD＋OE=OM+ON=2ON=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴ 2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型） 条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.[来源:学科网ZXXK] 结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE， ∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE，根据上述条件易证：四边形ONCM为正方形， ∴∠CON＝45°，OM=ON，又∵OE－OD＝ON+NE-（DM-OM），∴OE－OD=ON+OM=2ON=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，. 3）“等边三角形对120°模型”（1） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°， ∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。 又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴。 4）“等边三角形对120°模型”（2） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D， 结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∠AOB+∠MCN＝180°，∴∠DCE=∠MCN＝60° ∴∠DCE-∠MCE=∠MCN-∠MCE，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。 又∵OD-OE＝OM+DM-（NE-ON），∴OD-OE=ON+OM=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴。 5）“120°等腰三角形对60°模型” 条件：△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°，PA平分∠BPC。 结论：PB+PC=PA； 证明：将△PAC绕点A顺时针旋转120°至△QAB，即△PAC≌△QAB， ∴∠ACP=∠ABQ，∠CAP=∠BAQ，AP＝AQ，PC＝QB； ∵∠BAC=120°，∠BPC=60°，∴∠ACP+∠ABP=180°，∴∠ABQ+∠ABP=180°，故P、B、Q共线。 又∵∠BPC=60°，PA平分∠BPC，∴∠APQ=60°，∵AP＝AQ，∴∠AQP=60°， 根据勾股定理易证：PQ=PA，又∵PQ=PB+QB=PB+PC，∴PB+PC=PA。 例1．（2023·江苏·八年级专题练习）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点． （1）如图1，E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF、求证：△DEF是等腰直角三角形 经过分析已知条件AB＝AC，D为BC的中点．容易联想等腰三角形三线合一的性质，因此，连结AD（如图2），以下是某同学由已知条件开始，逐步按层次推出结论的流程图．请帮助该同学补充完整流程图．补全流程图：① ， ②∠EDF＝ （2）如果E、F分别为AB、CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，试猜想△DEF是否仍为等腰直角三角形？请在备用图中补全图形、先作出判断，然后给予证明． 【答案】（1）△BDE，△ADF，90°；（2）△DEF仍为等腰直角三角形，理由见解析 【详解】解：（1）如图所示，连接AD，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点， ∴∠B=∠C=45°，AD⊥BC，，， ∴∠B=∠BAD=∠CAD，在△BDE和△ADF中，， ∴△BDE≌△ADF（SAS），∴DE=DF，∠BDE=∠ADF， ∵∠ADE+∠BDE=∠BDA=90°，∴∠ADE+∠ADF=90°，即∠EDF=90°， ∴△DEF是等腰直角三角形；故答案为：△BDE，△ADF，90°； （2）△DEF仍为等腰直角三角形，理由如下：连接AD， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点， ∴∠ABC=∠C=45°，AD⊥BC，，， ∴∠FAD=180°-∠CAD=135°，∠EBD=180°-∠ABC=135°，∴∠FAD=∠EBD， 在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴DE=DF，∠BDE=∠ADF， ∵∠ADF+∠BDF=∠BDA=90°，∴∠BDE+∠BDF=90°，即∠EDF=90°，∴△DEF是等腰直角三角形． 例2．（23-24九年级上·辽宁盘锦·期末）在图1，图2，图3中，， (1)问题探索：如图1，当点和点在直线异侧时，猜想，，三者之间数量关系．小明想出了下面的方法，延长到点，使得，连接，由于，证得，从而，且，所以，得到等腰直角，则小明得到线段，，之间的数量关系为 (2)问题解决：如图2，当点和在直线同侧时，与交于点，请你借鉴中的方法证明： (3)思维拓展：如图3，当点和在直线 异侧时，于点，猜想线段，，三之间的数量关系，并写出证明过程． 【答案】(1)(2)见解析(3) 【详解】（1）解：∵∴，， ∴，∴是等腰直角三角形， ∴∴； （2）证明：在上截取，连接，∵，，∴， 设，则，，∴， 又∵，，∴，∴ ∴ ∴是等腰直角三角形，∴ ∴即 （3）解：如图所示，延长至，使得，∵，∴， 又∵，∴又∵∴， ∴，又∵∴， ∴∴四边形是矩形， 又∵∴四边形是正方形，∴ ∴即 ∴ 例3．（2024湖南一模）如图，已知，在的角平分线上有一点，将一个角的顶点与点重合，它的两条边分别与射线相交于点. （1）如图1，当绕点旋转到与垂直时，请猜想与的数量关系，并说明理由； （2）当绕点旋转到与不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由； （3）如图3，当绕点旋转到点位于的反向延长线上时，求线段与之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明. 【答案】（1），见解析；（2）结论仍然成立，见解析；（3） 【详解】解：（1）是的角平分线 在中，，同理： （2）（1）中结论仍然成立，理由：过点作于，于 由（1）知， ，且点是的平分线上一点 （3）结论为：.理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，∴∠OFC＝∠OGC＝90°， ∵∠AOB＝60°，∴∠FCG＝120°，同（1）的方法得，OF＝OC，OG＝OC，∴OF＋OG＝OC， ∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点， ∴CF＝CG，∵∠DCE＝120°，∠FCG＝120°，∴∠DCF＝∠ECG， ∴△CFD≌△CGE，∴DF＝EG，∴OF＝DF−OD＝EG−OD，OG＝OE−EG， ∴OF＋OG＝EG−OD＋OE−EG＝OE−OD，∴OE−OD＝OC． 例4．（2024·福建厦门·九年级校考期中）如图，（是常量）．点P在的平分线上，且，以点P为顶点的绕点P逆时针旋转，在旋转的过程中，的两边分别与，相交于M，N两点，若始终与互补，则以下四个结论：①；②的值不变；③四边形的面积不变；④点M与点N的距离保持不变．其中正确的为（　　） A．①③ B．①②③ C．①③④ D．②③ 【答案】B 【详解】解：如图所示：作于点E，于点F， ，，，， ，， 平分，，，， 在和中，， ，， 在和中，，， ，故①正确，，定值，故③正确， 定值，故②正确， 的位置是变化的，之间的距离也是变化的，故④错误；故选：B． 例5．（23-24八年级·广东·期末）在中，，，于点,（1）如图1，点，分别在，上，且，当，时，求线段的长； （2）如图2，点，分别在，上，且，求证：； （3）如图3，点在的延长线上，点在上，且，求证：; 【答案】(1) ；(2)见解析；(3)见解析. 【详解】（1）解：，，， ，，， ，，， ，，， 由勾股定理得，，即， 解得，，； （2）证明：，，， 在和中，，； （3）证明：过点作交的延长线于，， 则，，，，，， 在和中，，， ，． 例6．（2023·江西九江·二模）问题提出 在综合与实践课上，某数学研究小组提出了这样一个问题：如图1，在边长为4的正方形的中心作直角，的两边分别与正方形的边，交于点E，F（点E与点B，C不重合），将绕点O旋转．在旋转过程中，四边形的面积会发生变化吗？ 爱思考的浩浩和小航分别探究出了如下两种解题思路． 浩浩：如图a，充分利用正方形对角线垂直、相等且互相平分等性质，证明了，则，．这样，就实现了四边形的面积向面积的转化． 小航：如图b，考虑到正方形对角线的特征，过点O分别作于点G，于点H，证明，从而将四边形的面积转化成了小正方形的面积． （1）通过浩浩和小航的思路点拨﹐我们可以得到__________；__________． 类比探究（2）①如图⒉，在矩形中，，，O是边的中点，，点E在上，点F在上，则__________． ②如图3，将问题中的正方形改为菱形，且，当时，其他条件不变，四边形的面积还是一个定值吗？若是，请求出四边形的面积；若不是，请说明理由． 拓展延伸（3）如图4，在四边形中，，，，，是的平分线，求四边形的面积． 【答案】（1）4，4；（2）①6；②是定值，（3） 【详解】解：（1）浩浩：四边形是正方形，边长为4，， ，，，，，， ，，，，， ，； 小航：，，，，四边形是矩形，， ，，四边形是正方形，边长为4， ，，，， 是的中位线，，同理：， ，，四边形是正方形，，， ， ；故答案为：4，4； （2）①如图2，过点作于点， 则，四边形是矩形，， 四边形是矩形，，，， ，点是边的中点，，， 四边形是正方形，，，，，， ，∴，∴，故答案为：6． ②是定值，理由如下：如图3，过点O作，垂足分别为M，N，过点 A作，垂足为H，∵四边形为菱形，∴平分，∴， ∵，∴．∵∴， 又∵，∴，∴， 在和中，∴． ∵， ，∴， ∴， ∵，∴，∴ 又∵O为的中点，且，∴，， ∴． (3)如图4，延长到点E，使，连接，过点B作于点F． ∵，是的平分线∴， ∴是等边三角形，∴，，∴． ∵，∴，在和中， ∴，∴，∴，， ∵，∴，∴， ∴ 1．（2024·江苏·八年级专题练习）如图，O为正△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论： ①可由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4； ③∠AOB＝150°；④S四边形AOBO′＝6+2；⑤ ，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②③⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤ 【答案】B 【详解】解：∵将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，∴，， ∵正△ABC，∴，，∵， ∴，即， 在与中，∵，∴， 故可由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，①说法正确，符合题意；如图1，连接 ∵，，∴是等边三角形， ∵，∴．故点O与O′的距离为4，②说法正确，符合题意； ∵，∴，∵，∴， ∵，，∴，∴，∵是等边三角形，∴， ∵．故③说法正确，符合题意； 如图2，过作于点， ∵是等边三角形，，，∴，∴． ∵，，，∴． ∵，，，∴． ∴．故④说法错误，不符合题意； 将线段OA以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AD，连接OD，过A作AE⊥CD交CD延长线于点E， ∵将线段OA以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AD，∴，， ∵正△ABC，∴，，∵， ∴，即， 在与中，∵，∴，∴．∵，，∴是等边三角形． ∵，∴易求．∵是等边三角形，，∴， ∵，，∴，∵，∴，∴． ∵，，∴． ∴． ∵，，∴，∴． ∵，，∴，∴， ∵，∴，∵， ∴，∴．故⑤说法正确，符合题意； 综上，正确的说法有①②③⑤，故选：B． 2．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，在正方形中，，为上一动点，交于，过作交于点，过作于，连结．在以下四个结论中：①；②；③；④．其中正确的结论有（    ） A．①③ B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】B 【详解】解：①连接，延长交于点，连接，    为正方形的对角线，， ，，， ，，∴，， ，，，，∵，∴，故①错误； ，，，故②正确； ③如图，连接交于，∵四边形是正方形，，∴，， ∵，，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，故③正确； ④∵是动点，则是动点，的长度的变化的，∴的长度是变化的，故④错误； 综上：②③正确；故选B 3．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 【答案】B 【详解】解：如图，将关于AE对称得到， 则，，， ，， 在和中，，， ， ，即是直角三角形，， ， 即与的面积之和为21，故选：B． 4．（2022春·山东烟台·八年级校考期中）如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，BC上，若F是BC的中点，且∠EDF＝45°，则DE的长为 _____． 【答案】2 【详解】解：延长BA到点G，使AG＝CF，连接DG，EF， ∵AD＝CD，∠DAG＝∠DCF，∴△ADG≌△CDF（SAS），∴∠CDF＝∠GDA，DG＝DF， ∵∠EDF＝45°，∴∠EDG=∠ADE+∠ADG＝∠ADE+∠CDF＝45°， ∵DE＝DE，∴△GDE≌△FDE（SAS），∴GE＝EF， ∵F是BC的中点，∴AG=CF=BF=3，设AE＝x，则BE＝6﹣x，EF＝x+3， 由勾股定理得，（6﹣x）2+32＝（x+3）2，解得x＝2，∴AE＝2， ∴DE＝，故答案为：2． 5．（2023·山东青岛·模拟预测）如图，在正方形中，O是对角线的交点，过点O作，分别交，于E，F，若，，则 ．    【答案】 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，，，∴. ∵，∴，∴， 在和中，，∴， ∴，同理：，∴．故答案为：． 6．（2022秋·四川绵阳·九年级校联考阶段练习）已知，，是过点的直线，过点作于点，连接． (1)问题发现：如图(1)，过点作，与交于点，、、之间的数量关系是什么？并给予证明．(2)拓展探究：当绕点旋转到如图(2)位置时，、、之间满足怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明． 【答案】(1)；证明见解析(2)；证明见解析 【详解】（1）解：如图1，过点作交于点， ，，， ，在四边形中，，， ，∴，，，，， ，是等腰直角三角形，， ，∴； （2）；理由：如图，过点作交于点， ，，， ，，， ，，，，，， ，是等腰直角三角形，， ，∴； 7．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，，，． (1)求线段的长；(2)如图2，连接，把线段绕点逆时针旋转90°到，连接，取线段的中点，连接，请判断线段与的数量关系，并说明理由；(3)如图3，点是线段上一点，把线段绕点逆时针旋转45°得到，连接，请直接写出线段的最小值． 【答案】(1)(2)，理由见详解(3) 【详解】（1）解：∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴线段的长为； （2），理由如下：连接，如图： ∵把线段绕点E逆时针旋转到，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴， ∵G为的中点，∴，∵， ∴，∴，∴； （3）在上取一点H，使，连接，如图： ∵，∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵把线段绕点B逆时针旋转得到，∴， ∴，∴，∴，∴， ∴当最小时，最小，此时，如图： ∴为等腰直角三角形，∴，∴的最小值为． 8．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，中，在平面内将线段绕点A逆时针旋转得到线段，过点D作，分别交、于点E、F，连接． (1)如图1，若，．求的长度． (2)如图2，若，求证：． (3)如图3，在（2）问的条件下，若，点P在射线上运动，当取得最小值为时，在平面内将绕点B逆时针旋转度得到，当点恰好在线段上时，请直接写出的面积的值． 【答案】(1)(2)见解析(3) 【详解】（1）解：绕点A逆时针旋转得到线段，∴，， 取，连接,过点D作于M， ∵，，，∴， ∵，，，∴，∴，， ∴，∴是等腰三角形，∴ ∵，，∴，，∴， 又∵，∴， ∴， 又∵，，∴是等腰直角三角形，∴； （2）解： ∵，，即，∴， 过点A作交于N，则是等腰直角三角形， ∴，，，∴， ∵，∴，即， ∵，，，∴，∴， ∴； （3）∵，，∴， 在的下方，作，过点P作于Q， 则，，，∴， 由垂线段最短可知，当A、P、Q共线，且为点A到的垂线段时取得最小值． 如下图，作，于Q，交于P，则， 将绕点B逆时针旋转度得到，此时点恰好在线段上，连接，过点作于H，过点作于R，连接，∵，，于Q ∴，， ∴，，， 又∵，∴，，， ∴， 由旋转的知识可知：，，∴， 又∵，∴，∵，， ∴，，又∵，， ∴是等腰直角三角形，∴，∴， ∴的面积为：． 9．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）综合与实践 初步感知：在数学活动课上老师出示了如下的问题：如图1，已知正方形和等腰直角，且点E在正方形边上，点F在边的延长线上，连结，延长交于点M，求证：．(1)请你解决老师提出的问题； 深入探究：(2)勤学小组的同学将等腰直角绕着点B旋转到图2的位置，此时，连接，若，猜想线段与的数量关系并加以证明； 拓展应用：(3)在等腰直角绕着点B旋转过程中，当A、E、F三点共线时，如图3，若， ，请直接写出的长度． 【答案】(1)见解析(2)，证明见解析(3) 【详解】（1）证明：∵正方形和等腰直角， ∴，，，∴， ∴，∴， ∴，即； （2）解：，证明如下；∵，∴， 由（1）可知，，∴，又∵，∴四边形是矩形， 又∵，∴四边形是正方形，∴， 如图2，连接，∵正方形，∴，∴， ∴， ∴，∴， ∴，∴，∴； （3）解：如图3，连接，由勾股定理得，，， 同理（1）可得，，，即，设，则， 由勾股定理得，，即，整理得，， 解得，或（舍去），∴， 如图3，过作于，于，则四边是矩形，∴，， 设，，则，， 由勾股定理得，，即，整理得，； ，即，整理得，； 式代入②式得，，解得，，∴或（舍去）， ∴，，由勾股定理得，，∴的长度为． 10．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）【问题初探】 （1）在数学活动课上，王老师给出下面问题：如图1，和是等边三角形，点B、C、E不在同一条直线上，请找出图中的全等三角形并直接写出结论________________；（写出一对即可） 上面几何模型被称为“手拉手”模型，面对题目时我们也会“寻模而入，破模而出”．      【类比分析】（2）如下图，已知四边形中，，，是的平分线，且．将线段绕点E顺时针旋转得到线段．当时，连接，试判断线段和线段的数量关系，并说明理由； ①小明同学从结论出发给出如下解题思路：可以先猜测线段和线段的数量关系，然后通过逆用“手拉手”模型，合理添加辅助线，借助“全等”来解决问题； ②小玲同学从条件入手给出另一种解题思路：可以根据条件，则，再通过“手拉手”模型，合理添加辅助线，构造与全等的三角形来解决问题． 请你选择一名同学的解题思路（也可另辟蹊径）来解决问题，并说明理由． 【拓展延伸】（3）如下图，中，当时，点D、E为、上的点，，，若，，求线段的长．    【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【详解】解：（1）．理由如下：如图1，       和是等边三角形，，，， ，即， 在和中，，； （2）如图2，过点作平分交于， 四边形中，，，，，， 平分，，，， ，四边形是平行四边形，， 平分，，， 是等边三角形，，， ，，即，由旋转得：，， ，，； （3）如图3，以、为边作平行四边形，连接， 则，，，，    设，则，，，又，是等边三角形， 将绕点逆时针旋转得，连接， 是等边三角形，，，， ，，即，，即的长为． 11．（2024·福建福州·九年级校考期中）正方形ABCD和正方形AEFG的边长分别为3和1，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转．（1）当旋转至图1位置时，连接BE，DG，则线段BE和DG的关系为 ； （2）在图1中，连接BD，BF，DF，求在旋转过程中BDF的面积最大值； （3）在旋转过程中，当点G，E，D在同一直线上时，求线段BE的长． 【答案】（1），；（2）7.5；（3）或 【详解】解：（1），，理由如下： 如图1中，设交于点，交于点． 四边形、四边形都是正方形，，，， ，， 在和中，，，，， ，，， 故答案为：BE＝DG，BE⊥DG； （2）如图1中，连接，，，，，设交于点． 四边形、四边形都是正方形，，，，， ，，， ，当点F，A，K在同一直线上时，点到的最大距离， 的面积的最大值为； （3）如图中，当，，共线时，连接交于． 四边形是正方形，，，， ，， ，；如图中，当，，共线时，连接交于． 四边形是正方形，，，， ，， ，； 综上所述，满足条件的的长为或． 12．（2024·上海·九年级专题练习）小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E在边BC上，∠DAE＝45°．若BD＝3，CE＝1，求DE的长． 小明发现，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转90º，得到△ACF，联结EF（如图2），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及∠DAE＝45°，可证△FAE≌△DAE，得FE＝DE．解△FCE，可求得FE（即DE）的长．(1)请回答：在图2中，∠FCE的度数是 ，DE的长为 ． 参考小明思考问题的方法，解决问题： (2)如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°．E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．猜想线段BE，EF，FD之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1)90°，；(2)，见解析 【解析】(1)解：∵将△ABD绕点A按逆时针方向旋转90º，得到△ACF， ∴ 在中，BD＝3，CE＝1，故答案为：90°； (2)猜想：EF=BE＋FD；理由如下：如图，将△ABE绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AD重合，得到△ADG， ∴BE＝DG，AE＝AG，∠DAG＝∠BAE，∠B＝∠ADG， ∵∠B＋∠ADC＝180°，∠B＝∠ADG，∴∠ADG＋∠ADC＝180°，即点F，D，G在同一条直线上． ∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝∠BAD－∠EAF＝∠EAF， 即∠GAF＝∠EAF．在△AEF和△AGF中，∴△AEF≌△AGF，∴EF＝FG ∵FG＝DG＋FD＝BE＋DF，∴EF＝BE＋FD 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，三角形全等的性质与判定，掌握性质的性质是解题的关键． 13．（2024·江西宜春·八年级校考阶段练习）（1）如图1，在四边形中，，，， E、F分别是、上的点，且，小王同学探究此问题的方法是:延长到点G，使，连接，证明．请直接写出、、条线段之间的数量关系． （2）如图2，若在四边形中，，与互补，E、F分别是，上的点，、、 是否还存在上述关系，若存在，请证明；若不存在，请说明理由． （3）如图3，四边形是边长为5的正方形，，求的周长． 【答案】（1）；（2）结论仍然成立；证明见解析；（3）的周长为10 【详解】解：（1）证明：如图1，，，， ，，，， ， ，， 在和中，，， ，； （2）结论仍然成立；理由：延长到点G，使，连接，如下图， 在和中，，∴，∴，， ∵，∴∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴； （3）解：如图3，延长到点G，截取，连接， 在与中，∵，∴， ∴，，∵，， ∴，∴， 在与中，∵，∴，∴， ∴的周长为：． 14．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）已知正方形，，点是边上的一个动点（不与重合），将绕点顺时针旋转至，连接，设交于点，交于点． (1)如图，若，求的度数；(2)如图，点在上运动的过程中，线段与之间有怎样的数量关系，请证明你的发现；若，求此时的度数． (3)如图，连接，则的最小值是____________（直接写出答案）； 【答案】(1)；(2)，证明见解析；； (3)的最小值是． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，∴，， ∵，∴，∴， 由旋转可得，，，∴， ∴，∴； （2）解：，理由如下：如图，延长至，使，连接 ， ∵四边形是正方形，∴，，∴， 又∵，∵，∴，， 又由旋转可得，，，∴，∴， ∴，即，∴ 又∵，∴，∴，∴，即； 如图，在上截取， ∵四边形是正方形，∴，， ∴，，∴， ∵，∴， ∴，即； （3）解：如图，在上截取，连接， 同理（）可得，， ∵， ∴，∵，∴， ∵，∴，∴，， ∴，∴点在的外角角平分线上运动，作点关于的对称点，连接， ∴， ，∴， 当点三点共线时，有最小值为的长， ∴，∴有最小值为，故答案为：． 15．（2023·绵阳市八年级期中）在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系． (1)如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM＝DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ； (2)如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（1）问的结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由．(3)如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证明． 【答案】(1)；(2)成立，；(3)，见解析 【详解】（1）解：BM、NC、MN之间的数量关系 BM+NC＝MN． ∵DM＝DN，∠MDN＝60°，∴△MDN是等边三角形， ∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°， ∵BD＝CD，∠BDC＝120°，∴∠BDC＝∠DCB＝30°，∴∠MBD＝∠NCD＝90°， 在Rt△BDM和Rt△CDN中，，∴Rt△BDM≌Rt△CDN（HL）， ∴∠BDM＝∠CDN＝30°，BM＝CN，∴DM＝2BM，DN＝2CN， ∴MN＝2BM＝2CN＝BM+CN，故答案为：BM+NC＝MN； （2）猜想：结论仍然成立．证明：在CN的延长线上截取CM1＝BM，连接DM1． ∵∠MBD＝∠M1CD＝90°，BD＝CD，∴△DBM≌△DCM1（SAS）， ∴DM＝DM1，∠MBD＝∠M1CD，M1C＝BM， ∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，∴∠M1DN＝∠MDN＝60°， ∴△MDN≌△M1DN（SAS），∴MN＝M1N＝M1C+NC＝BM+NC； （3）NC−BM=MN，理由如下：证明：在CN上截取CM1＝BM，连接MN，DM1 由（2）得，△DBM≌△DCM1，∴DM＝DM1， ∴∠M1DN＝∠MDN＝60°，∴△MDN≌△M1DN（SAS）， ∴MN＝M1N，∴NC﹣BM＝MN． 16．（2024·江苏·八年级专题练习）定义：一组对角互补，且对角线平分其中一个内角，称四边形为余缺四边形．如图1，四边形，，平分，则四边形为余缺四边形． 【概念理解】(1)用　 　（填序号）一定可以拼成余缺四边形． ①两个全等的直角三角形， ②两个全等的等边三角形； (2)如图1，余缺四边形，平分，若，，则　 ； 【初步应用】 如图2，已知△ABC，∠BAC的平分线AP与BC的垂直平分线交于P点，连接PB、PC． (3)求证：四边形ABPC为余缺四边形；(4)若，，则的值为 ． 【迁移应用】(5)如图3，，等腰的B、C两点分别在射线上，且斜边 (P、A在两侧)，若B、C两点在射线、上滑动时，四边形的面积是否发生变化？若不变化，请说明理由；若变化，直接写出面积的最大的值． 【答案】(1)①(2)3(3)见详解(4)45(5)变化；最大值是50 【详解】（1）如图4，将两个全等的直角三角形沿斜边拼在一起组成一个新的四边形，则此四边形满足对角线平分一组对角；且一组对角互补两个全等的直角三角形一定能拼成余缺四边形； 如图5，将两个全等的等边三角形拼在一起组成一个新的四边形，此四边形的一组对角相加等于 两个全等的等边三角形无法拼成余缺四边形；故答案为：① （2）如图6，过C点分别作AB，AD的垂线，垂足为E，F 平分， （3）如图7，过点P作，，垂足为G，H AP平分,， 点P在BC的垂直平分线上 在和中 平分，是余缺四边形． （4）由勾股定理可知，， （5）如图8，取BC中O，连接OA，作于点Q， 则在BC运动的过程中，始终有： 是直角三角形，OA是斜边上的中线， ； 是等腰直角三角形 ． 17．（2024·江西赣州·八年级统考期末）定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如：在四边形中，，或，则四边形是“对补四边形”． (1)【概念理解】如图（1），四边形是“对补四边形”． ①若，则∠D的度数是_________； ②若，且，则_______． (2)【拓展延伸】如图（2），四边形是“对补四边形”，当，且时，猜测，，之间的数量关系，并加以证明． (3)【类比运用】如图（3），如图（4），在四边形中，，平分． ①如图（3），求证：四边形是“对补四边形”； ②如图（4），设，连接，当，且时，求的值． 【答案】(1)①；②4(2)，证明见解析(3)①见解析；②的值是2或 （1）解：①∵，设， 根据“对补四边形”的定义，，即，解得，∴， ∵，∴．故答案为：． ②在“对补四边形”中，连续，∵，则， 在中，，在中， ∴，故答案为：4； （2）解：，理由如下：延长至点，使，连接， ∵四边形是“对补四边形”，∴， 又∵，∴，又∵，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴； （3）①证明：过点作，垂足为，，垂足为，则， ∵平分，∴，又∵，∴，∴， ∵，∴，即与互补， ∴四边形是“对补四边形”； ②由①知四边形是“对补四边形”，∴， ∵，∴，∵，则， ∵，∴， ∴，， ∵，∴，即：，解得：或，∴的值是2或． 18．（23-24八年级上·四川成都·期末）菱形ABCD中，，点O为射线CA上的动点，作射线OM与直线BC相交于点E，将射线OM绕点O逆时针旋转，得到射线ON，射线ON与直线CD相交于点F．（1）如图①，点O与点A重合时，点E，F分别在线段BC，CD上，请直接写出CE，CF，CA三条段段之间的数量关系；（2）如图②，点O在CA的延长线上，且，E，F分别在线段BC的延长线和线段CD的延长线上，请写出CE，CF，CA三条线段之间的数量关系，并说明理由； （3）点O在线段CA上，若，，当时，求BE的长． 【答案】（1）CA＝CE＋CF；（2）CF−CE＝AC；理由见解析；（3）BE的长为3或5或1． 【详解】解：（1）如图①中，结论：CA＝CE＋CF． 理由：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°， ∴AB＝AD＝DC＝BC，∠BAC＝∠DAC＝60°，∴△ABC，△ACD都是等边三角形， ∵∠DAC＝∠EAF＝60°，∴∠DAF＝∠CAE， ∵CA＝AD，∠D＝∠ACE＝60°，∴△ADF≌△ACE（SAS），∴DF＝CE， ∴CE＋CF＝CF＋DF＝CD＝AC，∴CA＝CE＋CF； （2）结论：CF−CE＝AC．理由：如图②中，作OG∥AD交CF于G，则△OGC是等边三角形． ∵∠GOC＝∠FOE＝60°，∴∠FOG＝∠EOC， ∵OG＝OC，∠OGF＝∠ACE＝120°，∴△FOG≌△EOC（ASA），∴CE＝FG， ∵OC＝OG，CA＝CD，∴OA＝DG，∴CF−EC＝CF−FG＝CG＝CD＋DG＝AC＋AC＝AC； （3）作BH⊥AC于H．∵AB＝6，AH＝CH＝3，∴BH＝， 如图③−1中，当点O在线段AH上，点F在线段CD上，点E在线段BC上时． ∵OB＝，∴OH＝，∴OC＝3＋1＝4，由（1）可知：CO＝CE＋CF， ∵OC＝4，CF＝1，∴CE＝3，∴BE＝6−3＝3； 如图③−2中，当点O在线段AH上，点F在线段DC的延长线上，点E在线段BC上时． 由（2）可知：CE−CF＝OC，∴CE＝4＋1＝5，∴BE＝1； 如图③−3中，当点O在线段CH上，点F在线段CD上，点E在线段BC上时． 同法可证：OC＝CE＋CF，∵OC＝CH−OH＝3−1＝2，CF＝1，∴CE＝1，∴BE＝6−1＝5； 如图③−4中，当点O在线段CH上，点F在线段DC的延长线上，点E在线段BC上时． 同法可知：CE−CF＝OC，∴CE＝2＋1＝3，∴BE＝3，综上所述，BE的长为3或5或1． 19．（23-24八年级上·广东汕头·期末）已知为等边三角形，点为的垂直平分线上一点，连接、，点、分别在、所在的直线上，连接、． (1)如图①，若，点、在边、上，，则、、之间的数量关系是_______；若，则的周长为______； (2)如图②，点在上，，求证：； (3)如图③，点在边上，点在的延长线上，在（2）的条件下，若，证明：． 【答案】(1)，2(2)见详解(3)见详解 【详解】（1）解：如图：延长至点，使 ∵点为的垂直平分线上一点，∴, ∵为等边三角形，∴ ∴故∴ ∵∴ ∵∴则； ∵的周长，且 ∴ （2）解：如图：过点作， ∵为等边三角形，点为的垂直平分线上一点，∴ ∵∴∵∴ ∵∴∴； （3）解：设，如图：过点作， 同理可证∴ ∵∴∴ 则 20．（2024·辽宁大连·模拟预测）【问题呈现】如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点E、F（点F与点C，D不重合）．探索线段之间的数量关系． 【问题初探】（1）爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论．请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【问题引申】（2）如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段、、之间的数量关系是 ； 【问题解决】（3）如图3，在（2）的条件下，当菱形的边长为8，点P运动至与A点距离恰好为7的位置，且旋转至时，的长度为 ． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）4或2 【详解】解：（1）结论：．理由：如图1中， 正方形的对角线，交于点，，， ，， 在和中，，，； （2）结论变为，理由如下：如图2中，取的中点T，连接， 四边形为的菱形， ，，， 是等边三角形，，，，， ，，在和中，， ，，，故答案为：； （3）如图3﹣1中，当点P靠近点B时，过点A作于H，连接，作交于G． 是等边三角形，，，， 在中，，， 由（2）可知，，； 如图中，当点靠近点时，同法可得，， ，， 综上所述，满足条件的的值为或；故答案为：4或2． 6 / 62 学科网（北京）股份有限公司 $$