专题04 特殊的平行四边形中的最值模型之胡不归模型-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版）

专题04 特殊的平行四边形中的最值模型之胡不归模型 胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。 1 模型1.胡不归模型（最值模型） 1 9 模型1.胡不归模型（最值模型） 从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？” 看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题. 补充知识：在直角三角形中锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即。 若无法理解正弦，也可考虑特殊直角三角形（含30°，45°，60°）的三边关系。 一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）。 1），记，即求BC+kAC的最小值. 2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值. 3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。 【最值原理】垂线段最短。 例1．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝4，点P为线段BD上的一个动点，则MP+PB的最小值是（    ） A．4 B． C． D．5 例2．（2023·安徽·二模）如图：在矩形ABCD中，AB＝1．BC＝，P为边AD上任意一点，连接PB，则PB+PD的最小值为（　　）    A． B．2 C． D． 例3．（2023·云南昆明·统考二模）如图，正方形边长为4，点E是边上一点，且．P是对角线上一动点，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 例4．（2023·四川宜宾·校考模拟预测）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于________． 例5．（24-25九年级上·广东·课后作业）如图，在菱形中，是边上一个动点，连接的垂直平分线交于点，交于点，连接．求的最小值． 例6．（2023·广东佛山·校考一模）在边长为1的正方形中，是边的中点，是对角线上的动点，则的最小值为 ___________． 例7．（2024·重庆·九年级校考期中）如图，矩形的对角线，相交于点，关于的对称图形为．（1）求证：四边形是菱形；（2）连接，若，． ①求的值；②若点为线段上一动点（不与点重合），连接，一动点从点出发，以的速度沿线段匀速运动到点，再以的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动．当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求的长和点走完全程所需的时间． 1．（2023.成都市九年级期中）如图，中，，，，为边上的一动点，则的最小值等于 　　． 2．（2023·广东·九年级专题练习）如图，矩形ABCD中AB＝3，BC，E为线段AB上一动点，连接CE，则AE＋CE的最小值为___． 3．（2023上·湖北黄石·九年级校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，将线段绕点进行旋转，，取中点，，连接，已知点的坐标为，那么将线段绕点的旋转过程中，的最小值为 ．    4．（2023·湖南·九年级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝6，△BCD为等边三角形点E为△BCD围成的区域（包括各边）的一点过点E作EM∥AB，交直线AC于点M作EN∥AC交直线AB于点N，则AN+AM的最大值为　　． 5．（2023上·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，在长方形中，，，点在上，连接，在点的运动过程中，的最小值为 ．    6．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，▱ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则2PB+ PD的最小值等于______. 7．（2023·湖南湘西·八年级统考阶段练习）如图，已知菱形ABCD的边长为4，点是对角线AC上的一动点，且∠ABC=120°，则()的最小值是____________． 8．（2023·四川宜宾·校考模拟预测）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于________． 9．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+BM的最小值为_____． 10．（23-24八年级下·广西钦州·期中）如图，已知菱形的边长为8，点M是对角线上的一动点，且，则的最小值是 ． 11．（2023·湖北武汉·九年级期末）如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______． 12．（2023·湖北孝感·校考模拟预测）如图，四边形是正方形纸片，．对折正方形纸片，使与重合，折痕为；展平后再过点折叠正方形纸片，使点落在上的点处，折痕为；再次展平，延长交于点Q．有如下结论：①；②；③；④；⑤为线段上一动点，则的最小值是．其中正确结论的序号是 ．    13．（2022下·浙江宁波·八年级校联考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为 ． 14．（2023·广东广州·校考二模）如图，菱形中，，，点、分别为线段、上的动点，点为边的中点，连接，． (1)求的长；(2)连接，若，求证：； (3)若，试求的最小值．    15．（2023·吉林长春·统考一模）（1）【问题原型】如图①，在，，，求点到的距离． （2）【问题延伸】如图②，在，，．若点在边上，点在线段上，连结，过点作于，则的最小值为______． （3）【问题拓展】如图（3），在矩形中，．点在边上，点在边上，点在线段上，连结．若，则的最小值为______． 16．（2023·达州市九年级期中）如图，矩形的顶点、分别在、轴的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图象与边、、轴分别交于点、、，，并且满足，点是线段上的一个动点．（1）求的值；（2）连接，若的面积与四边形的面积之比为，求点的坐标；（3）求的最小值． 4 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 特殊的平行四边形中的最值模型之胡不归模型 胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。 1 模型1.胡不归模型（最值模型） 1 9 模型1.胡不归模型（最值模型） 从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？” 看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题. 补充知识：在直角三角形中锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即。 若无法理解正弦，也可考虑特殊直角三角形（含30°，45°，60°）的三边关系。 一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）。 1），记，即求BC+kAC的最小值. 2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值. 3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。 【最值原理】垂线段最短。 例1．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝4，点P为线段BD上的一个动点，则MP+PB的最小值是（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】C 【分析】过点P作PE⊥BC于点E，由菱形的性质可得AB=BC=AC=10，∠ABD=∠CBD，可证△ABC是等边三角形，可求∠CBD=30°，由直角三角形的性质可得PE=PB，则MP+PB=PM+PE，即当点M、P、E共线且ME⊥BC时，PM+PE有最小值为ME，由锐角三角函数可求解． 【详解】如图，过点P作PE⊥BC于点E， ∵四边形ABCD是菱形，AB=AC=10，∴AB=BC=AC=10， ∠ABD=∠CBD， ∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∴∠CBD=30°， ∵PE⊥BC，∴PE=PB，∴MP+PB=PM+PE， ∴当点M、P、E共线且ME⊥BC时，PM+PE有最小值为ME， ∵AM=4，∴MC=6，∵，∴， ∴MP+PB的最小值为，故答案为：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质和判定和性质，30°直角三角形的性质，点到直线垂线段最短，锐角三角函数，将MP+PB转化为PM+PE是解题的关键． 例2．（2023·安徽·二模）如图：在矩形ABCD中，AB＝1．BC＝，P为边AD上任意一点，连接PB，则PB+PD的最小值为（　　）    A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】连接BD，根据矩形ABCD中，AB＝DC＝1．BC＝，可得tan∠DBC＝，得∠DBC＝30°，作∠DBN＝∠DBC＝30°，过点D作DM⊥BN于点M，BN交AD于点P，此时BP+PD＝BP+PM最小，最小值为BM的长． 【详解】连接BD，在矩形ABCD中，AB＝DC＝1，BC＝，∴tan∠DBC＝＝，∴∠DBC＝30° 作∠DBN＝∠DBC＝30°，过点D作DM⊥BN于点M，BN交AD于点P．∴∠MDB＝60°， ∵AD∥BC∴∠PDB＝∠DBC＝30°，∴∠MDP＝30°，∴PM＝PD，此时，BP+PD的最小值＝BP+PM=BM， ∵∠MBD＝∠CBD，∠BMD＝∠C＝90°，BD＝BD∴△BMD≌△BCD（AAS），∴BM＝BC＝， 答：PB+PD的最小值为．故选：C．    【点睛】本题主要考查矩形的性质与含30°角的直角三角形的性质以及特殊角的三角函数，添加辅助线，把PB+PD的最小值化为BM的长，是解题的关键． 例3．（2023·云南昆明·统考二模）如图，正方形边长为4，点E是边上一点，且．P是对角线上一动点，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】连接AC，作，证明当取最小值时，A，P，G三点共线，且，此时最 小值为AG，再利用勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半即可求出结果． 【详解】解：连接AC，作 ∵是正方形且边长为4，∴，，， ∵，∴，∴， ∴当取最小值时，A，P，G三点共线，且，此时最小值为AG， ∵，，∴，∵，∴， 设，则，∴，解得：， 设，则，∵，∴，解得： ∴，故选：D 【点睛】本题考查正方形的性质，动点问题，勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半，解题的关键是证明当取最小值时，A，P，G三点共线，且，此时最小值为AG． 例4．（2023·四川宜宾·校考模拟预测）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于________． 【答案】 【分析】过点P作PQ⊥AD于点Q，由于∠PDQ=60°，因此，由此可知当B、P、Q三点共线时有最小值，然后利用解直角三角形的知识进行求解即可. 【详解】过点P作PQ⊥AD，垂足为Q， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC//AB，∴∠QDP=∠DAB=60°， ∴PQ=PD•sin∠QDP=PD，∴=BP+PQ， ∴当点B、P、Q三点共线时有最小值， ∴的最小值为，故答案为：3. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，线段之和最短问题，正确添加辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键. 例5．（24-25九年级上·广东·课后作业）如图，在菱形中，是边上一个动点，连接的垂直平分线交于点，交于点，连接．求的最小值． 【答案】 【分析】遇“求型最值”想胡不归模型，若是在圆中则想阿氏圆．若，则转化为，求的最值．本题可转化为求的最小值，然后利用特殊角构造和相等的线段，即作，将问题转化为求的最小值．由垂直平分可得，则，作的最小值为的长． 【详解】解：如图，过点作于点，连接，过点作于点， 四边形是菱形，，，， 的垂直平分线是，， ，的最小值为， ，，的最小值为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，线段垂直平分线的性质，垂线段最短，熟练知识点，正确添加辅助线，处理好系数是解决本题的关键． 例6．（2023·广东佛山·校考一模）在边长为1的正方形中，是边的中点，是对角线上的动点，则的最小值为 ___________． 【答案】0 【分析】作于，可得出，从而得的最小值，将变形为，进一步得出结果． 【详解】解：如图，作于， ∵四边形是正方形，，，的最小值为0， ∵，∴的最小值为0，故答案为：0． 【点睛】本题考查了正方形的性质，解直角三角形等知识，解题关键是作辅助线转化线段． 例7．（2024·重庆·九年级校考期中）如图，矩形的对角线，相交于点，关于的对称图形为．（1）求证：四边形是菱形；（2）连接，若，． ①求的值；②若点为线段上一动点（不与点重合），连接，一动点从点出发，以的速度沿线段匀速运动到点，再以的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动．当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求的长和点走完全程所需的时间． 【答案】（1）证明见解析；（2）① ；②和 走完全程所需时间为 ． 【分析】（1）利用四边相等的四边形是菱形进行证明即可；（2）①构造直角三角形求即可； ②先确定点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时的位置，再计算运到的时间． 【详解】（1） 四边形 是矩形， ， 与 交于点O,且 关于 对称， ，， 四边形 是菱形； （2）①连接 ,直线 分别交 于点 ,交 于点 ， 关于 的对称图形为 ， ， 在矩形 中， 为 的中点，且O为AC的中点， 为 的中位线 ，   ，同理可得： 为 的中点， ，   ， ； ②过点P作 交 于点 ， 由 运动到 所需的时间为3s， 由①可得，， 点Q以 的速度从P到A所需的时间等于以 从M运动到A， 即：， 由O运动到P所需的时间就是OP+MA和最小. 如下图，当P运动到 ,即 时，所用时间最短.， 在 中，设， ， ，解得： ， ，和 走完全程所需时间为． 1．（2023.成都市九年级期中）如图，中，，，，为边上的一动点，则的最小值等于 　　． 解：如图，过点作，交的延长线于点， ， 当点，点，点三点共线且时，有最小值，即最小值为， 故答案为： 2．（2023·广东·九年级专题练习）如图，矩形ABCD中AB＝3，BC，E为线段AB上一动点，连接CE，则AE＋CE的最小值为___． 【答案】3 【详解】思路引领：在射线AB的下方作∠MAB＝30°，过点E作ET⊥AM于T，过点C作CH⊥AM于H．易证ETAE，推出AE+EC＝CE+ET≥CH，求出CH即可解决问题． 答案详解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°， ∴tan∠CAB，∴∠CAB＝30°，∴AC＝2BC＝2， 在射线AB的下方作∠MAB＝30°，过点E作ET⊥AM于T，过点C作CH⊥AM于H． ∵ET⊥AM，∠EAT＝30°，∴ETAE， ∵∠CAH＝60°，∠CHA＝90°，AC＝2，∴CH＝AC•sin6°＝23， ∵AE+EC＝CE+ET≥CH，∴AE+EC≥3，∴AE+EC的最小值为3，故答案为3． 3．（2023上·湖北黄石·九年级校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，将线段绕点进行旋转，，取中点，，连接，已知点的坐标为，那么将线段绕点的旋转过程中，的最小值为 ．    【答案】 【分析】连接，取中点，连接，由三角形中位线定理可得，即，由三角形三边关系可得，当三点共线时，上式取等号，由的坐标可得，再根据两点间的距离公式可得，即可得到答案． 【详解】解：连接，取中点，连接，   ， 为的中点，，即，， 当三点共线时，上式取等号，，， ，， 的最小值为，故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形、三角形中位线定理、勾股定理、三角形三边关系等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 4．（2023·湖南·九年级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝6，△BCD为等边三角形点E为△BCD围成的区域（包括各边）的一点过点E作EM∥AB，交直线AC于点M作EN∥AC交直线AB于点N，则AN+AM的最大值为　　． 【解答】解：过E作EH⊥AC交AC的延长线于点H， ∵EN∥AC，EM∥AB，∴四边形ANEM是平行四边形，∠HME＝∠A＝60°， 设EM＝AN＝a，AM＝b，Rt△HEM中，∠HEM＝30°，∴MH＝ME＝a， ∴AN+AM＝a+b＝MH+AM＝AH，当E在点D时，AH的值最大是：3+4.5＝7.5， AN+AM的最大值为7.5，故答案为：7.5． 5．（2023上·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，在长方形中，，，点在上，连接，在点的运动过程中，的最小值为 ．    【答案】/ 【分析】在线段下方作，过点作于点，连接，求出此时的的长度便可． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，，，∴， 在线段下方作，过点作于点，连接，      ∴，∴， 当、、三点共线时，的值最小， 此时，∴，∴，， ∴，∴的最小值为：， ∴的最小值为．故答案为：． 【点睛】本题考查了长方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，垂线段最短性质，关键是作辅助线构造的最小值． 6．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，▱ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则2PB+ PD的最小值等于______. 【答案】 【分析】过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，根据四边形ABCD是平行四边形，得到 AB∥CD，推出PE=PD，由此得到当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，利用∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6求出PB+PE的最小值=AB=3，得到2PB+ PD的最小值等于6. 【详解】过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，∴∠EDC=∠DAB＝30°，∴PE=PD， ∵2PB+ PD=2（PB+PD）=2(PB+PE)， ∴当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上， ∵∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6，∴PB+PE的最小值=AB=3， ∴2PB+ PD的最小值等于6，故答案为：6. 【点睛】此题考查平行四边形的性质，直角三角形含30°角的问题，动点问题，将线段2PB+PD转化为三点共线的形式是解题的关键. 7．（2023·湖南湘西·八年级统考阶段练习）如图，已知菱形ABCD的边长为4，点是对角线AC上的一动点，且∠ABC=120°，则()的最小值是____________． 【答案】 【分析】作DE⊥AB于E点，连接BD，根据垂线段最短，此时DE最短，即PA+PB+PD最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出DE的长，进而得出结论． 【详解】解：如图，作DE⊥AB于E点，连接BD ∵菱形ABCD中，∠ABC＝120° ∴∠DAB=60°，则△ABD为等边三角形∴∠PAE=30°∴AP=2PE ∵PD=PB∴PA+PB+PD=2PE+2PD=2DE根据垂线段最短，此时DE最短，即PA+PB+PD最小 ∵菱形的边长为4∴AB=4，AE=2∴DE= ∴2DE= ∴PA+PB+PD最小值为故答案为： 【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，掌握菱形的性质，将多条线段转化是解题关键． 8．（2023·四川宜宾·校考模拟预测）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于________． 【答案】 【分析】过点P作PQ⊥AD于点Q，由于∠PDQ=60°，因此，由此可知当B、P、Q三点共线时有最小值，然后利用解直角三角形的知识进行求解即可. 【详解】过点P作PQ⊥AD，垂足为Q，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC//AB，∴∠QDP=∠DAB=60°， ∴PQ=PD•sin∠QDP=PD，∴=BP+PQ，∴当点B、P、Q三点共线时有最小值， ∴的最小值为，故答案为：3. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，线段之和最短问题，正确添加辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键. 9．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+BM的最小值为_____． 【答案】4 【分析】如图，过点A作AT⊥BC于T，过点M作MH⊥BC于H，根据菱形的性质和30°角的直角三角形的性质可得MH＝BM，于是可得AM+BM的最小值即为AT的长，再利用解直角三角形的知识求解即可． 【详解】解：如图，过点A作AT⊥BC于T，过点M作MH⊥BC于H． ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴∠DBC＝∠ABC＝30°， ∵MH⊥BC，∴∠BHM＝90°，∴MH＝BM，∴AM+BM＝AM+MH， ∵AT⊥BC，∴∠ATB＝90°，∴AT＝AB•sin60°＝4， ∵AM+MH≥AT，∴AM+MH≥4，∴AM+BM≥4，∴AM+BM的最小值为4，故答案为：4． 【点睛】本题考查了菱形的性质、30°角的直角三角形的性质、垂线段最短以及解直角三角形等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识、明确解答的方法是解题关键． 10．（23-24八年级下·广西钦州·期中）如图，已知菱形的边长为8，点M是对角线上的一动点，且，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定及性质，直角三角形的特征，勾股定理等；由等边三角形的判定方法得是等边三角形，由直角三角形的特征， 当、、三点共线时，取得最小值，此时，的最小值为，即可求解；掌握菱形的性质，等边三角形的判定及性质，直角三角形的特征，找出取得最值的条件是解题的关键． 【详解】解：如图，过点M作于点E，连接， ∵四边形是菱形，，，， ，，，是等边三角形， ，，，， 当、、三点共线时，取得最小值，此时， 的最小值为，， ，， 的最小值为；故答案：． 11．（2023·湖北武汉·九年级期末）如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】作PH丄AD交AD的延长线于H，由直角三角形的性质可得HP=DP，因此PD+2PB=2(DP+PB)=2(PH+PB)，当H、P、B三点共线时HP+PB有最小值，即PD十2PB有最小值，即可求解． 【详解】如图，过点作，交的延长线于， 四边形是平行四边形，，∴ ∵PH丄AD∴∴，， ∴ 当点，点，点三点共线时，HP+PB有最小值，即有最小值， 此时 ，，，∴ ， 则最小值为，故答案为：． 【点睛】本题考查了胡不归问题，平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识．构造直角三角形是解题的关键． 12．（2023·湖北孝感·校考模拟预测）如图，四边形是正方形纸片，．对折正方形纸片，使与重合，折痕为；展平后再过点折叠正方形纸片，使点落在上的点处，折痕为；再次展平，延长交于点Q．有如下结论：①；②；③；④；⑤为线段上一动点，则的最小值是．其中正确结论的序号是 ．    【答案】①③④⑤ 【分析】①首先根据垂直平分，可得；然后根据折叠的性质，可得，据此判断出为等边三角形，即可判断出．②首先根据，，求出；然后在中，根据，求出的大小即可．③证明所以．④构造直角三角形，利用勾股定理即可得出结论．⑤首先过点作，在同一条直线上且时的值最小． 【详解】解：如图，连接，      垂直平分，，根据折叠的性质，可得：， ，为等边三角形，，即结论①正确； ，，， ，即结论②不正确． ∵折叠，∴，∴ ∵∴∴ ∴，即结论③正确．设，则， ∵，，∴，在中由， ∴，解得：，即，即结论④正确． 过点H作，是等边三角形，，∴， 在同一条直线上且时的值最小， 此时，的最小值是， 即结论⑤正确．故答案为：①③④⑤． 【点睛】此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了空间想象能力，考查了数形结合方法的应用，要熟练掌握． 13．（2022下·浙江宁波·八年级校联考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为 ． 【答案】6 【分析】先求出点A，点B坐标，由勾股定理可求AB的长，作点B关于OA的对称点，可证是等边三角形，由直角三角形的性质可得CH＝AC，则，即当点，点C，点H三点共线时，有最小值，即2BC＋AC有最小值，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：∵一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，∴点A（3，0），点， ∴AO＝3，，∴， 作点B关于OA的对称点，连接 ，，过点C作CH⊥AB于H，如图所示： ∴，∴， ∴，∴是等边三角形，∵，∴， ∵CH⊥AB，∴，∴， ∴当点，点C，点H三点共线时，有最小值，即2BC＋AC有最小值， 此时，，是等边三角形， ∴，，∴， ∴2BC＋AC的最小值为6．故答案为：6． 【点睛】本题是胡不归问题，考查了一次函数的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，确定点C的位置是解题的关键． 14．（2023·广东广州·校考二模）如图，菱形中，，，点、分别为线段、上的动点，点为边的中点，连接，．    (1)求的长；(2)连接，若，求证：； (3)若，试求的最小值． 【答案】(1)(2)见解析(3) 【分析】（1）证明是等边三角形，即可求解；（2）延长至，使得，在上取，连接，证明，可得，，证明四边形是平行四边形，可得，即可得出，进而证明，即可得证；（3）将绕点逆时针旋转得到，连接，则，当三点共线时，，此时取得最小值，为的中点，当为的中点时（或者设其他点为中点，再证明为中点），过点作于点，勾股定理解直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：∵菱形中，，∴， ∵，∴是等边三角形，又∵，∴； （2）解：如图所示，延长至，使得，在上取，连接，    在与中，∴∴， ∵是等边三角形，∴，， ∴，∴四边形是平行四边形， ∴，，∴， ∵，设，则 在中，， ∴，∴ ∵∴， ∴ 在中， ∴，∴，∴； （3）如图所示，连接，过点作于点，    将绕点逆时针旋转得到，连接，则， 当三点共线时，，此时取得最小值， ∵是等腰直角三角形，∴， ∵三点共线∴，∴， ∵为的中点，当为的中点时， ∴，，则，∴，， ∵∴，∵ ∴ 又，∴，∴， ∴当是的中点时，三点共线，过点作于点， ∴，，∴， 在中，， ∵，∴， 即的最小值为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 15．（2023·吉林长春·统考一模）（1）【问题原型】如图①，在，，，求点到的距离． （2）【问题延伸】如图②，在，，．若点在边上，点在线段上，连结，过点作于，则的最小值为______． （3）【问题拓展】如图（3），在矩形中，．点在边上，点在边上，点在线段上，连结．若，则的最小值为______． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）过点作于，过点作于，根据等腰三角形的性质可得，再由勾股定理可得的长，再由，即可求解； （2）连接，过点作于，过点作于．根据题意可得的最小值等于的长，再由当时，的长最小，可得的最小值等于的长，再根据等腰三角形的性质可得，再由勾股定理可得的长，再由，即可求解； （3）过点F作于点H，连接，过点E作于点G，根据直角三角形的性质可得在，从而得到，继而得到的最小值等于，再由当时，的长最小，即的长最小，可得的最小值等于，即可求解． 【详解】解：（1）如图，过点作于，过点作于． ∵，∴．在中，． ∵，∴．∴点到的距离为． （2）如图，连接，过点作于，过点作于． ∵，∴的最小值等于的长， ∵当时，的长最小，此时点Q与点H重合， ∴的最小值等于的长，∵，∴． 在中，． ∵，∴． 即的最小值为；故答案为： （3）如图，过点F作于点H，连接，过点E作于点G， 在中，，∴， ∴，∴的最小值等于， ∵当时，的长最小，即的长最小，此时点H与点G重合， ∴的最小值等于， ∵四边形是矩形，∴， ∴，∴，即的最小值等于． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 16．（2023·达州市九年级期中）如图，矩形的顶点、分别在、轴的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图象与边、、轴分别交于点、、，，并且满足，点是线段上的一个动点．（1）求的值；（2）连接，若的面积与四边形的面积之比为，求点的坐标；（3）求的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用矩形的性质，用表示点的坐标，再利用待定系数法即可求解； （2）首先求出四边形的面积，再根据条件求出的面积，即可解决问题； （3）过点作轴交于点，则，即可转化为求的最小值，作点关于一次函数的对称点，过点作轴的垂线交轴于点，交一次函数于点，即的最小值为，算出长度即可． 【详解】（1）在中，令，则，点的坐标为， ，，， 把代入中得：，解得：； （2）由（1）得一次函数为，，， ，，， ， 的面积与四边形的面积之比为， 的面积与四边形的面积之比为， ，设点的横坐标为，则， 解得：，把代入中得：，； （3）如图所示，过点作轴交于点， ，，， 作点关于一次函数的对称点，且OO’与直线DF交于Q点，过点作轴的垂线交轴于点， ，， 当、、在同一直线时最小， 即的最小值为， ，，，， 在中，，， 在中．，的最小值为． 【点睛】本题考查几何图形与函数的综合题，包括一次函数、矩形的性质、四边形的面积，解直角三角形以及胡不归问题，属于中考压轴题． 25 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $$