2025年沪科版九年级中考数学总复习压轴题训练-半角模型+对角互补模型

2025年沪科版九年级中考数学总复习压轴题训练 1、半角模型 一、解答题： 1.【问题背景】 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与两对边的交点，构成的基本平面几何模型称为“半角模型”． 【问题发现】 如图，在正方形中，以为顶点的，，与边，分别交于，两点，连接则线段，与之间的数量关系为______． 【问题探究】 如图，在四边形中，，，，以为顶点的，，与边，分别交于，两点，且，求五边形的周长． 【问题拓展】 如图，在四边形中，，与互补，点，分别在射线，上，且当，，时，求的周长． 2.如图，在正方形中，、分别是、边上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 如图，如果四边形中，，，，且，，，求的长． 如图，在四边形中，，与互补，点、分别在射线、上，且当，，时，的周长等于______． 如图，边长为的正方形中，的顶点、分别在、边上，且，连接分别交、于点，，若，求的长． 3.如图，在正方形中，以为顶点的，、与、分别交于、两点，为了探究、、之间的数量关系，小明的思路如下： 如图，延长到点，使，连接，先证明≌，再证明≌从而得到、、之间的数量关系． 提出问题：、、之间的数量关系为______． 知识应用：如图，，，以为顶点的，，、与、分别交于、两点，你认为中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 知识拓展：如图，在四边形中，，，与互补，、与、分别交于、两点，且，请直接写出的周长 ______用含、、的式子表示 4.定义：四边形中，，，则称四边形为半角四边形，边称为半对边． 如图，若四边形为半角四边形，且为半对边，设，用含有的代数式表示； 如图，等腰，，点为其内部一点，，连结，作的外接圆，的延长线交于点，连结，，求证：四边形为半角四边形； 如图，在的条件下，延长交于点，连结，． 求证：； 若，，求四边形的面积． 5.在正方形中，，分别是，上的点，，，分别交对角线于，两点． 我们很容易得到下面三个结论： 结论： 结论： 结论：，，，四个点在同一个圆上，，，，四个点在同一个圆上本题若用到以上三个结论，可不用证明 有题目如下： 如图，条件不变求证： ； ． 如图，在矩形中，，分别是，上的点，，且请写出，，三者之间满足的数量关系，并加以证明． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 2025年沪科版九年级中考数学总复习压轴题训练 2、对角互补模型 一、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 1.如图，于，于，若，与互补． 求证：平分；若，，则______． 2.学习了四边形后，小明同学想继续探索对角互补的四边形特征，请根据他的思路完成以下作图与填空： 用直尺和圆规，过点作交延长线于点，过点作交于点只保留作图痕迹 在所作的四边形中，，平分，求证：． 证明：平分，且，， ______且， 在四边形中，， 又， ______， ≌______， ． 小明同学进一步研究发现，对角互补的四边形，若对角线平分一个内角，则均有以上特征请你依照题意完成下面结论：对角互补的四边形，若对角线平分一个内角，则被此对角线平分为相等的那两个小角 ______． 3.如图，四边形中，平分，，和互补． (1)求证：；若，，求出的长度． 4.如图，为的平分线，且，为的延长线上的一点，，过作，为垂足． 试判断与是否互补，并说明理由；求证：；求证：． 5. 课外兴趣小组活动中，老师出示了如下问题：如图，已知四边形中，平分，，与互补，求证：． 小敏反复探索，不得其解她想，可先将四边形特殊化，再进一步解决问题． 由特殊情况入手，添加条件：“”，如图，可证，请你完成此证明； 受到的启发，在原问题中，添加辅助线：过点分别作、的垂线，垂足分别为、，如图，请你补全证明过程． 6.如图，是平分线上一点，点、分别在射线和射线上． 若与互补，求证：． 反过来，如果，那么和一定互补吗？如果是，简述理由；如果不是，请在图中画出反例若，，点的个数随着点的位置变化而变化请直接写出点的个数及对应的的长的取值范围填空：当 ______时，点有个；当______时，点有个． 2025年沪科版九年级中考数学总复习压轴题训练-半角模型 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：， 理由：如图，将绕点顺时针旋转得到， ，，，， ， 点，，在一条直线上， 四边形为正方形， ， ， ， ， 在和中 ， ≌， ， ， ， 故答案为：； 将绕点顺时针旋转得到， ≌，，，，， ， 、、三点共线， ， ， ， ，， ≌， ， ， 五边形的周长； 在上截取， ， ， 在≌中， ， ≌， ，， ， ， ， 在与中， ， ≌， ； ， ． 的周长． 利用旋转的性质，可得，则可得出答案，证明≌即可； 根据旋转的性质得到≌，，，，，推出、、三点共线，根据全等三角形的性质即可得到，据此求解即可； 证明≌和≌，即可求解． 本题是四边形的综合题，主要考查全等三角形的性质与判定，旋转的性质，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 2.【答案】解：绕点逆时针旋转，得到，， ，≌， ，， ， 、、三点共线， 在和中， ≌， ， ； 如图中，在上取一点，使得， ， ，， ， ，， ≌， ，， ， ， ， ， ，， ≌， ， 设，则，， 在中，， ， ， ； 在上截取， ， ， ， ≌， ，； ， ， ， 是与的公共边， ≌， ； ， ． 的周长， 故答案为：； 延长到，使， 四边形是正方形， ，， ， 在和中， ≌， ， 又， ≌， ， ， 在上截取，连接，， 同理可证≌， ，， ， ， ，，， ≌， ， ， 设， ，， ， ， ， 解得， ．   【解析】【分析】将绕点逆时针旋转，得到，求证≌，即可推出，，的数量关系； 在上取一点，使得，证明≌，推出，，证明≌，推出，设，则，，在中，根据，构建方程求出即可解决问题； 证明≌和≌，即可求解； 延长到，使，证明≌，由全等三角形的性质得出，证明≌，由全等三角形的性质得出，证出，在上截取，连接，，证出，设，由勾股定理得出，解方程可得出答案． 3.【答案】解：； 成立，理由如下：延长到点，使，连接， ，， ， ≌， ，， ，， ， ， ， ≌． ， ； ．  【解析】解：延长到点，使，连接， 四边形是正方形， ，， ， ≌， ，， ， ， ， ， ≌． ， ， 故答案为：； 见答案； 延长到点，使，连接， 则， 与互补， ， ， ，， ≌， ，， ， ， ， ， ≌． ， ， 的周长为， 故答案为：． 延长到点，使，连接，先证明≌，再证明≌从而得到、、之间的数量关系； 延长到点，使，连接，先证明≌，再证明≌，从而得到、、之间的数量关系； 延长到点，使，连接，先证明≌，再证明≌从而得到、、之间的数量关系，将的周长转化为的长． 本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 4.【答案】解：四边形是半角四边形，为半对边， ，， ，， ， ， ， ， ， ； 证明：， ， ， ， ， ≌， ， ， ， ， 四边形为半角四边形； 证明：如图中，连接． ， ， ，， ， ， ，，， 又， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； 如图中，延长交的延长线于点，延长交于点，过点作于点， 由可知，，， ， ，， 四边形是矩形， ， ，， ， ， ∽， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在上取一点，使得， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 由∽，可得， ， ，， ∽， ， ， 四边形的面积的面积的面积 ．  【解析】通过写出以及等腰的内角和为的等式，再结合题设的条件，转化成与的关系即可； 先根据等腰条件以及得到，从而得到和全等，再根据圆周角相等得到和相等，从而根据定义证明四边形为半角四边形； 连接，根据之前已证的得到，由平行得到，再由圆周角相等得到，再次由平行及圆周角相等得到，以及考虑点处为平角以及内角和为，得到角的等式，再消去相同的角，最后得到，从而等角对等边，； 如解答中作图所示，四边形的面积为直角的面积减去直角的面积，这就需要求出，，的长度．其中∽，∽，故求，先求，；而由∽可求出，需要先求出的长这里要先证矩形得对边相等，需要由上一小问等于和，最后在中求出即可． 本题综合考查三角形的角、全等、相似、等腰三角形、圆周角定理、平行、角的知识与等价转换、勾股定理、矩形、三角函数等知识点；其中角的运算部分虽然繁杂却是基本功，最后一问观察出多组三角形相似关系是进一步要求；较难部分是求，或者是求解的方法，需要学生做压轴题时准备好如何计算二倍角三角函数值 5.【答案】证明：连接，如图： 四边形为正方形， ， ，，，四个点在同一个圆上， ， 为直径， ， ， 为等腰直角三角形， ， ，，，四个点在同一个圆上，， 为直径， ， ， 为等腰直角三角形， ，， ， ∽， ； 延长，过点作，交的延长线于点，如图： 四边形为正方形， ，，， ， ， ， ≌， ， ， ， ， ≌， ，， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ； 解：理由如下： 延长，交于点，延长，交于点，过点作，取，连接，过点作于点，延长，过点作于点，如图所示： 四边形为矩形， ， ， ，， ， 为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，为等腰直角三角形， ，，， ， ， ，， ≌， ，， ，即， ， ， ， ，， ≌， ， ， 四边形为矩形， ，， 在中，根据勾股定理得： ， 即  【解析】连接，证明为等腰直角三角形，得出，证明为等腰直角三角形，得出，证明∽，得出； 延长，过点作，交的延长线于点，证明≌，得出，证明≌，得出，，根据三角形的面积得出，根据，得出，即可证明结论； 延长，交于点，延长，交于点，过点作，取，连接，过点作于点，延长，过点作于点，根据等腰直角三角形性质证明，，，证明≌，得出，，求出，证明≌，得出，证明四边形为矩形，得出，，根据勾股定理得出，求出结果即可． 本题主要考查了三角形全等的判定和性质，正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，等腰直角是三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 2025年沪科版九年级中考数学总复习压轴题训练-对角互补模型 答案和解析 1.【答案】  【解析】证明：于，于， 和都是直角三角形， 在和中，， ≌， ， 是的角平分线； 解：在与中，， ， ≌， ， ， ， ， 故答案为：． 首先证明直角≌直角，根据全等三角形的对应边相等证明，即可证得是的平分线； 根据全等三角形的性质得到，，根据，得到，于是得到结论． 本题考查了全等三角形的判定与性质，以及角的平分线的判定定理，正确证明是关键． 2.【答案】      所对的四边形的两条边相等  【解析】解：如图所示，即为所求； 证明：平分，且，， 且， 在四边形中，， ， 又， ， ≌， ； 对角互补的四边形，若对角线平分一个内角，则被此对角线平分为相等的那两个小角所对的四边形的两条边相等， 故答案为：；；；所对的四边形的两条边相等． 根据垂线的尺规作图方法作图即可； 先由角平分线的性质得到，再证明，进而证明≌，则可得到，据此可得若对角线平分一个内角，则被此对角线平分为相等的那两个小角所对的四边形的两条边相等． 本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，垂线的尺规作图，四边形内角和定理，熟练掌握以上知识点是关键． 3.【答案】证明：作，交延长线于， ，， ， 平分，，， ，， 在与中， ， ≌， ； 解：由可知，， 在与中， ， ≌， ， 由可知，≌， ， ，， ．  【解析】本题考查全等三角形的判定及性质，角平分线的定义与性质定理，利用角平分线的性质添加辅助线，构造全等三角形是解决问题的关键． 作，交延长线于，可知，结合题意可得，由角平分线的性质定理可得，进而利用“”可证≌，即可证明结论； 由可知，，≌，可得，再利用“”可证≌，可得，由，即可求解． 4.【答案】解：与互补，理由： 为的平分线， ． 在和中， ， ． ， ， 与互补； 证明：为的平分线， ． ，， ，， ． ，， ， ． 由得：， ， 过点作的延长线于点． 为的平分线，， ，． 在和中， ≌， ． 在和中， ≌， ． ，， ， 即．  【解析】此题考查三角形综合题，关键是根据角平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质解答． 根据全等三角形的判定和性质得出，进而解答即可； 先根据角平分线定义得出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，然后根据全等三角形的性质解答即可； 过点作的延长线于点，先根据角平分线的性质可得，，再根据全等三角形的判定和性质解答即可． 5.【答案】证明：与互补，， ， 平分 ， 在中，， 在中，， ，． ． 由知，， 为角平分线，，， ． 而与互补， 与也互补， ． 在与中， ， ≌． ． ．  【解析】根据“”，与互补，可得，又因为，可得直角三角形和中，进而可得． 结合，证明三角形和全等即可得到的条件．根据可证两三角形全等，然后按照的解法进行计算即可． 本题考查了直角三角形全等的判定及性质；通过辅助线来构建全等三角形是解题的常用方法，也是解决本题的关键． 6.【答案】为：或 或  【解析】证明：如图，过点作于点，于点， 平分，，， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ； 当时，和不一定互补，如图，当时，； 由题意可得：， 当时，点只有个，此时，， 当或时，点有个， 当时，点只有个， 综上所述，当或时，点只有个，当或时，点有个， 故答案为：或，或． 过点作于点，于点，结合平分可得，，根据，可推出，证明≌，即可解答； 不一定成立，作出图形即可； 当时，点只有个，此时可根据勾股定理求出，结合题意以及图形分析即可求解． 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识． $$