重难点10 静电场-2025年高考物理【热点·重点·难点】专练（天津专用）

重难点10 静电场 考点 2025考向预测 考点1：电场中功能关系的综合问题 高考对静电场通常以粒子运动情景或相关图象为考查依托，虽然多以选择题的形式出现，但综合性强，选项覆盖知识点多且杂，因此要求考生做到全方位考虑。另外，以电磁学综合计算为背景的计算题也经常涉及此章的内容。从趋势上看，(1)会继续通过电场力的性质和电场能的性质这两条主线来考查物理量间的联系；(2)会继续以电场线、等势面为工具考查各物理量的大小和方向;(3)与动力学、能量相结合考查带电粒子的平衡、运动问题。 考点2：电场中的图像问题 考点3：带电粒子在重力场和电场中的圆周运动 考点4：电场中的力电综合问题 【情境解读】 【高分技巧】 一、电场中功能关系的综合问题 电场中常见的功能关系 (1)若只有静电力做功，电势能与动能之和保持不变． (2)若只有静电力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变． (3)除重力之外，其他各力对物体做的功等于物体机械能的变化量． (4)所有外力对物体所做的总功等于物体动能的变化量． 二、电场中的图像问题 1、电场中的v－t图像 根据v－t图像的速度变化、斜率变化(即加速度大小的变化)，可确定电荷所受静电力的方向与静电力的大小变化情况，进而确定电场的方向、电势的高低及电势能的变化． 2、φ－x图像(电场方向与x轴平行) 电场强度的大小等于φ－x图线的切线斜率的绝对值，如果图线是曲线，电场为非匀强电场；如果图线是倾斜的直线，电场为匀强电场(如图)．切线的斜率为零时沿x轴方向电场强度为零． 在φ－x图像中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势大小关系确定电场强度的方向，进而可以判断电荷在电场中的受力方向．(如图) 电场中常见的φ－x图像 (1)点电荷的φ－x图像(取无限远处电势为零)，如图． (2)两个等量异种点电荷连线上的φ－x图像，如图． (3)两个等量同种点电荷的φ－x图像，如图． 3、E－x图像(电场方向与x轴平行) E－x图像为静电场在x轴上的电场强度E随x的变化关系，若规定x轴正方向为电场强度E的正方向，则E>0，电场强度E沿x轴正方向；E<0，电场强度E沿x轴负方向． E－x图线与x轴所围图形“面积”表示电势差(如图所示)，两点的电势高低根据电场方向判定．在与粒子运动相结合的题目中，可进一步确定粒子的电性、动能变化、电势能变化等情况． 电场中常见的E－x图像 (1)点电荷的E－x图像 正点电荷及负点电荷的电场强度E随坐标x变化关系的图像大致如图所示． (2)两个等量异种点电荷的E－x图像，如图． (3)两个等量正点电荷的E－x图像，如图． 4、Ep－x图像、Ek－x图像 1．Ep－x图像 由静电力做功与电势能变化关系F电x＝Ep1－Ep2＝－ΔEp知Ep－x图像的切线斜率k＝，其大小等于静电力，斜率正负代表静电力的方向． 2．Ek－x图像 当带电体只有静电力做功，由动能定理F电x＝Ek－Ek0＝ΔEk知Ek－x图像的切线斜率k＝，其大小表示静电力． 三、带电粒子在重力场和电场中的圆周运动 1．等效重力场 物体仅在重力场中的运动是最常见、最基本的运动，但是对于处在匀强电场和重力场中物体的运动问题就会变得复杂一些．此时可以将重力场与电场合二为一，用一个全新的“复合场”来代替，可形象称之为“等效重力场”． 2. 四、电场中的力电综合问题 1．带电粒子在电场中的运动 (1)分析方法：先分析受力情况，再分析运动状态和运动过程(平衡、加速或减速，轨迹是直线还是曲线)，然后选用恰当的规律如牛顿运动定律、运动学公式、动能定理、能量守恒定律解题． (2)受力特点：在讨论带电粒子或其他带电体的静止与运动问题时，重力是否要考虑，关键看重力与其他力相比较是否能忽略．一般来说，除明显暗示外，带电小球、液滴的重力不能忽略，电子、质子等带电粒子的重力可以忽略，一般可根据微粒的运动状态判断是否考虑重力作用． 2．用能量观点处理带电体的运动 对于受变力作用的带电体的运动，必须借助能量观点来处理．即使都是恒力作用的问题，用能量观点处理也常常更简捷．具体方法有： (1)用动能定理处理 ①弄清研究对象，明确所研究的物理过程． ②分析物体在所研究过程中的受力情况，弄清哪些力做功，做正功还是负功． ③弄清所研究过程的初、末状态(主要指动能)． ④根据W＝ΔEk列出方程求解． (2)用包括电势能和内能在内的能量守恒定律处理 ①利用初、末状态的能量相等(即E1＝E2)列方程． ②利用某些能量的减少等于另一些能量的增加列方程． (3)两个结论 ①若带电粒子只在静电力作用下运动，其动能和电势能之和保持不变． ②若带电粒子只在重力和静电力作用下运动，其机械能和电势能之和保持不变． （建议用时：40分钟） 【考向一：电场中功能关系的综合问题】 1．（2024·天津蓟州·三模）如图所示，图中实线表示一匀强电场的电场线，一带电体进入电场，虚线是它的运动轨迹，a、b是轨迹上的两点，那么正确的判断是（　　） A．电场线方向向下 B．带电体一定从a点运动到b点 C．a点电势比b点电势低 D．带电体在a点的动能小于在b点的动能 2．（2024·天津蓟州·三模）如图所示，电场中的一簇电场线关于y轴对称分布，O点是坐标原点，M、N、P、Q是以O为圆心的圆周上的四个点，其中M、N在y轴上，Q点在x轴上，下列说法正确的是（　　） A．P点电场强度的大小可能等于Q点电场强度的大小 B．M点电势可能等于Q点电势 C．电荷在N点的电势能可能小于在M点的电势能 D．电荷从N点运动到O点电场力做的功等于从O点运动到M点电场力做的功 3．（2024·天津北辰·三模）如图所示，两个等量的点电荷分别固定在A、B两点。虚线为AB的中垂线，交AB于O点。曲线ab为一电子只在电场力作用下的运动轨迹。a、b关于O点对称。则下列说法正确的是（　　） A．两个点电荷一定都带负电 B．图中虚线是一条等势线 C．电子在a、b两点电势能相同 D．电子在a、b两点速度大小相同 4．（2024·天津和平·三模）电子显微镜是冷冻电镜中的关键部分，在电子显微镜中电子束相当于光束，通过由电场或磁场构成的电子透镜实现会聚或发散作用。其中的一种电子透镜的电场分布如图所示，其中虚线为等势面，相邻等势面间电势差相等。一电子仅在电场力作用下运动，其轨迹如图中实线所示，a、b、c是轨迹上的三点，则下列说法正确的是（　　） A．a点的电势低于b点的电势 B．a点的电场强度大于c点的电场强度 C．电子从a点到b点电势能增加 D．电子从a点到b点做加速运动 5．（2024·天津滨海新·三模）当云层中包含有大量的电荷时，云层和大地之间可视为一个巨大的平行板电容器。如图所示，云层带正电，且云层带电量不变，取地面的电势为零。在云层和地面间的点处悬浮有一带电微粒。下列说法正确的是（　　） A．微粒带负电 B．若云层高度下降，点的电势降低 C．若云层高度下降，微粒将向上运动 D．若云层高度下降，微粒的电势能不变 6．（2024·天津武清·模拟预测）如图所示，实线为两个点电荷和产生的电场中的电场线（方向未标出），c、d是关于两个点电荷连线对称的两点，一个电子沿虚线aob从a点运动到b点，下列说法正确的是（　　） A．电子的加速度先减小后增大 B．的电荷量大于的电荷量 C．c、d两点在同一等势面上，两点场强相同 D．电子在a点的电势能大于在O点的电势能 7．（2024·天津·模拟预测）在O点处固定一个正点电荷，P点在O点右上方，从P点由静止释放一个带负电的小球，小球仅在重力和该点电荷电场力作用下在竖直面内运动，某一段轨迹如图所示，M、N是轨迹上的两点，OP>OM，OM=ON，则小球（　　） A．在运动过程中，电势能先增加后减少 B．在P点的电势能小于在N点的电势能 C．在M点的动能小于在N点的动能 D．从M点运动到N点的过程中，电场力始终不做功 8．（2024·天津·二模）如图所示，在坐标平面xOy内存在静电场，其等差等势线关于坐标轴对称，如图中虚线所示。现有一质子从左上方射入该电场，仅在电场力作用下的运动轨迹如图中实曲线所示，P、Q、S、T、L分别为轨迹与各等势线的交点。下列说法正确的是（　　） A．P点电势低于L点电势 B．质子在由P至L的运动过程中，电势能逐渐减小 C．质子在由P至L的运动过程中，加速度先增大后减小 D．若将质子从坐标原点由静止释放，质子沿y轴负方向加速运动 【考向二：电场中的图像问题】 9．（2024·天津·模拟预测）在x轴上O、P两点分别放置电荷量为、的点电荷，一带正电的试探电荷在两电荷连线上电势能随x变化关系如图，其中A、B两点电势能为零，BD段中C点电势能最大，则（    ） A．BC间场强方向沿x轴负方向 B．和都是正电荷 C．C点的电场强度大于A点的电场强度 D．任意点电荷在B点的电势能一定小于其在D点的电势能 10．（2024·天津河西·一模）图（a）中M、N是同一条电场线上的两个点，一个电子仅在静电力的作用下沿着这条电场线从M点运动到N点，其运动的图像如图（b）所示。电子经过M、N两点时的速度分别为和，电子的质量为m，电子电荷量的绝对值为e。以下说法正确的是（    ） A．电场强度的方向由N指向M B．M、N两点之间的电势差 C．电子运动的过程中，其电势能不断减小 D．N点的电场强度大于M点的电场强度 11．（2024·重庆九龙坡·一模）沿空间某直线建立x轴，该直线上的静电场方向沿x轴，其x轴正半轴上电场强度随x轴上位置变化规律如图所示，原点O到间的图线为直线，x轴正方向为电场强度正方向，x轴负方向为电场强度负方向，一个电荷量大小为q的粒子在O点由静止释放，刚好能沿x轴正方向运动到处，不计粒子的重力，则下列判断正确的是（　　） A．该粒子带负电 B．粒子在处的电势能小于处的电势能 C．粒子在处的动能为 D．O点到之间电势差大于到之间电势差 12．（2025·河南·模拟预测）某电场的电势随位置x的变化关系如图所示，O点为坐标原点，a、b、c、d为x轴上的四个点。一带正电粒子从d点由静止释放，在电场力作用下沿x轴运动，不计重力，则粒子（　　） A．将在ad之间做周期性运动 B．在d点的电势能大于a点的电势能 C．在b点与c点所受电场力方向相同 D．将沿x轴负方向运动，可以到达O点 13．（2025·重庆·一模）某空间的轴上只存在沿此轴方向的静电场，轴上各点电势分布如图。一电子只在电场力作用下由轴上某点无初速释放，下列说法正确的是（　　） A．到范围内，处的电场强度最大 B．若电子在位置释放，不能通过点 C．若电子沿轴运动过程中的总能量恒为零，则电子的运动区间可能为 D．若电子在处释放，电子将一直向右加速运动到点 14．（2024·河南·模拟预测）如图甲所示，平面直角坐标系xOy处在匀强电场中，电场强度方向与坐标平面平行，P点是y轴上y=3m处的一点，Q是x轴上x=3m处的一点，x轴上x=0至x=2m区域内的电势分布如图乙所示，将一个电荷量为q=-1×10-5C的点电荷从坐标原点沿y轴正向移动1.5m，克服电场力做功为8×10-5J。已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，则下列说法正确的是（　　） A．电场强度的大小为 B．匀强电场方向与x轴正向夹角为60° C．y轴上P点的电势为-8V D．将一个电荷量为1×10-5C的点电荷从P点移到Q点，电场力做功为4×10-5J 15．（2025·全国·模拟预测）一匀强电场的方向平行于平面，平面中、、三点的位置如图所示，、、三点的电势分别为、、，则（    ） A．点的电势为 B．电子从到电场力做的功为 C．匀强电场的电场强度大小为 D．将电子沿直线从移动到，电子的电势能一直减小 16．（2025·全国·模拟预测）空间中存在平行x轴方向的静电场，取x轴正方向为电场强度的正方向，x轴上某物理量与位置的关系如图所示。在O点将一带正电粒子由静止释放，粒子运动过程只受静电力作用。则（　　） A．若纵坐标表示电场强度，粒子释放后做往复运动 B．若纵坐标表示电场强度，粒子能运动到x3右侧无穷远处 C．若纵坐标表示电势，粒子释放后做往复运动 D．若纵坐标表示电势，粒子在Ox2段增加的动能小于x2x1段 【考向三：带电粒子在重力场和电场中的圆周运动】 17．（2025·天津滨海新·联考）如图所示，BCD是光滑绝缘的半圆形轨道，位于竖直平面内，直径BD竖直，轨道半径为R，下端与水平光滑绝缘轨道在B点平滑连接，整个轨道处在水平向左的匀强电场中。现有一质量为m、带正电的小球（可视为质点）由水平轨道上的A点静止释放，已知AB之间的距离s=8R，滑块受到的静电力大小为0.5mg，重力加速度为g。 (1)求小球到达B点时的速度大小； (2)小球到达D点时轨道对小球的弹力大小： (3)小球从D点飞出轨道后，落在水平地面上的Р点（未画出），求PB之间的距离。 18．（2025·天津宝坻·调研）如图所示，光滑绝缘轨道固定在竖直面内，为水平直轨道，是半径为R的四分之一圆弧轨道，整个空间中均有水平向右的匀强电场。质量为m、电荷量为q（）的小球从P点由静止释放，的距离也为R，小球飞出轨道后所能到达的最高点为Q点（图中未画出）。已知匀强电场的场强，重力加速度大小为g，，。求： (1)小球运动到b点时（b点属于圆弧轨道），小球的速度多大？ (2)小球在b点时轨道对小球的支持力多大？ (3)运动过程中小球对轨道的最大压力为多大？ 19．（2025·天津北辰·联考）如图所示，带电量为2q（q>0）、质量为m的小球A，置于绝缘光滑水平面上与绝缘弹簧右端接触（不粘连），弹簧左端固定，使弹簧开始处于压缩状态并具有弹性势能，释放弹簧，把A弹出，A在M点水平进入场强大小为E1，方向水平向右的匀强电场中，随后A从C点沿切线方向进入绝缘粗糙的圆弧轨道CDG，轨道半径，O为圆心、COD为直径且与竖直方向成53°，圆弧轨道最高点G点与M点在同一水平面上，整个圆弧轨道处于大小为、方向竖直向下的匀强电场中，假设小球A沿圆弧轨道运动到D点开始离开轨道，小球A可视为点电荷，重力加速度为g，带电小球不会改变E1和E2电场的分布，求： (1)M点与C点的高度差h； (2)场强E1的大小； (3)小球A从C到D过程中摩擦力做的功。 20．（2025·天津·调研）如图所示，一内壁光滑的绝缘圆管ADB固定在竖直平面内。圆管的圆心为O，D点为圆管的最低点，A、B两点在同一水平线上，AB=2L，圆管的半径为r=L(自身的内径忽略不计)。过OD的虚线与过AB的虚线垂直相交于C点，在虚线AB的上方存在方向水平向右、范围足够大的匀强电场；虚线AB的下方存在方向竖直向下、范围足够大的匀强电场，电场强度的大小。圆心О正上方的Р点有一质量为m、电荷量为-q(q>0)的小球(可视为质点)，P、C间距为L。现将该小球从Р点无初速释放，经过一段时间后，小球刚好从管口A无碰撞地进入圆管内，并继续运动。重力加速度为g。求： (1)虚线AB上方匀强电场的电场强度的大小E； (2)小球在ADB管中运动经过D点时对管的压力FD； (3)小球从管口B离开后，经过一段时间到达虚线AB上的N点(图中未标出)，小球从B点到N点的过程中所用时间为t。 21．（2025·天津·联考）在电场强度为、方向水平向右的匀强电场中，用一根长的绝缘细杆（质量不计）固定一个质量为，电荷量为带正电的小球，细杆可绕轴O在竖直平面内自由转动。现将杆从水平位置A轻轻释放，在小球运动到最低点B的过程中，（取）求： (1)电场力对小球做功是多少？ (2)A、B两位置的电势差是多少？ (3)小球到达B点时的速度多大？ 22．（2025·天津·联考）如图所示，ABCD是半径为R的四分之三光滑绝缘圆形轨道，固定在竖直面内。以轨道的圆心O为坐标原点，沿水平直径AC方向建立x轴，竖直直径BD方向建立y轴。y轴右侧（含y轴）存在竖直向上的匀强电场。一质量为m、带电量为+q的小球，从A点由静止开始沿轨道下滑，通过轨道最高点D后，又落回到轨道上的A点处。不考虑小球之后的运动，不计空气阻力，重力加速度为g，求： (1)小球落回到A点时的速率； (2)电场强度的大小； (3)小球从A下滑到电场内的B点时受到轨道支持力的大小。 23．（2024·天津·调研）如图所示，长为l的绝缘细线（不可伸长）一端悬于点，另一端系一质量为、电荷量为的带正电小球。现将此装置放在水平方向的匀强电场中，小球静止在点，此时细线与竖直方向夹角为，重力加速度为。求： （1）判断电场强度的方向； （2）电场强度的大小； （3）如果将小球拉至点正下方最低点处由静止释放，求小球在运动过程中能达到的最大速度。 24．（2024·天津·调研）如图所示，为有界的竖直向下的匀强电场（边界上有电场），电场强度，ACB为光滑竖直固定的半圆形轨道，轨道半径为，A、B为圆水平直径的两个端点，为圆弧，一个质量为，电荷量为的带电小球，从A点正上方高为处由静止释放，并从A点沿切线进入半圆轨道，不计空气阻力及一切能量损失，关于带电小球的受力及运动情况，下列说法正确的是（    ） A．小球在部分做匀速圆周运动 B．小球到达点时对轨道压力大小为 C．适当增大，小球沿轨道到达点的速度可能为零 D．若，要使小球沿轨道运动到，则应将至少调整为 【考向四：电场中的力电综合问题】 25．（2024·天津·模拟预测）如图，在竖直平面内有一匀强电场，一带电荷量为、质量为的小球在力（大小可以变化）的作用下沿图中虚线由A至B做竖直向上的匀速运动。已知力和AB间夹角为，A、B间距离为，重力加速度为。则（    ） A．电场强度的最小值为 B．力的最大值为 C．小球从A运动到B电场力一定做正功 D．若电场强度时，小球从A运动到B电势能变化量大小可能为 26．（2024·天津·一模）如图所示，竖直固定的光滑绝缘细杆上O点套有一个电荷量为-q （q>0）,质量为m的小环，整个装置处在固定于杆左侧电荷量为+Q （Q>0）的点电荷产生的电场中，杆上a、b两点与+Q正好构成等边三角形，c是ab的中点。使小环从O点无初速度释放，小环通过a点的速率为v，若已知ab=Oa=l，静电常量为k，重力加速度为g，规定O点电势为零。则（　　） A．小环下落过程中机械能守恒 B．小环下落过程中电势能先减小后增大 C．小环在从c点到b点的过程中，速度不断减小 D．b点电势为 27．（2024·天津和平·一模）如图所示，质量相同、带等量异种电荷的甲、乙两粒子，先后从S点沿SO方向垂直射入匀强电场中，分别经过圆周上的P、Q两点，不计粒子间的相互作用及重力，则两粒子在圆形区域内运动过程中（　　） A．甲粒子的入射速度小于乙粒子 B．甲粒子所受电场力的冲量小于乙粒子 C．甲粒子在P点的速度方向可能沿OP方向 D．电场力对甲粒子做的功小于对乙粒子做的功 28．（2024·天津·一模）如图所示，匀强电场中一个质量为m、电荷量为q的带正电荷的粒子在A点获得初速度后沿水平方向AB向右做匀减速运动。BC与AC垂直，B点与C点的电势相等。重力加速度为g。下列判断正确的是（　　） A．场强大小为 B．场强大小为 C．电场方向水平向左 D．电场方向沿CA方向 29．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图所示，竖直面内有一半径为r的光滑圆形轨道，圆形轨道的最低点B处有一入口与水平地面连接，空间存在方向水平向左的匀强电场。一带电荷量为、质量为m的小物块从水平地面上的A点由静止释放。已知电场强度大小，小物块与水平地面间的动摩擦因数，重力加速度为，，。 (1)求等效重力加速度； (2)若取B点电势为零，，求物块电势能的最小值及此时的动能； (3)为使小物块进入轨道后始终不脱离轨道，求释放点A到B的距离s满足的条件； 30．（2025·福建福州·二模）如图（a），长度L = 0.8 m的光滑杆左端固定一带正电的点电荷A，其电荷量QA = 1.8 × 10−7 C，一质量m = 0.02 kg，带电量为q的小球B套在杆上。将杆沿水平方向固定于某非均匀外电场中，以杆左端为原点，沿杆向右为x轴正方向建立坐标系。点电荷A对小球B的作用力随B位置x的变化关系如图（b）中曲线I所示，小球B所受水平方向的合力随B位置x的变化关系如图（b）中曲线Ⅱ所示，其中曲线Ⅱ在0.16 ≤ x ≤ 0.20和x ≥ 0.40范围可近似看作直线。求：（静电力常量k = 9 × 109 N·m2/C2）可能用到的坐标：曲线Ⅰ中的（0.30，0.018）；曲线Ⅱ中的（0.16，0.030）、（0.20，0）、（0.30，−0.012）、（0.40，−0.004） (1)小球B所带电量q及电性； (2)非均匀外电场在x = 0.3 m处沿细杆方向的电场强度E大小和方向； (3)已知小球在x = 0.2 m处获得v = 0.4 m/s的初速度时，最远可以运动到x = 0.4 m。若小球在x = 0.16 m处受到方向向右，大小为F = 0.04 N的恒力作用后，由静止开始运动，为使小球能离开细杆，恒力作用的最小距离s是多少？ 31．（2025·四川·模拟预测）X、Y、Z为大小相同的导体小球，X、Y所带电荷量均为q，Z所带电荷量为-5q。X、Y均放置在光滑绝缘水平面上，Y固定在P点，X与绝缘轻弹簧端相连，弹簧另一端固定，此时X静止在平衡位置O点，如图所示，将较远处的Z移近，先与X接触，然后与Y接触，再移回较远处，在此过程中，一直保持不变的是（　　） A．X的平衡位置 B．Z的电荷种类 C．Y对X的库仑力方向 D．X、Y系统的电势能 32．（2024·重庆九龙坡·一模）将如图所示，在沿水平方向的匀强电场中有一固定点O，用一根长度为l的绝缘细线把质量为m、带电量为q的金属小球悬挂在O点。小球静止在B点时，细线与竖直方向的夹角为θ=37°。重力加速度为g，sin37°=0.6，cos37°=0.8。现将小球拉至位置A使细线水平后由静止释放，以下说法中正确的是（　　） A．小球带负电 B．从A到最低点C的过程中小球的速度一直增大 C．从A到最低点C的过程中小球的向心力大小先增大后减小 D．若在A点给一个初速度，小球可以做完整的圆周运动，则速度最大值出现在B点 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点10 静电场 考点 2025考向预测 考点1：电场中功能关系的综合问题 高考对静电场通常以粒子运动情景或相关图象为考查依托，虽然多以选择题的形式出现，但综合性强，选项覆盖知识点多且杂，因此要求考生做到全方位考虑。另外，以电磁学综合计算为背景的计算题也经常涉及此章的内容。从趋势上看，(1)会继续通过电场力的性质和电场能的性质这两条主线来考查物理量间的联系；(2)会继续以电场线、等势面为工具考查各物理量的大小和方向;(3)与动力学、能量相结合考查带电粒子的平衡、运动问题。 考点2：电场中的图像问题 考点3：带电粒子在重力场和电场中的圆周运动 考点4：电场中的力电综合问题 【情境解读】 【高分技巧】 一、电场中功能关系的综合问题 电场中常见的功能关系 (1)若只有静电力做功，电势能与动能之和保持不变． (2)若只有静电力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变． (3)除重力之外，其他各力对物体做的功等于物体机械能的变化量． (4)所有外力对物体所做的总功等于物体动能的变化量． 二、电场中的图像问题 1、电场中的v－t图像 根据v－t图像的速度变化、斜率变化(即加速度大小的变化)，可确定电荷所受静电力的方向与静电力的大小变化情况，进而确定电场的方向、电势的高低及电势能的变化． 2、φ－x图像(电场方向与x轴平行) 电场强度的大小等于φ－x图线的切线斜率的绝对值，如果图线是曲线，电场为非匀强电场；如果图线是倾斜的直线，电场为匀强电场(如图)．切线的斜率为零时沿x轴方向电场强度为零． 在φ－x图像中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势大小关系确定电场强度的方向，进而可以判断电荷在电场中的受力方向．(如图) 电场中常见的φ－x图像 (1)点电荷的φ－x图像(取无限远处电势为零)，如图． (2)两个等量异种点电荷连线上的φ－x图像，如图． (3)两个等量同种点电荷的φ－x图像，如图． 3、E－x图像(电场方向与x轴平行) E－x图像为静电场在x轴上的电场强度E随x的变化关系，若规定x轴正方向为电场强度E的正方向，则E>0，电场强度E沿x轴正方向；E<0，电场强度E沿x轴负方向． E－x图线与x轴所围图形“面积”表示电势差(如图所示)，两点的电势高低根据电场方向判定．在与粒子运动相结合的题目中，可进一步确定粒子的电性、动能变化、电势能变化等情况． 电场中常见的E－x图像 (1)点电荷的E－x图像 正点电荷及负点电荷的电场强度E随坐标x变化关系的图像大致如图所示． (2)两个等量异种点电荷的E－x图像，如图． (3)两个等量正点电荷的E－x图像，如图． 4、Ep－x图像、Ek－x图像 1．Ep－x图像 由静电力做功与电势能变化关系F电x＝Ep1－Ep2＝－ΔEp知Ep－x图像的切线斜率k＝，其大小等于静电力，斜率正负代表静电力的方向． 2．Ek－x图像 当带电体只有静电力做功，由动能定理F电x＝Ek－Ek0＝ΔEk知Ek－x图像的切线斜率k＝，其大小表示静电力． 三、带电粒子在重力场和电场中的圆周运动 1．等效重力场 物体仅在重力场中的运动是最常见、最基本的运动，但是对于处在匀强电场和重力场中物体的运动问题就会变得复杂一些．此时可以将重力场与电场合二为一，用一个全新的“复合场”来代替，可形象称之为“等效重力场”． 2. 四、电场中的力电综合问题 1．带电粒子在电场中的运动 (1)分析方法：先分析受力情况，再分析运动状态和运动过程(平衡、加速或减速，轨迹是直线还是曲线)，然后选用恰当的规律如牛顿运动定律、运动学公式、动能定理、能量守恒定律解题． (2)受力特点：在讨论带电粒子或其他带电体的静止与运动问题时，重力是否要考虑，关键看重力与其他力相比较是否能忽略．一般来说，除明显暗示外，带电小球、液滴的重力不能忽略，电子、质子等带电粒子的重力可以忽略，一般可根据微粒的运动状态判断是否考虑重力作用． 2．用能量观点处理带电体的运动 对于受变力作用的带电体的运动，必须借助能量观点来处理．即使都是恒力作用的问题，用能量观点处理也常常更简捷．具体方法有： (1)用动能定理处理 ①弄清研究对象，明确所研究的物理过程． ②分析物体在所研究过程中的受力情况，弄清哪些力做功，做正功还是负功． ③弄清所研究过程的初、末状态(主要指动能)． ④根据W＝ΔEk列出方程求解． (2)用包括电势能和内能在内的能量守恒定律处理 ①利用初、末状态的能量相等(即E1＝E2)列方程． ②利用某些能量的减少等于另一些能量的增加列方程． (3)两个结论 ①若带电粒子只在静电力作用下运动，其动能和电势能之和保持不变． ②若带电粒子只在重力和静电力作用下运动，其机械能和电势能之和保持不变． （建议用时：40分钟） 【考向一：电场中功能关系的综合问题】 1．（2024·天津蓟州·三模）如图所示，图中实线表示一匀强电场的电场线，一带电体进入电场，虚线是它的运动轨迹，a、b是轨迹上的两点，那么正确的判断是（　　） A．电场线方向向下 B．带电体一定从a点运动到b点 C．a点电势比b点电势低 D．带电体在a点的动能小于在b点的动能 【答案】D 【详解】AC．根据曲线运动轨迹可知，带电体受到的合力竖直向下，但不清楚带电体的电性，所以无法判断电场线方向，也无法判断a点电势与b点电势的高低关系，故AC错误； B．根据运动的可逆性可知，带电体可以从a点运动到b点，也可以从b点运动到a点，故B错误； D．由于带电体受到的合力竖直向下，若带电体从a点运动到b点，则合力做正功，粒子动能增加，带电体在a点的动能小于在b点的动能；若带电体从b点运动到a点，则合力做负功，粒子动能减少，带电体在a点的动能小于在b点的动能；故D正确。 故选D。 2．（2024·天津蓟州·三模）如图所示，电场中的一簇电场线关于y轴对称分布，O点是坐标原点，M、N、P、Q是以O为圆心的圆周上的四个点，其中M、N在y轴上，Q点在x轴上，下列说法正确的是（　　） A．P点电场强度的大小可能等于Q点电场强度的大小 B．M点电势可能等于Q点电势 C．电荷在N点的电势能可能小于在M点的电势能 D．电荷从N点运动到O点电场力做的功等于从O点运动到M点电场力做的功 【答案】C 【详解】A．根据电场线的疏密程度可知，P点的电场强度小于Q点的电场强度，故A错误； B．根据沿电场方向电势降低，结合等势面与电场方向垂直，可知M点电势低于Q点电势，故B错误； C．根据沿电场方向电势降低，结合等势面与电场方向垂直，可知N点的电势高于M点的电势，根据 若电荷带负电，则电荷在N点的电势能小于在M点的电势能，故C正确； D．根据电场分布可知，OM间的平均电场强度比NO之间的平均电场强度小，故由公式 可知，OM间的电势差小于NO间的电势差，根据 可得电荷从N到O过程中电场力做的功大于从O到M过程中电场力做的功，故D错误。 故选C。 3．（2024·天津北辰·三模）如图所示，两个等量的点电荷分别固定在A、B两点。虚线为AB的中垂线，交AB于O点。曲线ab为一电子只在电场力作用下的运动轨迹。a、b关于O点对称。则下列说法正确的是（　　） A．两个点电荷一定都带负电 B．图中虚线是一条等势线 C．电子在a、b两点电势能相同 D．电子在a、b两点速度大小相同 【答案】CD 【详解】A．曲线ab为一电子只在电场力作用下的运动轨迹，根据电子所受电场力一定指向轨迹的凹侧，可知两个点电荷一定都带正电，故A错误； B．由于两点电荷为等量同种正点电荷，根据等量同种正点电荷周围电势分布可知，图中虚线（中垂线）不是一条等势线，故B错误； CD．根据等量同种正点电荷周围电势分布规律以及对称性可知a、b两点电势相等，所以电子在a、b两点的电势能相同，根据能量守恒定律可知电子在a、b两点动能相等，则电子在a、b两点速度大小相同，故CD正确。 故选CD。 4．（2024·天津和平·三模）电子显微镜是冷冻电镜中的关键部分，在电子显微镜中电子束相当于光束，通过由电场或磁场构成的电子透镜实现会聚或发散作用。其中的一种电子透镜的电场分布如图所示，其中虚线为等势面，相邻等势面间电势差相等。一电子仅在电场力作用下运动，其轨迹如图中实线所示，a、b、c是轨迹上的三点，则下列说法正确的是（　　） A．a点的电势低于b点的电势 B．a点的电场强度大于c点的电场强度 C．电子从a点到b点电势能增加 D．电子从a点到b点做加速运动 【答案】AD 【详解】A．曲线运动的合外力指向轨迹的凹侧，可知电子受到的电场力大致向右，电子带负电，则电场线大致向左，根据沿电场线电势降低，且电场线与等势面垂直，可知a点的电势低于b点的电势，故A正确； B．等势面越密，电场强度越大，c点处等势面较密，则a点的电场强度小于c点的电场强度，故B错误； CD．电子从a点到b点，电子受到的电场力方向与速度方向的夹角为锐角，电场力做正功，电势能减小，动能增大，故电子从a点到b点电势能减小，电子从a点到b点做加速运动，故C错误；D正确。 故选AD。 5．（2024·天津滨海新·三模）当云层中包含有大量的电荷时，云层和大地之间可视为一个巨大的平行板电容器。如图所示，云层带正电，且云层带电量不变，取地面的电势为零。在云层和地面间的点处悬浮有一带电微粒。下列说法正确的是（　　） A．微粒带负电 B．若云层高度下降，点的电势降低 C．若云层高度下降，微粒将向上运动 D．若云层高度下降，微粒的电势能不变 【答案】AD 【详解】A．云层与大地间形成的电场方向向下，若微粒能悬浮在空中，则微粒受到向上的电场力，微粒带负电。故A正确； BC．由又 解得 仅改变d，而Q保持不变时，电场强度E不变，微粒受力仍平衡，依然悬浮在P点。根据 又解得 可知P点的电势不变。故BC错误； D．根据 可知微粒的电势能不变。故D正确。 故选AD。 6．（2024·天津武清·模拟预测）如图所示，实线为两个点电荷和产生的电场中的电场线（方向未标出），c、d是关于两个点电荷连线对称的两点，一个电子沿虚线aob从a点运动到b点，下列说法正确的是（　　） A．电子的加速度先减小后增大 B．的电荷量大于的电荷量 C．c、d两点在同一等势面上，两点场强相同 D．电子在a点的电势能大于在O点的电势能 【答案】BD 【详解】A．由于电子在电场中只受到电场力的作用，所以有 由于电子的带电量以及质量不会改变，所以当电场强度越大，则加速度大小越大，而电场线越密集则电场强度越大，结合题图可知，电子的加速度大小应该是先增加后减小，故A项错误； B．由电场线的分布可知两电荷量带异种电荷，根据电场线的疏密程度分布可知电荷量大于的电荷量，故B项正确； C．电场中某一点的电场强度方向为该点沿电场线的切线方向，由题图可知，cd两点的电场强度方向不同，即两点的电场强度不同，故C项错误； D．电子带负电，其做曲线运动，其合力指向轨迹的凹处，由于电荷之间同种互相排斥，异种互相吸引，所以结合题图以及之前的分析可知，为正电荷，为负电荷，则电子从a点运动到O点的过程中电场力方向与速度方向的夹角小于，电场力做正功，电势能逐渐减小，即电子在O点时的电势能小于在a点时的电势能，故D项正确。 故选BD。 7．（2024·天津·模拟预测）在O点处固定一个正点电荷，P点在O点右上方，从P点由静止释放一个带负电的小球，小球仅在重力和该点电荷电场力作用下在竖直面内运动，某一段轨迹如图所示，M、N是轨迹上的两点，OP>OM，OM=ON，则小球（　　） A．在运动过程中，电势能先增加后减少 B．在P点的电势能小于在N点的电势能 C．在M点的动能小于在N点的动能 D．从M点运动到N点的过程中，电场力始终不做功 【答案】C 【详解】ABC．由题可知，，，则根据点电荷的电势分布情况可知 则带负电的小球在运动过程中，电势能先减小后增大，且 则带负电的小球在M点的机械能等于在N点的机械能，故AB错误，C正确； D．从M点到N点的过程中，根据电场力与运动方向的夹角，当开始夹角为锐角，做正功；后变为钝角，做负功，故电场力先做正功后做负功，故D错误。 故选C。 8．（2024·天津·二模）如图所示，在坐标平面xOy内存在静电场，其等差等势线关于坐标轴对称，如图中虚线所示。现有一质子从左上方射入该电场，仅在电场力作用下的运动轨迹如图中实曲线所示，P、Q、S、T、L分别为轨迹与各等势线的交点。下列说法正确的是（　　） A．P点电势低于L点电势 B．质子在由P至L的运动过程中，电势能逐渐减小 C．质子在由P至L的运动过程中，加速度先增大后减小 D．若将质子从坐标原点由静止释放，质子沿y轴负方向加速运动 【答案】A 【详解】A．质子带正电，所受电场力为其合力，由于合力方向指向轨迹内侧，电场力方向沿电场线的切线，而电场线与等势线垂直，可知电场线方向垂直于等势线，整体向左，又由于沿电场线电势降低，可知，P点电势低于L点电势，故A正确； B．结合上述可知，质子在由P至L的运动过程中，电场力做负功，电势能增大，故B错误； C．等差等势线分布的密集程度表示电场的强弱，根据图示可知，由P至L的运动过程中，等势线分布先变稀疏后变密集，则电场强度先变小后变大，即电场力先变小后变大，根据牛顿第二定律可知，加速度先减小后增大，故C错误； D．结合上述可知，x轴上的电场方向沿x轴负方向，若将质子从坐标原点由静止释放，质子所受电场力方向始终沿x轴负方向，则质子沿x轴负方向加速运动，故D错误。 故选A。 【考向二：电场中的图像问题】 9．（2024·天津·模拟预测）在x轴上O、P两点分别放置电荷量为、的点电荷，一带正电的试探电荷在两电荷连线上电势能随x变化关系如图，其中A、B两点电势能为零，BD段中C点电势能最大，则（    ） A．BC间场强方向沿x轴负方向 B．和都是正电荷 C．C点的电场强度大于A点的电场强度 D．任意点电荷在B点的电势能一定小于其在D点的电势能 【答案】A 【详解】A．由图可知：从B到C，电势升高，根据顺着电场线电势降低可知，BC间电场强度方向沿x轴负方向，故A正确； B．由图知A点的电势为零，由于沿着电场线电势降低，所以O点的电荷带正电，P点电荷带负电，故B错误； C．点C为电势的拐点，若正点电荷从D到B点，电势能先增大后减小，则C点电场强度为零，故C错误； D．负电荷在B点的电势能大于其在D点的电势能，故D错误。 故选A。 10．（2024·天津河西·一模）图（a）中M、N是同一条电场线上的两个点，一个电子仅在静电力的作用下沿着这条电场线从M点运动到N点，其运动的图像如图（b）所示。电子经过M、N两点时的速度分别为和，电子的质量为m，电子电荷量的绝对值为e。以下说法正确的是（    ） A．电场强度的方向由N指向M B．M、N两点之间的电势差 C．电子运动的过程中，其电势能不断减小 D．N点的电场强度大于M点的电场强度 【答案】AC 【详解】AB．由图乙可知负电荷的速度在增大，根据动能定理可知电场力对负电荷做了正功，即 解得 电场力对负电荷做正功，所以电场力向右，则电场线方向由N指向M，故A正确，B错误； C．根据电场力做功与电势能变化的关系可知，电场力做正功，电势能减小，故C正确； D．根据图像的变化特点可知，负电荷在M、N两点的加速度大小关系为 负电荷仅受电场力的作用，则 所以N点的电场强度小于M点的电场强度，故D错误。 故选AC。 11．（2024·重庆九龙坡·一模）沿空间某直线建立x轴，该直线上的静电场方向沿x轴，其x轴正半轴上电场强度随x轴上位置变化规律如图所示，原点O到间的图线为直线，x轴正方向为电场强度正方向，x轴负方向为电场强度负方向，一个电荷量大小为q的粒子在O点由静止释放，刚好能沿x轴正方向运动到处，不计粒子的重力，则下列判断正确的是（　　） A．该粒子带负电 B．粒子在处的电势能小于处的电势能 C．粒子在处的动能为 D．O点到之间电势差大于到之间电势差 【答案】C 【详解】A．粒子在O点由静止释放，刚好能沿x轴正方向运动到处，粒子先做加速运动后做减速运动，受力方向先与电场强度方向相同，后与电场强度方向相反，故粒子带正电，故A错误； B．粒子从到的过程中，电场力一直做正功，电势能减少，所以粒子在处的电势能大于处的电势能，故B错误； C．从O点到处，E-x图线与坐标轴所围的面积表示O点到处电势差。从O点到处由动能定理得 故在处的动能为，故C正确； D．设O点到之间电势差为,到之间电势差为，由动能定理得 得O点到之间电势差与到之间电势差相等，故D错误。 故选C。 12．（2025·河南·模拟预测）某电场的电势随位置x的变化关系如图所示，O点为坐标原点，a、b、c、d为x轴上的四个点。一带正电粒子从d点由静止释放，在电场力作用下沿x轴运动，不计重力，则粒子（　　） A．将在ad之间做周期性运动 B．在d点的电势能大于a点的电势能 C．在b点与c点所受电场力方向相同 D．将沿x轴负方向运动，可以到达O点 【答案】A 【详解】B．由图可知，、两点电势相等，根据可知粒子在d点的电势能等于a点的电势能，故B错误； C．图像斜率表示电场强度，由图可知，b点与c点的电场强度方向相反，根据可知在b点与c点所受电场力方向相反，故C错误； AD．根据沿着电场线方向电势降低可知在点电场方向为轴负方向，粒子带正电，则粒子受到沿着轴负方向的电场力，即粒子将沿x轴负方向运动，粒子仅受电场力做功，则粒子的动能和电势能之和恒定，根据B选项分析可知粒子在d点的电势能等于a点的电势能，则粒子在d点的动能等于a点的动能均为0，即粒子将在ad之间做周期性运动，不能到达点，故A正确，D错误。 故选A。 13．（2025·重庆·一模）某空间的轴上只存在沿此轴方向的静电场，轴上各点电势分布如图。一电子只在电场力作用下由轴上某点无初速释放，下列说法正确的是（　　） A．到范围内，处的电场强度最大 B．若电子在位置释放，不能通过点 C．若电子沿轴运动过程中的总能量恒为零，则电子的运动区间可能为 D．若电子在处释放，电子将一直向右加速运动到点 【答案】C 【详解】A．根据图像的斜率大小表示电场强度大小，由图可知原点图像的切线斜率为零，故原点的电场强度零，不是最大，A错误； BD．若电子在位置释放，电子在处的动能为零，由图可知，电子在和两个位置的电势相等，则电子在两处的电势能也相等，根据总能量守恒可知，粒子在的动能才为零，即电子运动到位置时，速度才会减为零，故电子可以通过点，且电子先加速运动，而后减速运动，在和间来回往复运动，BD错误； C．电子带负电荷，开始时由电势低处向电势高处运动，又因为电子沿x轴运动过程中的总能量恒为零，则开始运动时动能为零，电势能也为零，则粒子的活动区间是，C正确。 故选C。 14．（2024·河南·模拟预测）如图甲所示，平面直角坐标系xOy处在匀强电场中，电场强度方向与坐标平面平行，P点是y轴上y=3m处的一点，Q是x轴上x=3m处的一点，x轴上x=0至x=2m区域内的电势分布如图乙所示，将一个电荷量为q=-1×10-5C的点电荷从坐标原点沿y轴正向移动1.5m，克服电场力做功为8×10-5J。已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，则下列说法正确的是（　　） A．电场强度的大小为 B．匀强电场方向与x轴正向夹角为60° C．y轴上P点的电势为-8V D．将一个电荷量为1×10-5C的点电荷从P点移到Q点，电场力做功为4×10-5J 【答案】AC 【详解】AB．由题图乙知，电场强度沿x轴的分量，方向沿x轴正向，大小为 依题意有，电场强度沿y轴的分量，方向沿y轴正向，大小为 故该匀强电场的场强大小为 设场强方向与x轴正向的夹角为α，则 可得 故A正确，B错误； C．根据匀强电场电场强度与电势差的关系有，， 可得点电势为-8V，故C正确； D．点电势为-4V，由动能定理 故D错误。 故选AC。 15．（2025·全国·模拟预测）一匀强电场的方向平行于平面，平面中、、三点的位置如图所示，、、三点的电势分别为、、，则（    ） A．点的电势为 B．电子从到电场力做的功为 C．匀强电场的电场强度大小为 D．将电子沿直线从移动到，电子的电势能一直减小 【答案】CD 【详解】A．由题意可得 且 可得 A错误； B．电子从到电场力做的功为 B错误； C．设轴上电势为的位置为点，则由几何关系可知其横坐标为，即为匀强电场中的一条等势线，如图所示 过作的垂线，垂足为，电场方向沿方向，由几何关系可得 即则有 电场强度 C正确； D．由上述分析知，电场线方向由指向，故将电子沿直线从移动到，电势能一直减小，D正确。 故选CD。 16．（2025·全国·模拟预测）空间中存在平行x轴方向的静电场，取x轴正方向为电场强度的正方向，x轴上某物理量与位置的关系如图所示。在O点将一带正电粒子由静止释放，粒子运动过程只受静电力作用。则（　　） A．若纵坐标表示电场强度，粒子释放后做往复运动 B．若纵坐标表示电场强度，粒子能运动到x3右侧无穷远处 C．若纵坐标表示电势，粒子释放后做往复运动 D．若纵坐标表示电势，粒子在Ox2段增加的动能小于x2x1段 【答案】BD 【详解】AB．粒子释放时受到沿x轴正方向的电场力，且之后经过位置的电场方向始终沿x轴正方向，则粒子一直沿x轴向右运动到x3右侧无穷远处，A错误，B正确。 C．沿电场线方向电势降低，可知x3左侧的电场线指向x轴负方向，x3右侧的电场线指向x轴正方向，粒子释放后所受电场力指向x轴负方向，一直向x轴负方向运动，故C错误； D．粒子动能的增加量等于电势能的减少量，Ox2段粒子电势能的减少量小于qy0，x2x1段粒子电势能的减少量等于qy0，故D正确。 故选BD。 【考向三：带电粒子在重力场和电场中的圆周运动】 17．（2025·天津滨海新·联考）如图所示，BCD是光滑绝缘的半圆形轨道，位于竖直平面内，直径BD竖直，轨道半径为R，下端与水平光滑绝缘轨道在B点平滑连接，整个轨道处在水平向左的匀强电场中。现有一质量为m、带正电的小球（可视为质点）由水平轨道上的A点静止释放，已知AB之间的距离s=8R，滑块受到的静电力大小为0.5mg，重力加速度为g。 (1)求小球到达B点时的速度大小； (2)小球到达D点时轨道对小球的弹力大小： (3)小球从D点飞出轨道后，落在水平地面上的Р点（未画出），求PB之间的距离。 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）小球从A到B做匀加速直线运动，由动能定理可得 解得 （2）小球从A到D的过程中，由动能定理可得 小球在D点，由牛顿第二定律可得 联立解得 （3）小球从D点飞出轨道后做匀变速曲线运动，竖直方向有 水平方向有 设PB之间的距离为x，则有 联立解得 18．（2025·天津宝坻·调研）如图所示，光滑绝缘轨道固定在竖直面内，为水平直轨道，是半径为R的四分之一圆弧轨道，整个空间中均有水平向右的匀强电场。质量为m、电荷量为q（）的小球从P点由静止释放，的距离也为R，小球飞出轨道后所能到达的最高点为Q点（图中未画出）。已知匀强电场的场强，重力加速度大小为g，，。求： (1)小球运动到b点时（b点属于圆弧轨道），小球的速度多大？ (2)小球在b点时轨道对小球的支持力多大？ (3)运动过程中小球对轨道的最大压力为多大？ 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）小球从P到b的过程，根据动能定理 解得小球运动到b点时的速度大小为 （2）根据牛顿第二定律 解得轨道对小球的支持力大小为 （3）根据题意可知 重力与电场力的合力为 根据数学知识知，此时合力与水平方向的夹角为37°，则轨道上等效物理最低点位于圆弧上，与圆心连线与水平方向的夹角为37°处，该点轨道所受压力最大，根据动能定理可得 根据牛顿第二定律可得 联立解得 根据牛顿第三定律可知，小球对轨道的最大压力为 19．（2025·天津北辰·联考）如图所示，带电量为2q（q>0）、质量为m的小球A，置于绝缘光滑水平面上与绝缘弹簧右端接触（不粘连），弹簧左端固定，使弹簧开始处于压缩状态并具有弹性势能，释放弹簧，把A弹出，A在M点水平进入场强大小为E1，方向水平向右的匀强电场中，随后A从C点沿切线方向进入绝缘粗糙的圆弧轨道CDG，轨道半径，O为圆心、COD为直径且与竖直方向成53°，圆弧轨道最高点G点与M点在同一水平面上，整个圆弧轨道处于大小为、方向竖直向下的匀强电场中，假设小球A沿圆弧轨道运动到D点开始离开轨道，小球A可视为点电荷，重力加速度为g，带电小球不会改变E1和E2电场的分布，求： (1)M点与C点的高度差h； (2)场强E1的大小； (3)小球A从C到D过程中摩擦力做的功。 【答案】(1)L(2)(3) 【详解】（1）根据几何关系可得，M点与C点的高度差为 （2）弹簧将A弹开时，有所以 小球A进入E1电场中，水平方向有， 竖直方向有，， 联立解得 （3）小球A在C点的速度大小为 运动到D点开始离开轨道，则 从C到D过程中，根据动能定理可得 联立解得 20．（2025·天津·调研）如图所示，一内壁光滑的绝缘圆管ADB固定在竖直平面内。圆管的圆心为O，D点为圆管的最低点，A、B两点在同一水平线上，AB=2L，圆管的半径为r=L(自身的内径忽略不计)。过OD的虚线与过AB的虚线垂直相交于C点，在虚线AB的上方存在方向水平向右、范围足够大的匀强电场；虚线AB的下方存在方向竖直向下、范围足够大的匀强电场，电场强度的大小。圆心О正上方的Р点有一质量为m、电荷量为-q(q>0)的小球(可视为质点)，P、C间距为L。现将该小球从Р点无初速释放，经过一段时间后，小球刚好从管口A无碰撞地进入圆管内，并继续运动。重力加速度为g。求： (1)虚线AB上方匀强电场的电场强度的大小E； (2)小球在ADB管中运动经过D点时对管的压力FD； (3)小球从管口B离开后，经过一段时间到达虚线AB上的N点(图中未标出)，小球从B点到N点的过程中所用时间为t。 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）依题可知，xAC=L，对小球P到A过程，小球受重力和电场力，且电场力方向水平向左，设线AB上方匀强电场的电场强度的大小E，则 水平方向 竖直方向 联立以上两式 （2）从P到A过程，由动能定理 解得 小球在管中运动时，因为E2q=mg，故小球在管中左匀速圆周运动，故 在D点，设管给球的支持力FN，则由牛顿第二律 解得 根据牛顿第三定律可知，小球在ADB管中运动经过D点时对管的压力 （3）又对称性可知，小球回到B点时速度与在A点大小相同，即 分析可知，小球从管口B离开后加速度为 当小球从B点飞出后，当小球沿抛出方向和垂直抛出方向位移大小相等时恰回到虚线AB上的N点，则 解得 21．（2025·天津·联考）在电场强度为、方向水平向右的匀强电场中，用一根长的绝缘细杆（质量不计）固定一个质量为，电荷量为带正电的小球，细杆可绕轴O在竖直平面内自由转动。现将杆从水平位置A轻轻释放，在小球运动到最低点B的过程中，（取）求： (1)电场力对小球做功是多少？ (2)A、B两位置的电势差是多少？ (3)小球到达B点时的速度多大？ 【答案】(1) (2)(3) 【详解】（1）在小球从水平位置A运动到最低点B的过程，电场力对小球做功为 （2）A、B两点间电势差为 （3）小球从A到B过程，由动能定理可得 解得 22．（2025·天津·联考）如图所示，ABCD是半径为R的四分之三光滑绝缘圆形轨道，固定在竖直面内。以轨道的圆心O为坐标原点，沿水平直径AC方向建立x轴，竖直直径BD方向建立y轴。y轴右侧（含y轴）存在竖直向上的匀强电场。一质量为m、带电量为+q的小球，从A点由静止开始沿轨道下滑，通过轨道最高点D后，又落回到轨道上的A点处。不考虑小球之后的运动，不计空气阻力，重力加速度为g，求： (1)小球落回到A点时的速率； (2)电场强度的大小； (3)小球从A下滑到电场内的B点时受到轨道支持力的大小。 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）设小球离开D点时的速率为，由D落回到A的时间为t，则由平抛运动规律有 解得 小球落回到A时的速率为，根据动能定理有 解得 （2）小球从A到D的过程中，根据动能定理有 解得 （3）小球通过轨道最低点B处时的速率为，轨道对小球的支持力为F，则有 根据合力提供向心力有解得 小球从A下滑到电场内的B点时受到轨道支持力的大小 23．（2024·天津·调研）如图所示，长为l的绝缘细线（不可伸长）一端悬于点，另一端系一质量为、电荷量为的带正电小球。现将此装置放在水平方向的匀强电场中，小球静止在点，此时细线与竖直方向夹角为，重力加速度为。求： （1）判断电场强度的方向； （2）电场强度的大小； （3）如果将小球拉至点正下方最低点处由静止释放，求小球在运动过程中能达到的最大速度。 【答案】（1）水平向左；（2）；（3） 【详解】（1）由图可知，带电小球静止时电场力水平向左，因为小球带正电，所以电场强度方向水平向左。 （2）小球受重力、电场力和细线的拉力，根据平衡条件有， 解得 （3）小球从最低点运动到最初静止的位置时动能最大，根据动能定理得 解得 24．（2024·天津·调研）如图所示，为有界的竖直向下的匀强电场（边界上有电场），电场强度，ACB为光滑竖直固定的半圆形轨道，轨道半径为，A、B为圆水平直径的两个端点，为圆弧，一个质量为，电荷量为的带电小球，从A点正上方高为处由静止释放，并从A点沿切线进入半圆轨道，不计空气阻力及一切能量损失，关于带电小球的受力及运动情况，下列说法正确的是（    ） A．小球在部分做匀速圆周运动 B．小球到达点时对轨道压力大小为 C．适当增大，小球沿轨道到达点的速度可能为零 D．若，要使小球沿轨道运动到，则应将至少调整为 【答案】AD 【详解】A．依题意，有 则电场力与重力的合力为零，则小球在AC部分做匀速圆周运动，加速度大小不变，方向始终指向圆心。故A正确； B．小球进入半圆轨道，电场力和重力平衡，小球做匀速圆周运动，根据动能定理可知 在C点，根据牛顿第二定律得又 联立，解得 由牛顿第三定律可知小球到达C点时对轨道的压力为2mg。故B错误； C．适当增大E，即小球所受的电场力大于重力，电场力和重力的合力向上，则在最低点C的最小速度满足 即在最低点的速度不可能为零。故C错误； D．若，在最低点轨道的作用力为零，根据牛顿第二定律得 根据动能定理得 联立，解得 可知要使小球沿轨道运动到C，则应将至少调整为。故D正确。 故选AD。 【考向四：电场中的力电综合问题】 25．（2024·天津·模拟预测）如图，在竖直平面内有一匀强电场，一带电荷量为、质量为的小球在力（大小可以变化）的作用下沿图中虚线由A至B做竖直向上的匀速运动。已知力和AB间夹角为，A、B间距离为，重力加速度为。则（    ） A．电场强度的最小值为 B．力的最大值为 C．小球从A运动到B电场力一定做正功 D．若电场强度时，小球从A运动到B电势能变化量大小可能为 【答案】AD 【详解】AB．分析小球受力情况：小球受到重力mg、拉力F与电场力qE，因为小球做匀速直线运动，合力为零，则F与qE的合力与mg大小相等、方向相反，作出F与qE的合力，如图所示 当电场力qE与F垂直时，电场力最小，此时场强也最小；则有 解得电场强度的最小值为 拉力F的取值随着电场强度方向的变化而变化，如果电场强度方向斜向右下方，则F的值将大于，故A正确，B错误； C．当电场力qE与AB方向垂直时，小球从A运动到B电场力不做功，故C错误； D．若电场强度时，即 电场力qE可能与AB方向垂直，如图1位置，电场力不做功，电势能变化量为0；电场力的方向也可能电场力位于位置2方向，则电场力做功为 故D正确。 故选AD。 26．（2024·天津·一模）如图所示，竖直固定的光滑绝缘细杆上O点套有一个电荷量为-q （q>0）,质量为m的小环，整个装置处在固定于杆左侧电荷量为+Q （Q>0）的点电荷产生的电场中，杆上a、b两点与+Q正好构成等边三角形，c是ab的中点。使小环从O点无初速度释放，小环通过a点的速率为v，若已知ab=Oa=l，静电常量为k，重力加速度为g，规定O点电势为零。则（　　） A．小环下落过程中机械能守恒 B．小环下落过程中电势能先减小后增大 C．小环在从c点到b点的过程中，速度不断减小 D．b点电势为 【答案】BD 【详解】A. 小环下落过程中由于有库仑力对小环做功，则小环的机械能不守恒，选项A错误； B. 小环下落过程中，库仑力先做正功后做负功，则电势能先减小后增大，选项B正确； C. 小环在从c点到b点的过程中，c点竖直方向只受重力，此时加速度向下为g，因此小球会线加速，当加速度减小为零以后才会减速，选项C错误； D. 从O到a由动能定理， 解得 因ab两点电势相等，可知b点电势为 选项D正确。 故选BD。 27．（2024·天津和平·一模）如图所示，质量相同、带等量异种电荷的甲、乙两粒子，先后从S点沿SO方向垂直射入匀强电场中，分别经过圆周上的P、Q两点，不计粒子间的相互作用及重力，则两粒子在圆形区域内运动过程中（　　） A．甲粒子的入射速度小于乙粒子 B．甲粒子所受电场力的冲量小于乙粒子 C．甲粒子在P点的速度方向可能沿OP方向 D．电场力对甲粒子做的功小于对乙粒子做的功 【答案】BD 【详解】A．甲、乙两粒子在电场中均做类平抛运动，则垂直电场方向的位移为 沿电场方向的位移为 联立可得 由于， 可知甲粒子的入射速度大于乙粒子的入射速度，故A错误； B．根据沿电场方向的位移为， 可知根据 可知甲粒子所受电场力的冲量小于乙粒子所受电场力的冲量，故B正确； C．粒子在电场中做类平抛运动，可知速度反向延长线交于竖直位移的中点，甲粒子在P点的速度反向延长线应交SO于O点下方，故C错误； D．根据， 可知电场力对甲粒子做的功小于对乙粒子做的功，故D正确。 故选BD。 28．（2024·天津·一模）如图所示，匀强电场中一个质量为m、电荷量为q的带正电荷的粒子在A点获得初速度后沿水平方向AB向右做匀减速运动。BC与AC垂直，B点与C点的电势相等。重力加速度为g。下列判断正确的是（　　） A．场强大小为 B．场强大小为 C．电场方向水平向左 D．电场方向沿CA方向 【答案】AD 【详解】CD．由于，且，说明电场线平行于；又带正电荷的粒子沿水平方向AB向右做匀减速运动，说明电场方向沿着CA方向，故C错误、D正确； AB．带正电荷的粒子在A点获得初速度后沿水平方向AB向右做匀减速运动，说明带电粒子在竖直方向上受力平衡，则有 解得 故A正确、B错误。 故选AD。 29．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图所示，竖直面内有一半径为r的光滑圆形轨道，圆形轨道的最低点B处有一入口与水平地面连接，空间存在方向水平向左的匀强电场。一带电荷量为、质量为m的小物块从水平地面上的A点由静止释放。已知电场强度大小，小物块与水平地面间的动摩擦因数，重力加速度为，，。 (1)求等效重力加速度； (2)若取B点电势为零，，求物块电势能的最小值及此时的动能； (3)为使小物块进入轨道后始终不脱离轨道，求释放点A到B的距离s满足的条件； 【答案】(1)(2)；(3)或 【详解】（1）小物块所受的电场力方向水平向左，大小为 小球所受电场力和重力的合力称为等效重力，用表示，如图所示 则 即， 等效重力加速度用表示，则 （2）如图所示，E点为小球做圆周运动的等效最低点，F点是与圆心“等高”的点，G点是等效最高点 若小球进入轨道后恰好能到达F点，设此时释放点A到B的距离为，则小球由A到F的过程中根据动能定理有 求得 则当时，小球恰好能够到达F点，则小球到达圆心的等高点C时电势能最小，小球由B点运动到C点过程中电场力做的功为求得 即物块电势能的最小值为。 从A到C点，根据动能定理有 解得 （3）若小球进入轨道后恰好能通过G点，设此时释放点A到B的距离为，则小球由A到G的过程中根据动能定理有 小球通过G点时有 联立求得 所以，为使小物块进入轨道后始终不脱离轨道，结合（2）可知，释放点A到B的距离s满足的条件为或 30．（2025·福建福州·二模）如图（a），长度L = 0.8 m的光滑杆左端固定一带正电的点电荷A，其电荷量QA = 1.8 × 10−7 C，一质量m = 0.02 kg，带电量为q的小球B套在杆上。将杆沿水平方向固定于某非均匀外电场中，以杆左端为原点，沿杆向右为x轴正方向建立坐标系。点电荷A对小球B的作用力随B位置x的变化关系如图（b）中曲线I所示，小球B所受水平方向的合力随B位置x的变化关系如图（b）中曲线Ⅱ所示，其中曲线Ⅱ在0.16 ≤ x ≤ 0.20和x ≥ 0.40范围可近似看作直线。求：（静电力常量k = 9 × 109 N·m2/C2）可能用到的坐标：曲线Ⅰ中的（0.30，0.018）；曲线Ⅱ中的（0.16，0.030）、（0.20，0）、（0.30，−0.012）、（0.40，−0.004） (1)小球B所带电量q及电性； (2)非均匀外电场在x = 0.3 m处沿细杆方向的电场强度E大小和方向； (3)已知小球在x = 0.2 m处获得v = 0.4 m/s的初速度时，最远可以运动到x = 0.4 m。若小球在x = 0.16 m处受到方向向右，大小为F = 0.04 N的恒力作用后，由静止开始运动，为使小球能离开细杆，恒力作用的最小距离s是多少？ 【答案】(1)1 × 10−6 C，带正电(2)−3 × 104 N/C，水平向左(3)0.065 m 【详解】（1）小球B带正电，由图（b）中曲线Ⅰ可知，当x = 0.3 m时，有 所以 （2）设在x = 0.3 m处点电荷与小球间作用力为F2，有 因此 方向水平向左； （3）根据图（b）中曲线Ⅱ围成的面积表示合电场力做的功，可知小球从x = 0.16 m到x = 0.2 m处，合电场力做功为 小球从x = 0.2 m到x = 0.4 m处，合电场力做功为 由图可知，小球从x = 0.4 m到x = 0.8 m处，合电场力做功为 由动能定理可得 解得恒力作用的最小距离 31．（2025·四川·模拟预测）X、Y、Z为大小相同的导体小球，X、Y所带电荷量均为q，Z所带电荷量为-5q。X、Y均放置在光滑绝缘水平面上，Y固定在P点，X与绝缘轻弹簧端相连，弹簧另一端固定，此时X静止在平衡位置O点，如图所示，将较远处的Z移近，先与X接触，然后与Y接触，再移回较远处，在此过程中，一直保持不变的是（　　） A．X的平衡位置 B．Z的电荷种类 C．Y对X的库仑力方向 D．X、Y系统的电势能 【答案】B 【详解】设X、Y两带电小球相距为r，开始时，X、Y间的库仑斥力大小为 X受到的库仑力方向水平向左，由于X静止在平衡位置O点，则弹簧的弹力大小为，方向水平向右，将Z与X接触时，根据电荷分配原理可知，此时 此时X、Y间的库仑力大小为 大小发生了变化，X受到的库仑力方向为水平向右，X的平衡位置发生了变化，X、Y系统的电势能发生了变化；当Z再与Y接触时，根据电荷分配原理可知，此时 整个过程中Z始终为负电荷保持不变。 故选B。 32．（2024·重庆九龙坡·一模）将如图所示，在沿水平方向的匀强电场中有一固定点O，用一根长度为l的绝缘细线把质量为m、带电量为q的金属小球悬挂在O点。小球静止在B点时，细线与竖直方向的夹角为θ=37°。重力加速度为g，sin37°=0.6，cos37°=0.8。现将小球拉至位置A使细线水平后由静止释放，以下说法中正确的是（　　） A．小球带负电 B．从A到最低点C的过程中小球的速度一直增大 C．从A到最低点C的过程中小球的向心力大小先增大后减小 D．若在A点给一个初速度，小球可以做完整的圆周运动，则速度最大值出现在B点 【答案】CD 【详解】A．小球静止在B点，受到竖直向下的重力、斜向左上方的拉力，由平衡条件可知小球应受到水平向右的电场力，所以小球带正电，故A错误； BC．由题意可知，B点为等效最低点，所以从A到最低点C的过程中小球的速度先增大后减小，根据向心力公式 可知此过程小球的向心力大小先增大后减小，故B错误，C正确； D．由题意可知，B点为等效最低点，若在A点给一个初速度，小球可以做完整的圆周运动，则速度最大值出现在B点，速度最小值出现在BO延长线与圆周的交点处，故D正确。 故选CD。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$