精品解析：山西省忻州某校2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试题

2024—2025学年第一学期期末综合素养评价（卷） 七年级数学 （时间：120分钟；满分：120分；出题人：） 一、填空题（每题3分，共30分） 1. 的相反数为（ ） A. B. 6 C. D. 2. 近年来，忻州古城凭借独特的魅力成功“火出圈”．2024年国庆假期古城累计接待游客629500人次，同比增长8.78%．其中629500用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 毛泽东主席在《水调歌头·游泳》中写道“一桥飞架南北，天堑变通途”．例如山西临猗黄河大桥是山西省西南部通往陕西省渭南、铜川等地的重要运输通道．建成后，运城市至陕西省铜川市的通车时间从4小时缩短至2.5小时，极大地缩短了两地之间的交通时间．用所学数学知识解释这一现象恰当的是（ ） A. 过一点可以画多条直线 B. 两点确定一条直线 C. 两点之间线段最短 D. 连接两点间线段的长度是两点间的距离 4. 在代数式；；；；；中整式的个数有（ ）个． A. B. C. D. 5. 单项式的次数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 下面是小明对4个几何图形的描述：①图1：直线经过点C；②图2：点A在直线l外；③图3：射线在内部；④图4：直线、相交于点O．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 8. 如图，C为的中点，点D在线段上，且，若，则的长度为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 9. 粽子作为中国历史文化积淀最深厚的传统食品之一，传播甚远，最初是用来是祭祀祖先神灵的贡品．某家庭制作的粽子礼盒每份由6个蛋黄肉粽和4个碱水粽组成．用1千克糯米可做24个蛋黄肉粽或16个碱水粽，现要用6千克糯米制作粽子，设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，恰好使制作的蛋黄肉粽和碱水粽配套，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 10. 学习情境·新定义a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，以此类推，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 将去括号得______． 12. 若代数式与 的和是单项式， 则_______． 13. 2024年12月，连接忻府区和奇村的忻奇大道建成通车，途中的云中河大桥成为忻州的又一网红打卡地．忻奇大道全长约，一辆小轿车以的速度从忻奇大道忻府区起点出发，同时一辆小型货车以的速度从奇村起点出发，两车沿忻奇大道相向而行．则经过_________小时后，两车在途中相遇（用含、的代数式表示）． 14. 如图所示计算机某计算程序，若开始输入，则最后输出的结果是__________． 15. 国际数学教育大会是全球数学教育水平最高、规模最大的学术盛会，每四年一届，于2021年在中国上海举办，这是国际数学大会第一次在中国举办．大会标识中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中《洛书》与《河图》为原本，并将其与体现我国早期哲学思想的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深，大会标识右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是表示的举办年份、八进制数20251换算成十进制数是_________． 三、解答题 16. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中，． 17. 下面是小彬同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程： 解：去分母得，…………第一步 去括号得，…………第二步 移项得，…………第三步 合并同类项得，…………第四步 系数化为1得，…………第五步 （1）以上求解过程中，第三步的依据是_________． （2）以上求解过程中，第_________步出现错误，错误原因是_________． （3）写出该方程正确的解答过程． 18. 已知：如图，点B是线段上一点，点E是线段的中点，，．求线段的长度． 19. 已知，，若的值与x的取值无关，求的值． 20. 元旦假期，乐乐和同学相约忻州古城游玩．他们登上了秀容书院的六角亭俯瞰古城．如图，已知点为乐乐所在的六角亭．文宗楼在六角亭的北偏西的方向上，关帝庙在六角亭的南偏东的方向上． （1）求从六角亭看文宗楼和关帝庙的视角（即）的度数； （2）明月楼在的平分线上，则明月楼在六角亭的什么方向上？ 21. 请阅读下列材料，并完成相应的任务． “整体思想”是一种重要的数学思想方法，在多项式的化简求值中应用极为广泛． 例如，，类似地，我们把看成一个整体，则． 【尝试应用】根据阅读内容，运用“整体思想”，解答下列问题： （1）化简的结果是_________； （2）化简求值：，其中． 【拓展探索】 （3）已知，则的值为_________． 22. 项目式学习研究 白水杏是山西繁峙的特产，具有个大、皮薄、肉厚、营养成分丰富等优点，每逢杏果飘香的时节，四面八方的客商络绎不绝而来，竞相品尝购买．家住繁峙的小温一家种植了一些杏树，在每年杏子成熟的时节，除了自家食用之外，其余的都要运到市场进行销售．正值周末，小温同学也想为家里的白水杏销售贡献自己的一份力量． 素材1 小温了解到当地白水杏售价为元千克．周六，小温家一共采摘了筐白水杏进行销售，每筐以千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如下表示： 与标准质量的差值（单位：千克） 筐数 素材2 据了解，当地快递公司收费标准：山西省内，首重1千克以内10元（含1千克）续重（超过1千克的部分）2元/千克，不足1千克按1千克计． 素材3 白水杏种植成本主要有： 1．肥料和农药成本：在杏子生长过程中，需要施肥和喷洒农药．一年肥料和农药大概花费元． ．劳动力成本：：包括修剪、采摘等环节的人工费用，每人每天元． 任务1 小温跟着家人一起去市场帮忙售卖，请根据素材求出小温一家售出这筐杏子的实际收入是_________元． 任务2 第二天，小温又采摘了千克（为整数）白水杏，准备通过快递邮寄的方式送给她的同学小周，共支付运费元，请计算小温采摘了白水杏多少千克？ 任务3 本年采摘时间即将结束，小温想帮家里算一算今年售出了多少千克的杏子．由于某些原因，小温只知道今年的销售利润为元（销售利润销售收入－成本），另外本年请了个修剪工人工作了天，请了个采摘工人工作了天，则小温一家今年售出了多少千克白水杏？（用方程解答） 23. 【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．已知，点A，B是数轴上不重合的两个点，且点A在点B的左边，点M是线段的中点．点A，B，M分别表示数a，b，x．请回答下列问题． 【特例感知】 （1）若，，则________，x表示的数为________； 【规律探究】 （2）如图，利用数轴思考探究，点A，B之间的距离表示为________，x表示的数为________________（用含a，b的式子表示）； 【拓展应用】 （3）若，，动点P、Q分别从A、B两点同时出发，沿数轴正方向运动．点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度．E为的中点，F为的中点．求运动几秒后，点E和点F相距3个单位长度？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第一学期期末综合素养评价（卷） 七年级数学 （时间：120分钟；满分：120分；出题人：） 一、填空题（每题3分，共30分） 1. 的相反数为（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行作答即可． 【详解】解：的相反数为6， 故选：B 2. 近年来，忻州古城凭借独特的魅力成功“火出圈”．2024年国庆假期古城累计接待游客629500人次，同比增长8.78%．其中629500用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：629500用科学记数法表示为． 故选：B． 3. 毛泽东主席在《水调歌头·游泳》中写道“一桥飞架南北，天堑变通途”．例如山西临猗黄河大桥是山西省西南部通往陕西省渭南、铜川等地的重要运输通道．建成后，运城市至陕西省铜川市的通车时间从4小时缩短至2.5小时，极大地缩短了两地之间的交通时间．用所学数学知识解释这一现象恰当的是（ ） A. 过一点可以画多条直线 B. 两点确定一条直线 C. 两点之间线段最短 D. 连接两点间线段的长度是两点间的距离 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段的性质，根据两点之间线段最短解答本题即可． 【详解】解：把弯曲的路径改直，就能缩短路程，用所学数学知识解释这一现象恰当的是：两点之间线段最短． 故选：C 4. 在代数式；；；；；中整式的个数有（ ）个． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了整式，单项式和多项式统称为整式，利用整式的定义即可判断． 【详解】、分母中含字母，不是整式， 是多项式、、、是单项式，属于整式， 故整式有，共4个， 故选：D． 5. 单项式的次数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查单项式．根据单项式次数的定义，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 【详解】解：单项式中a的次数是2，b的次数是3，c的次数是1， 因此单项式的次数是， 故选：B． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，合并同类项时先确定是否为同类项，如是同类项再根据字母和字母的指数不变，系数相加合并同类项． 先确定各项是否为同类项，如为同类项根据合并同类项法则合并同类项即可． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项正确，符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、和不是同类项，无法合并，故本选项错误，不符合题意； 故选：B 7. 下面是小明对4个几何图形的描述：①图1：直线经过点C；②图2：点A在直线l外；③图3：射线在内部；④图4：直线、相交于点O．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直线、射线、线段、直线与点的关系及角的相关概念，属于基础题，掌握三者各自的特点是关键． 利用线段，射线，直线，角的相关概念，直线与点的关系分析． 【详解】解：①直线经过点，正确； ②点在直线l外，正确； ③射线在外部，故错误； ④直线、相交于点，正确． 故选：B． 8. 如图，C为的中点，点D在线段上，且，若，则的长度为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了与线段中点有关的计算、一元一次方程的几何应用，正确建立方程是解题关键． 设，先根据线段中点的定义可得，，再根据，，可得，解方程后即可求出答案． 【详解】解：设， 为的中点， ∴， ， ，， ， 解得， ， 故选：D． 9. 粽子作为中国历史文化积淀最深厚的传统食品之一，传播甚远，最初是用来是祭祀祖先神灵的贡品．某家庭制作的粽子礼盒每份由6个蛋黄肉粽和4个碱水粽组成．用1千克糯米可做24个蛋黄肉粽或16个碱水粽，现要用6千克糯米制作粽子，设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，恰好使制作的蛋黄肉粽和碱水粽配套，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元一次方程，审清题意、找准等量关系成为解题的关键． 设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，则用千克糯米制作碱水粽，然后根据“粽子礼盒每份由6个蛋黄肉粽和4个碱水粽组成．用1千克糯米可做24个蛋黄肉粽或16个碱水粽”列方程即可． 【详解】解：设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，则用千克糯米制作碱水粽， 根据题意得． 故选：B． 10. 学习情境·新定义a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，以此类推，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了数字变化规律，代数式求值， 分别求出，进而得出数字变化规律，再根据规律得出答案即可． 【详解】因为， 所以，，， 可知三个数一个循环，， 所以． 故选：A． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 将去括号得______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查去括号．根据去括号法则（括号前面是“－”时，去掉括号，括号里的每一项都变号），即可求解． 【详解】解：， 故答案是：． 12. 若代数式与 的和是单项式， 则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据同类项的定义，即可求解． 本题考查同类项、合并同类项，解题的关键是：根据题意列出等式，求出、的值． 【详解】解：由于与的和是单项式， 即与是同类项， ∴，， ∴， 故答案为：． 13. 2024年12月，连接忻府区和奇村的忻奇大道建成通车，途中的云中河大桥成为忻州的又一网红打卡地．忻奇大道全长约，一辆小轿车以的速度从忻奇大道忻府区起点出发，同时一辆小型货车以的速度从奇村起点出发，两车沿忻奇大道相向而行．则经过_________小时后，两车在途中相遇（用含、的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设经过小时后，两车在途中相遇，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设经过小时后，两车在途中相遇，根据题意得， 解得： 故答案为：． 14. 如图所示计算机某计算程序，若开始输入，则最后输出的结果是__________． 【答案】75 【解析】 【分析】本题考查了流程图的计算，理解流程图中带上的计算方法，掌握代入求值的计算是解题的关键． 根据题意，把代入计算，根据条件进行判定，是否进行第二次计算，依此类推即可求解． 【详解】解：第一次，当时，， ∴相反数为， 第二次，当时，， ∴相反数为， ∴输出的结果为， 故答案为： ． 15. 国际数学教育大会是全球数学教育水平最高、规模最大的学术盛会，每四年一届，于2021年在中国上海举办，这是国际数学大会第一次在中国举办．大会标识中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中《洛书》与《河图》为原本，并将其与体现我国早期哲学思想的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深，大会标识右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是表示的举办年份、八进制数20251换算成十进制数是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算，理解八进制数换算为十进制数的方法是解题的关键；根据题目中八进制数换算成十进制数的方法计算即可． 【详解】解：八进制数换算成十进制数是， 故答案为：． 三、解答题 16. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（）；（），． 【解析】 【分析】（）先算乘方，绝对值，再算乘除，最后计算加减即可； （）先去括号，合并同类项得到化简结果，再把，代入化简结果即可得到答案； 本题考查了有理数的混合运算，整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：（） ； （）原式 ， 当，时， 原式 ． 17. 下面是小彬同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程： 解：去分母得，…………第一步 去括号得，…………第二步 移项得，…………第三步 合并同类项得，…………第四步 系数化为1得，…………第五步 （1）以上求解过程中，第三步的依据是_________． （2）以上求解过程中，第_________步出现错误，错误原因是_________． （3）写出该方程正确的解答过程． 【答案】（1）等式的性质1 （2）三，移项时没有变号 （3） 解：去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程的步骤，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键； （1）根据解一元一次方程的步骤移项，该步骤是利用等式的性质1； （2）根据移项，两边应该同时减去，在方程右边没有变号； （3）根据解一元一次方程步骤解方程即可求解； 【小问1详解】 解：以上求解过程中，第三步的依据是：等式的性质1 故答案为：等式的性质1． 【小问2详解】 解：第三步出现错误，错误原因是移项时没有变号， 故答案为：三，移项时没有变号． 【小问3详解】 略 18. 已知：如图，点B是线段上一点，点E是线段的中点，，．求线段的长度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段中点的性质，线段和差的计算；根据题意分别求出、的长，根据线段中点的性质进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴； ∵点是线段的中点， ∴ ∵， ∴． 19. 已知，，若的值与x的取值无关，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查整式加减中的无关型问题，合并同类项后，根据的值与x的取值无关，得到含的项系数为0，求出的值，进而代入代数式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵的值与x的取值无关， ∴，， ∴，， ∴． 20. 元旦假期，乐乐和同学相约忻州古城游玩．他们登上了秀容书院的六角亭俯瞰古城．如图，已知点为乐乐所在的六角亭．文宗楼在六角亭的北偏西的方向上，关帝庙在六角亭的南偏东的方向上． （1）求从六角亭看文宗楼和关帝庙的视角（即）的度数； （2）明月楼在的平分线上，则明月楼在六角亭的什么方向上？ 【答案】（1）； （2）明月楼在六角亭的北偏东方向上． 【解析】 【分析】（）根据方位角与角度和差即可求解； （）根据平分求出以，然后根据角度和差即可解答； 本题考查了角平分线的定义，方位角，掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图所示， 因为文宗楼在六角亭的北偏西的方向上，关帝庙在六角亭的南偏东的方向上， 所以，， 所以， 所以  ； 【小问2详解】 解：因为平分， 所以， 所以 ， 所以明月楼在六角亭的北偏东方向上． 21. 请阅读下列材料，并完成相应的任务． “整体思想”是一种重要的数学思想方法，在多项式的化简求值中应用极为广泛． 例如，，类似地，我们把看成一个整体，则． 【尝试应用】根据阅读内容，运用“整体思想”，解答下列问题： （1）化简的结果是_________； （2）化简求值：，其中． 【拓展探索】 （3）已知，则的值为_________． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减—化简求值，掌握合并同类项和去括号的运算法则是关键． （1）利用整体的思想，将看作整体，即可求解； （2）利用整体的思想，将看作整体，再将代入求解即可； （3）将式子整理，得到关于的式子，将代入求解即可； 【详解】解：（1）， 故答案为： （2） 当时， ； （3）， 故答案为： 22. 项目式学习研究 白水杏是山西繁峙的特产，具有个大、皮薄、肉厚、营养成分丰富等优点，每逢杏果飘香的时节，四面八方的客商络绎不绝而来，竞相品尝购买．家住繁峙的小温一家种植了一些杏树，在每年杏子成熟的时节，除了自家食用之外，其余的都要运到市场进行销售．正值周末，小温同学也想为家里的白水杏销售贡献自己的一份力量． 素材1 小温了解到当地白水杏售价为元千克．周六，小温家一共采摘了筐白水杏进行销售，每筐以千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如下表示： 与标准质量的差值（单位：千克） 筐数 素材2 据了解，当地快递公司收费标准：山西省内，首重1千克以内10元（含1千克）续重（超过1千克的部分）2元/千克，不足1千克按1千克计． 素材3 白水杏种植成本主要有： 1．肥料和农药成本：在杏子生长过程中，需要施肥和喷洒农药．一年肥料和农药大概花费元． ．劳动力成本：：包括修剪、采摘等环节的人工费用，每人每天元． 任务1 小温跟着家人一起去市场帮忙售卖，请根据素材求出小温一家售出这筐杏子的实际收入是_________元． 任务2 第二天，小温又采摘了千克（为整数）白水杏，准备通过快递邮寄的方式送给她的同学小周，共支付运费元，请计算小温采摘了白水杏多少千克？ 任务3 本年采摘时间即将结束，小温想帮家里算一算今年售出了多少千克的杏子．由于某些原因，小温只知道今年的销售利润为元（销售利润销售收入－成本），另外本年请了个修剪工人工作了天，请了个采摘工人工作了天，则小温一家今年售出了多少千克白水杏？（用方程解答） 【答案】任务1：；任务2：千克；任务3：千克 【解析】 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，一元一次方程的的应用，理解题意并正确列式是解题关键． 任务1：先求出10筐杏子总质量，再乘以杏子售价，即可求出实际收入； 任务2：根据题意可知，运费首重费用续重费用包装费用，据此建立方程，解方程即可求解； 任务3：设小温一家今年售出了千克杏子，根据题意列一元一次方程即可求解． 【详解】解：任务1：10筐杏子总质量为：千克， 则实际收入为元， 答：小温一家售出这10筐杏子的实际收入是元； 任务2：根据题意列方程： 解得： 答：小温采摘了白水杏4千克． 任务3：设小温一家今年售出了白水杏a千克 根据题意列方程： 解得： 答：小温一家今年售出了白水杏1750千克． 23. 【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．已知，点A，B是数轴上不重合的两个点，且点A在点B的左边，点M是线段的中点．点A，B，M分别表示数a，b，x．请回答下列问题． 【特例感知】 （1）若，，则________，x表示的数为________； 【规律探究】 （2）如图，利用数轴思考探究，点A，B之间的距离表示为________，x表示的数为________________（用含a，b的式子表示）； 【拓展应用】 （3）若，，动点P、Q分别从A、B两点同时出发，沿数轴正方向运动．点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度．E为的中点，F为的中点．求运动几秒后，点E和点F相距3个单位长度？ 【答案】（1）3，5；（2），；（3）运动12秒或24秒后，点E和点F距离3个单位长度 【解析】 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，数轴上线段中点表示的数，解一元一次方程等知识． （1）先求出，根据中点定义得到，根据点在数轴上的位置求出x即可； （2）按照（1）求出，即可得到； （3）根据题意得出、表示的数，进而分①当点E在点F左侧时，②当点E在点F右侧时，根据点和点相距个单位长度，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：（1），，点A，B分别表示数a，b， ， 点M是线段的中点． ， 表示数x． ， 故答案为：3，5； （2）由题意可知，，即点A，B之间的距离表示为， 点M是线段的中点． ， ，即x表示的数为； 故答案为：，； （3）由题意，运动t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为， 因为E是中点， 所以点E表示的数为， 因为F是中点， 所以点F表示的数为； ①当点E在点F左侧时，由E和F距离3个单位长度得， ，解得； ②当点E在点F右侧时，由E和F距离3个单位长度得， ，解得； 综上，运动12秒或24秒后，点E和点F距离3个单位长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $