专题03 勾股定理实际应用模型-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（沪科版）

专题03 勾股定理实际应用模型 勾股定理将图形与数量关系有机结合起来，在解决实际问题和几何应用中有着广泛的应用。运用勾股定理解决实际问题的一般步骤：（1）从实际问题中抽象出几何图形（建模）；（2）确定要求的线段所在的直角三角形；（3）确定三边，找准直角边和斜边：①若已知两边,则根据勾股定理直接计算第3边；②若已知一边,则根据勾股定理列方程间接求解。（挖掘两个未知边之间的数量关系，设出一边为未知数，把另一边用含有未知数的式子表示出来）。 1 模型1.梯子滑动模型 1 模型2.轮船航行模型 4 模型3.信号站（中转站）选择模型 7 模型4.台风（噪音）、爆破模型 10 模型5.超速模型 14 模型6.风吹莲动模型 17 模型7.折竹抵地模型 19 模型.8不规则图形面积模型 21 25 模型1.梯子滑动模型 相关模型背景：梯子滑动、绳子移动等。 解题关键：梯子的长度为不变量、墙与地面垂直。 梯子滑动模型解题步骤： 1）运用勾股定理求出梯子滑动之前在墙上或者地面上的距离； 2）运用勾股定理求出梯子滑动之后在墙上或者地面上的距离； 3）两者相减即可求出梯子在墙上或者地面上滑动的距离。 例1．（2024·四川遂宁·八年级校联考期末）在一次消防演习中，消防员架起一架20米长的云梯，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙12米．(1)求这个梯子的顶端距地面有多高？(2)如果消防员接到命令，要求梯子的顶端下降4米（云梯长度不变），那么云梯的底部在水平方向应滑动多少米？ 例2．（2023秋·四川成都·八年级校考阶段练习）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，梯子顶端到地面的距离为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5米，则小巷的宽为（  ） A．2.5米 B．2.6米 C．2.7米 D．2.8米 例3．（2023秋·河南郑州·八年级校考期末）图中的两个滑块A，B由一个连杆连接，分别可以在垂直和水平的滑道上滑动．开始时，滑块A距O点20厘米，滑块B距O点15厘米．问：当滑块A向下滑13厘米时，滑块B滑动了 厘米．    例4．（2023秋·河北石家庄·八年级校考期末）如图所示，在离水面高度为的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳，后船移动到点的位置，求船向岸边移动的距离（假设绳子是直的，结果保留根号） 模型2.轮船航行模型 相关模型背景：轮船航行等。 解题关键：轮船航行的模型要注意两船终点之间的距离通常为直角三角形的斜边长。 航行模型解题步骤： 1）根据航行的方位角或勾股定理逆定理判定直角三角形； 2）根据航行速度和时间表示出直角三角形两直角边长； 3）根据勾股定理列方程求解航行角度、速度或距离。 例1．（2024·山东临沂·八年级统考期末）钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，我国对钓鱼岛的巡航已经常态化．如图，甲、乙两艘海警船同时从位于南北方向的海岸线上某港口出发，各自沿一固定方向对钓鱼岛巡航，若甲船每小时航行12海里，乙船每小时航行16海里，它们离开港口2小时后分别位于点、处，且相距40海里，如果知道甲船沿北偏东75°方向航行，你知道乙船沿哪个方向航行吗？请说明理由． 例2．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）如图，甲、乙两船同时从港口O出发，甲船以海里/小时的速度沿北偏东60°方向航行，乙船沿北偏西30°方向航行，航行了两小时，甲船到达A处，并观测到乙船恰好在其正西方向的B处，求乙船的速度． 例3．（23-24·江苏八年级期中）南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向以20海里/小时的速度前去拦截．问：经过多少小时，海监执法船恰好在C处成功拦截． 模型3.信号站（中转站）选择模型 相关模型背景：信号塔、中转站等。 解题关键：信号塔和中转站模型要注意两个目的地到信号塔或中转站的距离是相等的。 信号塔、中转站模型解题步骤： 1）根据问题设出未知量（一般求谁设谁），并根据设出的未知量表示出两个直角三角形的直角边长； 2）在两个直角三角形中分别用勾股定理表示出斜边长； 3）根据斜边长相等建立方程求解。 例1．（2023春·四川达州·八年级校考期中）如图，某电信公司计划在，两乡镇间的处修建一座信号塔，且使，两个村庄到的距离相等．已知于点，于点，，，，求信号塔应该建在离乡镇多少千米的地方？ 例2．（2023·广东汕尾·八年级校考期中）如图，在一棵树（）的高处（）有两只猴子，其中一只爬下树走向离树（）的池塘，而另一只则爬到树顶（）后直扑池塘，如果两只猴子经过的路程相等，那么这棵树有多高？ 例3．（2023春·广东八年级课时练习）如图铁路上A，B两点相距40千米，C，D为两村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A和B，DA＝24千米，CB＝16千米．现在要在铁路旁修建一个煤栈E，使得C，D两村到煤栈的距离相等，那么煤栈E应距A点（　　） A．20千米 B．16千米 C．12千米 D．无法确定 模型4.台风（噪音）、爆破模型 相关模型背景：有爆破、台风（噪音）等。 解题关键：通常会用到垂线段最短的原理。 台风、爆破模型解题步骤： 1）根据勾股定理计算爆破点或台风中心到目的地的最短距离； 2）将计算出的最短距离跟爆破或台风的影响范围的半径作比较； 3）若最短距离大于影响半径则不受影响，若最短距离小于半径则受影响。 例1．（2024·重庆·八年级专题练习）如图，在甲村到乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有处需要爆破．已知点与公路上的停靠站的距离分别为和，且，为了安全起见，如果爆破点周围半径的区域内不能有车辆和行人，问在进行爆破时，公路段是否需要暂时封闭，为什么？    例2．（2023春·湖南岳阳·八年级校考期中）如图，四边形为某街心公园的平面图，经测量米，米，且．（1）求的度数；（2）若为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点处安装一个监控装置来监控道路的车辆通行情况，已知摄像头能监控的最大范围为周围的100米（包含100米），求被监控到的道路长度为多少？    例3．（2023春·广东东莞·八年级校考阶段练习）如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以72千米/时的速度行驶时，处受噪音影响的时间为多少？（补充知识：在直角三角形中，所对的直角边是斜边长的一半） 例4．（2023春·重庆·八年级专题练习）如图第4号台风“黑格比”的中心于2023年8月5日下午位于浙江省绍兴市境内的B处，最大风力有9级（23m/s），中心最低气压为990百帕，台风中心沿东北（BC）方向以25km/h的速度向D移动在距离B地250km的正北方有一A地，已知A地到BC的距离AD＝70km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心70km的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几个小时内撤离才可脱离危险？ 模型5.超速模型 相关模型背景：有汽车超速、信号干扰、测河宽等。 解题关键：要将速度统一单位后再进行比较。 超速模型解题步骤： 1）根据勾股定理计算行驶的距离； 2）根据行驶距离和时间求出实际行驶速度； 3）比较实际行驶速度和规定速度。 例1．（2023秋·广东·八年级专题练习）某条道路限速，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处，过了，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为．(1)求的长； (2)这辆小汽车超速了吗？    例2．（2023春·山西大同·八年级校考阶段练习）小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点，小王的赛车从点出发，以米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点出发，以米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于米时，遥控信号会产生相互干扰，米，米，（1）出发秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？（2）当两赛车距点的距离之和为米时，遥控信号是否会产生相互干扰？ 例3．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，某渡船从点B处沿着与河岸垂直的路线横渡，由于受水流的影响，实际沿着航行，上岸地点C与欲到达地点A相距70米，结果发现比河宽多10米． (1)求该河的宽度；（两岸可近似看作平行） (2)设实际航行时，速度为每秒5米，从C回到A时，速度为每秒4米，求航行总时间． 模型6.风吹莲动模型 相关模型背景：莲花、芦苇、吸管、筷子、秋千等。 解题关键：“莲花”高度为不变量。 风吹莲动模型解题步骤： 1）根据问题设出“水深”或者“莲花”的高度； 2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长； 3）根据勾股定理列方程求解。 例1．（2024江苏泰州市·八年级期末）如图，一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面的部分为1尺．如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，芦苇的顶部恰好碰到岸边的，则这根芦苇的长度是______尺． 例2．（2024·河南八年级期末）我国古代数学名著《算法统宗）有一道“荡秋干”的问题，“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离PA的长为1尺，将它向前水平推送10尺时，即尺，秋千踏板离地的距离就和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，则秋千的绳索长为________尺． 例3．（2023·重庆·八年级校考期中）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是，高是，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（    ） A． B． C． D． 模型7.折竹抵地模型 相关模型背景：竹子、旗杆（风筝）拉绳等。 解题关键：“竹子”高度为不变量。 折竹抵地模型解题步骤： 1）根据问题设出“竹子”折断之前或者折断之后距离地面的高度； 2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长； 3）根据勾股定理列方程求解。 例1．（2023春·山西大同·八年级校考期中）《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部4尺远．问：竹子折断处离地面还有几尺？（1丈=10尺）设竹子折断处离地面还有x尺，则可列方程为 ．    例2．（2023秋·山西晋城·八年级统考期末）折竹抵地（源自《九章算术》）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺、问折者高几何?大意是：在点C处生长的一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子在点A处折断，其竹梢点B恰好抵地，尺，求竹子折断后，留在原处的竹子的长为多少尺?（1丈尺）．    例3．（2023春·山东德州·八年级统考期末）如图1，同学们想测量旗杆的高度．他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下： 小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余米，如图；②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部米，如图． 小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到点处，如图3． (1)请你按小明的方案求出旗杆的高度；(2)已知小亮举起绳结离旗杆米远，此时绳结离地面多高？    模型.8不规则图形面积模型 相关模型背景：有草坪面积、土地面积、网格等。 解题关键：一般所求图形面积为不规则的四边形，要注意转换为两个直角三角形的面积进行求解。 面积模型解题步骤： 1）连接两点作辅助线，将四边形分为两个直角三角形； 2）根据已知条件运用勾股定理求出所连线段长度； 3）运用勾股定理逆定理判定另一个三角形为直角三角形； 4）分别求出两个直角三角形的面积相加或相减即为所求四边形面积。 例1．（2024·山东聊城·八年级期末）聊城市在创建“全国文明城市”期间，某小区在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，经技术人员的测量，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，∠ABC＝90°．若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？ 例2．（2024·天津河西·八年级期末）如图，将平面直角坐标系放在所示的网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，．(1)写出另两个顶点的坐标；(2)求此三角形的周长；(3)的面积为______． 例3．（2024·江西宜春·八年级期中）在学习了勾股定理后，数学兴使小组在江老师的引导下，利用正方形网格和勾股定理运用构图法进行了一系列探究活动： (1)在中，、、三边的长分别为、、，求的面积．如图1，在正方形网格（每个小正方形的边长为1）中，画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），不需要求的高，借用网格就能计算出它的面积，这种方法叫做构图法．则的面积为___________． (2)在平面直角坐标系中，①若点A为，点B为，则线段的长为___________；②若点A为，点B为，则线段的长可表示为__________∶ (3)在图2中运用构图法画出图形，比较大小：_______（填“>”或“<”）； (4)若三边的长分别为、、（，．且），请在如图3的长方形网格中（设每个小长方形的长为m，宽为n），运用构图法画出，并求出它的面积（结果用m，n表示）． 1．（2023春·安徽淮南·八年级统考期中）如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙面上，此时．若梯子的顶端A沿墙下滑至位置C，那么梯子底端B右移了（   ）    A．大于 B． C．小于 D．不确定 2．（2023春·河南开封·八年级统考期末）如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为 （滑轮上方的部分忽略不计）（    ）    A． B． C． D． 3．（2023春·云南昆明·八年级校考期中）如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面的B处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部的A处，则旗杆折断部分的高度是（　　）    A． B． C． D． 4．（2023·河南信阳·八年级校联考阶段练习）某数学兴趣小组开展了关于笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为7cm，此时底部边缘A处与C处间的距离为24cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（点D是点B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离为15cm，则底部边缘A处与E之间的距离为（    ）      A．20cm B．18cm C．12cm D．10cm 5．（2022秋·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，露在水面的鱼线长为3m，钓鱼者把鱼竿提起到的位置，此时露在水面上的鱼线长为4m，若的长为1m，则钓鱼竿的长为 m． 6．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A处偏离欲到达地点B处40m，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多10m．该河的宽度BC为 米． 7．（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，小明站在离水面高度为8米的岸上点处用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，小明以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了 米（的长）（假设绳子是直的）． 8．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知，点D到地面的垂直距离．则点B到地面的垂直距离是 ．      9．（2023春·重庆忠县·八年级统考期末）如图是某幼儿园楼梯的截面图，拟在楼梯上铺设防撞地段，若防撞地毯每平方米售价为元，楼梯宽为2米，则幼儿园购买防撞地毯至少需要 元．    10．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图，一根长的筷子置于底面直径为，高为圆柱形水杯中，露在水杯外面的长度，则的取值范围是 ．    11．（2023春·吉林白山·八年级校联考期末）有一块边长为40米的正方形绿地，如图所示，在绿地旁边E处有健身器材，米．由于居住在A处的居民去健身践踏了绿地，小明想在A处树立一个标牌“少走■米，踏之何忍”．请你计算后帮小明在标牌的■处填上适当的数．    12．（2023春·河北邢台·八年级校考阶段练习）数学小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1所示），聪明的小迪发现：先测出绳子多出的部分（该处绳子是直的）的长度，再将绳子拉直（如图2所示），测出绳子末端D到旗杆底部B的距离的长度，利用所学知识就能求出旗杆的长．已知米，米． (1)求旗杆的长；(2)小迪在D处，用手拉住绳子的末端，伸直手臂（拉绳处E与脚底F的连线与地面垂直），后退至将绳子刚好拉直为止（如图3所示），测得小迪手臂伸直后的高度为2米，过点E作于点G，，，求小迪后退了几米？   13．（2023春·河南驻马店·八年级统考阶段练习）如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面30cm．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为60cm，求水深是多少cm？ 14．（2023·江苏苏州·八年级校考期中）小渝和小川是一对好朋友，如图，小渝家住A，小川家住B．两家相距10公里，小渝家A在一条笔直的公路AC边上，小川家到这条公路的距离BC为6公里，两人相约在公路D处见面，且两家到见面地点D的距离相等，求小渝家A到见面地点D的距离． 15．（2023秋·广东·八年级专题练习）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（门槛）一尺，不合四寸，问门广几何？其大意：如图，推开双门（大小相同），双门间隙寸，点C、点D与门槛的距离尺（1尺=10寸），O是的中点，连接．(1)求的长，(2)求门槛的长． 16．（2023·江西景德镇·八年级期中）（1）已知三边长分别为，，，小迪在解决这一 问题时有以下思路：先画如图①的正方形网格（小正方形边长均为1），再画出格点三角形ABC，利用外接长方形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可求出的面积．请你帮助小迪计算出的面积； （2）若三边长分别为，，，在图②的正方形网格（小正方形边长均为a）中，画出格点三角形DEF，并求出的面积；（3）若三边长分别为，，，在图③的长方形网格（小长方形长均为m，宽均为n）中，画出格点三角形OPQ，并求出的面积． 17．（2023春·辽宁葫芦岛·八年级统考期中）如图，为预防新冠疫情，某小区人口的正上方A处装有红外线激光测温仪，测温仪离地面的距离米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为1.8米的市民正对门缓慢走到离门0.8米的地方时（即米），测温仪自动显示体温，求此时人头顶离测温仪的距离． 18．（2023春·山东德州·八年级校考阶段练习）如图，甲乙两船同时从A港出发，甲船沿北偏东35°的方向，航速是12海里/时，2小时后，两船同时到达了目的地．若C、B两岛的距离为30海里，问乙船的航速是多少？ 19．（2023春·山东聊城·八年级统考期末）燕塔广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级的王明和孙亮两位同学在学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得的长度为8米；（注：）；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的王明身高米；(1)求风筝的垂直高度．(2)若王明同学想让风筝沿方向下降9米，则他应该往回收线多少米？ 20．（2023秋·江苏·八年级专题练习）一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A后，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B． (1)求旗杆的高度OM；(2)玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN． 21．（2023·辽宁八年级期末）今年的气候变化很大，极端天气频繁出现．某沿海城市气象台监测到台风中心位于正东方向的海上．如图所示，城市所在地为A，台风中心O正以每小时的速度向北偏西60°的方向移动，经监测得知台风中心的范围内将会受台风影响，．该城市是否受到这次台风的影响？若不受影响，请说明理由；若受到这次台风影响，请求出遭受这次台风影响的时间． 22．（2024·江苏八年级期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点 C为一海港，且点 C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，又AB=500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．（1）海港C受台风影响吗？为什么？（2）若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有　 小时． 4 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 勾股定理实际应用模型 勾股定理将图形与数量关系有机结合起来，在解决实际问题和几何应用中有着广泛的应用。运用勾股定理解决实际问题的一般步骤：（1）从实际问题中抽象出几何图形（建模）；（2）确定要求的线段所在的直角三角形；（3）确定三边，找准直角边和斜边：①若已知两边,则根据勾股定理直接计算第3边；②若已知一边,则根据勾股定理列方程间接求解。（挖掘两个未知边之间的数量关系，设出一边为未知数，把另一边用含有未知数的式子表示出来）。 1 模型1.梯子滑动模型 1 模型2.轮船航行模型 4 模型3.信号站（中转站）选择模型 7 模型4.台风（噪音）、爆破模型 10 模型5.超速模型 14 模型6.风吹莲动模型 17 模型7.折竹抵地模型 19 模型.8不规则图形面积模型 21 25 模型1.梯子滑动模型 相关模型背景：梯子滑动、绳子移动等。 解题关键：梯子的长度为不变量、墙与地面垂直。 梯子滑动模型解题步骤： 1）运用勾股定理求出梯子滑动之前在墙上或者地面上的距离； 2）运用勾股定理求出梯子滑动之后在墙上或者地面上的距离； 3）两者相减即可求出梯子在墙上或者地面上滑动的距离。 例1．（2024·四川遂宁·八年级校联考期末）在一次消防演习中，消防员架起一架20米长的云梯，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙12米． (1)求这个梯子的顶端距地面有多高？(2)如果消防员接到命令，要求梯子的顶端下降4米（云梯长度不变），那么云梯的底部在水平方向应滑动多少米？ 【答案】(1)16米(2)4米 【分析】（1）利用勾股定理可得BE再代入数计算即可； （2）根据题意表示出EA长，再在直角△ABC中利用勾股定理计算出BC长，进而可得CD长． 【详解】（1）解：由题意得：DE＝20米，BD＝12米， 则BE＝＝＝16（米）． 答：这个梯子的顶端距地面有16米； （2）解：由题意得：EA＝4米，则AB＝12米，AC＝20米，BC＝＝＝16（米）， ∵BD＝12米，∴CD＝16﹣12＝4（米）． 答：云梯的底部在水平方向应滑动4米． 【点睛】此题主要考查了勾股定理得应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 例2．（2023秋·四川成都·八年级校考阶段练习）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，梯子顶端到地面的距离为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5米，则小巷的宽为（  ） A．2.5米 B．2.6米 C．2.7米 D．2.8米 【答案】C 【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再在Rt△A′BD中利用勾股定理 计算出BD长，然后可得CD的长． 【详解】解：在Rt△ABC中，AB==2.5（米），∴A′B=2.5米， 在Rt△A′BD中，BD==2（米）， ∴BC+BD=2+0.7=2.7（米），故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握利用勾股定理求有关线段的长度的方法． 例3．（2023秋·河南郑州·八年级校考期末）图中的两个滑块A，B由一个连杆连接，分别可以在垂直和水平的滑道上滑动．开始时，滑块A距O点20厘米，滑块B距O点15厘米．问：当滑块A向下滑13厘米时，滑块B滑动了 厘米．    【答案】9 【分析】根据勾股定理求出的长，再求出下滑后的，利用勾股定理求出下滑后的，继而求出滑块B滑动的距离． 【详解】解：依题意得：，设滑动后点A、B的对应位置是， 由勾股定理得，(厘米)， 当滑块A向下滑13厘米时，(厘米)， ∴(厘米)， ∴滑块B滑动的距离为：(厘米)，故答案为：9． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，善于观察题目的信息，灵活运用勾股定理是解题的关键． 例4．（2023秋·河北石家庄·八年级校考期末）如图所示，在离水面高度为的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳，后船移动到点的位置，求船向岸边移动的距离（假设绳子是直的，结果保留根号） 【答案】 【分析】先根据题意求出CD的长度，然后利用勾股定理分别求出AB，AD的长度，最后用AB-AD即可得出答案. 【详解】根据题意有 在 中， 在 中， ∴船向岸边移动的距离 【点睛】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 模型2.轮船航行模型 相关模型背景：轮船航行等。 解题关键：轮船航行的模型要注意两船终点之间的距离通常为直角三角形的斜边长。 航行模型解题步骤： 1）根据航行的方位角或勾股定理逆定理判定直角三角形； 2）根据航行速度和时间表示出直角三角形两直角边长； 3）根据勾股定理列方程求解航行角度、速度或距离。 例1．（2024·山东临沂·八年级统考期末）钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，我国对钓鱼岛的巡航已经常态化．如图，甲、乙两艘海警船同时从位于南北方向的海岸线上某港口出发，各自沿一固定方向对钓鱼岛巡航，若甲船每小时航行12海里，乙船每小时航行16海里，它们离开港口2小时后分别位于点、处，且相距40海里，如果知道甲船沿北偏东75°方向航行，你知道乙船沿哪个方向航行吗？请说明理由． 【答案】乙船南偏东方向航行，理由见解析 【分析】直接利用勾股定理逆定理得出△PQR是直角三角形，进而得出方向角． 【详解】解：由题意得， （海里），（海里）， 在中，∵，， ∴，∴是直角三角形，且， ∴，∴乙船南偏东方向航行． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确得出△PQR是直角三角形是解题关键． 例2．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）如图，甲、乙两船同时从港口O出发，甲船以海里/小时的速度沿北偏东60°方向航行，乙船沿北偏西30°方向航行，航行了两小时，甲船到达A处，并观测到乙船恰好在其正西方向的B处，求乙船的速度． 【答案】乙船速度8海里/小时． 【分析】本题可以求出甲船行进的距离，根据勾股定理可求出，就可以求出乙船的速度． 【详解】解：由已知可得：， 又已知甲船沿北偏东方向航行，乙船沿北偏西，， 又乙船正好到达甲船正西方向的点，， 设，根据直角三角形中对应的边等于斜边的一半， ，由勾股定理：， 即：，解得：或（舍去），， 所以乙船的速度为：， 答：乙船的速度为8海里小时． 【点睛】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的应用方向角问题，解题的关键是理解方向角的概念． 例3．（23-24·江苏八年级期中）南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向以20海里/小时的速度前去拦截．问：经过多少小时，海监执法船恰好在C处成功拦截． 【答案】 【分析】过点C作CD⊥AB交线段AB延长线于点D，证△ACD是等腰直角三角形，得AD＝CD，由勾股定理得AC＝CD，AD＝CD＝BD，然后由AD−BD＝AB求出BD，进而求出AC，再利用路程＝速度×时间即可求解． 【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB交线段AB延长线于点D， ∵∠BAC＝75°−30°＝45°，∴△ACD是等腰直角三角形， ∴AD＝CD，∴AC＝CD， ∵BCAE，∴∠DBC＝∠BAE＝90°−30°＝60°，∴∠BCD＝30°， ∴BC＝2BD，AD＝CD＝， ∵AD−BD＝AB，∴ 海里，解得：BD＝10 海里， ∴CD＝ 海里，∴AC＝CD （海里）， ∴小时 答：经过小时，海监执法船恰好在C处成功拦截． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，勾股定理、等腰直角三角形的判定等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 模型3.信号站（中转站）选择模型 相关模型背景：信号塔、中转站等。 解题关键：信号塔和中转站模型要注意两个目的地到信号塔或中转站的距离是相等的。 信号塔、中转站模型解题步骤： 1）根据问题设出未知量（一般求谁设谁），并根据设出的未知量表示出两个直角三角形的直角边长； 2）在两个直角三角形中分别用勾股定理表示出斜边长； 3）根据斜边长相等建立方程求解。 例1．（2023春·四川达州·八年级校考期中）如图，某电信公司计划在，两乡镇间的处修建一座信号塔，且使，两个村庄到的距离相等．已知于点，于点，，，，求信号塔应该建在离乡镇多少千米的地方？ 【答案】 【分析】设，则，根据勾股定理可得，，，结合得到关于x的方程，求解即可． 【详解】解：设，则， ∵，，∴和都是直角三角形， 在中，，在中，， ∵，，，∴，解得， 答：信号塔应该建在距离A乡镇的地方． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，根据题意列出方程是解题的关键． 例2．（2023·广东汕尾·八年级校考期中）如图，在一棵树（）的高处（）有两只猴子，其中一只爬下树走向离树（）的池塘，而另一只则爬到树顶（）后直扑池塘，如果两只猴子经过的路程相等，那么这棵树有多高？ 【答案】15米 【分析】设BD=x米，则AD=（）米，CD=（）米，利用勾股定理得出方程求解即可． 【详解】解：设BD=x米，则AD=（）米，CD=（）米， ∵，∴，解得． 即树的高度是10+5=15（米）． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，把实际问题转化为数学模型，构造直角三角形，然后利用勾股定理解决． 例3．（2023春·广东八年级课时练习）如图铁路上A，B两点相距40千米，C，D为两村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A和B，DA＝24千米，CB＝16千米．现在要在铁路旁修建一个煤栈E，使得C，D两村到煤栈的距离相等，那么煤栈E应距A点（　　） A．20千米 B．16千米 C．12千米 D．无法确定 【答案】B 【分析】设AE＝xkm，则BE＝（40﹣x）km，利用勾股定理得到，则，解方程即可． 【详解】解：设AE＝xkm，则BE＝（40﹣x）km， ∵DA⊥AB，CB⊥AB，C，D两村到煤栈的距离相等， ∴，∴ ， ∴，解得：x＝16，则煤栈E应距A点16km．故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意得到是解题的关键． 模型4.台风（噪音）、爆破模型 相关模型背景：有爆破、台风（噪音）等。 解题关键：通常会用到垂线段最短的原理。 台风、爆破模型解题步骤： 1）根据勾股定理计算爆破点或台风中心到目的地的最短距离； 2）将计算出的最短距离跟爆破或台风的影响范围的半径作比较； 3）若最短距离大于影响半径则不受影响，若最短距离小于半径则受影响。 例1．（2024·重庆·八年级专题练习）如图，在甲村到乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有处需要爆破．已知点与公路上的停靠站的距离分别为和，且，为了安全起见，如果爆破点周围半径的区域内不能有车辆和行人，问在进行爆破时，公路段是否需要暂时封闭，为什么？    【答案】爆破公路段有危险，需要暂时封锁． 【分析】过点C作CD⊥AB于点D，根据勾股定理求出AB的长，再由面积公式求得CD的长，并比较，即可得出公路AB上是否有危险． 【详解】解：如图，过点作于点． 在中，由勾股定理，得：，所以 由，得，解得， 因为，所以爆破公路段有危险，需要暂时封锁．    【点睛】本题考查了勾股定理的应用和三角形的面积，解题的关键是利用直角三角形的面积列出方程求出CD的长． 例2．（2023春·湖南岳阳·八年级校考期中）如图，四边形为某街心公园的平面图，经测量米，米，且．（1）求的度数；（2）若为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点处安装一个监控装置来监控道路的车辆通行情况，已知摄像头能监控的最大范围为周围的100米（包含100米），求被监控到的道路长度为多少？    【答案】（1）135°；（2）被监控到的道路长度为米. 【分析】（1）易得∠CAB=45°，由勾股定理求出AC的长度，然后由勾股定理的逆定理，得到△ACD是直角三角形，则∠CAD=90°，即可得到答案；（2）过点D作DE⊥AB，然后作点A关于DE的对称点F，连接DF，由轴对称的性质，得到DF=DA=100，则只要求出AF的长度，即可得到答案. 【详解】解：（1）∵，， ∴△ABC是等腰直角三角形，∴，∠CAB=45°， ∵，在△ACD中，有， ∴△ACD是直角三角形，∴∠CAD=90°，∴； （2）过点D作DE⊥AB，然后作点A关于DE的对称点F，连接DF，如图：    由轴对称的性质，得DF=DA=100，AE=EF，由（1）知，∠BAD=135°，∴∠DAE=45°， ∴△ADE是等腰直角三角形，即AE=DE，在Rt△ADE中，有， 解得：，∴；∴被监控到的道路长度为米. 【点睛】本题考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，以及勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确利用轴对称的性质和勾股定理求出所需边的长度，从而进行计算. 例3．（2023春·广东东莞·八年级校考阶段练习）如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以72千米/时的速度行驶时，处受噪音影响的时间为多少？（补充知识：在直角三角形中，所对的直角边是斜边长的一半） 【答案】处受噪音影响的时间为16秒． 【分析】首先过点A作AC⊥MN，求出最短距离AC的长度，然后在MN上取点B、D，使AB=AD=200，根据勾股定理得出BC和CD的长度，即可求出BD，然后计算出时间即可． 【详解】解：如图：过点A作AC⊥MN， ∵∠QON=30°，OA=240米，∴AC=120米<200米， 在MN上取点B、D，使AB=AD=200，当火车在BD上时A处产生噪音影响， ∵AC=120米，∴由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BD=320米， ∵72千米/小时=20米/秒，∴影响时间应是：320÷20=16秒． 答：处受噪音影响的时间为16秒． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，解本题要点在于找出受影响的路段，从而利用勾股定理求出其长度． 例4．（2023春·重庆·八年级专题练习）如图第4号台风“黑格比”的中心于2023年8月5日下午位于浙江省绍兴市境内的B处，最大风力有9级（23m/s），中心最低气压为990百帕，台风中心沿东北（BC）方向以25km/h的速度向D移动在距离B地250km的正北方有一A地，已知A地到BC的距离AD＝70km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心70km的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几个小时内撤离才可脱离危险？ 【答案】台风中心经过小时从B点移到D点，在接到台风警报后的小时内撤离才可脱离危险． 【分析】由勾股定理解得BD的长，继而解得台风从B点移到D点的时间，即可解得BE的长，及从点B到点E的时间，据此解题． 【详解】解：在ΔABD中，根据勾股定理，BD===240(km）， 则台风中心经过240÷25=小时从B点移到D点， 如图，距台风中心70km的圆形区域内都会受到不同程度的影响， ∴所以人们要在台风中心到达E点之前撤离， ∵BE=BD-DE=240-70=170km，170÷25=（小时）， ∴正在D点休闲的游人在接到台风警报后的小时内撤离才可脱离危险． 【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 模型5.超速模型 相关模型背景：有汽车超速、信号干扰、测河宽等。 解题关键：要将速度统一单位后再进行比较。 超速模型解题步骤： 1）根据勾股定理计算行驶的距离； 2）根据行驶距离和时间求出实际行驶速度； 3）比较实际行驶速度和规定速度。 例1．（2023秋·广东·八年级专题练习）某条道路限速，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处，过了，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为．    (1)求的长； (2)这辆小汽车超速了吗？ 【答案】(1)(2)没有超速． 【分析】（1）中，有斜边的长，有直角边的长，那么根据勾股定理即可求出的长； （2）根据小汽车用行驶的路程为，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了． 【详解】（1）解：在中，，； 据勾股定理可得：= （2）解：小汽车的速度为； ∵；∴这辆小汽车行驶没有超速．答：这辆小汽车没有超速． 【点睛】此题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，解题的关键是把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．要注意题目中单位的统一． 例2．（2023春·山西大同·八年级校考阶段练习）小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点，小王的赛车从点出发，以米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点出发，以米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于米时，遥控信号会产生相互干扰，米，米，（1）出发秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？（2）当两赛车距点的距离之和为米时，遥控信号是否会产生相互干扰？ 【答案】（1）出发三秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰；（2）当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰． 【分析】（1）根据题意求得米，米，得到 米，米，根据勾股定理即可得到结论；（2）设出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】解：(1)出发秒钟时，米，米 米，米米，米（米） 出发三秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰 (2)设出发秒钟时，两赛车距 A 点的距离之和为 35 米， 由题意得，，解得 此时AC1=20，AB1=15，此时 即两赛车间的距离是25米，所以遥控信号将会受到干扰 答：当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 例3．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，某渡船从点B处沿着与河岸垂直的路线横渡，由于受水流的影响，实际沿着航行，上岸地点C与欲到达地点A相距70米，结果发现比河宽多10米． (1)求该河的宽度；（两岸可近似看作平行） (2)设实际航行时，速度为每秒5米，从C回到A时，速度为每秒4米，求航行总时间． 【答案】(1)米(2)航行总时间为67.5秒 【分析】（1）根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理就可求出直角边的距离． （2）根据时间路程速度，求出行驶的时间即可． 【详解】（1）解：设米，则米， 在中，根据勾股定理得：，解得：， 答：河宽240米． （2）解：（秒），（秒），（秒）， 答：航行总时间为67.5秒． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，列出方程是解题的关键． 模型6.风吹莲动模型 相关模型背景：莲花、芦苇、吸管、筷子、秋千等。 解题关键：“莲花”高度为不变量。 风吹莲动模型解题步骤： 1）根据问题设出“水深”或者“莲花”的高度； 2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长； 3）根据勾股定理列方程求解。 例1．（2024江苏泰州市·八年级期末）如图，一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面的部分为1尺．如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，芦苇的顶部恰好碰到岸边的，则这根芦苇的长度是______尺． 【答案】13 【分析】设出AB=AB'=x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长． 【详解】解：设芦苇长AB=AB′=x尺，则水深AC=(x-1)尺， 因为底面是边长为10尺的正方形，所以B'C=5尺 在Rt△AB'C中，52+(x-1)2=x2，解之得x=13，即芦苇长13尺．故答案为：13． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，熟悉数形结合的解题思想是解题关键． 例2．（2024·河南八年级期末）我国古代数学名著《算法统宗）有一道“荡秋干”的问题，“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离PA的长为1尺，将它向前水平推送10尺时，即尺，秋千踏板离地的距离就和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，则秋千的绳索长为________尺． 【答案】14.5 【分析】设秋千的绳索长为x尺，由题意知：OC=x-（5-1）=（x-4）尺，CP′=10尺，OP′=x尺，根据勾股定理列方程即可得出结论． 【详解】解：设秋千的绳索长为x尺，由题意知：OC=x-（5-1）=（x-4）尺，CP′=10尺，OP′=x尺， 在Rt△OCP′中，由勾股定理得：（x-4）²+10²=x²，解得：x=14.5，故答案为：14.5． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，由勾股定理建立方程是解题的关键． 例3．（2023·重庆·八年级校考期中）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是，高是，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别考虑直吸管在罐体内两种极端情况即可：直吸管下端恰好位于罐底的圆周上；直吸管下端恰好位于罐底的中心；分别计算出直吸管插在罐内部分长度，即可求得直吸管露在罐外部分的长度范围． 【详解】解：如图，当直吸管下端恰好位于罐底的圆周上时， ∵，，∴由勾股定理得：，∴； 当直吸管下端恰好位于罐底的中心时，则罐体内直吸管长为罐体的高，即为，∴， 综上所述，直吸管露在罐外部分的长度范围为．故选：A 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，根据情况应用勾股定理，进行分类讨论是解本题的关键． 模型7.折竹抵地模型 相关模型背景：竹子、旗杆（风筝）拉绳等。 解题关键：“竹子”高度为不变量。 折竹抵地模型解题步骤： 1）根据问题设出“竹子”折断之前或者折断之后距离地面的高度； 2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长； 3）根据勾股定理列方程求解。 例1．（2023春·山西大同·八年级校考期中）《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部4尺远．问：竹子折断处离地面还有几尺？（1丈=10尺）设竹子折断处离地面还有x尺，则可列方程为 ．    【答案】 【分析】根据勾股定理即可列出方程． 【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边尺， 根据勾股定理：，故答案为． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． 例2．（2023秋·山西晋城·八年级统考期末）折竹抵地（源自《九章算术》）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺、问折者高几何?大意是：在点C处生长的一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子在点A处折断，其竹梢点B恰好抵地，尺，求竹子折断后，留在原处的竹子的长为多少尺?（1丈尺）．    【答案】尺 【分析】由题意可得：丈=10尺，；即在中，，，然后运用勾股定理列方程求得即可． 【详解】解：由题意可得：丈=10尺，，∴． 在中，，，由勾股定理，得， ∴，解得． ∴留在原处的竹子的长为尺． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，理解题意、发现直角三角形是解答本题的关键． 例3．（2023春·山东德州·八年级统考期末）如图1，同学们想测量旗杆的高度．他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下： 小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余米，如图；②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部米，如图． 小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到点处，如图3．    (1)请你按小明的方案求出旗杆的高度；(2)已知小亮举起绳结离旗杆米远，此时绳结离地面多高？ 【答案】(1)旗杆的高度为米 (2)绳结离地面米高 【分析】（1）由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答； （2）由题可知，米，米．在中根据勾股定理列出方程，求出，进而求解即可． 【详解】（1）如图，设旗杆的长度为米，则绳子的长度为米， 在中，由勾股定理得：， 解得：，故旗杆的高度为米： （2）由题可知，米，米． 在中，由勾股定理得：，解得：， ∴（米），∴米．故绳结离地面米高．    【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出直角三角形是解答此题的关键． 模型.8不规则图形面积模型 相关模型背景：有草坪面积、土地面积、网格等。 解题关键：一般所求图形面积为不规则的四边形，要注意转换为两个直角三角形的面积进行求解。 面积模型解题步骤： 1）连接两点作辅助线，将四边形分为两个直角三角形； 2）根据已知条件运用勾股定理求出所连线段长度； 3）运用勾股定理逆定理判定另一个三角形为直角三角形； 4）分别求出两个直角三角形的面积相加或相减即为所求四边形面积。 例1．（2024·山东聊城·八年级期末）聊城市在创建“全国文明城市”期间，某小区在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，经技术人员的测量，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，∠ABC＝90°．若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？ 【答案】绿化这片空地共需花费17100元 【分析】连接AC，直接利用勾股定理得出AC，进而利用勾股定理逆定理得出∠DAC＝90°，再利用直角三角形面积求法得出答案． 【详解】解：连接AC，如图 ∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m，∴AC＝＝15（m）， ∵CD＝17m，AD＝8m，∴AD2＋AC2＝DC2，∴∠DAC＝90°， ∴S△DAC＝×AD•AC＝×8×15＝60（m2），S△ACB＝AB•AC＝×9×12＝54（m2）， ∴S四边形ABCD＝60＋54＝114（m2），∴150×114＝17100（元）， 答：绿化这片空地共需花费17100元． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理以及勾股定理逆定理是解题关键． 例2．（2024·天津河西·八年级期末）如图，将平面直角坐标系放在所示的网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，． (1)写出另两个顶点的坐标；(2)求此三角形的周长；(3)的面积为______． 【答案】(1)；(2)(3) 【分析】（1）根据图形直接写出答案； （2）由勾股定理求得三角形的三边长度，进而得到其周长； （3）利用分割法求面积． (1)由图可得：；； (2)，， ∴的周长为； (3)由题意知，．故答案是：9.5． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和坐标与图形性质，求非直角三角形的面积时，利用“分割法”求其面积． 例3．（2024·江西宜春·八年级期中）在学习了勾股定理后，数学兴使小组在江老师的引导下，利用正方形网格和勾股定理运用构图法进行了一系列探究活动： (1)在中，、、三边的长分别为、、，求的面积．如图1，在正方形网格（每个小正方形的边长为1）中，画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），不需要求的高，借用网格就能计算出它的面积，这种方法叫做构图法．则的面积为___________． (2)在平面直角坐标系中，①若点A为，点B为，则线段的长为___________；②若点A为，点B为，则线段的长可表示为__________∶ (3)在图2中运用构图法画出图形，比较大小：_______（填“>”或“<”）； (4)若三边的长分别为、、（，．且），请在如图3的长方形网格中（设每个小长方形的长为m，宽为n），运用构图法画出，并求出它的面积（结果用m，n表示）． 【答案】(1)(2)① 5；②(3)<(4) 【分析】（1）利用构图法求出的面积，即可求解；（2）①利用勾股定理，即可求解；②类比①的方法，即可求解；（3）构造出三边长分别为的三角形，即可求解；（4）先画出三边长分别为、、的，再利用构图法求解，即可求解． (1)解：的面积为；故答案为： (2)解：① ；故答案为：5； ②线段的长可表示为；故答案为： (3)解：如图， 根据题意得：，，，∴， ∵，∴；故答案为：< (4)解：解：如图，，，， 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合思想解决问题，学会用转化的思想解决问题，属于中考常见题， 1．（2023春·安徽淮南·八年级统考期中）如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙面上，此时．若梯子的顶端A沿墙下滑至位置C，那么梯子底端B右移了（   ）    A．大于 B． C．小于 D．不确定 【答案】A 【分析】先根据勾股定理求出的长，再根据梯子的长度不变求出的长，根据即可得出结论． 【详解】∵中， ，同理，中， ∵, ∴故选：A 2．（2023春·河南开封·八年级统考期末）如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为 （滑轮上方的部分忽略不计）（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意画出示意图，设棋杆的高度为x，可得，，，在中利用勾股定理可求出x． 【详解】解：设旗杆高度为x米，则，， 在中，由勾股定理得即 解得：∴旗杆的高度为17米．故选：D．    【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线． 3．（2023春·云南昆明·八年级校考期中）如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面的B处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部的A处，则旗杆折断部分的高度是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用勾股定理求解． 【详解】解：由题意得：， 则 故选C． 【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，解题的关键是根据实际情况抽象出数学模型． 4．（2023·河南信阳·八年级校联考阶段练习）某数学兴趣小组开展了关于笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为7cm，此时底部边缘A处与C处间的距离为24cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（点D是点B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离为15cm，则底部边缘A处与E之间的距离为（    ）      A．20cm B．18cm C．12cm D．10cm 【答案】A 【分析】勾股定理解得出，勾股定理解即可求解． 【详解】解：依题意，，在中，， ∵，，在中，，故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 5．（2022秋·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，露在水面的鱼线长为3m，钓鱼者把鱼竿提起到的位置，此时露在水面上的鱼线长为4m，若的长为1m，则钓鱼竿的长为 m． 【答案】5 【分析】根据题意设，利用钓鱼竿长度不变得出方程求解，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设，∵，∴，即，解得：， ∴，∴，故答案为：5． 【点睛】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意列出方程是解题关键． 6．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A处偏离欲到达地点B处40m，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多10m．该河的宽度BC为 米． 【答案】75 【分析】设BC=xm，由题意得AB=40m，AC=（x+10）m，然后运用勾股定理求出x即可． 【详解】解：设BC=x，由题意得AB=40m，AC=x+10 由勾股定理可得：AB2+BC2=AC2, 402+x2=（x+10）2，解得x=75．故答案为75． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出关于x的方程是解答本题的关键． 7．（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，小明站在离水面高度为8米的岸上点处用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，小明以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了 米（的长）（假设绳子是直的）． 【答案】9 【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD=AB-AD可得BD长． 【详解】在Rt△ABC中：∵∠CAB=90°，BC=17米，AC=8米，∴（米）， ∵此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置， ∴（米），∴（米）， ∴（米），答：船向岸边移动了9米．故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 8．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知，点D到地面的垂直距离．则点B到地面的垂直距离是 ．      【答案】 【分析】在中，运用勾股定理可求出梯子的总长度，在中，根据已知条件再次运用勾股定理可求出的长． 【详解】解：在中，， ∴，∴，∴， 在中，，∴，∴， ∴，故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确求出梯子的长度是解题的关键． 9．（2023春·重庆忠县·八年级统考期末）如图是某幼儿园楼梯的截面图，拟在楼梯上铺设防撞地段，若防撞地毯每平方米售价为元，楼梯宽为2米，则幼儿园购买防撞地毯至少需要 元．    【答案】 【分析】根据勾股定理得，水平的直角边为，地毯水平部分的和是水平边的长，竖直部分的和是竖直边的长，即可得地毯的长为，根据地毯的宽为2米，即可得地毯的面积为，即可地． 【详解】解：根据勾股定理得，水平的直角边为：， 地毯水平部分的和是水平边的长，竖直部分的和是竖直边的长，即地毯的长为， ∵地毯的宽为2米，∴地毯的面积为：， ∴幼儿园购买防撞地毯至少需要：（元），故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，掌握勾股定理． 10．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图，一根长的筷子置于底面直径为，高为圆柱形水杯中，露在水杯外面的长度，则的取值范围是 ．    【答案】 【分析】根据杯子内筷子的长度的取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：设筷子在杯子中的长度为， 将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中， 在杯子中筷子最短时x等于杯子的高，最长时x等于杯子轴截面中对角线的长度， 当杯子中筷子最短等于杯子的高时，，最长时：， 的取值范围是：，即．故答案为：． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的取值范围是解决问题的关键． 11．（2023春·吉林白山·八年级校联考期末）有一块边长为40米的正方形绿地，如图所示，在绿地旁边E处有健身器材，米．由于居住在A处的居民去健身践踏了绿地，小明想在A处树立一个标牌“少走■米，踏之何忍”．请你计算后帮小明在标牌的■处填上适当的数．    【答案】8 【分析】先根据勾股定理求出斜边的长，比较即可得到结果． 【详解】解：，米，答：标牌的■处应填8． 【点睛】此题主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力，同时也增强了学生们要爱护草地的意识． 12．（2023春·河北邢台·八年级校考阶段练习）数学小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1所示），聪明的小迪发现：先测出绳子多出的部分（该处绳子是直的）的长度，再将绳子拉直（如图2所示），测出绳子末端D到旗杆底部B的距离的长度，利用所学知识就能求出旗杆的长．已知米，米．    (1)求旗杆的长；(2)小迪在D处，用手拉住绳子的末端，伸直手臂（拉绳处E与脚底F的连线与地面垂直），后退至将绳子刚好拉直为止（如图3所示），测得小迪手臂伸直后的高度为2米，过点E作于点G，，，求小迪后退了几米？ 【答案】(1)旗杆的长为9米(2)小迪需要后退米 【分析】（1）在中，由勾股定理计算即可； （2）在中，求出，根据便可求出后退的距离． 【详解】（1）解：由题意可得，， 在中，，即， 解得，即旗杆AB的长为9米； （2）解：由题意可得，，， 在中，，即，解得， ∴，即小迪需要后退米． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，属于基础题，要熟练掌握． 13．（2023春·河南驻马店·八年级统考阶段练习）如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面30cm．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为60cm，求水深是多少cm？ 【答案】45cm 【分析】设水深为hcm得到，，，，利用勾股定理得到关于x的方程，然后求解方程即可. 【详解】解：设水深为hcm，如下图所示， 由题意得：在中，，，， 由勾股定理得：， 即，解得：．答：水深是45cm． 14．（2023·江苏苏州·八年级校考期中）小渝和小川是一对好朋友，如图，小渝家住A，小川家住B．两家相距10公里，小渝家A在一条笔直的公路AC边上，小川家到这条公路的距离BC为6公里，两人相约在公路D处见面，且两家到见面地点D的距离相等，求小渝家A到见面地点D的距离． 【答案】公里． 【分析】先利用勾股定理求出的长，设公里，从而可得的长，再在中，利用勾股定理即可得． 【详解】解：由题意得：公里，公里，，， （公里）， 设公里，则公里， 在中，，即，解得（公里）， 答：小渝家到见面地点的距离为公里． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键． 15．（2023秋·广东·八年级专题练习）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（门槛）一尺，不合四寸，问门广几何？其大意：如图，推开双门（大小相同），双门间隙寸，点C、点D与门槛的距离尺（1尺=10寸），O是的中点，连接． (1)求的长，(2)求门槛的长． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据题意得到，然后根据勾股定理求解即可； （2）由题意可得，设，则，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵O是的中点∴ ∵∴； （2）设，则． ∵， 尺寸 ∴解得：∴． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，弄清题意，构建直角三角形是解题关键． 16．（2023·江西景德镇·八年级期中）（1）已知三边长分别为，，，小迪在解决这一 问题时有以下思路：先画如图①的正方形网格（小正方形边长均为1），再画出格点三角形ABC，利用外接长方形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可求出的面积．请你帮助小迪计算出的面积； （2）若三边长分别为，，，在图②的正方形网格（小正方形边长均为a）中，画出格点三角形DEF，并求出的面积；（3）若三边长分别为，，，在图③的长方形网格（小长方形长均为m，宽均为n）中，画出格点三角形OPQ，并求出的面积． 【答案】（1）5；（2）作图见解析，；（3）作图见解析， 【分析】（1）用长为4宽为3的长方形面积减去周围三个三角形的面积求解即可； （2）先根据勾股定理的确定周围三个三角形的边长，再作图即可，再利用外接长方形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可求出面积；（3）先根据勾股定理的确定周围三个三角形的边长，再作图即可，再利用外接长方形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可求出面积． 【详解】（1）的面积，所以，的面积为5； （2）是直角边长分别为的直角三角形的斜边长，是直角边长分别为的直角三角形的斜边长，是直角边长分别为的直角三角形的斜边长，作图如下： 的面积； （3）是直角边长分别为的直角三角形的斜边长，是直角边长分别为的直角三角形的斜边长，是直角边长分别为的直角三角形的斜边长，格点三角形OPQ如图所示： 的面积． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用及三角形的面积问题，熟练掌握知识点是解题的关键． 17．（2023春·辽宁葫芦岛·八年级统考期中）如图，为预防新冠疫情，某小区人口的正上方A处装有红外线激光测温仪，测温仪离地面的距离米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为1.8米的市民正对门缓慢走到离门0.8米的地方时（即米），测温仪自动显示体温，求此时人头顶离测温仪的距离． 【答案】1米 【分析】过点D作于点E，构造，利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵米，米，米，∴（米）． 在中，由勾股定理得到：（米）， 故此时人头顶离测温仪的距离为1米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段的长度． 18．（2023春·山东德州·八年级校考阶段练习）如图，甲乙两船同时从A港出发，甲船沿北偏东35°的方向，航速是12海里/时，2小时后，两船同时到达了目的地．若C、B两岛的距离为30海里，问乙船的航速是多少？ 【答案】乙船的航速是9海里/时 【分析】先用勾股定理求出的长，进而即可求解． 【详解】根据题意得：，， ∴．∴∴． ∴乙船的航速是：（海里/时）． 【点睛】本题主要考查勾股定理的实际应用，掌握勾股定理，列出算式是关键． 19．（2023春·山东聊城·八年级统考期末）燕塔广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级的王明和孙亮两位同学在学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得的长度为8米；（注：）；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的王明身高米；(1)求风筝的垂直高度．(2)若王明同学想让风筝沿方向下降9米，则他应该往回收线多少米？    【答案】(1)米；(2)7米． 【分析】（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得，， 所以，（负值舍去），所以，（米）， 答：风筝的高度为米； （2）解：连接，由题意得，米，    ，（米）， （米），他应该往回收线7米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，解题的关键是能从实际问题中抽象出直角三角形． 20．（2023秋·江苏·八年级专题练习）一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A后，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B． (1)求旗杆的高度OM；(2)玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN． 【答案】(1)米(2)2米 【分析】（1）作，，可证，可得，，则，且可求，，即可求的长． （2）根据勾股定理可求，即可求的长． 【详解】（1）如图： 作，， 在和中，，， ，即 ，，则， 所以，，所以 （2）由勾股定理得，． 答：玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度为2米． 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键． 21．（2023·辽宁八年级期末）今年的气候变化很大，极端天气频繁出现．某沿海城市气象台监测到台风中心位于正东方向的海上．如图所示，城市所在地为A，台风中心O正以每小时的速度向北偏西60°的方向移动，经监测得知台风中心的范围内将会受台风影响，．该城市是否受到这次台风的影响？若不受影响，请说明理由；若受到这次台风影响，请求出遭受这次台风影响的时间． 【答案】受影响，6小时 【分析】过点A作，在Rt△ACO中，根据直角三角形的性质求得AC＝160，与200比较作答即可；以A为圆心，以200米长为半径画弧交BO于D、G两点，则A城受台风影响的距离为DG的长；在Rt△ACD中，根据勾股定理求出CD，同理求得CG，结合台风的风速即可解出A城受台风影响的时间． 【详解】解：如图，过点A作于点C， 由题得，，∴， ∵，∴会受到台风影响． 以A为圆心，以200米长为半径画弧交OB与D、G两点， ∴AD＝AG＝200千米，在Rt△ADC中，DA＝200千米，AC＝160千米， 由勾股定理得，（千米），同理可得CG=120，则DG＝240千米， ∴A城遭受台风影响的时间是：t＝240÷40＝6（小时）． 【点睛】本题考查勾股定理，速度与时间的关系，解题的关键是作出合适的辅助线． 22．（2024·江苏八年级期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点 C为一海港，且点 C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，又AB=500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．（1）海港C受台风影响吗？为什么？（2）若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有　 小时． 【答案】（1）海港C受台风影响，理由见解析；（2）7． 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，利用等面积法得出CD的长，从而可得海港C是否受台风影响；（2）根据勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】解：（1）海港C受台风影响． 理由：如图，过点C作CD⊥AB于D， ∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，∴AC2＋BC2＝AB2． ∴△ABC是直角三角形．∴AC•BC＝CD•AB∴CD＝240（km） ∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，∴海港C受到台风影响． （2）当EC＝250km，FC＝250km时，正好影响C港口， ∵ED＝＝70（km）∴EF＝140km ∵台风的速度为20km/h，∴140÷20＝7（小时） 即台风影响该海港持续的时间为7小时．故答案为：7． 【点睛】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，解答此类题目的关键掌握勾股定理及其逆定理并构造直角三角形，利用勾股定理解决问题． 40 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $$