专题02 勾股定理中的翻折模型-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（沪科版）

专题02.勾股定理中的翻折模型 翻折问题属于图形变换中的实际问题，也是近些年中考试卷出题老师青睐的题型。在解决翻折问题的有关的题目中，要注意隐含的已知条件比较多。比如翻折前后的图形全等，这样就好出现相等的线段和相等的角；因为大部分翻折问题是对矩形进行翻折，所以翻折后由于线段交错，出现的直角三角形也引起注意；因为翻折问题本身是轴对称的问题，所以翻折前后对应点所连线段会被折痕所在直线垂直平分；折痕还会平分翻折所形成的的两个角。总之，翻折问题并不复杂，只要要把隐含已知条件熟记于心，再结合其他有关知识就能让此类问题迎刃而解了。 勾股定理在有关图形折叠中长度计算的问题中的通法：在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一未知数为x，将此三角形中的三边长用具体数或含x的代数式表示，再利用勾股定理列出方程，从而得出要求的线段的长度。 2 模型1.矩形翻折之折痕过对角线模型 2 模型2.矩形翻折之折痕过一个顶点模型 4 模型3.矩形翻折之折痕过边上任意两点模型 8 模型4.三角形翻折之过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 12 模型5.三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 14 模型6.三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 16 模型7.三角形中的其他翻折模型 18 22 模型1.矩形翻折之折痕过对角线模型 矩形翻折之折痕过对角线模型: 如图，沿着矩形的对角线所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’. 结论：①≌；②折痕AC垂直平方BB’；③AEC是等腰三角形。 证明：根据翻折易证：≌；折痕AC垂直平方BB’；∠BAC=∠B’AC。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAC=∠ACD。 ∴∠B’AC=∠ACD，∴EA=EC，∴AEC是等腰三角形。 例1．（2023·成都市八年级课时练习）如图，在矩形ABCD中，，将△ABD沿对角线BD对折，得到△EBD，DE与BC交于F，，则（    ） A． B．3 C． D．6 例2．（2023·河南平顶山·八年级校考期中）如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于点E．若AB＝4，BC＝8，则图中阴影部分的面积为（　　） A．8 B．10 C．12.5 D．7.5 例3．（2023·四川南充·校考三模）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，的坐标为，将沿直线翻折，使点落在点处，交轴于点，则点的纵坐标为 ． 模型2.矩形翻折之折痕过一个顶点模型 沿着矩形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’。 结论：①如图1，折在矩形内，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ②如图2，折在矩形边上，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ③如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③AEF是等腰。 证明：由翻折易得：①②成立。 由翻折得：∠BAE=∠B’AE。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAE=∠DAE。 ∴∠B’AE=∠DAE，∴FA=FE，∴AEF是等腰三角形。 例1．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，长方形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且．(1)求的长；(2)求的长． 例2．（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，长方形纸片的边上有一点E，将长方形纸片沿折叠，点D恰好落在边的F处，若，，则 ． 例3．（2024·山东·校考一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内的点F处，连接CF，则CF的长为（） A． B． C． D． 例4．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）如图，已知长方形中，，P是边上的点，将沿折叠，使点A落在点E上，与分别交于点O、F，且，则 ． 例5．（2023·广东·八年级专题练习）如图，矩形中，点、在上，将，分别沿着，翻折，点的对应点和点的对应点恰好重合在点处，则的值是（    ） A． B． C． D． 例6．（2023春·江苏·八年级期中）在四边形中，，，，P为射线上一点，将沿直线翻折至的位置，使点B落在点E处． (1)若P为上一点．①如图1，当点E落在边上时，求的长； ②如图2，连接，若，则与有何数量关系？请说明理由； (2)如果点P在的延长线上，当为直角三角形时，求的长． 模型3.矩形翻折之折痕过边上任意两点模型 沿着矩形边上的任意两点所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’. 结论：如图1，折在矩形内，①≌；②折痕EF垂直平方BB’。 如图2，折在矩形边上，①四边形≌四边形；②折痕EF垂直平方BB’。 如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③GC’F是。 证明：由翻折易得：①②成立。 ∵四边形ABCD为矩形，∴∠C=90°。由翻折得：∠C’=∠C=90°。∴GC’F是直角三角形。 例1．（2024·浙江·八年级专题练习）如图，矩形中，，．点是的中点，点是边上的任意一点（不与、重合），沿翻折，点落在处，当的长度最小时，的长度为______． 例2．（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）如图，长方形纸片中，，，将此长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点的位置，折痕为，则的面积为（   ） A．6 B．18 C．24 D．48 例3．（2023春·广西南宁·八年级统考期中）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB=6，BC=9，则BF的长为 _______ 例4．（24-25八年级上·山东·课后作业）如图，把长方形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点处．(1)求证：；(2)设，，，试猜想，，之间的关系，并说明理由． 例5．（2023春·广东八年级课时练习）如图，长方形纸条，，点E在边上，且，点F为边上一点，连接，将四边形沿翻折，得到四边形．若纸条的长度足够长，则到边的最大距离为______． 模型4.三角形翻折之过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD； 2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD； 3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。 例1．（23-24八年级上·山东青岛·期末）如图，中，，将三角形沿AD折叠，使点C落在上的点E处，则的长为 ． 例2．（2023·山东淄博·统考一模）如图所示，有一块直角三角形纸片，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长是 ___________． 例3．（2023秋·上海静安·八年级校考期末）如图，在中，，，为边上一点，将沿着直线翻折，点恰好落在边上的点处，连接．如果，那么的长为 ． 模型5.三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合； 2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O. 3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD. 例1．（23-24八年级下·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）在中，分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是点，如果点和顶点重合，则的长为（    ） A．2 B．6 C． D． 例2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，点是的边的中点，将沿直线翻折能与重合，若，，，则点到直线的距离为 ．    例3．（23-24八年级下·上海·期中）如果，AD是△ABC的中线．∠ADC＝45°，BC＝4cm，把△ACD沿AD翻折，使点C落在E的位置．则BE为 ． 模型6.三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 1）沿直线MN翻折，使得点C落在直角边的点D处，连结CD. 2）沿直线DE翻折使得点C与斜边AB上的点F重合； 例1．（23-24八年级上·吉林长春·期末）如图,在中,,分别是边上的点,将沿折叠,使点的对称点恰好落在的中点处．若,,则的长为 cm． 例2．（23-24八年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，点分别为边与上两点，连接，将沿着翻折，使得点落在边上的处，，则的值为 ． 例3．（23-24八年成都·课后作业）如图，在△ABC中，，D，E分别在上，且．将沿折叠，使C点落在斜边上的F点处，则的长是（　　） A．3.6 B．4 C．4.8 D．6.4 模型7.三角形中的其他翻折模型 例1．（23-24八年级下·黑龙江大庆·期中）如图，三角形纸片，点是边上一点，连接，把沿着翻折，得到，与交于点，连接交于点若，，，的面积为，则点到的距离为 ． 例2．（2023·重庆·八年级统考期末）如图，在中，，，，点D在边上，将沿直线翻折后，点A落在点E处．如果，那么线段的长为 ． 例3．（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，已知为等腰直角三角形，，点为边上一点，点为的中点，连结，将沿折叠得到，若的延长线恰好经过点，则 ． 例4．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，D、E分别为，上一点，将，分别沿、折叠，点A、B恰好重合于点处．若，，则 ． 1．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，三角形纸片中，点是边上一点，把沿着直线翻折，得到，连接交于点，若，，的面积为，则的长为(　　)      A． B． C． D． 2．（2024·江苏无锡·八年级期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则AE的长为（     ） A． B．3 C． D． 3．（2022·山东济宁·中考真题）如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（   ） A． B． C． D． 4．（2023秋·广东·八年级专题练习）如图，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点落在直角边的延长线上的点处，折痕为，则的长为 ．    5．（2023·吉林·三模）如图，在中，，点、为边上的点，连接、，将沿翻折，使点的对称点落在边上的点处；再将沿翻折，使点的对称点落在的延长线上的点处．若，，则的长为 ． 6．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，，，已知D是上一动点，将点A沿翻折，若A落到内（不包括边），则的取值范围为 ． 7．（2024·陕西西安·八年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝2，AB＝2，D、E分别是AB和BC上的点，若把△BDE沿DE翻折，B的对应点恰好落在AC的中点处，则BD的长是___． 8．（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，中，，，点D为线段上一个动点，将沿直线翻折得到，线段交直线于点F．若为直角三角形，则的长是 ． 9．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·开学考试）如图，在中，，，点D，E分别在，上，将沿着翻折得到，点A落在内部的点F处，且，延长交于点G，若，，则 . 10．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，D、E分别为，上一点，将，分别沿、折叠，点A、B恰好重合于点处．若，，则 ． 11．（23-24八年级上·河南郑州·期中）如图，在长方形中，，点是边上一点，连接，将沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，的长为 ． 12．（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，已知为等腰直角三角形，，点为边上一点，点为的中点，连结，将沿折叠得到，若的延长线恰好经过点，则 ． 13．（2024·重庆沙坪坝·一模）如图，在△ABC中，点D是线段AB上的一点，过点D作DE∥AC交BC于点E，将△BDE沿DE翻折，得到△B′DE，若点C恰好在线段B′D上，若∠BCD＝90°，DC：CB′＝3：2，AB＝16．则CE的长度为 ． 14．（23-24八年级下·重庆渝北·阶段练习）如图，中，，，点D是上一点，连接，将沿翻折得到，若于点E，则的长为 ． 15．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）如图，将一个边长分别为8，16的长方形纸片折叠，使C点与A点重合，则的长是 ．    16．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）如图，在中，，，已知． （1）的长为 ．（2）点，分别是，上一点，沿着直线将折叠，得到，已知点落在边上，若是直角三角形，则的长为 （注：） 17．（2023春·成都市八年级课时练习）如图，折叠矩形纸片的，使点落在对角线上的点处，得折痕，若，，求折痕的长（结果保留根号）． 18．（23-24八年级上·宁夏银川·期中）如图，在中，，，，按图中所示方法将沿折叠，使点落在边的点．(1)求的长度；(2)求的面积．    19．（2023春·广西·八年级专题练习）（1）如图①，的斜边比直角边长2cm，另一直角边长为6cm，求的长．（2）拓展：如图②，在图①的的边上取一点D，连接，将沿翻折，使点B的对称点E落在边上．①求的长．②求的长． 20．（2024·江苏连云港·八年级统考期中）如图，在中，，翻折使点A、B落在斜边点D处，折痕分别为，连接． (1)求证：；(2)若，求线段的长． 21．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图、为一块直角三角形纸片，． 【问题初探】：直角三角形纸片的对折问题，可以通过全等变换把所求线段转化成直角三角形的边，进而通过勾股定理来解决，体现数学中的转化思想． （1）如图1，现将纸片沿直线折叠，使直角边落在斜边上，的对应点为，若，求的长． 【学以致用】（2）如图2，若将直角沿折叠，点与中点重合，点分别在，上，则之间有怎样的数量关系？并证明你的结论． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02.勾股定理中的翻折模型 翻折问题属于图形变换中的实际问题，也是近些年中考试卷出题老师青睐的题型。在解决翻折问题的有关的题目中，要注意隐含的已知条件比较多。比如翻折前后的图形全等，这样就好出现相等的线段和相等的角；因为大部分翻折问题是对矩形进行翻折，所以翻折后由于线段交错，出现的直角三角形也引起注意；因为翻折问题本身是轴对称的问题，所以翻折前后对应点所连线段会被折痕所在直线垂直平分；折痕还会平分翻折所形成的的两个角。总之，翻折问题并不复杂，只要要把隐含已知条件熟记于心，再结合其他有关知识就能让此类问题迎刃而解了。 勾股定理在有关图形折叠中长度计算的问题中的通法：在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一未知数为x，将此三角形中的三边长用具体数或含x的代数式表示，再利用勾股定理列出方程，从而得出要求的线段的长度。 2 模型1.矩形翻折之折痕过对角线模型 2 模型2.矩形翻折之折痕过一个顶点模型 4 模型3.矩形翻折之折痕过边上任意两点模型 8 模型4.三角形翻折之过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 12 模型5.三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 14 模型6.三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 16 模型7.三角形中的其他翻折模型 18 22 模型1.矩形翻折之折痕过对角线模型 矩形翻折之折痕过对角线模型: 如图，沿着矩形的对角线所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’. 结论：①≌；②折痕AC垂直平方BB’；③AEC是等腰三角形。 证明：根据翻折易证：≌；折痕AC垂直平方BB’；∠BAC=∠B’AC。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAC=∠ACD。 ∴∠B’AC=∠ACD，∴EA=EC，∴AEC是等腰三角形。 例1．（2023·成都市八年级课时练习）如图，在矩形ABCD中，，将△ABD沿对角线BD对折，得到△EBD，DE与BC交于F，，则（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】A 【分析】根据折叠的性质，可知BF=DF=-EF，在Rt中，由勾股定理得：，由此即可求得EF值． 【详解】解：∵，，∴AD=，， 由折叠可知，AB=BE=6，AD=ED=，，， ∵，∴∠BDF=∠DBF∴BF=DF=-EF， ∴在Rt中，由勾股定理得：， ∴，解得：EF=，故选：A． 【点睛】本题主要考查的是勾股定理的应用，灵活利用折叠进行发掘条件是解题的关键． 例2．（2023·河南平顶山·八年级校考期中）如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于点E．若AB＝4，BC＝8，则图中阴影部分的面积为（　　） A．8 B．10 C．12.5 D．7.5 【答案】B 【详解】解：由折叠的性质，∠ACF＝∠ACB． ∵AD∥BC，∴∠CAD＝∠ACB，∴∠CAD＝∠ACF，∴AE＝CE． ∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD=4，BC=AD=8，∠D=90°， 设AE＝CE=x，则ED＝8﹣x，在Rt△CDE中，根据勾股定理得， 即42+（8﹣x）2＝x2，∴x＝5，∴图中阴影部分的面积＝S△ACE AE•AB= ×5×4＝10．故选：B 例3．（2023·四川南充·校考三模）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，的坐标为，将沿直线翻折，使点落在点处，交轴于点，则点的纵坐标为 ． 【答案】 【详解】解：过点作轴，垂足为，则轴， ∵四边形为矩形，∴， 由折叠可知：，∵四边形是矩形，∴， ∴，∴，∴，设，则， ∵，∴，解得，∴， ∵，∴，∵， ∴，∴点纵坐标为：． 模型2.矩形翻折之折痕过一个顶点模型 沿着矩形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’。 结论：①如图1，折在矩形内，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ②如图2，折在矩形边上，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ③如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③AEF是等腰。 证明：由翻折易得：①②成立。 由翻折得：∠BAE=∠B’AE。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAE=∠DAE。 ∴∠B’AE=∠DAE，∴FA=FE，∴AEF是等腰三角形。 例1．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，长方形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且．(1)求的长；(2)求的长． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵长方形纸片中，，折叠纸片使边与对角线重合， ∴，∴，，∴； （2）∵折叠，∴，设，则：， 在中，，∴，∴，∴． 例2．（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，长方形纸片的边上有一点E，将长方形纸片沿折叠，点D恰好落在边的F处，若，，则 ． 【答案】 【详解】解：由翻折可得，∵四边形为长方形，∴，， 在中，由勾股定理得， ∴，设，则， ∴，∴，解得：；故答案为：． 例3．（2024·山东·校考一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内的点F处，连接CF，则CF的长为（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，连接BF．∵△AEF是由△ABE沿AE折叠得到的，∴BF⊥AE，BE=EF． ∵BC=6，点E为BC的中点，∴BE=EC=EF=3根据勾股定理有AE=AB+BE 代入数据求得AE=5 根据三角形的面积公式 得BH=即可得BF= 由FE=BE=EC，可得∠BFC=90° 再由勾股定理有BC-BF=CF代入数据求得CF= 故答案为： 例4．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）如图，已知长方形中，，P是边上的点，将沿折叠，使点A落在点E上，与分别交于点O、F，且，则 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形是长方形，∴， 由折叠的性质得：， 在和中，，∴ ∴，∴，设，则 ∴， 在中，，即解得：．故答案为：． 例5．（2023·广东·八年级专题练习）如图，矩形中，点、在上，将，分别沿着，翻折，点的对应点和点的对应点恰好重合在点处，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：矩形中，由翻折变换的性质得，∴△BCF≌△BEF，△ADG≌△AEG， ∴∠C=∠BEF=∠D=∠AEG=90°，CF=EF，DG=EG； 在四边形BCFE中，∠CBE+∠CFE=180°，∵∠GFE+∠CFE=180°，∴∠CBE=∠GFE， ∵∠CBE+∠EGF=90°，∴∠GFE +∠EGF=90°，∴∠FEG=90°， ∴∠AEG+∠FEG=180°，∠BEF+∠FEG=180°， ∴A、E、F三点共线，B、E、G三点共线，∴翻折变换的性质得CF=EF=EG=DG=x ∴∴∴；故选：D． 例6．（2023春·江苏·八年级期中）在四边形中，，，，P为射线上一点，将沿直线翻折至的位置，使点B落在点E处． (1)若P为上一点．①如图1，当点E落在边上时，求的长； ②如图2，连接，若，则与有何数量关系？请说明理由； (2)如果点P在的延长线上，当为直角三角形时，求的长． 【答案】(1)①2；②，理由见解析(2)10或30 【详解】（1）①如图：以点A为圆心，为半径交于点E， ∵，∴， ∴； ②，理由如下：∵将沿直线翻折至的位置，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴，∴； （2）∵是直角三角形， 当时，∵，且， ∴四边形是正方形，∴； 当时，则，∴， ∵，∴点E、D、C三点共线， 由翻折知，根据勾股定理得，∴， 设，则，在中，由勾股定理得：，解得，∴； 当时，点P在线段上，不符合题意，舍去，综上：或30． 模型3.矩形翻折之折痕过边上任意两点模型 沿着矩形边上的任意两点所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’. 结论：如图1，折在矩形内，①≌；②折痕EF垂直平方BB’。 如图2，折在矩形边上，①四边形≌四边形；②折痕EF垂直平方BB’。 如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③GC’F是。 证明：由翻折易得：①②成立。 ∵四边形ABCD为矩形，∴∠C=90°。由翻折得：∠C’=∠C=90°。∴GC’F是直角三角形。 例1．（2024·浙江·八年级专题练习）如图，矩形中，，．点是的中点，点是边上的任意一点（不与、重合），沿翻折，点落在处，当的长度最小时，的长度为______． 【答案】 【详解】如图，连接，∵，，， ∴，∴当，，共线时，的值最小， 不妨设此时点落在上的点处，设，∵， ∴，解得．故答案为：． 【点睛】本道题考查了两点之间，线段最短、勾股定理(在直角三角形中，两直角边的平方之和等于斜边的平方) ．解题的关键是确定当，，共线时，的值最小． 例2．（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）如图，长方形纸片中，，，将此长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点的位置，折痕为，则的面积为（   ） A．6 B．18 C．24 D．48 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质以及勾股定理的应用，由折叠可知,设利用勾股定理进行分析计算即可. 【详解】解：由折叠可知,设 由勾股定理可得即,解得 的面积为： 故选：． 例3．（2023春·广西南宁·八年级统考期中）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB=6，BC=9，则BF的长为 _______ 【答案】4 【分析】首先求出BC′的长度，设出C′F的长，根据勾股定理列出关于线段C′F的方程，解方程求出C′F的长，即可解决问题． 【详解】∵四边形ABCD为矩形，∴∠B＝90°； ∵点C′为AB的中点，AB＝6，∴BC′＝3；由题意得：C′F＝CF（设为x），则BF＝9−x， 由勾股定理得：x2＝32＋(9−x)2，解得：x＝5，∴BF＝9−5＝4．故答案为4． 【点睛】本题以矩形为载体，以翻折变换为方法，以考查翻折变换的性质、勾股定理的应用等几何知识点为核心构造而成；灵活运用有关定理来解题是关键． 例4．（24-25八年级上·山东·课后作业）如图，把长方形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点处．(1)求证：；(2)设，，，试猜想，，之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析(2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理，灵活利用折叠的性质进行线段间的转化是解题的关键． （1）根据折叠的性质、平行的性质及等角对等边即可说明；（2）根据折叠的性质将AE、AB、BF都转化到直角三角形中，由勾股定理可得，，之间的关系． 【详解】（1）证明：由折叠的性质 ，得，， 在长方形纸片中，， ∴，∴，∴，∴； （2）解：，，之间的关系是．理由如下： 由（1）知，由折叠的性质，得，，． 在中，，所以，所以． 例5．（2023春·广东八年级课时练习）如图，长方形纸条，，点E在边上，且，点F为边上一点，连接，将四边形沿翻折，得到四边形．若纸条的长度足够长，则到边的最大距离为______． 【答案】18 【分析】连接，作于点H，于点G，先证明四边形是长方形，得，由翻折得，，，再根据勾股定理求得，即可由推导出，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，作于点H，于点G， ∵四边形是长方形，，， ∴，∴四边形是长方形，∴， 由翻折得，，， ∴，∴， ∵，∴，∴则到边的最大距离为，故答案为：18． 模型4.三角形翻折之过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD； 2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD； 3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。 例1．（23-24八年级上·山东青岛·期末）如图，中，，将三角形沿AD折叠，使点C落在上的点E处，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠得到，进而求出的，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵，，∴， ∵折叠，∴，，∴，， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：，解得：，∴；故答案为：3． 例2．（2023·山东淄博·统考一模）如图所示，有一块直角三角形纸片，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长是 ___________． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求出，根据折叠的性质可知：，，进一步求出，设，则，由勾股定理得，解得，则． 【详解】解：在中，由勾股定理得， 根据折叠的性质可知：，，∵，∴， 设，则，在中，由勾股定理得 ∴，解得∴．故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，正确利用勾股定理结合方程的思想求解是解题的关键． 例3．（2023秋·上海静安·八年级校考期末）如图，在中，，，为边上一点，将沿着直线翻折，点恰好落在边上的点处，连接．如果，那么的长为 ． 【答案】/ 【分析】根据题意，作出图形，进而根据折叠的性质以及已知条件得出，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，进而得出． 【详解】解：如图，∵，∴，∴，∵折叠，∴，∴， ∵中，，∴，∴， ∵，∴，， ∴，故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，折叠的性质，得出是解题的关键． 模型5.三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合； 2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O. 3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD. 例1．（23-24八年级下·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）在中，分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是点，如果点和顶点重合，则的长为（    ） A．2 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠性质以及勾股定理，设，则，根据勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：∵折叠∴ ∵∴设，则 ∴在中，即解得故选：C 例2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，点是的边的中点，将沿直线翻折能与重合，若，，，则点到直线的距离为 ．    【答案】/ 【详解】解：连接，延长交于点，作于点，如图所示，    由折叠的性质可得：，，∴为的中垂线，∴， ∵点是的中点，，，， ∴，，，∴，， ∵，即， ∴，即，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴点到直线的距离为．故答案为：． 【点睛】本题考查翻折变换，线段中垂线的判定，等腰三角形的性质，点到直线的距离，直角三角形的判定，勾股定理，利用面积相等求相应线段的长，解题的关键是得出为的中垂线，． 例3．（23-24八年级下·上海·期中）如果，AD是△ABC的中线．∠ADC＝45°，BC＝4cm，把△ACD沿AD翻折，使点C落在E的位置．则BE为 ． 【答案】/厘米 【详解】解：∵AD是△ABC的中线，BC＝4cm，∴BD=CD=2cm， ∵把△ACD沿AD翻折，使点C落在E的位置，∴∠ADE=∠ADC=45°，DE=CD=2cm， ∴∠CDE=90°，∴∠BDE=90°，∴．故答案为： 模型6.三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 1）沿直线MN翻折，使得点C落在直角边的点D处，连结CD. 2）沿直线DE翻折使得点C与斜边AB上的点F重合； 例1．（23-24八年级上·吉林长春·期末）如图,在中,,分别是边上的点,将沿折叠,使点的对称点恰好落在的中点处．若,,则的长为 cm． 【答案】 【详解】解:∵将沿折叠,∴,设,即, ∵,∴,∵恰好落在的中点,,∴, ∴在中应用勾股定理:,∴,解得：,故答案为:． 例2．（23-24八年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，点分别为边与上两点，连接，将沿着翻折，使得点落在边上的处，，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：设，∵，，∴，， ∵，∴，解得：，∴，故答案为： 例3．（23-24八年成都·课后作业）如图，在△ABC中，，D，E分别在上，且．将沿折叠，使C点落在斜边上的F点处，则的长是（　　） A．3.6 B．4 C．4.8 D．6.4 【答案】A 【详解】解：连接，根据折叠的性质得，， 又，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，故选：A． 模型7.三角形中的其他翻折模型 例1．（23-24八年级下·黑龙江大庆·期中）如图，三角形纸片，点是边上一点，连接，把沿着翻折，得到，与交于点，连接交于点若，，，的面积为，则点到的距离为 ． 【答案】 【详解】解：，，， 由翻折可知，≌，， ，，，， ，， 设点到的距离为，则有，，故答案为：． 例2．（2023·重庆·八年级统考期末）如图，在中，，，，点D在边上，将沿直线翻折后，点A落在点E处．如果，那么线段的长为 ． 【答案】 【详解】连接，如图 ∵沿直线翻折后点A落在点E处，∴，，， ∵，∴是等腰直角三角形，∴， ∵，∴，在中，∵， ∴，∴， ∵，∴， ∴，∴是等腰直角三角形，∴， ∵，，，∴， ∴，∴，∴． 例3．（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，已知为等腰直角三角形，，点为边上一点，点为的中点，连结，将沿折叠得到，若的延长线恰好经过点，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，折叠的性质以及勾股定理，设，由折叠得，，，由勾股定理求出在中，由勾股定理得，求出的值即可 【详解】解：如图，∵点为的中点，∴， 在中，∴，∴, 设，由折叠得，，，∴， 在中，由勾股定理得∴， 解得，，∴，故答案为： 例4．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，D、E分别为，上一点，将，分别沿、折叠，点A、B恰好重合于点处．若，，则 ． 【答案】 【详解】解：由折叠的性质可得，，， ∵，∴，∴， 由折叠的性质可得：，，设，则， 在中，，即：，解得：，∴，故答案为：． 1．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，三角形纸片中，点是边上一点，把沿着直线翻折，得到，连接交于点，若，，的面积为，则的长为(　　)      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，先由沿着直线翻折，得到，证明垂直平分，再由，根据勾股定理求得，再由，得，则，即可列面积等式求得，则，再根据勾股定理求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵沿着直线翻折，得到，∴垂直平分， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴的长是，故选：B． 2．（2024·江苏无锡·八年级期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则AE的长为（     ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】先利用折叠的性质得到，设，则，，在中，根据勾股定理可得到，求解即可． 【详解】解：∵沿DE翻折，使点A与点B重合，∴，∴， 设，则，， 在中，∵，∴，解得，∴，故选：D． 【点睛】本题考查了折叠的性质及勾股定理的应用，理解题意，熟练掌握勾股定理解三角形是解题关键． 3．（2022·山东济宁·中考真题）如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得AD = AB = 2， ∠B = ∠ADB， CE= DE， ∠C=∠CDE，可得∠ADE = 90°，继而设AE=x，则CE=DE=3-x，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处， ∴AD = AB = 2， ∠B = ∠ADB，∵折叠纸片，使点C与点D重合，∴CE= DE， ∠C=∠CDE， ∵∠BAC = 90°，∴∠B+ ∠C= 90°，∴∠ADB + ∠CDE = 90°， ∴∠ADE = 90°，∴AD2 + DE2 = AE2，设AE=x，则CE=DE=3-x， ∴22+(3-x)2 =x2，解得即AE=故选A 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 4．（2023秋·广东·八年级专题练习）如图，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点落在直角边的延长线上的点处，折痕为，则的长为 ．    【答案】 【分析】勾股定理求出的长，折叠得到，利用即可得解． 【详解】解：∵，，，∴， ∵翻折，∴，∴；故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理和折叠问题．熟练掌握折叠的性质，是解题的关键． 5．（2023·吉林·三模）如图，在中，，点、为边上的点，连接、，将沿翻折，使点的对称点落在边上的点处；再将沿翻折，使点的对称点落在的延长线上的点处．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，等腰直角三角形的判定与性质和勾股定理，熟练掌握翻折变换，等腰直角三角形的判定与性质和勾股定理的应用是解题的关键．首先证明是等腰直角三角形，利用面积，然后由勾股定理得，从而求出，再通过勾股定理求得，最后根据，求出的值即可． 【详解】解：根据折叠的性质可知：，，，， ， ，， ，是等腰直角三角形，，， 在中，由勾股定理得：，， 在中，由勾股定理得：， ，，故答案为：． 6．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，，，已知D是上一动点，将点A沿翻折，若A落到内（不包括边），则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换、勾股定理，借助辅助线，利用分类讨论思想是解题的关键．先根据勾股定理求得，当点落在上时，此时最短，当点落在上时，此时最长，利用三角形等面积法及勾股定理即可求解． 【详解】解：当点落在上时，此时最短，如图2，则，  ， ，，，， ，，， ， 当点落在上时，此时最长，如图3，则，    作于点G，于点H，则，， ，，， ，，， ，的取值范围为，故答案为：． 7．（2024·陕西西安·八年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝2，AB＝2，D、E分别是AB和BC上的点，若把△BDE沿DE翻折，B的对应点恰好落在AC的中点处，则BD的长是___． 【答案】/1.75 【分析】根据折叠的性质可得，设，则，在中，勾股定理列出方程即可求得的长，进而求得BD的长． 【详解】把△BDE沿DE翻折，B的对应点恰好落在AC的中点处， ,设，则， 在中，即解得故答案为： 【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，掌握勾股定理是解题的关键． 8．（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，中，，，点D为线段上一个动点，将沿直线翻折得到，线段交直线于点F．若为直角三角形，则的长是 ． 【答案】或 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵，，∴； ∵折叠，∴， 当为直角三角形时，分两种情况， ①当时，过点作，交的延长线于点， 则四边形为长方形，∴， 设，则：，∴， 在中，，∴， 解得：（舍去）或；∴； ②当时，此时点与点重合，如图： ∴，设，则：， 由勾股定理，得：，解得：；∴， 综上：或；故答案为：或． 9．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·开学考试）如图，在中，，，点D，E分别在，上，将沿着翻折得到，点A落在内部的点F处，且，延长交于点G，若，，则 . 【答案】2.8 【分析】过作于，构造．依据折叠以及平行线，可得．设，则，，在中，利用勾股定理列方程求解，即可得到的值，进而得出结论．本题主要考查了折叠问题，解题问题的方法是设要求的线段长为，然后根据折叠和轴对称的性质用含的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 【详解】解：如图所示，过作于，则，， 由折叠可得，，，， ，，，， 设，则，，在中，， ，解得，即．故答案为：2.8． 10．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，D、E分别为，上一点，将，分别沿、折叠，点A、B恰好重合于点处．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折的性质，勾股定理，解题的关键是：熟练掌握翻折的性质与勾股定理解三角形．根据翻折的性质得到，，由，即可得到，由折叠的性质可得：，，设，在中，根据勾股定理即可求出， 【详解】解：由折叠的性质可得，，， ∵，∴，∴， 由折叠的性质可得：，，设，则， 在中，，即：，解得：，∴，故答案为：． 11．（23-24八年级上·河南郑州·期中）如图，在长方形中，，点是边上一点，连接，将沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理；分为两种情况，当和时，将图形画出，利用折叠性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，当时，矩形中，，， 由折叠性质可得：，， ，，、、三点共线， ，设则，， 在中，，，解得，； 如图，当时，，由折叠性质可得：，， 四边形为正方形， ，故答案为：． 12．（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，已知为等腰直角三角形，，点为边上一点，点为的中点，连结，将沿折叠得到，若的延长线恰好经过点，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，折叠的性质以及勾股定理，设，由折叠得，，，由勾股定理求出在中，由勾股定理得，求出的值即可 【详解】解：如图， ∵点为的中点，∴，在中，∴， ∴,设， 由折叠得，，，∴， 在中，由勾股定理得∴， 解得，，∴，故答案为： 13．（2024·重庆沙坪坝·一模）如图，在△ABC中，点D是线段AB上的一点，过点D作DE∥AC交BC于点E，将△BDE沿DE翻折，得到△B′DE，若点C恰好在线段B′D上，若∠BCD＝90°，DC：CB′＝3：2，AB＝16．则CE的长度为 ． 【答案】 【分析】设DC＝3x，CB＝2x，则DB'＝5x，由折叠的性质得出DB＝DB'，∠BDE＝∠B'DE，BE＝B'E，由勾股定理求出BC＝8，设CE＝a，则BE＝8﹣a＝B'E，由勾股定理得出方程求出a的值，则可得出答案． 【详解】解：设DC＝3x，CB'＝2x，则DB'＝5x， ∵将△BDE沿DE翻折，得到△B'DE，∴DB'＝DB，∠BDE＝∠B'DE，BE＝B'E， ∵DE∥AC，∴∠A＝∠BDE，∠ACD＝∠CDE， ∴∠A＝∠ACD，∴CD＝AD＝3x，∴AB＝AD＋DB＝8x＝16， ∴x＝2，∴CD＝6，BD＝10，B'C＝4， ∴BC＝，设CE＝a，则BE＝8﹣a＝B'E， ∵CE2＋B'C2＝B'E2，∴，解得a＝3，∴CE＝3，故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了翻转折叠的知识点，利用勾股定理进行计算是解题的关键． 14．（23-24八年级下·重庆渝北·阶段练习）如图，中，，，点D是上一点，连接，将沿翻折得到，若于点E，则的长为 ． 【答案】4 【分析】过C作于点F；由勾股定理建立方程求得的长，从而求得；再证明，则得，从而求得结果． 【详解】解：如图，过C作于点F；则， 由勾股定理得：， ∵，，∴，解得：， ∴；由折叠性质得：， ∵，∴，∴， ∴，∴；故答案为：4． 【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质；关键是作垂线构造全等三角形． 15．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）如图，将一个边长分别为8，16的长方形纸片折叠，使C点与A点重合，则的长是 ．    【答案】10 【分析】利用折叠的知识，可得到，，再利用平行线性质可得，从而得，则，最后利用勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】根据折叠的性质知，，， ∵长方形，，，，， ∴，由勾股定理得，，即， 解得，．故答案为：10． 【点睛】本题考查了折叠问题，勾股定理，关键是根据勾股定理得到，即． 16．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）如图，在中，，，已知． （1）的长为 ． （2）点，分别是，上一点，沿着直线将折叠，得到，已知点落在边上，若是直角三角形，则的长为 （注：） 【答案】 或 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，二次根式的混合运算； （1）根据含30度角的直角三角形的性质得出，进而根据勾股定理，即可求解； （2）分两种情况同理，当，时，分别画出图形，根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）在中，，则， ；故答案为：． （2）如图1，当时，由折叠可知． 设，由，得，则， ，，． 如图2，当，，则， ，．故答案为：或． 17．（2023春·成都市八年级课时练习）如图，折叠矩形纸片的，使点落在对角线上的点处，得折痕，若，，求折痕的长（结果保留根号）． 【答案】折痕的长 【分析】在中，，，由勾股定理得到，由折叠性质得到，从而得到，设，则，在中，利用勾股定理得到，解得，在中，利用勾股定理得到，从而得到答案． 【详解】解：由题意可知，在中，，，则由勾股定理得到， 折叠矩形纸片的，使点落在对角线上的点处， ，， 设，则， 在中，利用勾股定理得到，解得，， 在中，利用勾股定理得到，折痕的长． 【点睛】本题考查利用勾股定理求线段长，涉及折叠的性质、解方程等知识，熟练掌握折叠的性质及勾股定理的运用是解决问题的关键． 18．（23-24八年级上·宁夏银川·期中）如图，在中，，，，按图中所示方法将沿折叠，使点落在边的点．(1)求的长度；(2)求的面积．    【答案】(1)3(2)15 【分析】本题主要考查了勾股定理、折叠的性质、三角形面积公式等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）由勾股定理得，设，由折叠的性质得，从而可得，，再由勾股定理得，代入数值并求解即可； （2）由三角形面积公式得，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， 设，由折叠可得，，，， ∴，，， 在中，可有，即，解得， ∴，故的长度为3； （2）解：结合（1），可知，，， ∴，故的面积为15． 19．（2023春·广西·八年级专题练习）（1）如图①，的斜边比直角边长2cm，另一直角边长为6cm，求的长．（2）拓展：如图②，在图①的的边上取一点D，连接，将沿翻折，使点B的对称点E落在边上．①求的长．②求的长． 【答案】（1）10cm；（2）① 4cm；② 3cm 【分析】（1）利用勾股定理，进行求解即可；（2）①根据翻折得到，利用求出的长即可；②在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：（1）设，则， 在中：，即：，解得：；∴； （2）①∵将沿翻折，使点B的对称点E落在边上， ∴，∴； ②∵将沿翻折，使点B的对称点E落在边上，∴， 设，则， 在中：，即：，解得：；即：． 【点睛】本题考查勾股定理与折叠问题．熟练掌握折叠的性质，对应边相等，对应角相等，以及勾股定理，是解题的关键． 20．（2024·江苏连云港·八年级统考期中）如图，在中，，翻折使点A、B落在斜边点D处，折痕分别为，连接． (1)求证：；(2)若，求线段的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：由翻折的性质可知，． ∵，∴，∴，∴； （2）解：如图，连接． ∵，∴． 由折叠可知，．设，则． ∵在中，， 在中，， ∴，解得：．∴． 【点睛】本题考查折叠的性质，勾股定理．掌握折叠前后图形的大小和形状不变是解题关键． 21．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图、为一块直角三角形纸片，． 【问题初探】：直角三角形纸片的对折问题，可以通过全等变换把所求线段转化成直角三角形的边，进而通过勾股定理来解决，体现数学中的转化思想． （1）如图1，现将纸片沿直线折叠，使直角边落在斜边上，的对应点为，若，求的长． 【学以致用】 （2）如图2，若将直角沿折叠，点与中点重合，点分别在，上，则之间有怎样的数量关系？并证明你的结论． 【答案】（1），（2）， 理由见解析． 【详解】（1）解：在中，， 由翻折的性质可知：，， ∵，∴， ∴，又∵，∴，∴． （2）， 理由如下： 过点作交延长线于点，连接，如图：∴， 在和中，，∴，∴， 又∵，∴，∵，∴，∴，∴． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$