专题01 勾股定理中的最短路径模型-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（沪科版）

专题01 勾股定理中的最短路径模型 勾股定理中的最短路线问题通常是以“两点之间，线段最短”为基本原理推出的。人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题。对于数学中的最短路线问题可以分为两大类：第一类为在同一平面内；第二类为空间几何体中的最短路线问题，对于平面内的最短路线问题可先画出方案图，然后确定最短距离及路径图。对于几何题内问题的关键是将立体图形转化为平面问题求解，然后构造直角三角形，利用勾股定理求解。 1 模型1.圆柱中的最短路径模型 2 模型2.长方体中的最短路径模型 10 模型3.阶梯中的最短路径模型 22 模型4.将军饮马与空间最短路径模型 27 37 模型1.圆柱中的最短路径模型 条件：如图，圆柱的底面圆的周长是c厘米，高是h厘米，现在要从圆柱上点A沿表面把一条彩带绕到点B。 结论：彩带最短需要厘米． 证明：如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接， 根据两点之间线段最短得这条丝线的最短长度是的长度， 由勾股定理得，，则这条丝线的最短长度是厘米， 注意：1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算； 2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。 例1．（2023春·陕西·八年级统考期中）如图，有一个圆柱形杯子，其底面圆周长为，高为，现在要以点为起点环绕杯子表面缠彩色胶带，终点正好落在点的正上方的点处，则彩色胶带最短要（     ）    A． B． C． D． 例2．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，这是一个供滑板爱好者使用的型池的示意图，该型池可以看作是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘，点在上，，一名滑板爱好者从点滑到点，则他滑行的最短距离为（    ）m（边缘部分的厚度可以忽略不计，取3） A．17 B． C． D． 变式1．（23-24八年级下·福建莆田·期中）如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱的表面爬行到点的最短路程为 ．    变式2．（23-24八年级上·辽宁辽阳·期末）有一个圆柱体礼盒，高，底面周长为．现准备在礼盒表面粘贴彩带作为装饰，若彩带一端粘在处，另一端绕礼盒侧面周后粘贴在处（为的中点），则彩带最短为 ． 模型2.长方体中的最短路径模型 条件：如图，一只蚂蚁从长是a，宽是b，高是h的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，（其中：h＞a＞b）。 结论：蚂蚁爬行的最短路程是 证明：如图，当长方体的侧面按图甲展开时，； 则； 如图，当长方体的侧面按图乙展开时，； 则； 如图，当长方体的侧面按图丙展开时，； 则； ∵h＞a＞b，∴ah＞bh＞ab，故＞＞ ∴蚂蚁所行的最短路线长为， 注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三类情况进行讨论； 2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同。 例1．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）如图，是一块长、宽、高分别是、和的长方体木块，一只蚂蚁要从顶点出发，沿长方体的表面爬到和相对的顶点处吃食物，则它需要爬行的最短路线长是（ ）．    A． B．6 C． D． 例2．（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，教室墙面与地面垂直，点P在墙面上，若米，米，点到的距离是米，一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是（    ）米 A． B． C．5 D． 变式1．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）如图所示的是一块长方体木块，长，宽，高 ，棱 上的点处有一滴蜂蜜，，如果一只蚂蚁要从长方 体木块的顶点处，沿着长方体的表面爬行到点处吃蜂蜜，那么蚂蚁需要爬行的最短路径的长是 变式2．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）如图，一个底面为正六边形的六棱柱，在六棱柱的侧面上，从顶点A到顶点B镶有一圈金属丝，已知此六棱柱的高为,底面边长为,则这圈金属丝的长度至少为（    ） A． B． C． D． 模型3.阶梯中的最短路径模型 条件：如图一个三级台阶，它的每一级的长是a，宽是b，高是h，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物。 结论：蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程为 证明：如图所示， 三级台阶平面展开图为长方形，宽为BC=a，长为AC=b+h， ∴蚂蚁从点A沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线的长， 则由勾股定理得； 则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程是． 注意：展开—定点—连线—勾股定理 例1．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，这是一个台阶的示意图，每一层台阶的高是、长是、宽是，一只蚂蚁沿台阶从点出发爬到点，其爬行的最短线路的长度是 ． 例2．（23-24九年级上·吉林长春·期末）（1）问题情境一：如图①，一只蚂蚁在一个长为100cm，宽为50cm的长方形地毯上爬行，请在图①中画出蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路径，依据是 ． （2）问题情境二：如图②，在情境一中的地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于地毯的宽，木块从正面看是一个边长为10cm的等边三角形，求这只蚂蚁从点处出发，翻越木块后到达点处需要走的最短路程． 变式1．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在一个边长为的正方形纸片上，放着一根长方体木块，已知该木块的较长边与平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达蜂蜜C处需爬行的最短路程是 ． 变式2．（2023·上海·八年级专题练习）如图，一个长方体盒子，其中，，为上靠近的三等分点，在大长方体盒子上有一个小长方体盒子，，，，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点爬行到点，它爬行的最短路程为 ．    模型4.将军饮马与空间最短路径模型     条件：如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为h厘米，底面周长为c厘米，在容器内壁离容器底部a厘米的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿a厘米的点A处， 结论：蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程为：厘米。 证明：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点，过作交B的延长线于D， 则四边形是矩形，∴，，连接，则即为最短距离， ∵由题意得，（），=a（），（）， 在中，（）． 注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定理求解。 例1．（2024·四川德阳·二模）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为18，底面周长为12，在容器内壁离容器底部7的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿1的点B处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 ． 变式1.（2024·山东菏泽·八年级阶段练习）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为的半圆，其边缘．小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约为（ ）m．（取3） A．30 B．28 C．25 D．22 变式2.（2024·陕西·八年级期中）有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸，高，水深，在水面线上紧贴内壁处有一粒食物，且，一只小虫想从水缸外的处沿水缸壁爬到水缸内的处吃掉食物．（1）你认为小虫应该沿怎样的路线爬行才能使爬行的路线最短，请你画出它爬行的最短路线，并用箭头标注．（2）求小虫爬行的最短路线长（不计缸壁厚度）． 1．（23-24七年级上·福建宁德·期中）在一个长为、宽为、高为的长方体上，居中截去一个长为、宽为、深为的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶点处，沿着几何体的表面到几何体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为，底面半圆直径为，点A处有一只蚂蚁沿如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路程是多少（取3）（    ） A． B．8 C． D．10 3．（2023秋·江苏·八年级专题练习）已知长方体的长、宽、高分别为，，，一只蚂蚁沿着长方体表面从点A爬到点B，则需要爬行的最短距离为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·浙江绍兴·一模）如图，桌上的一个圆柱形玻璃杯（无盖）高为6厘米，底面周长为 16 厘米，在杯口内壁离杯口1.5 厘米的 A 处有蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5 厘米，则小虫爬到蜜糖 A处的最短路程为（   ） A．6 厘米 B．7 厘米 C．8 厘米 D．10 厘米 5．（2024八年级·广东·培优）如图是一个长为，宽为，高为的仓库，在其内壁的点（长的四等分点）处有一只壁虎．在点（宽的三等分点）处有一只蚊子．则壁虎爬到蚊子处的最短路程为（    ）． A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，一圆柱体的底面圆周长为，高为，是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程长是（    ）． A． B． C． D． 7．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图，长方体的底面是边长为的正方形，侧面都是长为的长方形．点是的中点，在长方体下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的蜂蜜，则沿着表面需要爬行的最短路程是，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级上·甘肃白银·期末）如图，这是一个台阶的示意图，每一层台阶的高是、长是、宽是，一只蚂蚁沿台阶从点出发爬到点，其爬行的最短线路的长度是（    ）    A． B． C． D． 9．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，正方体盒子的棱长为2，M为的中点，现有一只蚂蚁位于点处，它想从正方体的表面爬行到点处获取食物，则蚂蚁需爬行的最短路程为（    ）    A． B． C． D． 10．（23-24八年级下·河南周口·阶段练习）如图，一个圆柱形食品盒，它的高为，底面的周长为，点位于盒外底面的边缘．如果处有一只蚂蚁，它想吃到盒外表面对侧中点处的食物，那么蚂蚁需要爬行的最短路程是 cm．    11．（2024·黑龙江大庆·一模）如图，教室的墙面与地面垂直，点在墙面上，若，点到的距离是，有一只蚂蚁要从点爬行到点，则它的最短行程是 m． 12．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）如图，在一张长方形纸板上放着一根长方体木块．已知，，该木块的长与平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达点需要走的最短路程是 ． 13．（2024八年级·上海·培优）如图，一个长方体建筑物的长、宽、高分别为3米、1米和6米，为了美观，现要在该建筑物上缠绕灯线以便安装小彩灯，灯线的绕法是从下底面的顶点开始经过四个侧面绕到上底面的顶点，如果缠绕的圈数是，那么用在该建筑物上的灯线最短需要 米． 14．（2023八年级下·上海·专题练习）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为尺，底面周长为尺，有葛藤自点处缠绕而上．    （）若绕五周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是 尺． （）若绕周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是 尺． 15．（23-24八年级下·广西河池·阶段练习）如图所示，已知圆柱的底面周长为36，高，点位于圆周顶面处，小虫在圆柱侧面爬行，从点爬到点，然后再爬回点，则小虫爬行的最短路程为 ． 16．（23-24八年级上·广东·期末）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个半圆柱而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4的半圆，其边缘，点E在上，，一滑行爱好者从点滑行到点，则他滑行的最短距离为 （π的值为3）．    17．（2023秋·山东八年级课时练习）攀岩是一项在天然岩壁或人工岩壁上进行的向上攀爬的运动项目．如图，攀岩墙近似一个长方体的两个侧面，小天根据学过的数学知识准确地判断出从点攀爬到点的最短路径为 米．    18．（23-24八年级上·广东佛山·期末）初中几何的学习始于空间的“实物和具体模型”，聚焦平面的“几何图形的特征和运用”，形成了空间几何问题要转化为平面几何问题的解题策略． 问题提出：如图所示是放在桌面上的一个圆柱体，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，如何求最短路程呢？ (1)问题分析：蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，可以有几条路径？在图中画出来； (2)问题探究：①若圆柱体的底面圆的周长为，高为，蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，求最短路程；②若圆柱体的底面圆的周长为，高为，蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，求最短路程；③若圆柱体的底面圆的半径为，高为，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，求最短路程． 19．（23-24八年级上·山西晋中·阶段练习）“最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题．其实，数学史上也有不少相关的故事．如下即为其中较为经典的一则：古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学，物理，聪慧过人．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图①，将军从A地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到B地的马棚，为使马走的路程最短，应该让马在什么地方饮水？    大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图②，作点B关于直线的对称点，连接与直线交于点P，连接，则的和最小． 请你在下列的阅读、理解、应用的过程中，完成解答． 理由：如图③，在直线上另取任一点，连接，，， ∵直线是点B，的对称轴，点P，在上， ∴______，______，（依据______） ∴______． 在中，∵，（依据______）， ∴，即最小． 【归纳总结】在解决上述问题的过程中，我们利用轴对称变换，把点A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中点P为与的交点，即三点共线）． 由此，可拓展为“求定直线上一动点与直线同侧两定点的距离和的最小值”问题的数学模型． 【模型应用】如图④，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为．在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为______． 20．（23-24八年级上·江西九江·阶段练习）课本再现 如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为．在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？     方法探究（1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是______． 方法应用（2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．求彩条的最短长度． （3）如图4，圆柱形玻璃杯底面周长为，高为，杯底厚．在玻璃杯外壁距杯口的点A处有一只蚂蚁，蚂蚁相对面的内壁底部B处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿杯口爬入内壁去吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短路径长．（玻璃杯的壁厚忽略不计） 4 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 勾股定理中的最短路径模型 勾股定理中的最短路线问题通常是以“两点之间，线段最短”为基本原理推出的。人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题。对于数学中的最短路线问题可以分为两大类：第一类为在同一平面内；第二类为空间几何体中的最短路线问题，对于平面内的最短路线问题可先画出方案图，然后确定最短距离及路径图。对于几何题内问题的关键是将立体图形转化为平面问题求解，然后构造直角三角形，利用勾股定理求解。 1 模型1.圆柱中的最短路径模型 2 模型2.长方体中的最短路径模型 10 模型3.阶梯中的最短路径模型 22 模型4.将军饮马与空间最短路径模型 27 37 模型1.圆柱中的最短路径模型 条件：如图，圆柱的底面圆的周长是c厘米，高是h厘米，现在要从圆柱上点A沿表面把一条彩带绕到点B。 结论：彩带最短需要厘米． 证明：如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接， 根据两点之间线段最短得这条丝线的最短长度是的长度， 由勾股定理得，，则这条丝线的最短长度是厘米， 注意：1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算； 2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。 例1．（2023春·陕西·八年级统考期中）如图，有一个圆柱形杯子，其底面圆周长为，高为，现在要以点为起点环绕杯子表面缠彩色胶带，终点正好落在点的正上方的点处，则彩色胶带最短要（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把圆柱沿侧面展开，连接，再根据勾股定理即可得出结论． 【详解】解：如图，圆柱形杯子的底面周长为，高为， 展开图中，则彩色胶带最短要．故选：D．    【点睛】本题考查的是平面展开——最短路径问题，根据题意画出图形，利用勾股定理求解是解答此题关键． 例2．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，这是一个供滑板爱好者使用的型池的示意图，该型池可以看作是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘，点在上，，一名滑板爱好者从点滑到点，则他滑行的最短距离为（    ）m（边缘部分的厚度可以忽略不计，取3） A．17 B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了学生对问题简单处理的能力；直接求是求不出的，所以要将半圆展开，利用已学的知识来解决这个问题．滑行的距离最短，即是沿着的线段滑行，我们可将半圆展开为矩形来研究，展开后，、、三点构成直角三角形，为斜边，和为直角边，写出和的长，根据题意，写出勾股定理等式，代入数据即可得出的距离． 【详解】将半圆面展开可得： 米，米， 在中，米，即滑行的最短距离为米，故选∶B． 变式1．（23-24八年级下·福建莆田·期中）如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱的表面爬行到点的最短路程为 ．    【答案】25 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答． 将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，再然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：如图所示：由于圆柱体的底面周长为，则． 又因为，所以． 故蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是．故答案为：25．    变式2．（23-24八年级上·辽宁辽阳·期末）有一个圆柱体礼盒，高，底面周长为．现准备在礼盒表面粘贴彩带作为装饰，若彩带一端粘在处，另一端绕礼盒侧面周后粘贴在处（为的中点），则彩带最短为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理和平面展开-最短路线问题，将圆柱侧面展开后，可得绕礼盒侧面周后彩带最短为，根据图形找到最短的线段是解题的关键． 【详解】解：圆柱侧面展开后图形是： ∵底面周长为，高，∴， ∴绕礼盒侧面周后彩带最短为，故答案为：． 模型2.长方体中的最短路径模型 条件：如图，一只蚂蚁从长是a，宽是b，高是h的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，（其中：h＞a＞b）。 结论：蚂蚁爬行的最短路程是 证明：如图，当长方体的侧面按图甲展开时，； 则； 如图，当长方体的侧面按图乙展开时，； 则； 如图，当长方体的侧面按图丙展开时，； 则； ∵h＞a＞b，∴ah＞bh＞ab，故＞＞ ∴蚂蚁所行的最短路线长为， 注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三类情况进行讨论； 2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同。 例1．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）如图，是一块长、宽、高分别是、和的长方体木块，一只蚂蚁要从顶点出发，沿长方体的表面爬到和相对的顶点处吃食物，则它需要爬行的最短路线长是（ ）．    A． B．6 C． D． 【答案】A 【分析】根据长方体的侧面展开计算：沿前表面和上表面所构成矩形的对角线爬行距离，沿前表面和右表面所构成矩形的对角线爬行距离，沿左表面和上表面所构成矩形的对角线爬行距离，沿左表面和后表面所构成矩形的对角线爬行距离，再比较大小即可； 【详解】解：如图1，当蚂蚁由点经前表面和上表面所构成矩形的对角线到达点时，          由勾股定理可得， 如图2，当蚂蚁由点经前表面和右表面所构成矩形的对角线到达点时， 由勾股定理可得， 如图3，当蚂蚁由点经左表面和上表面所构成矩形的对角线到达点时， 由勾股定理可得， 如图4，当蚂蚁由点经左表面和后表面所构成矩形的对角线到达点时， 由勾股定理可得，∵，故选： A． 【点睛】本题考查了长方体的侧面展开，两点间的最短距离，勾股定理；根据长方体的侧面展开分类讨论是解题关键． 例2．（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，教室墙面与地面垂直，点P在墙面上，若米，米，点到的距离是米，一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是（    ）米 A． B． C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查平面展开—最短路径问题及勾股定理的应用，可将教室的墙面与地面展开，连接，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．正确利用立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于，连接， 此时的长为这只蚂蚁从点爬到点的最短行程， ∵米，米，点到的距离是米，∴米， ∴（米），∴（米）， ∴（米），∴这只蚂蚁的最短行程应该是米．故选：C． 变式1．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）如图所示的是一块长方体木块，长，宽，高 ，棱 上的点处有一滴蜂蜜，，如果一只蚂蚁要从长方 体木块的顶点处，沿着长方体的表面爬行到点处吃蜂蜜，那么蚂蚁需要爬行的最短路径的长是 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用；要把这个长方体中，蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算． 【详解】解：第一种情况：把我们所看到的上面和右面组成一个平面，    ，， ，， ，，则所走的最短路径的长是； 第二种情况：把我们看到的前面与右面组成一个长方形，  ，， ，，所以走的最短路径的长是； 第三种情况：把我们所看到的上面和后面组成一个长方形， ，，， ，则所走的最短路径的长是； ，所走的最短路径的长是．故答案为：． 变式2．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）如图，一个底面为正六边形的六棱柱，在六棱柱的侧面上，从顶点A到顶点B镶有一圈金属丝，已知此六棱柱的高为,底面边长为,则这圈金属丝的长度至少为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理与最短路径问题，将六棱柱侧面展开，运用勾股定理求解即可 【详解】解：如图，六棱柱侧面展开后，这圈金属丝的长度最短为的长， 由勾股定理得，，故选：B． 模型3.阶梯中的最短路径模型 条件：如图一个三级台阶，它的每一级的长是a，宽是b，高是h，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物。 结论：蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程为 证明：如图所示， 三级台阶平面展开图为长方形，宽为BC=a，长为AC=b+h， ∴蚂蚁从点A沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线的长， 则由勾股定理得； 则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程是． 注意：展开—定点—连线—勾股定理 例1．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，这是一个台阶的示意图，每一层台阶的高是、长是、宽是，一只蚂蚁沿台阶从点出发爬到点，其爬行的最短线路的长度是 ． 【答案】 【分析】展开成平面图形，根据勾股定理，即可求解，本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是：利用两点之间线段最短． 【详解】解：将台阶展开成平面图形： 在中，，，， 其爬行的最短长度，故答案为：． 例2．（23-24九年级上·吉林长春·期末）（1）问题情境一：如图①，一只蚂蚁在一个长为100cm，宽为50cm的长方形地毯上爬行，请在图①中画出蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路径，依据是 ． （2）问题情境二：如图②，在情境一中的地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于地毯的宽，木块从正面看是一个边长为10cm的等边三角形，求这只蚂蚁从点处出发，翻越木块后到达点处需要走的最短路程． 【答案】（1）图形见解析；两点之间，线段最短.（2） 【分析】本题考查平面展开最短路径问题，两点之间线段最短，勾股定理： （1）根据两点之间，线段最短连接即可； （2）根据题意可得，展开图中等于长方形地毛毯的长和三角形一条边长之和，展开图中等于长方形地毛毯的宽，根据勾股定理计算的长即可求解． 【详解】（1）解： 依据：两点之间，线段最短. （2）解： 根据题意得：展开图中的，. 在中，由勾股定理得：， 即这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程为. 变式1．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在一个边长为的正方形纸片上，放着一根长方体木块，已知该木块的较长边与平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达蜂蜜C处需爬行的最短路程是 ． 【答案】 【详解】解：如图，将长方体侧面展开得，蚂蚁的爬行的最短路径为的长， （），， 蚂蚁的爬行的最短路径为，故答案：． 变式2．（2023·上海·八年级专题练习）如图，一个长方体盒子，其中，，为上靠近的三等分点，在大长方体盒子上有一个小长方体盒子，，，，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点爬行到点，它爬行的最短路程为 ．    【答案】10 【详解】解：如图，将面、、展开在同一个平面内，连接，则为最短路径， 由题意知，，，，∴， 由勾股定理得，，故答案为：10． 模型4.将军饮马与空间最短路径模型        条件：如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为h厘米，底面周长为c厘米，在容器内壁离容器底部a厘米的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿a厘米的点A处， 结论：蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程为：厘米。 证明：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点，过作交B的延长线于D， 则四边形是矩形，∴，，连接，则即为最短距离， ∵由题意得，（），=a（），（）， 在中，（）． 注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定理求解。 例1．（2024·四川德阳·二模）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为18，底面周长为12，在容器内壁离容器底部7的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿1的点B处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 ． 【答案】 【详解】解：如图：将容器侧面展开，作出关于的对称点，过作交的延长线于D，    根据题意可得：四边形是矩形，∴，， 连接，则即为最短距离，∵高为18，底面周长为12， ∴，，，即， 在中，（）,故答案为：． 变式1.（2024·山东菏泽·八年级阶段练习）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为的半圆，其边缘．小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约为（ ）m．（取3） A．30 B．28 C．25 D．22 【答案】C 【详解】其侧面展开图如图：作点C关于AB的对称点F，连接DF， ∵中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5cm的半圆， ∴BC=πR=2.5π=7.5cm，AB=CD=20cm，∴CF=2BC=15cm， 在Rt△CDF中，DF=cm，故他滑行的最短距离约为cm．故选C． 变式2.（2024·陕西·八年级期中）有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸，高，水深，在水面线上紧贴内壁处有一粒食物，且，一只小虫想从水缸外的处沿水缸壁爬到水缸内的处吃掉食物．（1）你认为小虫应该沿怎样的路线爬行才能使爬行的路线最短，请你画出它爬行的最短路线，并用箭头标注．（2）求小虫爬行的最短路线长（不计缸壁厚度）． 【答案】（1）见解析；（2）100cm 【详解】解：(1)如下图所示， 作点A关于BC所在直线的对称点，连接，与交于点， 由两点之间线段最短，此时A’G最短，则为最短路线． (2)∵，∴，∴． 在中，，，∴． 由对称性可知，∴．故小虫爬行的最短路线长为100cm． 【点睛】本题考查的是利用勾股定理求最短路径问题，本题的关键是根据对称性作出A的对称点A’，再根据两点之间线段最短，从而可找到路径求出解． 1．（23-24七年级上·福建宁德·期中）在一个长为、宽为、高为的长方体上，居中截去一个长为、宽为、深为的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶点处，沿着几何体的表面到几何体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了长方体展成平面图形，熟练掌握两点之间线段最短，利用勾股定理求最短路径，是解答本题的关键． 根据两点之间线段最短即可确定蚂蚁爬行的最短路径为，利用勾股定理求出，由此得到答案． 【详解】解：如图，将图中的几何体上表面展开，连接，则蚂蚁需要爬行的最短路径为的长， 根据题意得：，， 由勾股定理得：，， 蚂蚁需要爬行的最短路径的长为，故选． 2．（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为，底面半圆直径为，点A处有一只蚂蚁沿如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路程是多少（取3）（    ） A． B．8 C． D．10 【答案】D 【分析】此题考查平面展开-最短路径问题．要求蚂蚁爬行的最短距离，需将半圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”通过勾股定理得出结果． 【详解】解：将圆柱的侧面展开为矩形， 其中为半圆的弧长，为半径的长，， 根据勾股定理可得，故爬行的最短路程为．故选：D 3．（2023秋·江苏·八年级专题练习）已知长方体的长、宽、高分别为，，，一只蚂蚁沿着长方体表面从点A爬到点B，则需要爬行的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将长方体按不同方式展开，构造直角三角形，利用勾股定理求出长即可得到答案． 【详解】解：如图1所示将长方体展开，则； 如图2所示将长方体展开，则； 如图3所示将长方体展开，则； ∵，∴蚂蚁爬行的最短路径长为，故选：C． 【点睛】本题考查了平面展开−−−最短路径问题，解题的关键是将图形展开，转化为直角三角形利用勾股定理解答． 4．（2024·浙江绍兴·一模）如图，桌上的一个圆柱形玻璃杯（无盖）高为6厘米，底面周长为 16 厘米，在杯口内壁离杯口1.5 厘米的 A 处有蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5 厘米，则小虫爬到蜜糖 A处的最短路程为（   ） A．6 厘米 B．7 厘米 C．8 厘米 D．10 厘米 【答案】D 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 将杯子侧面展开，作关于杯口的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，再结合勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示：将杯子侧面展开，作关于杯口的对称点，连接，最短距离为的长度， 厘米，最短路程为厘米．故选：D． 5．（2024八年级·广东·培优）如图是一个长为，宽为，高为的仓库，在其内壁的点（长的四等分点）处有一只壁虎．在点（宽的三等分点）处有一只蚊子．则壁虎爬到蚊子处的最短路程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用，两点之间线段最短，长方体的展开图．利用分类讨论和数形结合的思想是解题关键．分类讨论：①将正面和右面展开，②将正面和上面展开，分别结合勾股定理求出的长，再比较即可． 【详解】解：分类讨论：①将正面和右面展开，过点B作向底面的垂线，垂足为C， ∴为直角三角形，且，， ∴，∴此时壁虎爬到蚊子处的最短路程为； ②将正面和上面展开，如图， ∴A到B的水平距离为6，A到B的垂直距离为，∴， ∴此时壁虎爬到蚊子处的最短路程为． ∵，∴壁虎爬到蚊子处的最短路程为．故选A． 6．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，一圆柱体的底面圆周长为，高为，是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程长是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了平面展开﹣最短路径问题，解题的关键是根据题意画出展开图，表示出各线段的长度，利用勾股定理进行求解即可．将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：底面周长为，半圆弧长为，画展开图形如下： 由题意得：，根据勾股定理得：．故选D． 7．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图，长方体的底面是边长为的正方形，侧面都是长为的长方形．点是的中点，在长方体下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的蜂蜜，则沿着表面需要爬行的最短路程是，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面展开-最短问题，勾股定理及两点之间线段最短，将棱柱展开，根据两点之间线段最短即可得到最短路径，利用勾股定理解答即可，将棱柱的侧面展开图正确画出来是解题的关键． 【详解】解：将棱柱展开如图所示， ∵棱柱的底面是边长为的正方形，侧面都是长为的长方形，点是的中点， ∴，∴，故选：． 8．（23-24八年级上·甘肃白银·期末）如图，这是一个台阶的示意图，每一层台阶的高是、长是、宽是，一只蚂蚁沿台阶从点出发爬到点，其爬行的最短线路的长度是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的运用，解题的关键是把平面展开，在根据勾股定理，即可． 【详解】平面展开，如下：∴在中，（）， ∴蚂蚁沿台阶从点出发爬到点，其爬行的最短线路的长度为：．故选：C．    9．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，正方体盒子的棱长为2，M为的中点，现有一只蚂蚁位于点处，它想从正方体的表面爬行到点处获取食物，则蚂蚁需爬行的最短路程为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分两种情况先把图中展开，根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，沿左面，后面展开，连接，则线段的长就是蚂蚁需爬行的最短路程，    ∵正方体的棱长为2，M是的中点， ∴，，， 由勾股定理得，沿前面与上面展开如图示：    同理可得：，而，∴蚂蚁需爬行的最短路程为， 故选：A． 【点睛】此题考查了平面展开-最短路径问题，以及线段的性质：两点之间线段最短，解决立体几何两点间的最短距离时，通常把立体图形展开成平面图形，转化成平面图形两点间的距离问题来求解． 10．（23-24八年级下·河南周口·阶段练习）如图，一个圆柱形食品盒，它的高为，底面的周长为，点位于盒外底面的边缘．如果处有一只蚂蚁，它想吃到盒外表面对侧中点处的食物，那么蚂蚁需要爬行的最短路程是 cm．    【答案】10 【分析】把圆柱侧面展开，在中，根据题意求得长，利用勾股定理求解即可． 【详解】把圆柱侧面展开，在中，根据题意得，    根据勾股定理，得，故答案为：10． 11．（2024·黑龙江大庆·一模）如图，教室的墙面与地面垂直，点在墙面上，若，点到的距离是，有一只蚂蚁要从点爬行到点，则它的最短行程是 m． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，平面展开-最短路径问题．可将教室的墙面与地面展开，连接P、B，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将教室的墙面与地面展成一个平面， 过P作于G，连接，∵，，∴， ∴，∴． 故这只蚂蚁的最短行程应该是．故答案为：． 12．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）如图，在一张长方形纸板上放着一根长方体木块．已知，，该木块的长与平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达点需要走的最短路程是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查两点之间线段最短，解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答． 【详解】解：由题意可知，将木块展开，相当于是个正方形的宽， ∴长为米；宽为米．于是最短路径为：米．故答案为：． 13．（2024八年级·上海·培优）如图，一个长方体建筑物的长、宽、高分别为3米、1米和6米，为了美观，现要在该建筑物上缠绕灯线以便安装小彩灯，灯线的绕法是从下底面的顶点开始经过四个侧面绕到上底面的顶点，如果缠绕的圈数是，那么用在该建筑物上的灯线最短需要 米． 【答案】 【分析】本题主要考查最短路径问题，画出展开图，运用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，米，米， 由勾股定理得，（米）；故答案为：． 14．（2023八年级下·上海·专题练习）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为尺，底面周长为尺，有葛藤自点处缠绕而上．    （）若绕五周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是 尺． （）若绕周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是 尺． 【答案】 ； ． 【详解】（）根据题意画出图形，在中，再根据勾股定理求解即可； （2）在中根据勾股定理求解即可； 本题考查的是平面展开—最短路径问题，能够根据题意画出图形，构造出直角三角形是解题的关键． （）解：如图所示，      在中，，，∴（尺）故答案为：； （）解：在中，，， ∴（尺），故答案为：． 15．（23-24八年级下·广西河池·阶段练习）如图所示，已知圆柱的底面周长为36，高，点位于圆周顶面处，小虫在圆柱侧面爬行，从点爬到点，然后再爬回点，则小虫爬行的最短路程为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了平面展开图最短路径问题，先“化曲面为平面”，把圆柱的侧面展开成矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．再根据两点之间线段最短，由勾股定理可得出． 【详解】解：如图， 根据题意，，， ∵点位于圆周顶面处，∴，， ∴小虫爬行的最短路程．故选：． 16．（23-24八年级上·广东·期末）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个半圆柱而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4的半圆，其边缘，点E在上，，一滑行爱好者从点滑行到点，则他滑行的最短距离为 （π的值为3）．    【答案】20 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用—最短路径问题．通过将U型池的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理求最短路径是解题的关键．将半圆面展开，连接，则是最短路径，根据，计算求解即可． 【详解】解：将半圆面展开如图：连接，则是最短路径，    ∴，， 由勾股定理得，．∴滑行的最短距离约为，故答案为：20． 17．（2023秋·山东八年级课时练习）攀岩是一项在天然岩壁或人工岩壁上进行的向上攀爬的运动项目．如图，攀岩墙近似一个长方体的两个侧面，小天根据学过的数学知识准确地判断出从点攀爬到点的最短路径为 米．    【答案】10 【分析】利用立体图形路径最小值为展开平面图的两点间距离，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：平面展开图为：    （米），故答案为：10． 【点睛】本题考查立体图形中两点间最短路径问题，通用办法是展开为平面图形，两点间最短路径为两点线段长度，利用水平距离和竖直距离得到直角三角形，勾股定理求出两点线段长度．熟悉立体图形中两点间最短路径问题的计算方法是解题的关键． 18．（23-24八年级上·广东佛山·期末）初中几何的学习始于空间的“实物和具体模型”，聚焦平面的“几何图形的特征和运用”，形成了空间几何问题要转化为平面几何问题的解题策略． 问题提出：如图所示是放在桌面上的一个圆柱体，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，如何求最短路程呢？ (1)问题分析：蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，可以有几条路径？在图中画出来； (2)问题探究：①若圆柱体的底面圆的周长为，高为，蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，求最短路程；②若圆柱体的底面圆的周长为，高为，蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，求最短路程；③若圆柱体的底面圆的半径为，高为，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，求最短路程． 【答案】(1)3条，图形见解析(2)①；②；③ 【分析】（1）共有3条路径，第一条先沿圆柱体的高爬行，再从上底面边缘爬行；第二条先沿圆柱体的高爬行，再从上底面直径爬行；第三条沿圆柱体侧面爬行，即可； （2）①连接，利用两点之间，线段最短，在中，根据勾股定理，求出的长，即可求解；②利用两点之间，线段最短，在中，根据勾股定理，求出的长，即可求解；③利用两点之间，线段最短，在中，根据勾股定理，求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：共有3条路径，如下图： （2）解：①如图，连接， 根据题意得：，，∴， 即蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，最短路程为； ②i)如图，连接， 根据题意得：，，∴， ii)此时考虑从A-B-C线路这一情况， 所以这一线路的路程为， 即蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，最短路程为； ③如图，连接， 根据题意得：，，∴， 即蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，最短路程为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 19．（23-24八年级上·山西晋中·阶段练习）“最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题．其实，数学史上也有不少相关的故事．如下即为其中较为经典的一则：古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学，物理，聪慧过人．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图①，将军从A地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到B地的马棚，为使马走的路程最短，应该让马在什么地方饮水？    大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图②，作点B关于直线的对称点，连接与直线交于点P，连接，则的和最小． 请你在下列的阅读、理解、应用的过程中，完成解答． 理由：如图③，在直线上另取任一点，连接，，， ∵直线是点B，的对称轴，点P，在上， ∴______，______，（依据______） ∴______． 在中，∵，（依据______）， ∴，即最小． 【归纳总结】在解决上述问题的过程中，我们利用轴对称变换，把点A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中点P为与的交点，即三点共线）． 由此，可拓展为“求定直线上一动点与直线同侧两定点的距离和的最小值”问题的数学模型． 【模型应用】如图④，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为．在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为______． 【答案】，，轴对称的性质，，三角形三边关系；【模型应用】17． 【分析】由轴对称的性质和三角形三边关系解答即可； 把图④的半个侧面展开为矩形，如图，作点A关于的对称点，连接交于P，作于D，由【归纳总结】可得出最短路程为，再结合勾股定理求解即可． 【详解】理由：如图③，在直线上另取任一点，连接，，， ∵直线是点B，的对称轴，点P，在上， ∴，，（依据轴对称的性质） ∴． 在中，∵，（依据三角形三边关系）， ∴，即最小； 故答案为：，，轴对称的性质，，三角形三边关系； 【模型应用】解：把图④的半个侧面展开为矩形，如图，作点A关于的对称点，连接交于P，作于D，    ∴． 由【归纳总结】可知蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为． ∵，∴，∴． 又∵圆柱形玻璃杯底面周长为，∴，∴， ∴蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为．故答案为：17． 【点睛】本题考查轴对称的性质，三角形三边关系的应用，勾股定理．理解题意，掌握轴对称的性质是解题关键． 20．（23-24八年级上·江西九江·阶段练习）课本再现 如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为．在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？     方法探究（1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是______． 方法应用（2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．求彩条的最短长度． （3）如图4，圆柱形玻璃杯底面周长为，高为，杯底厚．在玻璃杯外壁距杯口的点A处有一只蚂蚁，蚂蚁相对面的内壁底部B处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿杯口爬入内壁去吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短路径长．（玻璃杯的壁厚忽略不计） 【答案】（1）15；（2）（3） 【分析】本题考查勾股定理、几何体的展开图．（1）根据题意得出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长，求出，，根据勾股定理求出即可．（2）根据绕两圈到B，则展开后相当于求出的斜边长，并且，根据勾股定理求出即可． （3）将杯子侧面展开，建立A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：（1）根据题意得出：蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长， 由题意得：. 在中，由勾股定理得：， 所以，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是故答案为：15． （2）如图所示， ∵从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B， ∴展开后 由勾股定理得：， 所以彩条的最短长度是． （3）展开玻璃杯的侧面，如图， 作点A关于的对称点，连接，作于点C，则 ，，，． 在中，， 所以蚂蚁爬行的最短路径长为． 33 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $$