专题04 赵爽弦图模型与勾股树模型-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（沪科版）

专题04 赵爽弦图模型与勾股树模型 弦图分为内弦图与外弦图，内弦图是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以此命题，相关的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。弦图之美，美在简约，然不失深厚，经典而久远，被誉为“中国数学界的图腾”。弦图蕴含的割补思想，数形结合思想、图形变换思想更是课堂教学中数学思想渗透的绝佳载体。一个弦图集合了初中平面几何线与形，位置与数量，方法与思想，小身板，大能量，它就是数学教育里的不老神话。广受数学教师和数学爱好者研究，近年来也成为了各地中考的热点问题。 1 模型1.弦图模型 1 模型2.勾股树模型 9 15 模型1.弦图模型 “弦图”就是我国三国时期的数学家赵爽，利用面积相等，形象巧妙的证明方法。所谓弦图模型就是四个全等直角三角形的弦互相垂直围成了一个正方形图形，当弦在围成的正方形之内叫内弦图模型，当弦恰恰是围城正方形的边长时就叫外弦图模型。 数学具有高度的抽象性，考试中有时候不会直观明了的出现弦图模型，所以学习中我们要抓住弦图本质灵活变形，从而增强数学的变化性，培养思维灵活性，为学生提供思维的广泛联想空间，使其在面临问题时能够从多种角度进行考虑，并迅速地建立起自己的思路，真正做到“举一反三”。 图1 图2 图3 图4 （1）内弦图模型： 条件：如图1，在正方形ABCD中，AE⊥BF于点E，BF⊥CG于点F，CG⊥DH于点G，DH⊥AE于点H，结论：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH； 证明：∵∠ABC＝∠BFC＝∠AEB＝90°，∴∠ABE＋∠FBC＝∠FBC＋∠FCB=90°．∴∠ABE＝∠FCB． 又∵AB＝BC，∴△ABE≌△BCF，同理可得△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH． （2）外弦图模型： 条件：如图2，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的点，EFGH是正方形， 结论：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH； 证明：∵∠B＝∠EFG＝∠C＝90°，∴∠BEF ＋∠EFB＝∠EFB＋∠GFC＝90°，∴∠BEF＝∠GFC． 又∵EF ＝FG，∴△EBF≌△FCG．同理可得△EBF≌△FCG≌△GDH≌△HAE． （3）内外组合型弦图模型： 条件：如图3、4，四边形ABCD、EFGH、PQMN、均为正方形；结论：2S正方形EFGH= S正方形ABCD+S正方形PQMN. 证明：由（1）（2）中的证明易得：图3和图4中的八个直角三角形均全等，并用 S△表示他们的面积。 ∵S正方形ABCD=S正方形PQMN+8S△；S正方形EFGH=S正方形PQMN+4S△； ∴S正方形ABCD+S正方形PQMN=S正方形PQMN+8S△+S正方形PQMN=2S正方形PQMN+8S△=2S正方形EFGH 上述三类弦图模型除了考查相关证明外，也常和完全平方公式（知二求二）结合考查。 （4）半弦图模型 图5 图6 图7 条件：如图5，EA⊥AB于点A，GB⊥AB于点B，EF⊥FG，EF=FG，结论：△AFE≌△BGF；EA+GB=AB。 证明：∵EA⊥AB于点A，GB⊥AB于点B，EF⊥FG，∴∠A＝∠B＝∠EFG＝90° ∴∠AFE＋∠AEF＝∠AEF＋∠BFG=90°．∴∠AFE＝∠BFG． 又∵EF=FG，∴△AFE≌△BGF，∴AE=BF，AF=BG，∴EA+GB=BF+AF=AB。 条件：如图6，EA⊥AB于点A，GB⊥AB于点B，EF⊥FG，EF=FG，结论：△AFE≌△BGF；EA-GB=AB。 证明：同图5证明可得：△AFE≌△BGF，∴AE=BF，AF=BG，∴EA-GB=BF-AF=AB。 条件：如图7，在Rt △ABE和Rt△BCD中，AB＝BC，AE⊥BD，结论：△ABE≌△BCD；AB-CD=EC。 证明：∵△ABE和△BCD是Rt △，AE⊥BD，∴∠ABE＝∠C＝∠AFB＝90°。 ∴∠A＋∠ABF＝∠ABF＋∠DBC=90°．∴∠A＝∠DBC。 又∵AB＝BC，∴△ABE≌△BCD，∴BE=CD，∴AB-CD=BC-BE=EC。 上面三类半弦图模型的共同特点是两个直角三角形，他们的弦互相垂直。所以做题中见着这样的关键字眼就要想到用弦图的相关知识解决问题。 例1．（23-24八年级下·山东滨州·阶段练习）如图所示的正方形图案是用个全等的直角三角形拼成的．已知正方形的面积为，正方形的面积为，若用、分别表示直角三角形的两直角边，下列三个结论：；；其中正确的是(    ) A． B． C． D． 例2．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图1是两条直角边长分别为斜边长为c的直角三角形纸片，图2是用四张图1纸片拼成的正方形图案．(1)用含有的式子表示图2中正方形的边长；(2)当时，小正方形的面积是多少？ 例3．（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1）所示）．图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若，则的值是（　　）    A．48 B．36 C．24 D．25 例4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图所示的图案是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》中“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，点是的中点，阴影部分的面积为27，则的长为 ． 例5．（23-24八年级下·陕西安康·期末）图1是我国古代著名的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形围成，若较短的直角边，斜边，若将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到如图2的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（    ） A．70 B．76 C．72 D．80 例6．（2024·浙江·温州八年级期中）如图1，我国汉代赵爽在注解《周牌算经》时给出四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，人们称它为“赵爽弦图”如图2，连结，，，，记阴影部分面积为，空白部分面积为，若，则________；如图3，连结，相交于点，与相交于点．若，则________． 例7．（2024·山东济南·二模）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”．将两个大小相同的“赵爽弦图”（如图1）中的两个小正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成边长为10的正方形，则空白部分面积为    例8．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，AE是BC边上的中线，过点C作，垂足为F，过点B作BC的垂线交CF的延长线于点D． (1)求证：．(2)若，求AE． 例9．（23-24八年级下·重庆九龙坡·开学考试）在中，，，直线l经过点A． (1)如图1，过点B作于点D，过点C作于点E．求证：； (2)如图2，过点B作于点F，连接，已知，，求的面积． 模型2.勾股树模型 勾股树，也叫“毕达哥拉斯树”。是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形，如下图。又因为重复多次后的形状好似一棵树，所以被称为勾股树。 模型特征：在直角三角形外，分别以三条边作相同的图形，则两直角边所作图形面积之和等于斜边所作图形的面积。该模型主要根据勾股定理的关系及等式性质求解，常用来解决相关面积问题。 条件：如图，在直角三角形外，分别以直角三角形三边为元素向外作形状相同的图形，若分别以两直角边为元素所作图形的面积为S1，S2，以斜边为元素所作的图形的面积为S3。 结论：S1+S2=S3 证明：设图中两直角边为a、b，斜边为c；且a、b、c三边所对应的等边三角形面积分别为S1、S2、S3。 由等边三角形和勾股定理易得：S1的高为：； ∴S1。同理：；。 由题意可得：；∴S1+S2=S3 由于该类模型的证明基本相同，故此只证明等边三角形。除了图中的三类图形，也常考等腰直角三角形。 条件：如图，正方形的边长为a，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，结论：。证明：∵正方形的边长为a，为等腰直角三角形， ∴，，∴．观察，发现规律： ，，，，…， 条件：如图，“勾股树”是以边长为m的正方形－边为斜边向外作直角三角形 ，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这－过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似－－棵树而得名．假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图， 结论：第n代勾股树中正方形的个数为：；第n代勾股树中所有正方形的面积为：。证明：由题意可知第一代勾股树中正方形有=22-1（个）， 第二代勾股树中正方形有=23-1（个）， 第三代勾股树中正方形有=24-1（个）， 由此推出第n代勾股树中正方形有（个）。 设第一代勾股树中间三角形的两直角边长为a和b，斜边长为c，根据勾股定理可得：=m2， ∴第一代勾股树中所有正方形的面积为； 同理可得：第二代勾股树中所有正方形的面积为； 第三代勾股树中所有正方形的面积为； 第n代勾股树中所有正方形的面积为。 例1．（23-24八年级下·河北承德·期末）如图，已知直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c，以直角三角形的三边为边（或直径），分别向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形．那么，这四个图形中，直角三角形外，其他几个图形面积分别记作、、． 结论Ⅰ：、、满足只有（4）； 结论Ⅱ：∵，∴的有（1）（2）（3）． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，判断正确的是（    ）． A．Ⅰ对Ⅱ不对 B．Ⅰ不对Ⅱ对 C．Ⅰ和Ⅱ都对 D．Ⅰ和Ⅱ都不对 例2．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，以AC为直角边向外作，分别以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆，面积分别记为S1，S2，S3，S4，已知，，，则S4为（    ） A．2 B．3 C． D． 例3．（23-24八年级下·广西桂林·期末）如图，正方形的边长为，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…，按此规律，则的值为 ．（结果用含的式子表示）    例4．（23-24八年级下·山东日照·期中）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果第一个正方形面积为1，则第2024代勾股树中所有正方形的面积为 ． 例5．（2023春·重庆·八年级专题练习）如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”： 经观察可以发现：图（1）中共有3个正方形，图（2）在图（1）的基础上增加了4个正方形，图（3）在图（2）的基础上增加了8个正方形，……，照此规律“生长”下去，图（6）应在图（5）的基础上增加的正方形的个数是（    ） A．12 B．32 C．64 D．128 例6．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一．如图1，以Rt△ABC的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为S1，S2，S3，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形DEFG）的面积为（　　） A．2S1+S2+S3 B．2S2+2S3 C．3S1 D．S1+S2+S3 1．（2024·上海八年级期末）如图，已知1号、4号两个正方形的面积和为10，2号、3号两个正方形的面积和为8，则a，b，c三个正方形的面积和为（     ） A．18 B．26 C．28 D．34 2．（2023·北京·八年级校考期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若，大正方形的面积为25，则图2中的长为（　　）    A．3 B．4 C． D． 3．（2023春·江苏泰州·八年级统考期末）大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：为等边三角形，、、围成的也是等边三角形．已知点、、分别是、、的中点，若的面积为14，则的面积是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2023·河北石家庄·校考二模）如图1，毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形．在图2中，，分别以的三条边为边向外作正方形，连接，，交于点Q．若，，则四边形的面积是（    ）    A． B． C． D． 5．（2023·山东八年级期末）赵爽弦图是由4个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若小正方形和大正方形的面积分别是1和5，则直角三角形两条直角边长分别为（　　） A．2，1 B．1， C．2， D．2， 6.（2023·湖北咸宁市·八年级期末）勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”．若弦图中四个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则中间小正方形的对角线长为（ ） A．1 B． C． D．5 7．（2023春·山东聊城·八年级统考期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若，大正方形的面积为25，则的长为（   ） A． B． C． D．3 8．（2023·广东佛山·八年级校联考阶段练习）勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理，图2是由图1放入长方形内得到的，，，，则都在长方形的边上，则长方形的面积为（   ） A． B． C． D． 9．（2023·宁夏·统考一模）2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是17，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，则图2中最大的正方形的面积为31．试求图1中小正方形的面积是为 ． 9．（2022·四川遂宁·统考中考真题）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为 ． 10．（2023·浙江杭州·八年级校考期中）按如图方式作正方形和等腰直角三角形．若第一个正方形的边长为1，第一个正方形与第一个等腰直角三角形的面积和为，第二个正方形与第二个等腰直角三角形的面积和为，则第三个正方形的面积是 ，则第n个正方形与第n个等腰直角三角形的面积和 ． 11．（2024·上海市八年级期末）如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知，，，，则_______． 12．（2023·浙江八年级期中）如图，以的三边为直径，分别向外作半圆，构成的两个月牙形面积分别为、， 的面积．若， ，则 的值为 ________ ． 13．（2022春·安徽合肥·八年级校考期中）如图①，在Rt△ACB中∠ACB=90°，分别以AC、BC、AB为边，向形外作等边三角形，所得的等边三角形的面积分别为S1、S2、S3，请解答以下问题： （1）S1、S2、S3满足的数量关系是 ． （2）现将△ABF向上翻折，如图②，若阴影部分的S甲=6、S乙=5、S丙=4，则= ． 14．（24-25八年级上·北京·期中）如图，中，，，是边上的中线，过点作，垂足为点，过点B作交的延长线于点，，则的面积为 ． 15．（23-24江苏八年级期末）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)①勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）； ②如图1，大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，如果将如图1中的四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，求图2中最大的正方形的面积． (2)如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个； (3)如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为、，直角三角形面积为，请判断、、的关系______． 16．（2024秋·广东清远·八年级统考期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)①请叙述勾股定理．②勾股定理的证明，人们已经找到了多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理，图1与图2都是由四个全等的直角三角形构成，图3是由两个全等的直角三角形构成（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件） (2)如图4，以直角三角形的三边为直径向外部作半圆，请写出、和的数量关系：___________． 17．（2023春·山西吕梁·八年级统考阶段练习）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为），也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则．   (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． (2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？(3)在第（2）问中若时，，，，，设，求x的值． 18．（2024·湖南·校考一模）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形ACDE的中心O，作FG⊥HP，将它分成4份，所分成的四部分和以BC为边的正方形恰好能拼成以AB为边的正方形．若AC＝12，BC＝5，求EF的值． 19．（2023·河南郑州·八年级期中）(1)我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成丁一个大的正方形（如图1），这个矩形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边a、b与斜边c满足关系式a2＋b2＝c2，称为勾股定理. 证明：∵大正方形面积表示为S＝c2，，又可表示为S＝4×ab＋(b－a)2， ∴4×ab＋(b－a)2＝c2. ∴______________ 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. (2)爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形(如图2)，也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程. (3)如图3所示，∠ABC＝∠ACE＝90°，请你添加适当的辅助线，证明结论a2＋b2＝c2. 20．（2024秋·广东·八年级专题练习）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)①请叙述勾股定理．②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理．（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件） (2)①如图4，5，6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有___________个． ②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请写出，，的数量关系：___________． (3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形的边长为定值，四个小正方形，，，的边长分别为，，，d，则___________． 6 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 赵爽弦图模型与勾股树模型 弦图分为内弦图与外弦图，内弦图是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以此命题，相关的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。弦图之美，美在简约，然不失深厚，经典而久远，被誉为“中国数学界的图腾”。弦图蕴含的割补思想，数形结合思想、图形变换思想更是课堂教学中数学思想渗透的绝佳载体。一个弦图集合了初中平面几何线与形，位置与数量，方法与思想，小身板，大能量，它就是数学教育里的不老神话。广受数学教师和数学爱好者研究，近年来也成为了各地中考的热点问题。 1 模型1.弦图模型 1 模型2.勾股树模型 9 15 模型1.弦图模型 “弦图”就是我国三国时期的数学家赵爽，利用面积相等，形象巧妙的证明方法。所谓弦图模型就是四个全等直角三角形的弦互相垂直围成了一个正方形图形，当弦在围成的正方形之内叫内弦图模型，当弦恰恰是围城正方形的边长时就叫外弦图模型。 数学具有高度的抽象性，考试中有时候不会直观明了的出现弦图模型，所以学习中我们要抓住弦图本质灵活变形，从而增强数学的变化性，培养思维灵活性，为学生提供思维的广泛联想空间，使其在面临问题时能够从多种角度进行考虑，并迅速地建立起自己的思路，真正做到“举一反三”。 图1 图2 图3 图4 （1）内弦图模型： 条件：如图1，在正方形ABCD中，AE⊥BF于点E，BF⊥CG于点F，CG⊥DH于点G，DH⊥AE于点H，结论：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH； 证明：∵∠ABC＝∠BFC＝∠AEB＝90°，∴∠ABE＋∠FBC＝∠FBC＋∠FCB=90°．∴∠ABE＝∠FCB． 又∵AB＝BC，∴△ABE≌△BCF，同理可得△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH． （2）外弦图模型： 条件：如图2，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的点，EFGH是正方形， 结论：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH； 证明：∵∠B＝∠EFG＝∠C＝90°，∴∠BEF ＋∠EFB＝∠EFB＋∠GFC＝90°，∴∠BEF＝∠GFC． 又∵EF ＝FG，∴△EBF≌△FCG．同理可得△EBF≌△FCG≌△GDH≌△HAE． （3）内外组合型弦图模型： 条件：如图3、4，四边形ABCD、EFGH、PQMN、均为正方形；结论：2S正方形EFGH= S正方形ABCD+S正方形PQMN. 证明：由（1）（2）中的证明易得：图3和图4中的八个直角三角形均全等，并用 S△表示他们的面积。 ∵S正方形ABCD=S正方形PQMN+8S△；S正方形EFGH=S正方形PQMN+4S△； ∴S正方形ABCD+S正方形PQMN=S正方形PQMN+8S△+S正方形PQMN=2S正方形PQMN+8S△=2S正方形EFGH 上述三类弦图模型除了考查相关证明外，也常和完全平方公式（知二求二）结合考查。 （4）半弦图模型 图5 图6 图7 条件：如图5，EA⊥AB于点A，GB⊥AB于点B，EF⊥FG，EF=FG，结论：△AFE≌△BGF；EA+GB=AB。 证明：∵EA⊥AB于点A，GB⊥AB于点B，EF⊥FG，∴∠A＝∠B＝∠EFG＝90° ∴∠AFE＋∠AEF＝∠AEF＋∠BFG=90°．∴∠AFE＝∠BFG． 又∵EF=FG，∴△AFE≌△BGF，∴AE=BF，AF=BG，∴EA+GB=BF+AF=AB。 条件：如图6，EA⊥AB于点A，GB⊥AB于点B，EF⊥FG，EF=FG，结论：△AFE≌△BGF；EA-GB=AB。 证明：同图5证明可得：△AFE≌△BGF，∴AE=BF，AF=BG，∴EA-GB=BF-AF=AB。 条件：如图7，在Rt △ABE和Rt△BCD中，AB＝BC，AE⊥BD，结论：△ABE≌△BCD；AB-CD=EC。 证明：∵△ABE和△BCD是Rt △，AE⊥BD，∴∠ABE＝∠C＝∠AFB＝90°。 ∴∠A＋∠ABF＝∠ABF＋∠DBC=90°．∴∠A＝∠DBC。 又∵AB＝BC，∴△ABE≌△BCD，∴BE=CD，∴AB-CD=BC-BE=EC。 上面三类半弦图模型的共同特点是两个直角三角形，他们的弦互相垂直。所以做题中见着这样的关键字眼就要想到用弦图的相关知识解决问题。 例1．（23-24八年级下·山东滨州·阶段练习）如图所示的正方形图案是用个全等的直角三角形拼成的．已知正方形的面积为，正方形的面积为，若用、分别表示直角三角形的两直角边，下列三个结论：；；其中正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意可得小正方形的边长，大正方形的边长， 斜边大正方形的面积，故正确；小正方形的边长为，，故正确； 小正方形的面积四个直角三角形的面积=大正方形的面积， ，，故正确；综上可得正确．故选：A． 例2．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图1是两条直角边长分别为斜边长为c的直角三角形纸片，图2是用四张图1纸片拼成的正方形图案． (1)用含有的式子表示图2中正方形的边长；(2)当时，小正方形的面积是多少？ 【答案】(1)(2) 【详解】（1）图1中的直角三角形的两条直角边长分别为，， 图2中正方形的边长是； （2）由图可知，小正方形的边长为图1中的直角三角形的斜边， 由勾股定理可知，当，时，，小正方形的面积等于5． 例3．（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1）所示）．图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若，则的值是（　　）    A．48 B．36 C．24 D．25 【答案】C 【详解】解：∵八个直角三角形全等，四边形是正方形， ∴，∴，， ， ∴， ∴，∴．故选：C． 例4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图所示的图案是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》中“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，点是的中点，阴影部分的面积为27，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：由四边形与四边形均为正方形，点是的中点，可知、、分别为、、的中点，且， ，， ，，， 又，．故答案为：． 例5．（23-24八年级下·陕西安康·期末）图1是我国古代著名的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形围成，若较短的直角边，斜边，若将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到如图2的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（    ） A．70 B．76 C．72 D．80 【答案】B 【详解】解：∵在Rt△ABC中，直角边BC=5，斜边，∴． ∵将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍， ∴CD=2AC=12，AD=AC=6，∴在Rt△BCD中，， 则这个风车的外围周长是4(AD+BD)=4×(6+13)=76，故选：B． 例6．（2024·浙江·温州八年级期中）如图1，我国汉代赵爽在注解《周牌算经》时给出四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，人们称它为“赵爽弦图”如图2，连结，，，，记阴影部分面积为，空白部分面积为，若，则________；如图3，连结，相交于点，与相交于点．若，则________． 【答案】     ##     ## 【详解】设直角三角形较短直角边长为，较长的直角边长为，斜边长为， ，， ，，，，，， 四边形是正方形，，， ， ，，，，， ，．故答案为：，． 例7．（2024·山东济南·二模）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”．将两个大小相同的“赵爽弦图”（如图1）中的两个小正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成边长为10的正方形，则空白部分面积为    【答案】50 【详解】解：正方形的边长为10，“赵爽弦图”中正方形的边长5， 空白处的面积大正方形的面积小正方形面积．故答案为：． 例8．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，AE是BC边上的中线，过点C作，垂足为F，过点B作BC的垂线交CF的延长线于点D． (1)求证：．(2)若，求AE． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）∵，，∴，∴， 又∵，且，∴在和中，， ∴(AAS)，∴； （2）由（1）可得，∴，， ∵AE是BC边上的中线，∴，∴， 在中，∴． 例9．（23-24八年级下·重庆九龙坡·开学考试）在中，，，直线l经过点A． (1)如图1，过点B作于点D，过点C作于点E．求证：； (2)如图2，过点B作于点F，连接，已知，，求的面积． 【答案】(1)见详解(2)72 【详解】（1）证明：∵，，，， 又，，． 在和中，，，， ，． （2）解：如图，过点C作于点E． ∵，，，， 又，，， 在和中，，， ∵，， ，． 模型2.勾股树模型 勾股树，也叫“毕达哥拉斯树”。是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形，如下图。又因为重复多次后的形状好似一棵树，所以被称为勾股树。 模型特征：在直角三角形外，分别以三条边作相同的图形，则两直角边所作图形面积之和等于斜边所作图形的面积。该模型主要根据勾股定理的关系及等式性质求解，常用来解决相关面积问题。 条件：如图，在直角三角形外，分别以直角三角形三边为元素向外作形状相同的图形，若分别以两直角边为元素所作图形的面积为S1，S2，以斜边为元素所作的图形的面积为S3。 结论：S1+S2=S3 证明：设图中两直角边为a、b，斜边为c；且a、b、c三边所对应的等边三角形面积分别为S1、S2、S3。 由等边三角形和勾股定理易得：S1的高为：； ∴S1。同理：；。 由题意可得：；∴S1+S2=S3 由于该类模型的证明基本相同，故此只证明等边三角形。除了图中的三类图形，也常考等腰直角三角形。 条件：如图，正方形的边长为a，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，结论：。证明：∵正方形的边长为a，为等腰直角三角形， ∴，，∴．观察，发现规律： ，，，，…， 条件：如图，“勾股树”是以边长为m的正方形－边为斜边向外作直角三角形 ，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这－过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似－－棵树而得名．假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图， 结论：第n代勾股树中正方形的个数为：；第n代勾股树中所有正方形的面积为：。证明：由题意可知第一代勾股树中正方形有=22-1（个）， 第二代勾股树中正方形有=23-1（个）， 第三代勾股树中正方形有=24-1（个）， 由此推出第n代勾股树中正方形有（个）。 设第一代勾股树中间三角形的两直角边长为a和b，斜边长为c，根据勾股定理可得：=m2， ∴第一代勾股树中所有正方形的面积为； 同理可得：第二代勾股树中所有正方形的面积为； 第三代勾股树中所有正方形的面积为； 第n代勾股树中所有正方形的面积为。 例1．（23-24八年级下·河北承德·期末）如图，已知直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c，以直角三角形的三边为边（或直径），分别向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形．那么，这四个图形中，直角三角形外，其他几个图形面积分别记作、、． 结论Ⅰ：、、满足只有（4）； 结论Ⅱ：∵，∴的有（1）（2）（3）． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，判断正确的是（    ）． A．Ⅰ对Ⅱ不对 B．Ⅰ不对Ⅱ对 C．Ⅰ和Ⅱ都对 D．Ⅰ和Ⅱ都不对 【答案】D 【详解】解：直角三角形的三边长分别为、、，， 图1中，，，， 则，，， 同理，图2、图3、图4，都符合结论Ⅰ：， 对于Ⅱ：，但是都符合，故结论Ⅱ错误．故选：D． 例2．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，以AC为直角边向外作，分别以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆，面积分别记为S1，S2，S3，S4，已知，，，则S4为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆的面积分别为S1，S2，S3，S4， ∴，， ∴， ， ∵∠ABC＝∠CAD＝90°，∴ ∴，∴S1＋S2＝S3﹣S4， ∵S1＝3，S2＝1，S3＝7，∴3＋1＝7﹣S4，∴S4＝3，故选：B． 例3．（23-24八年级下·广西桂林·期末）如图，正方形的边长为，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…，按此规律，则的值为 ．（结果用含的式子表示）    【答案】 【详解】解：如图所示，为等腰直角三角形，    则．，即， 同理可得：， ，故答案为：． 例4．（23-24八年级下·山东日照·期中）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果第一个正方形面积为1，则第2024代勾股树中所有正方形的面积为 ． 【答案】2025 【详解】解：设第一代勾股树中间三角形的两直角边长为a和b，斜边长为c，根据勾股定理可得：， ∵,∴第一代勾股树中所有正方形的面积为； 同理可得：第二代勾股树中所有正方形的面积为； 第三代勾股树中所有正方形的面积为； 第n代勾股树中所有正方形的面积为； ∴第2024代勾股树中所有正方形的面积为2025．故答案为：2025． 例5．（2023春·重庆·八年级专题练习）如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”： 经观察可以发现：图（1）中共有3个正方形，图（2）在图（1）的基础上增加了4个正方形，图（3）在图（2）的基础上增加了8个正方形，……，照此规律“生长”下去，图（6）应在图（5）的基础上增加的正方形的个数是（    ） A．12 B．32 C．64 D．128 【答案】C 【详解】解：由题可得，图（2）比图（1）多出4个正方形， 图（3）比图（2）多出8个正方形， ； 图（4）比图（3）多出16个正方形， ； 图（5）比图（4）多出32个正方形， ； 照此规律，图（n）比图（n-1）多出正方形的个数为： 故图（6）比图（5）多出正方形的个数为：；故答案为：C． 例6．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一．如图1，以Rt△ABC的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为S1，S2，S3，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形DEFG）的面积为（　　） A．2S1+S2+S3 B．2S2+2S3 C．3S1 D．S1+S2+S3 【答案】D 【详解】解：设直角三角形的斜边长为a，较长直角边为c，较短直角边为b， 由勾股定理得，，∴， ∴，∴S四边形DEFG＝S1+S2+S3，故选：D． 1．（2024·上海八年级期末）如图，已知1号、4号两个正方形的面积和为10，2号、3号两个正方形的面积和为8，则a，b，c三个正方形的面积和为（     ） A．18 B．26 C．28 D．34 【答案】B 【详解】解：解：如下图所示， ∵，，∴， 在和中，∴，∴， ∵，∴，同理可证，，， ∴，∵，， ∴，故选B． 2．（2023·北京·八年级校考期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若，大正方形的面积为25，则图2中的长为（　　）    A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】解：由图形2可知，中间四边形的边长为的小正方形， ∵大正方形的面积为25，∴， 又∵大正方形的面积由四个全等的直角三角形加中间小正方形的面积， ∴，∴，∴，∴（负值已舍）， 即图2中小正方形的边长为3，∴，故选：D． 3．（2023春·江苏泰州·八年级统考期末）大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：为等边三角形，、、围成的也是等边三角形．已知点、、分别是、、的中点，若的面积为14，则的面积是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：连接，如图所示：    点、、分别是、、的中点，，， 为等边三角形，也是等边三角形， ，，是的一个外角，， 是的一个外角，，， 在和中，，， 同理，可得，， ， ， ， ，解得，故选：B． 4．（2023·河北石家庄·校考二模）如图1，毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形．在图2中，，分别以的三条边为边向外作正方形，连接，，交于点Q．若，，则四边形的面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：在中，∵，，， ∴，则， ∵四边形是正方形，∴，， ∴，∴，即，解得， ∴四边形的面积为：． 故选：A． 5．（2023·山东八年级期末）赵爽弦图是由4个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若小正方形和大正方形的面积分别是1和5，则直角三角形两条直角边长分别为（　　） A．2，1 B．1， C．2， D．2， 【答案】A 【详解】解：设直角三角形短直角边为，长直角边，斜边长． 由题可列大正方形面积小正方形面积解得，．故选A． 6.（2023·湖北咸宁市·八年级期末）勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”．若弦图中四个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则中间小正方形的对角线长为（ ） A．1 B． C． D．5 【答案】B 【详解】解：∵四个直角三角形的两条直角边长分别为3和4， ∴中间小正方形的边长为4-3=1，∴中间小正方形的对角线长为．故选B． 7．（2023春·山东聊城·八年级统考期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若，大正方形的面积为25，则的长为（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：， 每一个直角三角形的面积为：， 从图形中可得，大正方形的面积是个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和， ，，，．故选：C． 8．（2023·广东佛山·八年级校联考阶段练习）勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理，图2是由图1放入长方形内得到的，，，，则都在长方形的边上，则长方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：延长交于O，延长交于N，则四边形是长方形，如图所示： ∵四边形是正方形，∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，∴， ∴，， ∴，，∴矩形的面积为，故D正确．故选：D． 9．（2023·宁夏·统考一模）2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是17，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，则图2中最大的正方形的面积为31．试求图1中小正方形的面积是为 ． 【答案】3 【详解】解：由题意可得在图1中：a2+b2=17，图2中大正方形的面积为：， ∴∴ab=7， ∴ ，即图1中小正方形的面积是3．故答案为：3． 9．（2022·四川遂宁·统考中考真题）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为 ． 【答案】127 【详解】解：∵第一代勾股树中正方形有1+2=3（个），第二代勾股树中正方形有1+2+22=7（个）， 第三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15（个），.....． ∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26=127（个），故答案为：127． 10．（2023·浙江杭州·八年级校考期中）按如图方式作正方形和等腰直角三角形．若第一个正方形的边长为1，第一个正方形与第一个等腰直角三角形的面积和为，第二个正方形与第二个等腰直角三角形的面积和为，则第三个正方形的面积是 ，则第n个正方形与第n个等腰直角三角形的面积和 ． 【答案】 【详解】解：∵第一个正方形的边长为1，第2个正方形的边长为， 第3个正方形的边长为，…，第n个正方形的边长为， ∴第n个正方形的面积为：， 则第n个等腰直角三角形的面积为：，故第3个正方形的面积； 第n个正方形与第n个等腰直角三角形的面积和．故答案为：，． 11．（2024·上海市八年级期末）如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知，，，，则_______． 【答案】46 【详解】解：由图可知，AB2= 故答案为：46． 12．（2023·浙江八年级期中）如图，以的三边为直径，分别向外作半圆，构成的两个月牙形面积分别为、， 的面积．若， ，则 的值为 ________ ． 【答案】12 【详解】解：设Rt△ABC的三边分别为a、b、c，则， 观察图形可得：，即， ∵，∴=，∴=4+8=12，故答案为：12． 13．（2022春·安徽合肥·八年级校考期中）如图①，在Rt△ACB中∠ACB=90°，分别以AC、BC、AB为边，向形外作等边三角形，所得的等边三角形的面积分别为S1、S2、S3，请解答以下问题： （1）S1、S2、S3满足的数量关系是 ． （2）现将△ABF向上翻折，如图②，若阴影部分的S甲=6、S乙=5、S丙=4，则= ． 【答案】 S1+S2=S3 7 【详解】解：（1）在中，∠ACB=90°，则AB2=AC2+BC2， 如图，在等边中，边上的高 同理：S2=BC，S3=AB，∴S1+S2=S3； （2）设面积为S，图②中两个白色图形的面积分别为a，b； ∵S1+S2=S3，∴S甲+a+ S乙+b= S丙+a+b+S，∴S甲+ S乙= S丙+S，∴S=6+5-4=7． 故答案为：（1）S1+S2=S3；（2）7． 14．（24-25八年级上·北京·期中）如图，中，，，是边上的中线，过点作，垂足为点，过点B作交的延长线于点，，则的面积为 ． 【答案】4 【详解】解：∵，，，∴， ∵，，∴， 在和中，，∴≌(ASA)．∴， ∵是边上的中线，∴BE=CE=BC，∴BE=BD， ∵，∴，，∴．故答案为：4． 15．（23-24江苏八年级期末）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)①勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）； ②如图1，大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，如果将如图1中的四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，求图2中最大的正方形的面积． (2)如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个； (3)如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为、，直角三角形面积为，请判断、、的关系______． 【答案】(1)①见解析；②(2)(3) 【详解】（1）①证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即，化简得． 在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即，化简得． 在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和． 即，化简得． ②在图1中：，， 图2中大正方形的面积为：， ∵，，∴，， ∴，∴图2中大正方形的面积为29． （2）根据题意得：，如图4： 即有：，，，∴； 如图5：，，，∵，∴； 如图6：下面推导正三角形的面积公式：正的边长为u，过顶点x作，V为垂足，如图， 在正中，有，，∵，∴，， ∴在中，有，∴正的面积为：， ∴，， ∵∴； ∴三个图形中面积关系满足的有3个故答案为：3； （3）关系：，理由如下：以a为直径的半圆面积为：， 以b为直径的半圆面积为：，以c为直径的半圆面积为：， 三角形的面积为：，∴， 即：，结合（1）的结论： ∴． 16．（2024秋·广东清远·八年级统考期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)①请叙述勾股定理．②勾股定理的证明，人们已经找到了多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理，图1与图2都是由四个全等的直角三角形构成，图3是由两个全等的直角三角形构成（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件） (2)如图4，以直角三角形的三边为直径向外部作半圆，请写出、和的数量关系：___________． 【答案】(1)①直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；②见解析(2) 【详解】（1）解：①勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； ②如选择图1，四个相同的直角三角形的面积和再加上中间小四边形的面积等于大正方形的面积， 即化简得：， 如选择图2，大正方形的面积等于四个相同的直角三角形的面积和再加上中间四边形的面积， 即，化简得：； 如选择图3，则梯形的面积等于三个直角三角形的面积和， 即，化简得：； （2）解：如图： 则， ， ， ∵，∴，故答案为：． 17．（2023春·山西吕梁·八年级统考阶段练习）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为），也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则．    (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． (2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？(3)在第（2）问中若时，，，，，设，求x的值． 【答案】(1)见解析(2)少0.05千米(3) 【详解】（1）解：梯形的面积为， 也可以表示为，∴，即； （2）∵，∴，在中，， 即，解得，即，（千米）， 答：新路比原路少0.05千米； （3）设，则，在中，， 在中，，∴， 即，解得：． 18．（2024·湖南·校考一模）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形ACDE的中心O，作FG⊥HP，将它分成4份，所分成的四部分和以BC为边的正方形恰好能拼成以AB为边的正方形．若AC＝12，BC＝5，求EF的值． 【答案】或 【详解】设，则，当时，∴，∴； 当时，∴，∴；综上所述或； 19．（2023·河南郑州·八年级期中）(1)我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成丁一个大的正方形（如图1），这个矩形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边a、b与斜边c满足关系式a2＋b2＝c2，称为勾股定理. 证明：∵大正方形面积表示为S＝c2，，又可表示为S＝4×ab＋(b－a)2， ∴4×ab＋(b－a)2＝c2. ∴______________ 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. (2)爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形(如图2)，也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程. (3)如图3所示，∠ABC＝∠ACE＝90°，请你添加适当的辅助线，证明结论a2＋b2＝c2. 【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）证明见解析. 【详解】解答：证明：（1）∵大正方形面积表示为S＝，又可表示为S＝4×， ∴4×=．∴，∴， 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．故答案为； （2）证明：由图得，大正方形面积＝×ab×4＋＝（a＋b）×（a＋b）， 整理得，，即 ； （3）如图，过A作AF⊥AB，过E作EF⊥AF于F，交BC的延长线于D，则四边形ABDF是矩形， ∵△ACE是等腰直角三角形，∴AC＝CE＝c，∠ACE＝90°＝∠ACB＋∠ECD， ∵∠ACB＋∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠ECD， ∵∠B＝∠D＝90°，∴△ABC≌△CDE（AAS），∴CD＝AB＝b，DE＝BC＝a， S矩形ABDF＝b（a＋b）＝2× ，∴． 20．（2024秋·广东·八年级专题练习）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)①请叙述勾股定理．②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理．（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件） (2)①如图4，5，6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有___________个． ②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请写出，，的数量关系：___________． (3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形的边长为定值，四个小正方形，，，的边长分别为，，，d，则___________． 【答案】(1)①见解析，②见解析(2)①3，②(3) 【详解】（1）解：①如果直角三角形的两条直角边分别为，，斜边为，那么．或在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方）；②（以下过程，选择其一解答即可，不必三个皆证．） 若选择图1，证明过程如下： 证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和， 即，化简，得． 若选择图2，证明过程如下：在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，即，化简，得． 若选择图3，证明过程如下：证明：在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和， 即，化简，得． （2）①根据题意，则如下图所示：在图4中，直角三角形的边长分别为a、b、c，则 由勾股定理，得，∴； 在图5中，三个扇形的直径分别为a、b、c，则 ，，，∴， ∵，∴，∴； 在图6中，等边三角形的边长分别为a、b、c，则 ，，，（等边三角形面积公式：，a为边长） ∵，，∴，∴； ∴满足的有3个，故答案为：3； ②结论； ，；故答案为：． （3）如图9，正方形A、B、C、D、E、F、M中，对应的边长分别为a、b、c、d、e、f、m，则有 由（1）（2）中的结论可知，面积的关系为：， ∴，，，∴故答案为：． 32 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $$