专题02 直角三角形中的分类讨论模型-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版）

专题02 直角三角形中的分类讨论模型 直角三角形是特殊三角形中最重要的一类三角形，它的重要性与等腰三角形有所不同，到初二初三，特别是到了初三，直角三角形往往不是独立成题，而是融入到各种图形中，可以说，多数的几何图形，都能找到直角三角形的影子，自然就会涉及到直角三角形有关的性质运用，本专题我们就讲直角三角形的分类讨论模型。 2 模型1.斜边（或直角）不确定的直角三角形模型 2 模型2.直角三角形存在性模型 16 58 【知识储备】凡是涉及直角三角形问题，以三角形三个内角（三条边）谁为直角（斜边）分三种情况讨论，若只存在两种情况，则另一种不为直角的情况要简要说明理由。 有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便。在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到。解直角三角形的问题，常常和勾股定理的问题联系在一起． 模型1.斜边（或直角）不确定的直角三角形模型 若直角三角形没有明确谁直角（斜边），要分类讨论；从直角（斜边）入手分三种情况进行讨论。 例1．（2024·浙江嘉兴·三模）已知直角三角形两边长为3，4，则该直角三角形斜边上的中线长为（    ） A．2或2.5 B．5或 C．2.5或 D．2.5或 【答案】A 【详解】解：当和为直角边时，则斜边，中线， 当斜边为时，中线，∴斜边的长为或，故选：A． 例2．（2023春·河南郑州·八年级校考期中）如图，是的角平分线，是的高，，，点F为边上一点，当为直角三角形时，则的度数为 ． 【答案】或 【详解】解：如图所示，当时， ∵是的角平分线，， ∴，∴中，； 如图，当时，同理可得， ∵，∴， ∴， 综上所述：的度数为或．故答案为：或． 例3．（23-24八年级下·广东深圳·期中）如图，是等边三角形，点与点分别在边与上，将沿直线折叠，使得的对应点落到边上，当为直角三角形时，的度数为（    ）    A．45°或75° B．45°或30° C．30°或75° D．45°或60° 【答案】A 【详解】解：为等边三角形，，当为直角三角形时，有以下两种情况： ①当时，如图1所示：      则，由折叠的性质得：， ②当为直角时，如图2所示： 则，，由折叠的性质得：， 综上所述：的度数为或．故选：A． 例4．（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，D是边上的动点，过点D作交于点E，将沿折叠，点A的对应点为点F，当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】4或2/2或4 【详解】解：∵，，∴． ∵将沿翻折，点A的对应点为F，∴，，∴， ∴当为直角三角形时，分两种情况： ①当时，∴，∴．∵，∴，∴． ②当时，如图，则：，∴，∴，∴；综上：或；故答案为：4或2． 模型2.直角三角形存在性模型 直角三角形存在性的问题常考背景有翻折（折叠）、动点、旋转等。 直角三角形存在性的问题，首先需要观察图形，判断直角顶点是否确定。若不确定，则需要进行分类讨论，如下面模型构建。 “两定一动”直角三角形存在性问题：（常见与坐标系综合、或结合翻折（折叠）、动点、旋转等）。 问题：已知点A，B和直线l，在l上求点P，使△PAB为直角三角形． 分三种情况，如图： ①以A为直角顶点，即∠BAP＝90°：过点A作AB的垂线，与已知直线l的交点P1即为所求； ②以B为直角顶点，即∠ABP＝90°：过点B作AB的垂线，与已知直线l的交点P2即为所求； ③以P为直角顶点，即∠APB＝90°：以AB的中点Q为圆心，QA的长为半径画圆，与已知直线l的交点P3，P4即为所求． 代数法计算：分别表示出点A，B，P的坐标，再分别表示出AB，AP和BP的长，由①BP2＝AB2＋AP2；②AP2＝AB2＋BP2；③AB2＝AP2＋BP2分别列方程求解．若方程有解，则此情况存在；若方程无解，则此情况不存在。 几何法计算：特殊地，若有30°，45°或60°角可考虑用勾股定理求解． 例1．（2023·山东威海·八年级统考期中）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰直角三角形，则点的个数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】A 【详解】解：如图，分情况讨论：①为等腰的底边时，符合条件的C点有2个； ②为等腰其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．共有6个．故选：A 例2．（2023·河南新乡·八年级校考期中）平面直角坐标系中有点、，连接AB，以AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，则点C的坐标是 ． 【答案】或/或 【详解】解：如图，、， 以AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，则, ①当时，过点作轴于点， 在与中 ②当时，过点作轴于点，同理可得 ， 综上，点C的坐标是或 故答案为：或 例3．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，点为轴上的一个动点，点的坐标为，点的坐标为，轴于点，当点的坐标为 时，为直角三角形． 【答案】，， 【详解】设点B的坐标为（x，0），分三种情况： 第一种AB为斜边 勾股定理得 解得： 第二种AC为斜边 勾股定理得 解得： 第三种BC为斜边 勾股定理得解得： 点B得坐标是（）、（2，0）、（-3，0）故答案为：（）、（2，0）、（-3，0） 例4．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）如图所示，在中，，点是射线上的一个动点．（1）当为直角三角形时，的长为 ． （2）若点在边的下方，当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】 或 【详解】（1）∵∴， 当为直角三角形时，即， ∵，∴，，故答案为：． （2）如图1所示，当时，， 为等边三角形，∴； 如图2所示，当时，， ∴,，， 又．．故答案为：或． 例5．（23-24八年级下·山西吕梁·期中）如图，是等边三角形，，点M从点B出发沿射线运动，运动速度为每秒1个单位，在运动的过程中要使为直角三角形，则点M的运动时间为 秒． 【答案】2或8 【详解】解：①当时，如图所示， ， 是等边三角形，，为的中线，，； ②当时，如图所示，，为等边三角形，， ，，， 综上所述，点M的运动时间为2或8秒，故答案为：2或8． 例6．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，轴于点，轴于点，点是轴正半轴上动点，连接，将折叠得到，点与点对应，折痕为． (1)填空：______，______，______． (2)如图，的边与分别与交于点，，．①求证：；②求的长． (3)连接，当是以为直角顶点的直角三角形时，直接写出点坐标． 【答案】(1)，，(2)①证明见解析；②(3)点坐标为或 【详解】（1）解：∵点，轴于点，轴于点， ∴，，，∴，故答案为：，，； （2）①证明：如图，连接，∵，∴， ∵将折叠得到，∴，，，∴， 又∵，，∴，∴； ②解：设，则，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，解得：，∴； （3）解：∵是以为直角顶点的直角三角形，∴点在直线上， 如图，当点在线段时，∵将折叠得到，∴，， ∴，∴， ∵，∴，∴，∴点， 当点在线段的延长线上时，同理可求，∴， ∵，∴，∴，∴点， 综上所述：点坐标为或． 例7．（2023秋·辽宁锦州·八年级统考期末）【模型构建】 如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线l作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用． 【模型应用】(1)如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，①则_________；②C，D是正比例函数图像上的两个动点，连接AD，BC，若，则AD的最小值是_______；(2)如图2，一次函数的图像与y轴，x轴分别交于A，B两点．将直线绕点A逆时针旋转得到直线l，求直线l对应的函数表达式； 【模型拓展】(3)如图3，点A在x轴负半轴上，，过点A作轴交直线于点B，P是直线上的动点，Q是y轴上的动点，若是以其中一个动点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．      【答案】(1)①；② (2) (3)或或或 【详解】（1）解：①∵与x轴，y轴交于A，B两点，∴，∴， 又∵，∴为等腰直角三角形，∴；故答案为； ②∵A是定点，∴如图：当时，有最小值；       ∵,∴， ∵，∴， 在和中， ∴，∴ 在中，由勾股定理得：， ∴，∴的最小值为．故答案为． （2）解：如图，过点B作交直线l于点C，过点C作轴．∴． ∵，∴．∴．∴． ∵，∴．∴． ∵，∴．∴． 当时，，∴． 当时，，∴．∴． 设直线l对应的函数表达式为，将和代入， 得     解得∴． （3）解：①当,,P在x轴的上方， 如图1：过P作轴，交于M，交y轴于N， ∵，∴， 又∵，∴，∴； ∵直线l：，∴设， ∴，∴， ∴，∴,即， ①②联立解得：，∴；       ②当,,P在x轴的下方， 如图2：同①易证： ，∴； ∵直线l：，∴设， ∴，∴， ∴,∴,即， ①②联立解得：，∴; ③当,,P在x轴的上方， 如图3：易证，∴； ∵直线l：，∴设， ∴，∴， ∵，∴， ①②联立解得：，∴；       ④当,,P在x轴的下方， 如图：易证，∴； ∵直线l：，∴设， ∴，∴，∵，∴， ①②联立解得：，∴． 综上，点P的坐标为或或或． 1．（2023秋·山东枣庄·八年级统考期中）在直角坐标系中，为坐标原点，已知点，在坐标轴上确定点，使得为直角三角形，则符合条件的点的个数共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解：如图所示： ①当为斜边时，过分别作轴和轴的垂线，垂足即为点，符合条件的点有2个； ②当为斜边时，过作的垂线，与轴和轴的交点即为点，符合条件的点有2个； 符合条件的点的个数共有4个，故选：． 2．（2023秋·广东佛山·九年级校联考阶段练习）如图，在矩形中，，．点E为射线上的一个动点，与关于直线对称，当为直角三角形时，则的长为（    ） A．2或18 B．3或18 C．3或2 D．2或8 【答案】A 【详解】解：分两种情况讨论：①当E点在线段DC上时，∵△AD'E≌△ADE，∴∠AD'E＝∠D＝90°， ∵∠AD'B＝90°，∴∠AD'B+∠AD'E＝180°，∴B、D'、E三点共线， ∵，AD'＝AD，∴BE＝AB＝10， ∵，∴DE＝D'E＝10﹣8＝2； ②当E点在线段DC的延长线上，且ED″经过点B时，满足条件，如下图， ∵∠ABD″+∠CBE＝∠ABD″+∠BAD″＝90°，∴∠CBE＝∠BAD″， 在△ABD″和△BEC中，∵，∴△ABD″≌△BEC（ASA），∴BE＝AB＝10， ∵，∴DE＝D″E＝BD''+BE＝8+10＝18．综上所知，DE＝2或18．故选：A． 3．（2023春·山东淄博·八年级统考期末）如图，中，，，，，若动点以的速度从点出发，沿着的方向运动，设点的运动时间为秒（），连接，当是直角三角形时，的值为（    ）    A．2 B．2或7 C．2或5 D．2或5或7 【答案】D 【详解】解：在中，，，，， ∴， ∵点以的速度从点出发，沿着的方向运动，点从点运动到点所需的时间为秒，则分以下两种情况：①当时，，， 当时，∵，∴， ∴，即，解得，符合题设； 当时，∵，∴， ∴，即，解得，符合题设； ②当时，，当时，∵，∴， ∴，即，解得，不符合题设，舍去； 当时，∵，∴， ∴，即，解得，符合题设；综上，的值为2或5或7，故选：D． 4．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，在△ABC中，AB=2，AO=BO，P是直线CO上的一个动点，∠AOC=60°，当△PAB是以BP为直角边的直角三角形时，AP的长为（    ） A．,1,2 B．,,2 C．,,1 D．，2 【答案】C 【详解】当∠APB=90°时,情况一：（如图）， ∵AO=BO，∴PO=BO，∵∠AOC=60°，∴∠BOP=60°，∴△BOP为等边三角形，∴BP=1， 在Rt△APB中，AP=； 情况二：如图2，∵AO=BO，∠APB=90°，∴PO=AO， ∵∠AOC=60°，∴△AOP为等边三角形，∴AP=AO=1； 当∠ABP=90°时（如图3）， ∵∠AOC=∠BOP=60°，∴∠BPO=30°，∴OP=2OA=2，∴BP=， 在直角三角形ABP中，AP=；故选C． 5．（2023秋·山东·八年级专题练习）如图，已知，点是射线上一动点，当为直角三角形时， ．    【答案】或 【详解】解：当时，满足为直角三角形； 当时，∵，∴； 综上所述，的度数为或故答案为：或 6．（23-24八年级上·山东青岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，△AOB是直角三角形，∠OAB＝90°，OA＝3，AB＝4，则点A关于x轴的对称点的坐标为 ． 【答案】， 【详解】解：过点作于点， 是直角三角形，，，，， ，， 点坐标为：，，点关于轴的对称点的坐标为：，．故答案为：，． 7．（2023春·广东八年级课时练习）如图，等边三角形中，，于点D，点E、F分别是、上的动点，沿所在直线折叠，使点C落在上的点处，当是直角三角形时，的值为 ． 【答案】或 【详解】解：∵是等边三角形，，∴，，由折叠可得， 分两种情况：①若，∵，∴，则：， 又∵∴，∴，∴， ②若，∵，∴， 又∵，∴，∴，∴， 综上所述，的值为或．故答案为：或． 8．（2023春·湖北襄阳·八年级统考开学考试）如图，在中，，，，，点是边上一动点．连接，将沿折叠，得到，其中点落在处，交于点，当为直角三角形时，长度是 ．    【答案】或 【详解】解：，，，，， 由折叠得：，，当时，， ，是等边三角形，，； 当时，， 在中，，，； 综上所述，的长度为或．故答案为：或． 9．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，点D是BC边上的一点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，使点C落在点E处，当△BDE是直角三角形时，∠CAD的度数为 ． 【答案】或 【详解】解：分两种情况：如图， ①当时，点在上时， ②当时，即在外时，如图， 由折叠可得：，，， 平分，，不可能为直角．故答案为或． 10．（2023秋·江苏淮安·八年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，现将BC延长到点D，使△ABD为等腰三角形，则CD的长为 ． 【答案】4，6或 【详解】解：如图，当AD=BD时， ∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，∴,设， 由，可得，解得：，即； 如图，当AB=BD时，∵AB=BD，∴; 如图，当AB=AD时，∵AB=BD，∠C=90°，∴； 综上可得CD的长为4，6或.故答案为：4，6或． 11．（2023春·江苏·八年级期末）在中，，，的角平分线BD交AC于D，E为线段AB上的动点，当是直角三角形时，的度数是 ．（写出所有的正确结果） 【答案】69°或11° 【详解】∵，，∴∠A=180°-80°-42°=58°， 当是直角三角形时，如图，当∠AED=90°， ∵BD平分∠ABC，∴∠DBE= ∠ABC=，∴∠BDE=90°-21°=69°； 如图，当∠ADE=90°时，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC= ∠ABC=， ∴∠ADB=∠DBC+∠C=21°+80°=101°，∴∠BDE=∠ADB-∠ADE=101°-90°=11°，故答案为：69°或11°． 12．（2023秋·重庆·八年级课堂例题）已知点A和点，以点A和点为两个顶点作等腰直角三角形，一共可以作出 个． 【答案】6 【详解】解：如图，以点和点为两个顶点作等腰直角三角形，    一共可作出6个．故答案为：6 13．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，A，两点分别在轴，轴上，点A的坐标为，点的坐标为，点为射线上一动点，点关于直线的对称点为点，当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】3或6/6或3 【详解】解：设，点关于直线的对称点为点， ， 当为直角三角形时，分三种情况： 当时，如图： 三点共线， ，解得，； 当时，如图： 为等腰直角三角形，； 当时，则，与相矛盾，故不存在．故答案为：或． 14．（23-24八年级下·河南商丘·期末）数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动．如图，四边形为矩形，将矩形沿着过点的直线翻折，交于点，点的对应点为点． (1)如图1，当点正好落在对角线和的交点处时，的度数是 ； 如图2，若点是的中点，点落在矩形的内部时，延长交边于点．若，请探究之间的数量关系，并说明理由； (2)已知，，直线与射线交于点，当是直角三角形时，请直接写出的长． 【答案】(1)①；②，理由见解析 (2)2或18 【详解】（1）解：①∵四边形是矩形，∴，，，， ∴，由折叠的性质可得：，∴， ∴是等边三角形，∴，∴； ②如图，连接，∵点是的中点，∴， ，， ， 由折叠的性质可得：，，，∴，， ∵，∴，∴， 由折叠可得：，∴，∴， ∴，∴，设，则， ∴，∴； （2）解：当直线与边交于点，点落在矩形内部，是直角三角形时，如图， ∵四边形是矩形，∴，，， 设，由折叠可得：，，， ∴，，∴，， 在中，根据勾股定理得：，∴，解得：，∴； 当直线与边交于点，点落在矩形外部，是直角三角形时，如图， 由折叠可得：，∵四边形是矩形， ∴，∴，∴，∴， ∴，∴；综上所述，的长为或． 15．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，，，若点从点出发以的速度向点运动，点从点出发以的速度向点运动，设、分别从点、同时出发，运动的时间为．(1)线段______，______；（用含的式子表示） (2)当为何值时，是以为底边的等腰三角形？(3)当为何值时，为直角三角形？ 【答案】(1)；(2)(3)3或 【详解】（1）解：由题意得，，，故答案为：；． （2）解：∵是以为底的等腰三角形，∴，即，解得， ∴当时，是以为底边的等腰三角形． （3）解：分两种情况：①当时， ∵，，∴，∴，∴，解得； ②当时，则，∵，∴， ∴，即，解得，综上所述，为3或时，为直角三角形． 16．（2023秋·广西百色·八年级统考期末）在△ABC中，AB＝20cm，BC＝16cm，点D为线段AB的中点，动点P以2cm/s的速度从B点出发在射线BC上运动，同时点Q以α cm/s（α＞0且α≠2）的速度从C点出发在线段CA上运动，设运动时间为秒．(1)若AB＝AC，P在线段BC上，求当α为何值时，能够使△BPD和△CQP全等？(2)若∠B＝60°，求出发几秒后，△BDP为直角三角形？ (3)若∠B＝60°，求出发几秒后，△BDP为等边三角形？ 【答案】(1)2.5（cm/s）(2)出发2.5S或10S时，△BPD为直角三角形 (3)当时，△BPD为等边三角形 【详解】（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C，                        又点P与点Q同时出发，但速度不同， ∴   ∴当BP=CP，BD=CQ时，△BPD≌△CQP，则2=16-2，解得． 又点D是AB的中点，∴CQ=BD=10，∴4α=10，解得α=2.5（cm/s） （2）分两种情况讨论：①当∠BPD=90°时，又∠B=60°，∴∠BDP=30° ∴ ②当∠BDP=90°时，又∠B=60°，∴∠BPD=30°∴，解得： ∴出发2.5S或10S时，△BPD为直角三角形． （3）当BD=BP时，又∠B=，△BPD为等边三角形 ∴，解得∴当时，△BPD为等边三角形 17．（2023秋·浙江杭州·八年级校联考期末）在中，，，点在上（不与点B，C重合）．(1)如图1，点E在上（不与点A，B重合），且．若，求证：； (2)若是直角三角形，求的长． 【答案】(1)见解析(2)6或 【分析】（1）利用三角形外角的性质得，再利用证明； （2）分两种情况，①若，②若，过点作于，由勾股定理可求出答案． 【详解】（1）证明：∵AB=AC=10，，， ，， 在和中，∴； （2）解：①若， 　 ，，，，； ②若，过点作于， 由①可知，设，，， ，解得，，．综上所述，的长为6或． 18．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)请用无刻度的直尺和圆规，作出平行四边形，并写出点C的坐标；（要求：不写作法，保留作图痕迹）；(2)P为x轴上的一点，当为直角三角形时，请求出点P的坐标． 【答案】(1)作图见详解；(2)或 【详解】（1）解：如图，点C即为所求； ∵四边形是平行四边形，∴，与平行，又，∴，∴； （2）解：设，∵，，∴， ①当为直角三角形，且时，，解得：，此时：； ②当为直角三角形，且时，，解得：（舍去，与点B重合）； ③当为直角三角形，且时，， 解得：（舍去，与点B重合了）或2，此时：；综上，或． 19．（23-24八年级上·山东济南·期中）阅读下列材料，回答问题 在一次函数中，x的系数k与其图象的倾斜方向与倾斜程度有关，我们把k叫做直线的斜率，关于斜率，有以下结论：①若，则直线的斜率； ②若直线：，直线：，则当，时，；当时，直线； 我们可以直接利用斜率来解决许多关于直线位置关系的问题： 若直线l经过点 (1)如图1，直线l的斜率 ；(2)如图2，过点作轴于C，若点D是y轴正半轴上的点且． ①连接，试探究直线与直线有何位置关系；②求的面积； (3)在y轴上是否存在一点M，使是以为直角边的直角三角形，若有，请直接写出所有符合要求的点M的坐标，若无，请说明理由． 【答案】(1)(2)①；②；(3)或 【详解】（1）解：∵，∴，故答案为：； （2）①∵点D是y轴正半轴上的点且，过点作轴于C， ∴，，∴，∴，∴； ②∵，∴，设直线的解析式为， 将点代入得：，∴，当时，， 如图所示：，∴的面积为：； （3）设点，∵是以为直角边的直角三角形，∴分两种情况：①当时， ∵，∴，根据题意得，∴，解得：，∴； ②当时，∵，∴，根据题意得，∴， 解得：；∴；综上可得：或 ． 20．（2022春·四川成都·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，经过的直线交x轴正半轴于点B，交y轴于点，直线交x轴负半轴于点D，若的面积为    (1)求直线的表达式和点D的坐标；(2)横坐标为m的点P在线段上（不与点重合），过点P作x轴的平行线交于点E，设的长为，求y与m之间的函数关系式并直接写出相应的m取值范围；(3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在点F，使为等腰直角三角形？若存在求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2) (3)存在，点F的坐标为或或 【详解】（1）解：，∴设直线的解析式为， ∵直线经过，，，∴直线的解析式为，，， 的面积为，， ，，，直线的解析式为 （2）解：设直线的解析式为， ，∴，解得．∴直线的解析式为； ∵点P在上，且横坐标为m，，轴，∴E的纵坐标为， 代入得，，解得，， 的长；即，； （3）解：在x轴上存在点F，使为等腰直角三角形，    ①当时，如图①，有，，， ，解得，此时； ②当时，如图②，有，的长等于点E的纵坐标， ，，解得：，∴点E的横坐标为，∴； ③当时，如图③，有，． ，．作，点R为垂足， ，，．同理，． ∵点R与点E的纵坐标相同，，∴，解得：， ，∴点F的横坐标为，． 综上，在x轴上存在点F使为等腰直角三角形，点F的坐标为或或． 17 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 直角三角形中的分类讨论模型 直角三角形是特殊三角形中最重要的一类三角形，它的重要性与等腰三角形有所不同，到初二初三，特别是到了初三，直角三角形往往不是独立成题，而是融入到各种图形中，可以说，多数的几何图形，都能找到直角三角形的影子，自然就会涉及到直角三角形有关的性质运用，本专题我们就讲直角三角形的分类讨论模型。 2 模型1.斜边（或直角）不确定的直角三角形模型 2 模型2.直角三角形存在性模型 16 58 【知识储备】凡是涉及直角三角形问题，以三角形三个内角（三条边）谁为直角（斜边）分三种情况讨论，若只存在两种情况，则另一种不为直角的情况要简要说明理由。 有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便。在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到。解直角三角形的问题，常常和勾股定理的问题联系在一起． 模型1.斜边（或直角）不确定的直角三角形模型 若直角三角形没有明确谁直角（斜边），要分类讨论；从直角（斜边）入手分三种情况进行讨论。 例1．（2024·浙江嘉兴·三模）已知直角三角形两边长为3，4，则该直角三角形斜边上的中线长为（    ） A．2或2.5 B．5或 C．2.5或 D．2.5或 例2．（2023春·河南郑州·八年级校考期中）如图，是的角平分线，是的高，，，点F为边上一点，当为直角三角形时，则的度数为 ． 例3．（23-24八年级下·广东深圳·期中）如图，是等边三角形，点与点分别在边与上，将沿直线折叠，使得的对应点落到边上，当为直角三角形时，的度数为（    ）    A．45°或75° B．45°或30° C．30°或75° D．45°或60° 例4．（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，D是边上的动点，过点D作交于点E，将沿折叠，点A的对应点为点F，当是直角三角形时，的长为 ． 模型2.直角三角形存在性模型 直角三角形存在性的问题常考背景有翻折（折叠）、动点、旋转等。 直角三角形存在性的问题，首先需要观察图形，判断直角顶点是否确定。若不确定，则需要进行分类讨论，如下面模型构建。 “两定一动”直角三角形存在性问题：（常见与坐标系综合、或结合翻折（折叠）、动点、旋转等）。 问题：已知点A，B和直线l，在l上求点P，使△PAB为直角三角形． 分三种情况，如图： ①以A为直角顶点，即∠BAP＝90°：过点A作AB的垂线，与已知直线l的交点P1即为所求； ②以B为直角顶点，即∠ABP＝90°：过点B作AB的垂线，与已知直线l的交点P2即为所求； ③以P为直角顶点，即∠APB＝90°：以AB的中点Q为圆心，QA的长为半径画圆，与已知直线l的交点P3，P4即为所求． 代数法计算：分别表示出点A，B，P的坐标，再分别表示出AB，AP和BP的长，由①BP2＝AB2＋AP2；②AP2＝AB2＋BP2；③AB2＝AP2＋BP2分别列方程求解．若方程有解，则此情况存在；若方程无解，则此情况不存在。 几何法计算：特殊地，若有30°，45°或60°角可考虑用勾股定理求解． 例1．（2023·山东威海·八年级统考期中）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰直角三角形，则点的个数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．10 例2．（2023·河南新乡·八年级校考期中）平面直角坐标系中有点、，连接AB，以AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，则点C的坐标是 ． 例3．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，点为轴上的一个动点，点的坐标为，点的坐标为，轴于点，当点的坐标为 时，为直角三角形． 例4．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）如图所示，在中，，点是射线上的一个动点．（1）当为直角三角形时，的长为 ． （2）若点在边的下方，当为直角三角形时，的长为 ． 例5．（23-24八年级下·山西吕梁·期中）如图，是等边三角形，，点M从点B出发沿射线运动，运动速度为每秒1个单位，在运动的过程中要使为直角三角形，则点M的运动时间为 秒． 例6．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，轴于点，轴于点，点是轴正半轴上动点，连接，将折叠得到，点与点对应，折痕为． (1)填空：______，______，______． (2)如图，的边与分别与交于点，，．①求证：；②求的长． (3)连接，当是以为直角顶点的直角三角形时，直接写出点坐标． 例7．（2023秋·辽宁锦州·八年级统考期末）【模型构建】 如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线l作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用． 【模型应用】(1)如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，①则_________；②C，D是正比例函数图像上的两个动点，连接AD，BC，若，则AD的最小值是_______；(2)如图2，一次函数的图像与y轴，x轴分别交于A，B两点．将直线绕点A逆时针旋转得到直线l，求直线l对应的函数表达式； 【模型拓展】(3)如图3，点A在x轴负半轴上，，过点A作轴交直线于点B，P是直线上的动点，Q是y轴上的动点，若是以其中一个动点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．      1．（2023秋·山东枣庄·八年级统考期中）在直角坐标系中，为坐标原点，已知点，在坐标轴上确定点，使得为直角三角形，则符合条件的点的个数共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（2023秋·广东佛山·九年级校联考阶段练习）如图，在矩形中，，．点E为射线上的一个动点，与关于直线对称，当为直角三角形时，则的长为（    ） A．2或18 B．3或18 C．3或2 D．2或8 3．（2023春·山东淄博·八年级统考期末）如图，中，，，，，若动点以的速度从点出发，沿着的方向运动，设点的运动时间为秒（），连接，当是直角三角形时，的值为（    ）    A．2 B．2或7 C．2或5 D．2或5或7 4．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，在△ABC中，AB=2，AO=BO，P是直线CO上的一个动点，∠AOC=60°，当△PAB是以BP为直角边的直角三角形时，AP的长为（    ） A．,1,2 B．,,2 C．,,1 D．，2 5．（2023秋·山东·八年级专题练习）如图，已知，点是射线上一动点，当为直角三角形时， ．    6．（23-24八年级上·山东青岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，△AOB是直角三角形，∠OAB＝90°，OA＝3，AB＝4，则点A关于x轴的对称点的坐标为 ． 7．（2023春·广东八年级课时练习）如图，等边三角形中，，于点D，点E、F分别是、上的动点，沿所在直线折叠，使点C落在上的点处，当是直角三角形时，的值为 ． 8．（2023春·湖北襄阳·八年级统考开学考试）如图，在中，，，，，点是边上一动点．连接，将沿折叠，得到，其中点落在处，交于点，当为直角三角形时，长度是 ．    9．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，点D是BC边上的一点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，使点C落在点E处，当△BDE是直角三角形时，∠CAD的度数为 ． 10．（2023秋·江苏淮安·八年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，现将BC延长到点D，使△ABD为等腰三角形，则CD的长为 ． 11．（2023春·江苏·八年级期末）在中，，，的角平分线BD交AC于D，E为线段AB上的动点，当是直角三角形时，的度数是 ．（写出所有的正确结果） 12．（2023秋·重庆·八年级课堂例题）已知点A和点，以点A和点为两个顶点作等腰直角三角形，一共可以作出 个． 13．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，A，两点分别在轴，轴上，点A的坐标为，点的坐标为，点为射线上一动点，点关于直线的对称点为点，当为直角三角形时，的长为 ． 14．（23-24八年级下·河南商丘·期末）数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动．如图，四边形为矩形，将矩形沿着过点的直线翻折，交于点，点的对应点为点． (1)如图1，当点正好落在对角线和的交点处时，的度数是 ； 如图2，若点是的中点，点落在矩形的内部时，延长交边于点．若，请探究之间的数量关系，并说明理由； (2)已知，，直线与射线交于点，当是直角三角形时，请直接写出的长． 15．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，，，若点从点出发以的速度向点运动，点从点出发以的速度向点运动，设、分别从点、同时出发，运动的时间为．(1)线段______，______；（用含的式子表示） (2)当为何值时，是以为底边的等腰三角形？(3)当为何值时，为直角三角形？ 16．（2023秋·广西百色·八年级统考期末）在△ABC中，AB＝20cm，BC＝16cm，点D为线段AB的中点，动点P以2cm/s的速度从B点出发在射线BC上运动，同时点Q以α cm/s（α＞0且α≠2）的速度从C点出发在线段CA上运动，设运动时间为秒．(1)若AB＝AC，P在线段BC上，求当α为何值时，能够使△BPD和△CQP全等？(2)若∠B＝60°，求出发几秒后，△BDP为直角三角形？ (3)若∠B＝60°，求出发几秒后，△BDP为等边三角形？ 17．（2023秋·浙江杭州·八年级校联考期末）在中，，，点在上（不与点B，C重合）．(1)如图1，点E在上（不与点A，B重合），且．若，求证：； (2)若是直角三角形，求的长． 18．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)请用无刻度的直尺和圆规，作出平行四边形，并写出点C的坐标；（要求：不写作法，保留作图痕迹）；(2)P为x轴上的一点，当为直角三角形时，请求出点P的坐标． 19．（23-24八年级上·山东济南·期中）阅读下列材料，回答问题 在一次函数中，x的系数k与其图象的倾斜方向与倾斜程度有关，我们把k叫做直线的斜率，关于斜率，有以下结论：①若，则直线的斜率； ②若直线：，直线：，则当，时，；当时，直线； 我们可以直接利用斜率来解决许多关于直线位置关系的问题： 若直线l经过点 (1)如图1，直线l的斜率 ；(2)如图2，过点作轴于C，若点D是y轴正半轴上的点且． ①连接，试探究直线与直线有何位置关系；②求的面积； (3)在y轴上是否存在一点M，使是以为直角边的直角三角形，若有，请直接写出所有符合要求的点M的坐标，若无，请说明理由． 20．（2022春·四川成都·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，经过的直线交x轴正半轴于点B，交y轴于点，直线交x轴负半轴于点D，若的面积为    (1)求直线的表达式和点D的坐标；(2)横坐标为m的点P在线段上（不与点重合），过点P作x轴的平行线交于点E，设的长为，求y与m之间的函数关系式并直接写出相应的m取值范围；(3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在点F，使为等腰直角三角形？若存在求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$