专题01 等腰三角形中的分类讨论模型-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版）

专题01 等腰三角形中的分类讨论模型 等腰三角形的分类讨论模型，是八年级各类考试中几何压轴题的常客，并且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的应用意识和思维能力。在历年中考当中，很多考生因为在处理等腰三角形有关的多解问题时，常常考虑不全面，导致漏解丢分。在学习等腰三角形的性质和判定时，分类讨论的思想尤为重要，希望大家要认真对待。本专题将把等腰三角形分类讨论情形作系统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。 2 模型1.等腰三角形中的分类讨论模型-对角的分类讨论 2 模型2.等腰三角形中的分类讨论模型-对高的分类讨论 3 模型3.等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论 5 13 【知识储备】 1）凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。 2）掌握分类的原则，即标准统一，不重复、不遗漏，力求最简； 3）体会分类的思想，即不能确定，就要分类。 模型1.等腰三角形中的分类讨论模型-对角的分类讨论 若等腰三角形没有明确角的种类，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分顶角与底角两种情况进行分类讨论。当然有时候已知条件是以边的形式给出，我们讨论顶角和底角与讨论底和腰的原理相同。 例1．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）等腰三角形中，有一个角是，则另外两个角分别为 ． 【答案】或 【分析】本题考查等边对等角，三角形的内角和定理，分为顶角和底角两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：①当的角为顶角时，另外两个角为底角，度数相同均为：； ②当的角为底角时，则一个角为底角度数为，一个角为顶角，度数为； 故答案为：或 例2．（2023春·山东枣庄·八年级校考期中）已知x，y满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ） A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不对 【答案】B 【分析】利用非负数的性质，求出，的值，利用分类讨论的思想思考问题即可． 【详解】解：，又，，，， 当等腰三角形的边长为4，4，8时，不符合三角形的三边关系； 当等腰三角形的三边为8，8，4时，周长为20，故选：B． 【点睛】本题考查等腰三角形的概念、非负数的性质、三角形的三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 例3．（2023春·黑龙江佳木斯·八年级校考期中）一个等腰三角形的周长为18cm，且一边长是4cm，则它的腰长为（    ） A．4cm B．7cm C．4cm或7cm D．全不对 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的定义，两腰相等，结合三角形的三边关系，进行求解即可． 【详解】解：当cm为腰长时，则底边长为cm， ∵，不符合题意；∴cm为底边长，∴等腰三角形的腰长为：；故选B． 【点睛】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系．解题的关键是掌握等腰三角形的两腰相等，注意讨论时要根据三角形的三边关系，判断能否构成三角形． 例4．（2024八年级上·江苏·专题练习）已知等腰三角形的周长为13．若该三角形其中两边的长分别为和，则底边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、三角形三边关系、一元一次方程的应用，分三种情况，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：分三种情况讨论： ①若两腰长分别为和，则，解得，腰长为， ∵等腰三角形的周长为13，故此时不符合题意，舍去； ②若腰长为，底边长为，则，解得， ，，此时三角形三条边为，，，不满足三角形三边关系，故不符合题意，舍去； ③若底边长为，腰长为，则，解得， ，，此时三角形三边长为，，，满足三角形三边关系，符合题意； 综上所述，底边长为，故答案为：． 模型2.等腰三角形中的分类讨论模型-对高的分类讨论 若等腰三角形没有明确高的位置，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分腰上高与底边高、界内高与界外高两种情况进行分类讨论。 例1．（24-25八年级上·重庆·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的底角的度数为 ． 【答案】或 【详解】解：分两种情况讨论：若，如图所示：    ，，，， ，； 若，如图所示： 同可得：，， ，； 综上所述：等腰三角形底角的度数为或．故答案为或． 例2．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为和两部分，那么这个等腰三角形的底边长是 ． 【答案】/厘米 【详解】解：如图，是等腰三角形，是腰上的中线， 设，则，由题意，分以下两种情况： ①当时，则，解得， 此时等腰三角形的三边长分别为，不满足三角形的三边关系定理，舍去； ②当时，则，解得， 此时等腰三角形的三边长分别为，满足三角形的三边关系定理， 因此，这个等腰三角形的底边长为．故答案为：． 模型3.等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论 1）等腰三角形没有明确边的种类，要分类讨论；结合三角形三边关系分腰与底边两种情况进行分类讨论。 2）坐标系中的等腰三角形的分类讨论。 等腰三角形的两种分类讨论方法 方法1. “两圆一线”；（一般符合“两个定点一个动点”的等腰三角形）。 如图：已知，两点是定点，在坐标轴上找一点构成等腰。 ①以已知线段为底作它的垂直平分线，与坐标轴的交点即为点P（有2个）； ②以已知线段为腰：用线段的两个端点为圆心，线段长为半径，分别作圆。（以为圆心的有4个，以为圆心的有2个）。具体题目要通过计算这些点的坐标来考虑是否出现重叠现象。 方法2. “三边两两相等分三种情况”讨论，先列出三种情况，再首先选最简单的那种情况先解答。 若是“两个动点一个定点”，多采用第二种方法分类讨论。但就算是用第二种方法分类讨论，也可以先用“两圆一线”确定符合等腰三角形的点可能有几个及这些点的大致位置。 例1．（2023春·安徽宿州·八年级校考期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B均在格点上．要在格点上确定一点C，连接和，使是以为顶角的等腰三角形，则网格中满足条件的点C的个数是（    ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】利用格点分别作出等腰三角形，即可得到答案. 【详解】如图所示．网格中满足条件的点C有，共4个,故选B． 【点睛】此题考查的是等腰三角形的判定，正确画出图形是解题的关键. 例2．（2024·山东·统考二模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，若为轴上一点，且使得为等腰三角形，则满足条件的点有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】分别以O、A为圆心，以OA长为半径作圆，与x轴交点即为所求点M，再作线段OA的垂直平分线，与坐标轴的交点也是所求的点M，作出图形，利用数形结合求解即可． 【详解】解：如图， 满足条件的点M的个数为2．故选A． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 例3．（2023·福建南平·八年级校考期中）已知△ABC中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的二分割线．如图1，Rt△ABC中，显然直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．在图2的△ABC中，∠ABC＝110°，若直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，则∠CDB的度数是 ． 【答案】40°或90°或140° 【分析】分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求解． 【详解】解：①如图，当∠DBC=90°，AD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线， ∵∠ABC=110°，∠DBC=90°，∴∠ABD=20°， ∵AD=BD，∴∠A=∠ABD=20°，∴∠CDB=∠A+∠ABD=40°； ②如图，当∠BDC=90°，AD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，或当∠BDC=90°，CD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，； ③如图，当∠ABD=90°，CD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线， ∵∠ABC=110°，∠ABD=90°，∴∠DBC=20°，∵CD=BD，∴∠C=∠DBC=20°，∴∠BDC=140°． 综上所述：当∠BDC的度数是40°或90°或140°时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，理解二分割线是本题关键． 例4．（2024·福建·厦门八年级期末）在平面直角坐标系中，点A（10，0）、B（0，3），以AB为边在第一象限作等腰直角△ABC，则点C的坐标为_______． 【答案】 【分析】根据题意作出图形，分类讨论，根据三角形全等的性质与判定即可求得点的坐标 【详解】解：如图， 当为直角顶点时，则,作轴， 又,同理可得 根据三线合一可得是的中点，则，综上所述，点C的坐标为 故答案为： 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键． 例5．（2024·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）如图1，中，于D，且， (1)试说明是等腰三角形；(2)已知，如图2，动点M从点B出发以每秒的速度沿线段向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒），①若的边与平行，求t的值；②若点E是边的中点，问在点M运动的过程中，能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)见解析(2)①5或6；②9或10或 【分析】（1）设，则，由勾股定理求出，即可得出结论； （2）由的面积求出；①当时，；当时，；得出方程，解方程即可； ②由直角三角形的性质得出，根据题意得出当点M在上，即时，为等腰三角形，有3种可能： ； ；；分别得出方程，解方程即可． 【详解】（1）证明：设，则， 在中，，∴，∴是等腰三角形； （2）解：设，则， ，而，∴ 则， 由题意可知当点M到达点A时点N刚好到达点C，此时． ①当时，，即，∴； 当时，，得：； ∴若的边与平行，t值为5或6． ②∵点E是边的中点，，∴cm， 当点M在上，即时，为钝角三角形，但； 当时，点M运动到点D，不构成三角形 当点M在上，即时，为等腰三角形，有3种可能． 如果，则，∴； 如果，则点M运动到点A，∴； 如果cm，过点E作于F，如图3所示： 此时cm，∵，∴cm ∵，∴cm， ∵cm，则在中，，∴． 综上所述，符合要求的t值为9或10或． 【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、解方程等知识；本题有一定难度，需要进行分类讨论才能得出结果． 例6．（2023春·四川成都·八年级校考期中）如图1，直线：与直线交于轴上一点，点在轴正半轴上，．    (1)求直线的函数表达式；(2)如图2，将直线绕点逆时针旋转与射线交于点，若面积是，求点的坐标；(3)点是直线上的一个动点，在坐标轴上找一点，连接，，，当是以为底边的等腰直角三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)直线的函数表达式为(2) (3)点的坐标为或或或 【详解】（1）解：直线：分别与轴，轴交于两点， 在中，当时，，点坐标为， 点在轴正半轴上，，， 设直线的解析式为， ，，直线的函数表达式为； （2）解：直线：分别与轴，轴交于两点， 在中，当时，，解得， ，，， ，，， 由题意知，点在轴下方， ，，， 把代入，，解得，； （3）解：若点在轴的正半轴，如图，   ，   ， 是以为底边的等腰直角三角形，，， 直线的解析式为，时，， ，，，； 若点在轴的负半轴，如图， 同理可得，，； 若点在轴的负半轴，如图， ，   ， 过点作轴于点，是等腰直角三角形，，， ，，， ，，设，则， ，解得，，，； 若点在轴的正半轴，如图，过点作轴于点，同理可得， ，，，，， 综上所述，点的坐标为或或或． 1．（2023秋·江苏·八年级专题练习）已知平面直角坐标系中，点A的坐标为，在y轴上确定点P，使为等腰三角形，则符合条件的点P共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6 【答案】B 【分析】分类讨论①②③时，求出点P的个数． 【详解】因为为等腰三角形，所以可分三类讨论： ①(有一个)．此时只要以A为圆心长为半径画圆，可知圆与y轴交于O点和另一个点，另一个点就是点P； ②(有两个)．此时只要以O为圆心长为半径画圆，可知圆与y轴交于两个点，这两个点就是P的两种选择； ③(一个)．作的中垂线与y轴有一个交点，该交点就是点P的最后一种选择． 综上所述，共有4个．故选B.    【点睛】本题考查等腰三角形的判定、坐标与图形性质，解决此类问题的方法主要是线段垂直平分线与辅助圆的灵活运用以及分类讨论时做到不重不漏． 2．（2023·云南昭通·八年级校联考期末）已知一个等腰三角形一边长为6，周长为20，则另两边长分别为（   ） A．6，8 B．7，7 C．6，8或7，7 D．以上都不对 【答案】C 【分析】分两种情况讨论：若腰长为6；若底边长为6，即可求解． 【详解】解：若腰长为6，则底边长为， 此时另两边长分别为6，8；可以构成三角形，满足题意； 若底边长为6，则腰长为， 此时另两边长分别为7，7；可以构成三角形，满足题意； 综上所述，另两边长分别为6，8或7，7．故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键． 4．（2023春·江西九江·八年级统考期中）如图是一张长方形纸片，已知，现要剪下一张等腰三角形纸片（），则等腰三角形的底边长是 ．    【答案】或或5 【分析】分情况讨论：①当时，则是等腰直角三角形，得出底边即可；②当时，求出，由勾股定理求出，再由勾股定理求出等边即可；③当时，底边；即可得出结论． 【详解】解：如图所示：    ①当时， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴底边； ②当时， ∵， ∴， ∴底边； ③当时，底边； 综上所述：等腰三角形的底边长为或或5； 故答案为：或或5． 【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的判定，进行分类讨论是解决问题的关键． 5．（2023春·四川达州·七年级统考期末）若一个等腰三角形的一条边是另一条边的k倍，我们把这样的等腰三角形叫做“k倍边等腰三角形”如果一个等腰三角形是“3倍边等腰三角形”，且周长为，那么该等腰三角形的底边长为 ． 【答案】5 【分析】设该等腰三角形的较短边长为，则较长边长为，分①为腰；②为腰两种情况讨论即可． 【详解】解：设该等腰三角形的较短边长为，则较长边长为. 当为腰时， ， 不能组成三角形； ②当为腰时，能够组成三角形， ， ， ∴该等腰三角形底边长为． 故填：5． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理，进行分类讨论是解题的关键． 6.（2024·湖南·长沙八年级阶段练习）如图，在中，，，在坐标轴上取点，使得为等腰三角形，符合条件的点有__________个. 【答案】6 【分析】分类讨论：AB=AM时，AB=BM时，AM=BM时，根据两边相等的三角形是等腰三角形，可得到符合题意的点的个数. 【详解】①当AB=AM时，在y轴上有2个满足条件的点M,在x轴上有1个满足条件的点M; ②当AB=BM时，在y轴上有1个满足条件的点M,在x轴上有2个满足条件的点M,有1点与AB=AM时的x轴负半轴上的点M重合； ③当AM=BM时，在x轴、y轴上各有1个满足条件的点M，有一点与AB=AM时的x轴负半轴上的点M重合．综上所述，符合条件的点M共有6个．故答案为:6. 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，注意有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故存在重合的情况，此为解题的关键. 7．（2023秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如果等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为，那么等腰三角形的顶角为 度． 【答案】56或68或124 【分析】作出图形，分高与腰长的夹角和腰长与底边的夹角根据直角三角形两锐角互余和等腰三角形两底角相等解答． 【详解】解：如图1，∵腰上的高与另一边的夹角为， 若， ∴； 若，则， ∴顶角； 如图2，， 顶角． 综上所述，等腰三角形的顶角为56或68或124． 故答案为：56或68或124． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了直角三角形两锐角互余的性质，等腰三角形两底角相等的性质，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观． 8．（2023春·河南周口·八年级校考期中）如图，在中，，，，为射线上一点，且为等腰三角形，则的长为 ．    【答案】，， 【分析】分，，三种情形分析，根据等腰三角形的性质以及勾股定理求即可 【详解】如图， 在中，，，， 当时， 当时， 当时， 设 则，， 解得， 即 综上所述，的长为，，．    【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键． 9．（2023·江苏扬州·八年级统考阶段练习）如图，在中，，，，动点P从点B出发，沿射线以的速度运动，设运动时间为ts，当 s时，是以为腰的等腰三角形． 【答案】5或8 【分析】是以为腰的等腰三角形时，分两种情况：①当时；②当时，分别求出的长度，继而可求得t值． 【详解】解：在中，，，， ∴cm， ①当时，如图1，则； ②当时， 故答案为：5或8． 【点睛】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握等腰三角形的性质，以及分情况讨论，注意不要漏解． 10．（2024·湖北孝感·八年级统考期末）等腰三角形的一个外角是140°，则它的顶角的度数为 ． 【答案】40°或100° 【分析】由该等腰三角形的外角是140°，可求出相邻的内角为40°．分情况讨论，①当40°角为顶角时，40°即为所求；②当40°角为底角时，结合三角形内角和定理即可求出顶角大小． 【详解】解：根据题意可知该等腰三角形的一个内角为：， ①当40°角为顶角时，即该等腰三角形顶角度数为40°； ②当40°角为底角时， 该等腰三角形顶角度数 。故答案为：40°或100°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理．注意分类讨论是解答本题的关键． 11．（2024·河南·郑州八年级阶段练习）如图，已知等腰△ABC中，ABAC5，BC8，E是BC上的一个动点，将△ABE沿着AE折叠到△ADE处，再将边AC折叠到与AD重合，折痕为AF，当△DEF是等腰三角形时，BE的长是___________． 【答案】或或． 【分析】分三种情况讨论：DE=DF，DE=EF，EF=DF．利用等腰三角形的性质和全等三角形解题． 【详解】解：由折叠可知，BE=DE，DF=CF，AD=AB=AC=5， 当DE=DF时，如图1， 此时DE=DF=BE=CF，∵AB=AC，∴∠B=∠C， 在△ABE和△ACF中， ∴△ABE≌△ACF，∴AE=AF， ∴AD垂直平分EF，∴EH=FH，， ∴，∴， 设，则，则在直角△DHE中，，解得， 当DE=EF时，如图2，作AH⊥BC于H，连接BD，延长AE交BD于N， 可知BE=DE=EF，∵AH⊥BC，AB=AC，BC=8∴BH=CH=4， ∴，设，则， ∴，即 ∵AB=AD，∠BAN=∠DAN，∴AN⊥BD，BN=DN，∴，∴ 在△AHE和△BNE中， ∴△AHE≌△BNE，∴AE=BE， 设，则，在直角△AEH中，，解得， 当DF=EF时，如图3，过A作AH⊥BC于H，延长AF交DC于M， 同理∴故答案为：或或． 【点睛】本题考查折叠问题，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，注意分类讨论是解题的关键． 12．（2023春·山东枣庄·八年级校考阶段练习）已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为，求此等腰三形的顶角的度数． 【答案】或 【分析】分情况进行讨论：①等腰三角形为锐角三角形；②等腰三角形为钝角三角形，即可得出答案． 【详解】解：①当等腰三角形为锐角三角形时，如图所示：    ∵垂直平分，， ∴， ∴； ②当等腰三角形为钝角三角形时，如图所示：    ∵垂直平分，， ∴， ∴， ∴； 综上分析可知：等腰三形的顶角的度数为或． 【点睛】本题考查的是等腰三角形，解题的关键是画出图形，注意数形结合，容易忽略的是考虑该等腰三角形为钝角三角形． 13．（2023·福建·八年级校考期中）已知，点在射线上，且，点在射线上；设．(1)若是直角三角形且是斜边时，求的值；(2)若是等腰三角形时，求的值． 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）根据题意，当时，求出，再根据勾股定理可得出答案； （2）分三种情况画出图形，利用含度角的直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：是直角三角形且是斜边时，即当时， ，， ， ； 的值为； （2）解：当是等腰三角形时，分三种情况讨论： 如图，当时， 过点作于点， ， ， ， ， ， ； ； 如图，当时，； 如图，当时，过点作于点， ， ，， ， ， ， ． 综上所述：的值为或或． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查等腰三角形的判定与性质、三角形的三边关系、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 14．（2023春·山西运城·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，点B、C的坐标分别为、，点A在第一象限，且是等边三角形．点D的坐标为，E是边上一动点，连接，以为边在右侧作等边，连接．(1)求出A点坐标；(2)当点F落在边上时，与全等吗？若全等，请给予证明；若不全等，请说明理由；(3)当以为腰的是等腰三角形时，的长为_________．        【答案】(1)(2)，理由见解析(3)6或 【详解】（1）解：如图1中，过点作于点．    ， ， 是等边三角形，， ，， ， ； （2）解：， 证明：如图2，    理由：是等边三角形，是等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ； （3） 解：如图中，当时，过点作于点．过点作于点，    ∵点D的坐标为， ∴， ∵C的坐标分别为， ∴， ∴， ，， ， ，，， ， ， ∵是等边三角形 ∴，， ∴， ∴， ； 如图中，当时，，    ， ， 综上所述，满足条件的的值为6或． 【点睛】本题属三角形综合题，考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 15．（2023春·福建宁德·八年级校联考期中）定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”． 【理解概念】（1）顶角为的等腰三角形 　 　“准等边三角形”．（填“是”或“不是”） 【巩固新知】（2）已知是“准等边三角形”，其中，．求的度数． 【解决问题】（3）如图，在中，，，，点D在边上，若是“准等边三角形”，求的长．    【答案】（1）不是（2）的度数为或（3）的长为或 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，求得三角形的内角，再根据“准等边三角形”即可求解； （2）分两种情况求解，或，分别求解即可； （3）是“准等边三角形”，分两种情况，或，分别求解即可． 【详解】解：（1）∵等腰三角形的顶角为， ∴等腰三角形的两个底角度数分别为，， ∴顶角为的等腰三角形不是“准等边三角形”； （2）∵是“准等边三角形”， ，， ∴分两种情况： 当时， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴°， ∴；                                   ………． 综上所述：的度数为或； （3）∵，，， ∴，， ∵是“准等边三角形”，∴分两种情况： 当时， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； 当时， 过点D作，垂足为E，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； 综上所述： 的长为或． 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，含30度直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，利用分类讨论的思想求解问题． 16．（23-24八年级下·重庆涪陵·开学考试）如图，直线的图像与轴和轴分别交于点和点，将沿直线对折使点和点重合，直线与轴交于点，与交于点，连接． (1)求线段的长；(2)若点是点关于轴的对称点，求的面积；(3)已知轴上有一点，若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，请求出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）根据坐标轴上点的特征，求出点的坐标，设，由折叠的性质可得，利用勾股定理求解即可； （2）先求出点的坐标，然后由，即可获得答案； （3）设点，分三种情况利用等腰三角形两腰相等的性质，建立方程并求解即可获得答案． 【详解】（1）解：对于直线， 令，则， ∴点， 令，则有，解得， ∴点， 设， ∵将沿直线对折使点和点重合，直线与轴交于点，与交于点， ∴， 在中，可有， 即，解得， ∴线段的长为； （2）如下图，连接， ∵点是点关于轴的对称点，线段的长为， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴ ； （3）∵线段的长为， ∴， 设点， ∵点， ∴，，， ∵为等腰三角形， ∴①当时，可有， 解得， ∴点的坐标为； ②当时，可有， 解得（舍去）或， ∴点的坐标为； ③当时，可有， 解得或， ∴点的坐标为或． 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特征、折叠的性质、勾股定理、三角形面积、等腰三角形的性质等知识，利用方程思想、数形结合思想分析问题是解题关键． 17．（2023秋·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）定义：用一条直线分割一个三角形，如果能分割出等腰三角形，那么就称这条直线为该三角形的一条等腰分割线．如图，中，．    (1)如图（1），若O为的中点，则直线_____的等腰分割线．（填“是”或“不是”） (2)如图（2）已知的一条等腰分割线交边于点P，且，若，请求出的度数．(3)如图（3），若，点M是边上的一点，如果直线是的等腰分割线，这样的点M共有______个． 【答案】(1)是 (2) (3)4 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得两个等腰三角形； （2）由中，，且，，可求出、度数，即可得到答案； （3）分情况进行讨论：先分是等腰三角形时，分三种情况讨论；再分是等腰三角形时，同理分三种情况讨论． 【详解】（1）解： ，为中点， 在中，， 和都是等腰三角形． 则直线是的等腰分割线； 故答案为：是． （2）解：中，，且，， ，， ； （3）解：这样的点M共有4个，理由如下： 中，,， ， ①若为等腰三角形， 当时， 当M为中点时，，此时、为等腰三角形， 当时，M不在边上，舍去； ②若为等腰三角形， 当时， 当时， 当M为中点时，，与①中第二种情况是同一点， 综上，这样的点M共有4个． 故答案为：4． 【点睛】此题是三角形的综合题，主要考查了复杂作图和等腰三角形的判定与性质，解决此类题目需要熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．解题的关键是正确理解题意，了解等腰分割线的意义． 18．（2023秋·吉林长春·八年级校考开学考试）在中，，点是上一点，将沿翻折后得到，边交射线于点．    (1)如图①，当时，求证：．(2)若，． ①如图②，当时，x的值为 ___________；②当是等腰三角形时，直接写出x的值． 【答案】(1)见解析 (2)①；②存在，22.5或45 【分析】（1）由同角的余角相等可得，由折叠的性质可得，从而得到，最后根据平行线的判定即可得证； （2）①根据三角形内角和定理分别求出，，根据折叠的性质进行计算即可；②分三种情况：当时；当时；当，分别进行计算即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴， 由翻折可知，， ∴， ∴； （2）解：①∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 由翻折可知，； 故答案为：； ②∵， ， ， ∴当时，即， 解得， 即的值为22.5， 当时，， 解得， ∵， 不合题意，故舍去； 当，， 解得， 综上可知，当是等腰三角形时，的值为22.5或45． 【点睛】本题主要考查的是折叠的性质、三角形内角和定理和外角性质、等腰三角形的性质、平行线的判定，熟练掌握折叠的性质、三角形内角和定理和外角性质、等腰三角形的性质、平行线的判定，是解题的关键． 19．（2022秋·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期中）如图，在长方形中，，，点P以的速度从点A出发，沿运动；同时点Q以的速度从点D出发向点A运动，P、Q两点有一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设运动时间为．    (1)用含t的代数式表示 ；(2)当点P在线段上运动时，且是等腰三角形时，求t的值； (3)用含t的代数式表示的面积． 【答案】(1) (2) (3)，；时，；时， 【分析】（1）先将表示出来，再根据即可进行解答； （2）根据等腰三角形的性质可得，当时，，分别表示出，列出方程求解即可； （3）根据题意，进行分类讨论：①当时，点P在上，②当时，点P在上，③当时，点P在上． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴等腰中， ∵， ∴，解得：， （3）解：①当时，点P在上， ∴， ②当时，点P在上， ∴， ③当时，点P在上， ∵，点P做过的路程为， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了列代数式，等腰三角形的性质，整式的混合运算，解题的关键是正确理解题意，根据题意列出代数式；掌握等腰三角形两腰相等；以及整式混合运算的运算顺序和运算法则． 20．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点，，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处． (1)的长为______；点D的坐标是______．(2)求点C的坐标；(3)点M是y轴上一动点，若，求出点M的坐标．(4)在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，；(2)(3)或；(4)存在，点P的坐标或或 【详解】（1）解：，， ,， 在中，, 由折叠的性质可知，， ， 点D的坐标是， 故答案为：，； （2）解：设，则， 由折叠的性质可知，， 在中，， ， 解得：，即， 点C的坐标为； （3）解：，， ，， ， 设点的坐标为， ， ， ， ， 或， 或， 点M的坐标为或； （4）解：存在，理由如下： ①当，，则为等腰直角三角形， 如图，过点作轴于点, ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点P的坐标为； ②当，，则为等腰直角三角形， 如图，过点作轴于点, 同理 可证，， ，， , 点P的坐标为； ③当，，则为等腰直角三角形， 如图，过点作轴于点,轴于点, ， ， ， ， ， 在和中， , ， ，， 设点P的坐标为， ， ，， ， 解得：， 点P的坐标为， 综上可知，第一象限内存在点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标或或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，绝对值方程，作辅助线构造全等三角形，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． 8 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 等腰三角形中的分类讨论模型 等腰三角形的分类讨论模型，是八年级各类考试中几何压轴题的常客，并且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的应用意识和思维能力。在历年中考当中，很多考生因为在处理等腰三角形有关的多解问题时，常常考虑不全面，导致漏解丢分。在学习等腰三角形的性质和判定时，分类讨论的思想尤为重要，希望大家要认真对待。本专题将把等腰三角形分类讨论情形作系统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。 2 模型1.等腰三角形中的分类讨论模型-对角的分类讨论 2 模型2.等腰三角形中的分类讨论模型-对高的分类讨论 3 模型3.等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论 5 13 【知识储备】 1）凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。 2）掌握分类的原则，即标准统一，不重复、不遗漏，力求最简； 3）体会分类的思想，即不能确定，就要分类。 模型1.等腰三角形中的分类讨论模型-对角的分类讨论 若等腰三角形没有明确角的种类，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分顶角与底角两种情况进行分类讨论。当然有时候已知条件是以边的形式给出，我们讨论顶角和底角与讨论底和腰的原理相同。 例1．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）等腰三角形中，有一个角是，则另外两个角分别为 ． 例2．（2023春·山东枣庄·八年级校考期中）已知x，y满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ） A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不对 例3．（2023春·黑龙江佳木斯·八年级校考期中）一个等腰三角形的周长为18cm，且一边长是4cm，则它的腰长为（    ） A．4cm B．7cm C．4cm或7cm D．全不对 例4．（2024八年级上·江苏·专题练习）已知等腰三角形的周长为13．若该三角形其中两边的长分别为和，则底边长为 ． 模型2.等腰三角形中的分类讨论模型-对高的分类讨论 若等腰三角形没有明确高的位置，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分腰上高与底边高、界内高与界外高两种情况进行分类讨论。 例1．（24-25八年级上·重庆·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的底角的度数为 ． 例2．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为和两部分，那么这个等腰三角形的底边长是 ． 模型3.等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论 1）等腰三角形没有明确边的种类，要分类讨论；结合三角形三边关系分腰与底边两种情况进行分类讨论。 2）坐标系中的等腰三角形的分类讨论。 等腰三角形的两种分类讨论方法 方法1. “两圆一线”；（一般符合“两个定点一个动点”的等腰三角形）。 如图：已知，两点是定点，在坐标轴上找一点构成等腰。 ①以已知线段为底作它的垂直平分线，与坐标轴的交点即为点P（有2个）； ②以已知线段为腰：用线段的两个端点为圆心，线段长为半径，分别作圆。（以为圆心的有4个，以为圆心的有2个）。具体题目要通过计算这些点的坐标来考虑是否出现重叠现象。 方法2. “三边两两相等分三种情况”讨论，先列出三种情况，再首先选最简单的那种情况先解答。 若是“两个动点一个定点”，多采用第二种方法分类讨论。但就算是用第二种方法分类讨论，也可以先用“两圆一线”确定符合等腰三角形的点可能有几个及这些点的大致位置。 例1．（2023春·安徽宿州·八年级校考期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B均在格点上．要在格点上确定一点C，连接和，使是以为顶角的等腰三角形，则网格中满足条件的点C的个数是（    ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 例2．（2024·山东·统考二模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，若为轴上一点，且使得为等腰三角形，则满足条件的点有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 例3．（2023·福建南平·八年级校考期中）已知△ABC中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的二分割线．如图1，Rt△ABC中，显然直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．在图2的△ABC中，∠ABC＝110°，若直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，则∠CDB的度数是 ． 例4．（2024·福建·厦门八年级期末）在平面直角坐标系中，点A（10，0）、B（0，3），以AB为边在第一象限作等腰直角△ABC，则点C的坐标为_______． 例5．（2024·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）如图1，中，于D，且， (1)试说明是等腰三角形；(2)已知，如图2，动点M从点B出发以每秒的速度沿线段向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒），①若的边与平行，求t的值；②若点E是边的中点，问在点M运动的过程中，能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 例6．（2023春·四川成都·八年级校考期中）如图1，直线：与直线交于轴上一点，点在轴正半轴上，．    (1)求直线的函数表达式；(2)如图2，将直线绕点逆时针旋转与射线交于点，若面积是，求点的坐标；(3)点是直线上的一个动点，在坐标轴上找一点，连接，，，当是以为底边的等腰直角三角形时，直接写出点的坐标． 1．（2023秋·江苏·八年级专题练习）已知平面直角坐标系中，点A的坐标为，在y轴上确定点P，使为等腰三角形，则符合条件的点P共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6 2．（2023·云南昭通·八年级校联考期末）已知一个等腰三角形一边长为6，周长为20，则另两边长分别为（   ） A．6，8 B．7，7 C．6，8或7，7 D．以上都不对 4．（2023春·江西九江·八年级统考期中）如图是一张长方形纸片，已知，现要剪下一张等腰三角形纸片（），则等腰三角形的底边长是 ．    5．（2023春·四川达州·七年级统考期末）若一个等腰三角形的一条边是另一条边的k倍，我们把这样的等腰三角形叫做“k倍边等腰三角形”如果一个等腰三角形是“3倍边等腰三角形”，且周长为，那么该等腰三角形的底边长为 ． 6.（2024·湖南·长沙八年级阶段练习）如图，在中，，，在坐标轴上取点，使得为等腰三角形，符合条件的点有__________个. 7．（2023秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如果等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为，那么等腰三角形的顶角为 度． 8．（2023春·河南周口·八年级校考期中）如图，在中，，，，为射线上一点，且为等腰三角形，则的长为 ．    9．（2023·江苏扬州·八年级统考阶段练习）如图，在中，，，，动点P从点B出发，沿射线以的速度运动，设运动时间为ts，当 s时，是以为腰的等腰三角形． 10．（2024·湖北孝感·八年级统考期末）等腰三角形的一个外角是140°，则它的顶角的度数为 ． 11．（2024·河南·郑州八年级阶段练习）如图，已知等腰△ABC中，ABAC5，BC8，E是BC上的一个动点，将△ABE沿着AE折叠到△ADE处，再将边AC折叠到与AD重合，折痕为AF，当△DEF是等腰三角形时，BE的长是___________． 12．（2023春·山东枣庄·八年级校考阶段练习）已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为，求此等腰三形的顶角的度数． 13．（2023·福建·八年级校考期中）已知，点在射线上，且，点在射线上；设．(1)若是直角三角形且是斜边时，求的值；(2)若是等腰三角形时，求的值． 14．（2023春·山西运城·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，点B、C的坐标分别为、，点A在第一象限，且是等边三角形．点D的坐标为，E是边上一动点，连接，以为边在右侧作等边，连接．(1)求出A点坐标；(2)当点F落在边上时，与全等吗？若全等，请给予证明；若不全等，请说明理由；(3)当以为腰的是等腰三角形时，的长为_________．        15．（2023春·福建宁德·八年级校联考期中）定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”． 【理解概念】（1）顶角为的等腰三角形 　 　“准等边三角形”．（填“是”或“不是”） 【巩固新知】（2）已知是“准等边三角形”，其中，．求的度数． 【解决问题】（3）如图，在中，，，，点D在边上，若是“准等边三角形”，求的长．    16．（23-24八年级下·重庆涪陵·开学考试）如图，直线的图像与轴和轴分别交于点和点，将沿直线对折使点和点重合，直线与轴交于点，与交于点，连接． (1)求线段的长；(2)若点是点关于轴的对称点，求的面积；(3)已知轴上有一点，若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，请求出所有满足条件的点的坐标． 17．（2023秋·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）定义：用一条直线分割一个三角形，如果能分割出等腰三角形，那么就称这条直线为该三角形的一条等腰分割线．如图，中，．    (1)如图（1），若O为的中点，则直线_____的等腰分割线．（填“是”或“不是”） (2)如图（2）已知的一条等腰分割线交边于点P，且，若，请求出的度数．(3)如图（3），若，点M是边上的一点，如果直线是的等腰分割线，这样的点M共有______个． 18．（2023秋·吉林长春·八年级校考开学考试）在中，，点是上一点，将沿翻折后得到，边交射线于点． (1)如图①，当时，求证：．(2)若，． ①如图②，当时，x的值为 ___________；②当是等腰三角形时，直接写出x的值． 19．（2022秋·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期中）如图，在长方形中，，，点P以的速度从点A出发，沿运动；同时点Q以的速度从点D出发向点A运动，P、Q两点有一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设运动时间为． (1)用含t的代数式表示 ；(2)当点P在线段上运动时，且是等腰三角形时，求t的值； (3)用含t的代数式表示的面积．    20．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点，，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处． (1)的长为______；点D的坐标是______．(2)求点C的坐标；(3)点M是y轴上一动点，若，求出点M的坐标．(4)在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$