专题04 旋转中的三种全等模型之手拉手、半角、对角互补模型-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版）

专题04 旋转中的三种全等模型之手拉手、半角、对角互补模型 本专题重点分析旋转中的三类全等模型（手拉手、半角、对角互补模型），结合各类模型展示旋转中的变与不变，并结合经典例题和专项训练深度分析基本图形和归纳主要步骤，同时规范了解题步骤，提高数学的综合解题能力。 1 模型1.旋转中的手拉手模型 1 模型2.旋转中的半角模型 12 模型3.旋转中的对角互补模型 21 31 模型1.旋转中的手拉手模型 将两个三角形（或多边形）绕着公共顶点旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等。其中：公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。 等线段，共顶点，旋转前后的图形大小，形状不发生变化，只是位置不同而已。解题是通过三角形全等进行解决。SAS型全等（核心在于导角，即等角加（减）公共角）。 1）双等边三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 2）双等腰直角三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 3）双等腰三角形型 条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。 证明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD， 又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD， 又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°， 又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 4）双正方形形型 条件：四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，C为公共点；连接BG，ED交于点N。 结论：①△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。 证明： ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴BC=AC，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90° ∴∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG，即∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS）， ∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CMB=∠DMN，∴∠BCM=∠DNM=90°， 过点C作CP⊥DE,CQ⊥BG,则∠CPD=∠CPB=90°，又∵∠CBG=∠CDE，BC=DC，∴△BCQ≌△DCP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 例1．（2024·山东·八年级期末）已知ABC中，∠BAC=60°，以AB和BC为边向外作等边ABD和等边BCE．(1)连接AE、CD，如图1，求证：AE=CD；(2)若N为CD中点，连接AN，如图2，求证：CE=2AN (3)若AB⊥BC，延长AB交DE于M，DB=，如图3，则BM=_______（直接写出结果） 例2．（2024·成都·八年级阶段练习）如图，已知AOB和MON都是等腰直角三角形(OA<OM=ON)，∠AOB=∠MON=90°．(1)如图①，连接AM，BN，求证：AOM≌BON；(2)若将MON绕点O顺时针旋转，①如图②，当点N恰好在AB边上时，求证：； ②当点A，M，N在同一条直线上时，若OB=4，ON =3，请直接写出线段BN的长． 例3．（2022·青海·中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形. (1)问题发现：如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：； (2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.           图1   图2 例4．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图1，绕点旋转得到平行四边形，当点落在边上时，连接．(1)求证：平分；(2)连接交于点． ①如图2，若平行四边形为长方形，则和之间的等量关系为，并说明理由； ②如图3，若，请直接写出的面积 ．    例5．（23-24八年级下·河南郑州·期中）如图，等腰直角中，，为边上一点，以为直角边作如图所示的等腰直角．连接，为中点，连接，． (1)如图1所示，与的数量关系为：＿＿＿＿；位置关系为：＿＿＿＿＿＿． (2)如图2所示，将绕点逆时针旋转，（1）中结论是否仍然成立？若成立请证明，若不成立说明理由．(3)小霖发现无论绕点旋转多少度，（2）中的结论总能成立，请利用（2）中的结论帮助小霖解决如下问题：若，将继续绕点旋转，当点落在直线上时，直接写出此时的面积． 例6．（2023春·重庆巴南·八年级统考期末）在正方形中，点是边上的中点，连接，．    (1)如图1，过点作交的延长线于点，连接，求的面积； (2)如图2，点是延长线上的一点，连接，过点作，，连接．点是的中点，分别连接，，求证：； (3)如图3，点是直线上的一动点，连接，过点作，，连接．点是的中点，连接，．当的值最小时，直接写出的面积． 模型2.旋转中的半角模型 半角模型概念：半角模型是指是指有公共顶点，较小角等于较大角的一半，较大的角的两边相等，通过旋转，可将角进行等量转化，构造全等三角形的几何模型。 旋转的条件：具有公共端点的等线段； 旋转的方法：以公共端点为旋转中心，相等的两条线段的夹角为旋转角； 旋转的目的：将分散的条件集中，隐蔽的关系显现。 1）正方形半角模型 条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°； 结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周长=2AB； ⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 证明：将△CBE绕点C逆时针旋转90°至△CDG，即△CBE≌△CDG， ∴∠ECB=∠GCD，∠B=∠CDG=90°，BE＝DG，CE＝CG； ∵ABCD是正方形，∴∠B=∠CDF=∠BCD=90°，BA＝DA；∴∠CDG+∠CDF=180°，故F、D、G共线。 ∵∠ECF=45°，∴∠BCE+∠DCF=45°，∴∠GCD+∠DCF=∠GCF=45°，∴∠ECF=∠GCF=45°， ∵CF＝CF，∴△CEF≌△CGF，∴EF＝GF，∵GF＝DG＋DF，∴GF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋DF+AE＋AF=AB＋AD=2AB，过点C作CH⊥EF，则∠CHE=90°， ∵△CEF≌△CGF，∴CD=CH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△CBE≌△CHE， ∴∠HEC=∠CBE，同理可证：∠HFC=∠DFC，即CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 2）等腰直角三角形半角模型 条件：ABC是等腰直角三角形（∠BAC=90°，AB＝AC），∠DAE=45°； 结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG，即△BAD≌△CAG， ∴∠BAD=∠CAG，∠B=∠GCA=45°，AD＝AG，BD＝CG； ∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°，∴∠CAG+∠EAC=∠GAE=45°，∴∠DAE=∠GAE=45°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△GAE，∴ED＝EG，∵ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，∴∠ECG=90°，∴GE2＝GC2＋EC2,∴DE2＝BD2＋EC2； 3）等边三角形半角模型（120°-60°型） 条件：ABC是等边三角形，BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°； 结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋CF；④AEF的周长=2AB； ⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 证明：将△DBE绕点D顺时针旋转120°至△DCG，即△BDE≌△CDG， ∴∠EDB=∠GDC，∠DBE=∠DCG，BE＝GC，DE＝DG； ∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=60°，∴∠GDC+∠CDF=∠GDF=60°，故∠GDF=∠EDF， ∵DF＝DF，∴△EDF≌△GDF，∴EF＝GF，∵GF＝CG＋CF，∴GF＝BE＋CF，∴EF＝BE＋CF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋CF+AE＋AF=AB＋AC=2AB， 过点D作DH⊥EF，DM⊥GF，则∠DHF=∠DMF=90°， ∵△EDF≌△GDF，∴DM=DH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△DHF≌△DMF， ∴∠HFD=∠MFD，同理可证：∠BFD=∠FED，即DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 4）等边三角形半角模型（60°-30°型） 条件：ABC是等边三角形，∠EAD=30°； 结论：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°；④DE2＝(BD＋EC)2+； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转60°至△ACF，即△BAD≌△CAF， ∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠FCA=60°，AD＝AF，BD＝CF； ∵∠DAE=30°，∴∠BAD+∠EAC=30°，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=30°，∴∠DAE=∠FAE=30°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE，∴ED＝EF，∵ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ECF=120°， 过点F作FH⊥BC，∴∠FCH=60°，∠CFH=30°，∴CH=CF=BD，FH=CF=BD， ∵在直角三角形中：FE2＝FH2＋EH2,∴DE2＝(BD＋EC)2+(BD)2； 5）任意角度的半角模型（-型） 条件：∠BAC=，AB=AC，∠DAE=； 结论：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。 证明：将△ABD绕点A逆时针°至△ACF，即△BAD≌△CAF， ∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠BCA=∠FCA=90°-，AD＝AF，BD＝CF；∴∠ECF=∠BCA+∠FCA=180°-。 ∵∠BAC=，∠DAE=，∴∠BAD+∠EAC=，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=，∴∠DAE=∠FAE=， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE。 例1．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）（1）【阅读理解】如图，已知中，，点、是边上两动点，且满足， 求证：． 我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． 小明的解题思路：将半角两边的三角形通过旋转，在一边合并成新的，然后证明与半角形成的全等，再通过全等的性质进行等量代换，得到线段之间的数量关系． 请你根据小明的思路写出完整的解答过程． 证明：将绕点旋转至，使与重合，连接，…… （2）【应用提升】如图，正方形（四边相等，四个角都是直角）的边长为4，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线点运动；点点同时出发，以相同的速度沿射线方向向右运动，当点到达点时，点也停止运动，连接，过点作的垂线交过点平行于的直线于点，与相交于点，连接，设点运动时间为，①求的度数； ②试探索在运动过程中的周长是否随时间的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值． 例2．（2023·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2．∠BAC＝120°，点D，E都在边BC上，∠DAE＝60°，若BD＝2CE，求DE的长． 例3．（2024·广东·八年级专题练习）旋转变换是解决数学问题中一种重要的思想方法，通过旋转变换可以将分散的条件集中到一起，从而方便解决问题．已知，中，，点D、E在边BC上，且．(1)如图a，当时，将绕点A顺时针旋转到的位置，连结． ①　　；②求证：；(2)如图b，当时，猜想的数量关系，并说明理由． 例4．（2023·广东广州·九年级校考期中）已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时（如图1），易证BM+DN＝MN．（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（3）若正方形的边长为4，当N运动到DC边的中点处时，求BM的长． 例5．（23-24八年级下·广东梅州·期中）观察猜想：（1）如图1，在直角中，，，点为边上一动点（与点不重合），连接，将绕点逆时针旋转到，那么、之间的位置关系为__________，数量关系为__________； 数学思考：（2）如图2，在中，，，、为上两点，且，求证：．（提示：参考（1）将绕点逆时针旋转到，或将绕点顺时针时针旋转到，可证） 拓展延伸：（3）如图3，在中，，，，若以、、为边的三角形是以为斜边的直角三角形，当时，求的长．（参考（2）解题思路） 模型3.旋转中的对角互补模型 对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。 思想方法：解决此类问题常用的辅助线画法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。 1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型） 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE， 根据上述条件易证：四边形ONCM为正方形，∴∠CON＝45°，OM=ON， 又∵OD＋OE＝OM-DM+ON+NE，∴OD＋OE=OM+ON=2ON=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴ 2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型） 条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.[来源:学科网ZXXK] 结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE， ∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE，根据上述条件易证：四边形ONCM为正方形， ∴∠CON＝45°，OM=ON，又∵OE－OD＝ON+NE-（DM-OM），∴OE－OD=ON+OM=2ON=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，. 3）“等边三角形对120°模型”（1） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°， ∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。 又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴。 4）“等边三角形对120°模型”（2） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D， 结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∠AOB+∠MCN＝180°，∴∠DCE=∠MCN＝60° ∴∠DCE-∠MCE=∠MCN-∠MCE，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。 又∵OD-OE＝OM+DM-（NE-ON），∴OD-OE=ON+OM=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴。 5）“120°等腰三角形对60°模型” 条件：△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°，PA平分∠BPC。 结论：PB+PC=PA； 证明：将△PAC绕点A顺时针旋转120°至△QAB，即△PAC≌△QAB， ∴∠ACP=∠ABQ，∠CAP=∠BAQ，AP＝AQ，PC＝QB； ∵∠BAC=120°，∠BPC=60°，∴∠ACP+∠ABP=180°，∴∠ABQ+∠ABP=180°，故P、B、Q共线。 又∵∠BPC=60°，PA平分∠BPC，∴∠APQ=60°，∵AP＝AQ，∴∠AQP=60°， 根据勾股定理易证：PQ=PA，又∵PQ=PB+QB=PB+PC，∴PB+PC=PA。 例1．（2023·江苏·八年级专题练习）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点． （1）如图1，E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF、求证：△DEF是等腰直角三角形 经过分析已知条件AB＝AC，D为BC的中点．容易联想等腰三角形三线合一的性质，因此，连结AD（如图2），以下是某同学由已知条件开始，逐步按层次推出结论的流程图．请帮助该同学补充完整流程图．补全流程图：① ， ②∠EDF＝ （2）如果E、F分别为AB、CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，试猜想△DEF是否仍为等腰直角三角形？请在备用图中补全图形、先作出判断，然后给予证明． 例2．（23-24九年级上·辽宁盘锦·期末）在图1，图2，图3中，， (1)问题探索：如图1，当点和点在直线异侧时，猜想，，三者之间数量关系．小明想出了下面的方法，延长到点，使得，连接，由于，证得，从而，且，所以，得到等腰直角，则小明得到线段，，之间的数量关系为 ；(2)问题解决：如图2，当点和在直线同侧时，与交于点，请你借鉴中的方法证明：；(3)思维拓展：如图3，当点和在直线 异侧时，于点，猜想线段，，三之间的数量关系，并写出证明过程． 例3．（2022秋·四川内江·九年级校考期中）如图，已知∠AOB＝60°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E． （1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由； （2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由； （3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明. 例4．（2023广东八年级期末）已知∠AOB＝90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA，OB(或它们的反向延长线)相交于点D，E. 当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图①)，易证：OD＋OE＝OC； 当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，即在图②，图③这两种情况下，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立，线段OD，OE，OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． 例5．（2023·江西九江·二模）问题提出 在综合与实践课上，某数学研究小组提出了这样一个问题：如图1，在边长为4的正方形的中心作直角，的两边分别与正方形的边，交于点E，F（点E与点B，C不重合），将绕点O旋转．在旋转过程中，四边形的面积会发生变化吗？ 爱思考的浩浩和小航分别探究出了如下两种解题思路． 浩浩：如图a，充分利用正方形对角线垂直、相等且互相平分等性质，证明了，则，．这样，就实现了四边形的面积向面积的转化． 小航：如图b，考虑到正方形对角线的特征，过点O分别作于点G，于点H，证明，从而将四边形的面积转化成了小正方形的面积． （1）通过浩浩和小航的思路点拨﹐我们可以得到__________；__________． 类比探究（2）①如图⒉，在矩形中，，，O是边的中点，，点E在上，点F在上，则__________． ②如图3，将问题中的正方形改为菱形，且，当时，其他条件不变，四边形的面积还是一个定值吗？若是，请求出四边形的面积；若不是，请说明理由． 拓展延伸（3）如图4，在四边形中，，，，，是的平分线，求四边形的面积． 1．（2022·湖南·中考真题）如图，点是等边三角形内一点，，，，则与的面积之和为（     ） A． B． C． D． 2．（2023·广东·八年级专题练习）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在线段BC、CD上运动，且满足∠EAF＝45°，AE、AF分别与BD相交于点M、N，下列说法中：①BE+DF＝EF；②点A到线段EF的距离一定等于正方形的边长；③BE＝2，DF＝3，则S△AEF＝15；④若AB＝6，BM＝3，则MN＝5．其中结论正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（2023·黑龙江黑河·八年级期中）Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论：①(BE+CF)=BC，②，③AD·EF，④AD≥EF其中正确结论的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（23-24九年级上·河南焦作·期中）如图，点E在正方形的对角线上，且，直角三角形的两直角边、分别交、于点M、N．若正方形的边长为a，则重叠部分四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·江苏·八年级期中）如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝8，AB＝AC，∠CBD＝30°，BD＝4，M，N分别在BD，CD上，∠MAN＝45°，则△DMN的周长为_____． 5.（23-24八年级下·江苏南通·期末）如图，正方形的边长为8，点在边上，，将边沿翻折得到线段，连接并延长交于点，则线段的长为 ． 6．（2024·山东·校考一模）问题解决】如图1，，点C是∠AOB平分线上一点，点D在射线OA上，将射线CD绕点C逆时针旋转与OB交于点E．求证：(1)；(2)． 【变式探究】(3)图2，，点C是∠AOB平分线上一点，点D在射线OA上，将射线CD绕点C逆时针旋转与OB交于点E．填空：此时线段OD、OE、OC之间的数量关系是 ． 【拓展提升】(4)图3，矩形ABCD中，，，E为AD中点，点F在AB上，且，连接CF，作于H，连接AH，求线段AH的长度． 7．（2024·江苏·三模）问题呈现：已知等边三角形边的中点为点，，的两边分别交直线，于点，，现要探究线段，与等边三角形的边长之间的数量关系．（1）特例研究：如图1，当点，分别在线段，上，且，时，请直接写出线段，与的数量关系：________； （2）问题解决：如图2，当点落在射线上，点落在线段上时，（1）中的结论是否成立？若不成立，请通过证明探究出线段，与等边三角形的边长之间的数量关系； （3）拓展应用：如图3，当点落在射线上，点落在射线上时，若，，请直接写出的长和此时的面积． 8．（2024·北京·校考一模）如图，∠AOB = 90°，OC为∠AOB的平分线，点P为OC上一个动点，过点P作射线PE交OA于点E．以点P为旋转中心，将射线PE沿逆时针方向旋转90°，交OB于点F． （1）根据题意补全如图，并证明PE = PF； （2）如图，如果点E在OA边上，用等式表示线段OE，OP和OF之间的数量关系，并证明； （3）如图，如果点E在OA边的反向延长线上，直接写出线段OE，OP和OF之间的数量关系． 9．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）已知，平分．    (1)如图1将三角尺的直角顶点落在的任意一点P上，现探究、的大小关系： ①特例探究：当三角尺的两条直角边分别与、垂直，垂足为E、F时，依据学过的定理： （写出定理文字表述的具体内容），得到；②一般探究：当三角尺的两条直角边分别交、于点E、F时，试判断： （填“”、“”或“”）；(2)如图2，点P是内一点，E、F分别在边、上，，．求证：点P在上；(3)在（2）的条件下，建立如图3所示的平面直角坐标系，已知是第一象限的角平分线，若点P的坐标为．①求点P的坐标；②过点P作交x轴于点G，交y轴于点H，当点E从点H运动到点O时，则的中点Q运动所形成的路径长为 ． 10．（2023·辽宁沈阳·八年级校考期中）在等边三角形ABC中． (1)如图1，D、E是边BC上两动点，且∠DAE=30°，将△ABE绕点A逆时针旋转60°后，得到△ACF，连接DF；①求证：△AED≌△AFD；②当BE=2，CE=5时，求DE的长； (2)如图2，点D是等边三角形ABC的边BC所在直线上的一动点，连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，连接CE，当BD=2，BC=6时，CE的长为________． 11．（2024·福建龙岩·九年级期中）阅读下列材料：数学课上老师出示了这样一个问题：如图，等腰的直角顶点在正方形的边上，斜边交于点，连接，求证：．某学习小组的同学经过思考，交流了自己的想法：利用现在所学的旋转知识，可将旋转到，然后通过证明全等三角形来完成证明． （1）（问题解决）请你根据他们的想法写出证明过程； （2）（学以致用）如图，若等腰的直角顶点在正方形的边的延长线上，斜边的延长线交的延长线于点，连接，猜想线段，，满足怎样的数量关系？并证明你的结论； （3）（思维拓展）等腰直角中，，为内部一点，若，则的最小值______． 12．（2023春·成都八年级期中）中，，，点在边上，将线段逆时针旋转得到，连接． (1)当，时，求证：．(2)当，时，若，求的值． 13．（2023·河南洛阳·八年级校考阶段练习）【问题发现】（1）如图1，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接，容易发现：①的度数为 ；②线段、之间的数量关系为 ； 【类比探究】（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点B，D，E在同一直线上，连接，试判断 的度数以及线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】（3）如图3，，，，，则的值为 ． 15．（2024·山东临沂·八年级统考期末）【知识背景】我们在第十一章《三角形》中学习了三角形的边与角的性质，在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在第十三章《轴对称》中学习了等腰三角形的性质和判定．在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题． (1)【问题初探】如图（1），中，，，点D是BC上一点，连接AD，以AD为一边作，使，，连接BE，猜想BE和CD有怎样的数量关系，并说明理由． (2)【类比再探】如图（2），中，，，点M是AB上一点，点D是BC上一点，连接MD，以MD为一边作，使，，连接BE，则______．（直接写出答案，不写过程；需要作辅助线的，请说明辅助线的作法，并在图（2）中作出辅助线） (3)【方法迁移】如图（3），是等边三角形，点D是BC上一点，连接AD，以AD为一边作等边三角形ADE连接BE，则BD，BE，BC之间有怎样的数量关系？（直接写出答案，不写过程）． (4)【数学思考】如图（4），是等边三角形，点M是AB上一点，点D是BC上一点，连接MD，以MD为一边作等边三角形MDE，连接BE猜想的度数，并说明理由． 16．（23-24八年级下·山东济南·期末）在中，，点是线段上一点（不与、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图1，如果．① 的度数为　　 °；②则与全等吗？请说明理由； (2)如图2，如果，当点在线段上移动，① 的度数是 　 　°； ②当点运动到什么位置时，的周长最小？ 17．（23-24八年级下·陕西西安·期中）阅读理解（1）如图1，在正方形中，若、分别是，边上的点，，则我们常会想到：把绕点顺时针旋转得到，易证______，得出线段，，之间的数量关系为______； 类比探究（2）如图2，在等边中，，为边上的点，，，，求线段的长； 拓展应用（3）如图3．在中，，，点，在边上，，若是等腰的腰长，请求出的值．    18．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）【问题初探】 （1）在数学课上，张老师给出如下问题：如图1，，平分，求证：． ①如图2，小强同学从角平分线性质的角度出发给出如下解题思路：过点C分别作，，垂足分别为M，N．以此来证明阴影部分的三角形全等得到． ②如图3，小颖同学从平分的条件出发给出另一种解题思路：过C作，交于点F．以此来证明阴影部分的三角形全等得到． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）张老师发现两名同学都运用了作垂线的方法造的全等三角形，为了帮助学生更好地感悟，张老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答．如图4，，平分，求证：． 【学以致用】（3）如图5，在中，，，D是边的中点，，与边相交于点E，与边相交于点F．请直接写出线段，和的数量关系． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 旋转中的三种全等模型之手拉手、半角、对角互补模型 本专题重点分析旋转中的三类全等模型（手拉手、半角、对角互补模型），结合各类模型展示旋转中的变与不变，并结合经典例题和专项训练深度分析基本图形和归纳主要步骤，同时规范了解题步骤，提高数学的综合解题能力。 1 模型1.旋转中的手拉手模型 1 模型2.旋转中的半角模型 12 模型3.旋转中的对角互补模型 21 31 模型1.旋转中的手拉手模型 将两个三角形（或多边形）绕着公共顶点旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等。其中：公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。 等线段，共顶点，旋转前后的图形大小，形状不发生变化，只是位置不同而已。解题是通过三角形全等进行解决。SAS型全等（核心在于导角，即等角加（减）公共角）。 1）双等边三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 2）双等腰直角三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 3）双等腰三角形型 条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。 证明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD， 又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD， 又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°， 又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 4）双正方形形型 条件：四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，C为公共点；连接BG，ED交于点N。 结论：①△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。 证明： ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴BC=AC，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90° ∴∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG，即∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS）， ∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CMB=∠DMN，∴∠BCM=∠DNM=90°， 过点C作CP⊥DE,CQ⊥BG,则∠CPD=∠CPB=90°，又∵∠CBG=∠CDE，BC=DC，∴△BCQ≌△DCP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 例1．（2024·山东·八年级期末）已知ABC中，∠BAC=60°，以AB和BC为边向外作等边ABD和等边BCE．(1)连接AE、CD，如图1，求证：AE=CD；(2)若N为CD中点，连接AN，如图2，求证：CE=2AN (3)若AB⊥BC，延长AB交DE于M，DB=，如图3，则BM=_______（直接写出结果） 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【解析】（1）解：∵△ABD和△BCE是等边三角形，∴BD=AB，BC=BE，∠ABD=∠CBE=60°， ∴∠ABD+∠ABC=∠CBE+∠ABC，∴∠DBC=∠ABE，∴△ABE≌△DBC（SAS），∴AE=CD； （2）解：如图，延长AN使NF=AN，连接FC， ∵N为CD中点，∴DN=CN，∵∠AND=∠FNC，∴△ADN≌△FCN(SAS)，∴CF=AD，∠NCF=∠AND， ∵∠DAB=∠BAC=60°∴∠ACD +∠ADN=60°∴∠ACF=∠ACD+∠NCF=60°，∴∠BAC=∠ACF， ∵△ABD是等边三角形，∴AB=AD，∴AB=CF，∵AC=CA，∴△ABC≌△CFA (SAS)，∴BC=AF， ∵△BCE是等边三角形，∴CE=BC=AF=2AN； （3）解： ∵△ABD是等边三角形，∴，∠BAD=60°， 在Rt△ABC中，∠ACB=90°－∠BAC=30°，∴， 如图，过点E作EH // AD交AM的延长线于H， ∴∠H=∠BAD=60°，∵△BCE是等边三角形，∴BC=BE，∠CBE=60°， ∵∠ABC=90°，∴∠EBH=90°－∠CBE=30°=∠ACB，∴∠BEH=180°－∠EBH－∠H=90°=∠ABC， ∴△ABC≌△HEB (ASA)，∴，，∴AD=EH， ∵∠AMD=∠HME，∴△ADM≌△HEM (AAS)，∴AM=HM， ∴ ∵，，∴．故答案为：． 例2．（2024·成都·八年级阶段练习）如图，已知AOB和MON都是等腰直角三角形(OA<OM=ON)，∠AOB=∠MON=90°．(1)如图①，连接AM，BN，求证：AOM≌BON；(2)若将MON绕点O顺时针旋转，①如图②，当点N恰好在AB边上时，求证：； ②当点A，M，N在同一条直线上时，若OB=4，ON =3，请直接写出线段BN的长． 【答案】(1)见解析；(2)①见解析；②或． 【解析】（1）证明：，，即． 和是等腰直角三角形，，(SAS) ． （2）解：①证明：如图，连接． ，，即． 和是等腰直角三角形，， ，，． 是等腰直角三角形，，． ②或．∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，OB=4，ON =3∴． 当点N在线段上时，如图，连接，设， 由(1)可知．∴，． ∴， ∴，∴是直角三角形，． 又∵，∴， 解得：（舍去）∴； 当点M在线段上时，如图，连接，设，由(2)①可知． ∴，． ∴， ∴，∴是直角三角形，． 又∵，∴， 解得： （舍去）∴ 综上所述：的长为或． 例3．（2022·青海·中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形. (1)问题发现：如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：； (2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.           图1   图2 【答案】(1)见解析 (2)； 【解析】(1)证明：∵和是顶角相等的等腰三角形， ∴，，，∴，∴． 在和中，，∴，∴． (2)解：，， 理由如下：由（1）的方法得，，∴，， ∵是等腰直角三角形，∴， ∴，∴， ∴． ∵，，∴．∵，∴， ∴．∴． 例4．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图1，绕点旋转得到平行四边形，当点落在边上时，连接．(1)求证：平分；(2)连接交于点． ①如图2，若平行四边形为长方形，则和之间的等量关系为，并说明理由； ②如图3，若，请直接写出的面积 ．    【答案】(1)见解析(2)①，理由见解析；② 【详解】（1）证明：∵绕点旋转得到平行四边形，∴∴ 又∵四边形是平行四边形，∴∴∴，即平分； （2）解：①，如图所示，过点作于点， ∵平分，，∴ ∵四边形，是长方形，∴∴ 在中，∴∴；       ②如图所示，∵四边形是平行四边形， ∴， 在上截取，连接，过点作于点， ∵旋转，则，∴是等边三角形，则， ∴，即旋转角为∴ 又平分；∴，∴， 在中，∴ ∴， ∴ 又∵∴ 又∵旋转，则∴， 在中，∴ ∴∴∴四边形是平行四边形，∴ 在中，， ∴，则∴ ∴． 例5．（23-24八年级下·河南郑州·期中）如图，等腰直角中，，为边上一点，以为直角边作如图所示的等腰直角．连接，为中点，连接，． (1)如图1所示，与的数量关系为：＿＿＿＿；位置关系为：＿＿＿＿＿＿． (2)如图2所示，将绕点逆时针旋转，（1）中结论是否仍然成立？若成立请证明，若不成立说明理由．(3)小霖发现无论绕点旋转多少度，（2）中的结论总能成立，请利用（2）中的结论帮助小霖解决如下问题：若，将继续绕点旋转，当点落在直线上时，直接写出此时的面积． 【答案】(1)；(2)成立；理由见解析(3)的面积为 【详解】（1）解：延长交于点F，取的中点H，连接，，如图所示： ∵、为等腰直角三角形，∴，，∴， ∵为的中点，为的中点，∴，∴，∴， ∵，H为的中点，∴，∴、M、H三点共线， ∵，，∴为等腰直角三角形，∵，∴，∴， ∵M为的中点，∴，∴，， ∴为等腰直角三角形，∴，； （2）解：成立；理由如下：延长交于点G，连接、，如图所示： ∵、为等腰直角三角形，∴，，，， 根据旋转可知：，∴，∴， ∴，∴，， ∵M为的中点，∴，∴， ∴，， ∵，∴，∵，，∴， ∴，，∴， ∵，，∴，，即，； （3）解：如图，点E在线段上时， ∵在中，，∴，∴， ∵M为的中点，∴，根据解析（2）可知：， ，∴； 当点E在线段延长线上时，如图所示： ∵在中，，∴，∴， ∵M为的中点，∴，根据解析（2）可知：， ，∴； 综上分析可知：的面积为． 例6．（2023春·重庆巴南·八年级统考期末）在正方形中，点是边上的中点，连接，．    (1)如图1，过点作交的延长线于点，连接，求的面积； (2)如图2，点是延长线上的一点，连接，过点作，，连接．点是的中点，分别连接，，求证：； (3)如图3，点是直线上的一动点，连接，过点作，，连接．点是的中点，连接，．当的值最小时，直接写出的面积． 【答案】(1)(2)证明见解析(3) 【详解】（1）解：∵；∴； ∵四边形是正方形；∴，； ∵点是的中点，；∴；∵； ∴；∴；∴；∴； （2）证明：如解（2）图，过点作交于点，连接．    ∵；∴∴； ∵；∴；∴，； ∵点是的中点，；∴，： ∴；∴；∴，； ∴；∴；∴； （3）解：∵，，∴是等腰直角三角形，， 又∵点是的中点，∴，∴， ∴当E点在上时，最小，如解（3）图，过点作交的延长线于点， 同理（1）可得：；∴；，， ∴， 又∵∴， 又∵，∴，∴， ∴， 在中，，， ∴，解得：，∴ 模型2.旋转中的半角模型 半角模型概念：半角模型是指是指有公共顶点，较小角等于较大角的一半，较大的角的两边相等，通过旋转，可将角进行等量转化，构造全等三角形的几何模型。 旋转的条件：具有公共端点的等线段； 旋转的方法：以公共端点为旋转中心，相等的两条线段的夹角为旋转角； 旋转的目的：将分散的条件集中，隐蔽的关系显现。 1）正方形半角模型 条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°； 结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周长=2AB； ⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 证明：将△CBE绕点C逆时针旋转90°至△CDG，即△CBE≌△CDG， ∴∠ECB=∠GCD，∠B=∠CDG=90°，BE＝DG，CE＝CG； ∵ABCD是正方形，∴∠B=∠CDF=∠BCD=90°，BA＝DA；∴∠CDG+∠CDF=180°，故F、D、G共线。 ∵∠ECF=45°，∴∠BCE+∠DCF=45°，∴∠GCD+∠DCF=∠GCF=45°，∴∠ECF=∠GCF=45°， ∵CF＝CF，∴△CEF≌△CGF，∴EF＝GF，∵GF＝DG＋DF，∴GF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋DF+AE＋AF=AB＋AD=2AB，过点C作CH⊥EF，则∠CHE=90°， ∵△CEF≌△CGF，∴CD=CH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△CBE≌△CHE， ∴∠HEC=∠CBE，同理可证：∠HFC=∠DFC，即CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 2）等腰直角三角形半角模型 条件：ABC是等腰直角三角形（∠BAC=90°，AB＝AC），∠DAE=45°； 结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG，即△BAD≌△CAG， ∴∠BAD=∠CAG，∠B=∠GCA=45°，AD＝AG，BD＝CG； ∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°，∴∠CAG+∠EAC=∠GAE=45°，∴∠DAE=∠GAE=45°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△GAE，∴ED＝EG，∵ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，∴∠ECG=90°，∴GE2＝GC2＋EC2,∴DE2＝BD2＋EC2； 3）等边三角形半角模型（120°-60°型） 条件：ABC是等边三角形，BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°； 结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋CF；④AEF的周长=2AB； ⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 证明：将△DBE绕点D顺时针旋转120°至△DCG，即△BDE≌△CDG， ∴∠EDB=∠GDC，∠DBE=∠DCG，BE＝GC，DE＝DG； ∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=60°，∴∠GDC+∠CDF=∠GDF=60°，故∠GDF=∠EDF， ∵DF＝DF，∴△EDF≌△GDF，∴EF＝GF，∵GF＝CG＋CF，∴GF＝BE＋CF，∴EF＝BE＋CF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋CF+AE＋AF=AB＋AC=2AB， 过点D作DH⊥EF，DM⊥GF，则∠DHF=∠DMF=90°， ∵△EDF≌△GDF，∴DM=DH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△DHF≌△DMF， ∴∠HFD=∠MFD，同理可证：∠BFD=∠FED，即DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 4）等边三角形半角模型（60°-30°型） 条件：ABC是等边三角形，∠EAD=30°； 结论：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°；④DE2＝(BD＋EC)2+； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转60°至△ACF，即△BAD≌△CAF， ∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠FCA=60°，AD＝AF，BD＝CF； ∵∠DAE=30°，∴∠BAD+∠EAC=30°，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=30°，∴∠DAE=∠FAE=30°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE，∴ED＝EF，∵ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ECF=120°， 过点F作FH⊥BC，∴∠FCH=60°，∠CFH=30°，∴CH=CF=BD，FH=CF=BD， ∵在直角三角形中：FE2＝FH2＋EH2,∴DE2＝(BD＋EC)2+(BD)2； 5）任意角度的半角模型（-型） 条件：∠BAC=，AB=AC，∠DAE=； 结论：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。 证明：将△ABD绕点A逆时针°至△ACF，即△BAD≌△CAF， ∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠BCA=∠FCA=90°-，AD＝AF，BD＝CF；∴∠ECF=∠BCA+∠FCA=180°-。 ∵∠BAC=，∠DAE=，∴∠BAD+∠EAC=，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=，∴∠DAE=∠FAE=， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE。 例1．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）（1）【阅读理解】如图，已知中，，点、是边上两动点，且满足， 求证：． 我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． 小明的解题思路：将半角两边的三角形通过旋转，在一边合并成新的，然后证明与半角形成的全等，再通过全等的性质进行等量代换，得到线段之间的数量关系． 请你根据小明的思路写出完整的解答过程． 证明：将绕点旋转至，使与重合，连接，…… （2）【应用提升】如图，正方形（四边相等，四个角都是直角）的边长为4，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线点运动；点点同时出发，以相同的速度沿射线方向向右运动，当点到达点时，点也停止运动，连接，过点作的垂线交过点平行于的直线于点，与相交于点，连接，设点运动时间为，①求的度数； ②试探索在运动过程中的周长是否随时间的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值． 【答案】（1）见解析；（2）①；②不变，2 【详解】（1）如图1，将绕点旋转至，使与重合，连接， ∵绕点旋转至，∴ ∴，，， ∵，，∴∴ ∵∴ ∵∴∴ ∵∴ （2）①如图2，由题意： ∵四边形是正方形，∴，∵∴ ∵∴∴ ∴ 在和中∵∴∴∴ ②的周长不随时间的变化而变化，如图3，延长到，使，连接， 在和中∵∴∴， ∵，∴，∴ 在和 中∵∴ ∴ ∴ ∵正方形（四边相等，四个角都是直角）的边长为4 ∴的周长 ∴的周长是定值8． 例2．（2023·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2．∠BAC＝120°，点D，E都在边BC上，∠DAE＝60°，若BD＝2CE，求DE的长． 【答案】DE＝3﹣3． 【详解】解：将绕点A逆时针旋转120°得到，取的中点G，连接，如图所示： 过点作于点，如图， ∵，，∴， 在中， ，∴， ∴，∴，∴，∴． ∵，∴，∴为等边三角形， ∴，∴，∴为直角三角形， ∵，∴，∴． 在和中，，∴，∴． 设，则，在中，， ＝x，∴，∴， ∴，答：的长为． 例3．（2024·广东·八年级专题练习）旋转变换是解决数学问题中一种重要的思想方法，通过旋转变换可以将分散的条件集中到一起，从而方便解决问题．已知，中，，点D、E在边BC上，且． (1)如图a，当时，将绕点A顺时针旋转到的位置，连结． ①　　；②求证：；(2)如图b，当时，猜想的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①；②见解析(2)，见解析 【详解】（1）①解：由旋转知，， ∵，∴，∴， ∴，故答案为：； ②证明：由①知，，∵，∴，∴； （2）解：，理由如下：如图， 将绕点A顺时针旋转到的位置，连结，∴， ∴，∴，∴， 在中，，∴， ∴，根据勾股定理得，，∴， 同（1）②的方法得，，∴． 例4．（2023·广东广州·九年级校考期中）已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时（如图1），易证BM+DN＝MN．（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（3）若正方形的边长为4，当N运动到DC边的中点处时，求BM的长． 【答案】（1）BM+DN＝MN，见解析；（2）DN﹣BM＝MN，见解析；（3） 【详解】解：（1）BM+DN＝MN． 理由如下：如图2，把△ADN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE， ∴∠ABE＝∠ADN＝90°，AE＝AN，BE＝DN，∴∠ABE+∠ABC＝180°， ∴点E，点B，点C三点共线，∴∠EAM＝90°﹣∠NAM＝90°﹣45°＝45°， 又∵∠NAM＝45°，在△AEM与△ANM中，， ∴△AEM≌△ANM（SAS），∴ME＝MN，∵ME＝BE+BM＝DN+BM，∴DN+BM＝MN； （2）DN﹣BM＝MN．理由如下：在线段DN上截取DQ＝BM，如图3 在△ADQ与△ABM中，， ∴△ADQ≌△ABM（SAS），∴∠DAQ＝∠BAM，∴∠QAN＝∠MAN． 在△AMN和△AQN中，，∴△AMN≌△AQN（SAS），∴MN＝QN，∴DN﹣BM＝MN； （3）如图4，设 ∵正方形的边长为4，点N是BC的中点，∴CN＝DN＝2，∵DN+BM＝MN，∴， ∵MN2＝CN2+MC2，∴，解得即． 例5．（23-24八年级下·广东梅州·期中）观察猜想：（1）如图1，在直角中，，，点为边上一动点（与点不重合），连接，将绕点逆时针旋转到，那么、之间的位置关系为__________，数量关系为__________； 数学思考：（2）如图2，在中，，，、为上两点，且，求证：．（提示：参考（1）将绕点逆时针旋转到，或将绕点顺时针时针旋转到，可证） 拓展延伸：（3）如图3，在中，，，，若以、、为边的三角形是以为斜边的直角三角形，当时，求的长．（参考（2）解题思路） 【答案】（1）；；（2）证明见解析；(3) 【详解】（1）解：与位置关系是，数量关系是． 理由：在中，，，， ∵绕点A逆时针旋转得到，∴，， ∴，即， 又，∴，∴，， ∴，即 ，故答案为：． （2）证明：如图，把绕点A顺时针旋转得到，连接， 则．∴，，．∴， ∵，，∴， 在和中，，∴．∴， 又∵，∴，． （3）解：如图，将绕点A顺时针旋转得到， ∴，，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴， 又∵，∴，∴， ∵以、、为边的三角形是直角三角形，∴以、、为边的三角形是直角三角形， ∴是直角三角形，若，且，， ，，，综上，的长为． 模型3.旋转中的对角互补模型 对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。 思想方法：解决此类问题常用的辅助线画法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。 1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型） 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE， 根据上述条件易证：四边形ONCM为正方形，∴∠CON＝45°，OM=ON， 又∵OD＋OE＝OM-DM+ON+NE，∴OD＋OE=OM+ON=2ON=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴ 2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型） 条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.[来源:学科网ZXXK] 结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE， ∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE，根据上述条件易证：四边形ONCM为正方形， ∴∠CON＝45°，OM=ON，又∵OE－OD＝ON+NE-（DM-OM），∴OE－OD=ON+OM=2ON=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，. 3）“等边三角形对120°模型”（1） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°， ∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。 又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴。 4）“等边三角形对120°模型”（2） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D， 结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∠AOB+∠MCN＝180°，∴∠DCE=∠MCN＝60° ∴∠DCE-∠MCE=∠MCN-∠MCE，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。 又∵OD-OE＝OM+DM-（NE-ON），∴OD-OE=ON+OM=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴。 5）“120°等腰三角形对60°模型” 条件：△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°，PA平分∠BPC。 结论：PB+PC=PA； 证明：将△PAC绕点A顺时针旋转120°至△QAB，即△PAC≌△QAB， ∴∠ACP=∠ABQ，∠CAP=∠BAQ，AP＝AQ，PC＝QB； ∵∠BAC=120°，∠BPC=60°，∴∠ACP+∠ABP=180°，∴∠ABQ+∠ABP=180°，故P、B、Q共线。 又∵∠BPC=60°，PA平分∠BPC，∴∠APQ=60°，∵AP＝AQ，∴∠AQP=60°， 根据勾股定理易证：PQ=PA，又∵PQ=PB+QB=PB+PC，∴PB+PC=PA。 例1．（2023·江苏·八年级专题练习）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点． （1）如图1，E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF、求证：△DEF是等腰直角三角形 经过分析已知条件AB＝AC，D为BC的中点．容易联想等腰三角形三线合一的性质，因此，连结AD（如图2），以下是某同学由已知条件开始，逐步按层次推出结论的流程图．请帮助该同学补充完整流程图．补全流程图：① ， ②∠EDF＝ （2）如果E、F分别为AB、CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，试猜想△DEF是否仍为等腰直角三角形？请在备用图中补全图形、先作出判断，然后给予证明． 【答案】（1）△BDE，△ADF，90°；（2）△DEF仍为等腰直角三角形，理由见解析 【详解】解：（1）如图所示，连接AD，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点， ∴∠B=∠C=45°，AD⊥BC，，， ∴∠B=∠BAD=∠CAD，在△BDE和△ADF中，， ∴△BDE≌△ADF（SAS），∴DE=DF，∠BDE=∠ADF， ∵∠ADE+∠BDE=∠BDA=90°，∴∠ADE+∠ADF=90°，即∠EDF=90°， ∴△DEF是等腰直角三角形；故答案为：△BDE，△ADF，90°； （2）△DEF仍为等腰直角三角形，理由如下：连接AD， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点， ∴∠ABC=∠C=45°，AD⊥BC，，， ∴∠FAD=180°-∠CAD=135°，∠EBD=180°-∠ABC=135°，∴∠FAD=∠EBD， 在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴DE=DF，∠BDE=∠ADF， ∵∠ADF+∠BDF=∠BDA=90°，∴∠BDE+∠BDF=90°，即∠EDF=90°，∴△DEF是等腰直角三角形． 例2．（23-24九年级上·辽宁盘锦·期末）在图1，图2，图3中，， (1)问题探索：如图1，当点和点在直线异侧时，猜想，，三者之间数量关系．小明想出了下面的方法，延长到点，使得，连接，由于，证得，从而，且，所以，得到等腰直角，则小明得到线段，，之间的数量关系为 ；(2)问题解决：如图2，当点和在直线同侧时，与交于点，请你借鉴中的方法证明：；(3)思维拓展：如图3，当点和在直线 异侧时，于点，猜想线段，，三之间的数量关系，并写出证明过程． 【答案】(1)(2)见解析(3) 【详解】（1）解：∵∴，， ∴，∴是等腰直角三角形， ∴∴； （2）证明：在上截取，连接， ∵，，∴， 设，则，，∴， 又∵，，∴，∴ ∴ ∴是等腰直角三角形，∴ ∴即 （3）解：如图所示，延长至，使得， ∵，∴， 又∵，∴ 又∵∴，∴， 又∵∴， ∴∴四边形是矩形， 又∵∴四边形是正方形，∴ ∴即 ∴ 例3．（2022秋·四川内江·九年级校考期中）如图，已知∠AOB＝60°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E． （1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由； （2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由； （3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明. 【答案】（1）；（2）（1）中结论仍然成立，见解析；（3）（1）中结论不成立， ，见解析. 【详解】（1）∵OM是∠AOB的角平分线，∴∠AOC=∠BOC∠AOB=30°． ∵CD⊥OA，∴∠ODC=90°，∴∠OCD=60°，∴∠OCE=∠DCE﹣∠OCD=60°． 在Rt△OCD中，OD=OC•cos30°OC，同理：OEOC，∴OD+OEOC； （2）（1）中结论仍然成立，理由如下：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G， ∴∠OFC=∠OGC=90°．∵∠AOB=60°，∴∠FCG=120°， 同（1）的方法得：OFOC，OGOC，∴OF+OGOC． ∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，∴CF=CG． ∵∠DCE=120°，∠FCG=120°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE， ∴DF=EG，∴OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG， ∴OF+OG=OD+EG+OE﹣EG=OD+OE，∴OD+OEOC； （3）（1）中结论不成立，结论为：OE﹣ODOC，理由如下： 过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，∴∠OFC=∠OGC=90°． ∵∠AOB=60°，∴∠FCG=120°，同（1）的方法得：OFOC，OGOC，∴OF+OGOC． ∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，∴CF=CG． ∵∠DCE=120°，∠FCG=120°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF=EG， ∴OF=DF﹣OD=EG﹣OD，OG=OE﹣EG，∴OF+OG=EG﹣OD+OE﹣EG=OE﹣OD，∴OE﹣ODOC． 例4．（2023广东八年级期末）已知∠AOB＝90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA，OB(或它们的反向延长线)相交于点D，E. 当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图①)，易证：OD＋OE＝OC； 当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，即在图②，图③这两种情况下，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立，线段OD，OE，OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． 【答案】图②中OD＋OE＝OC成立．证明见解析；图③不成立，有数量关系：OE－OD＝OC 【详解】解：图②中OD＋OE＝OC成立． 证明：过点C分别作OA，OB的垂线，垂足分别为P，Q 有△CPD≌△CQE，∴DP＝EQ，∵OP＝OD＋DP，OQ＝OE－EQ， 又∵OP＋OQ＝OC，即OD＋DP＋OE－EQ＝OC，∴OD＋OE＝OC． 图③不成立，有数量关系：OE－OD＝OC 过点C分别作CK⊥OA，CH⊥OB， ∵OC为∠AOB的角平分线，且CK⊥OA，CH⊥OB，∴CK=CH，∠CKD=∠CHE=90°， 又∵∠KCD与∠HCE都为旋转角，∴∠KCD=∠HCE， ∴△CKD≌△CHE，∴DK=EH，∴OE-OD=OH+EH-OD=OH+DK-OD=OH+OK， 由（1）知：OH+OK=OC，∴OD，OE，OC满足OE-OD=OC． 例5．（2023·江西九江·二模）问题提出 在综合与实践课上，某数学研究小组提出了这样一个问题：如图1，在边长为4的正方形的中心作直角，的两边分别与正方形的边，交于点E，F（点E与点B，C不重合），将绕点O旋转．在旋转过程中，四边形的面积会发生变化吗？ 爱思考的浩浩和小航分别探究出了如下两种解题思路． 浩浩：如图a，充分利用正方形对角线垂直、相等且互相平分等性质，证明了，则，．这样，就实现了四边形的面积向面积的转化． 小航：如图b，考虑到正方形对角线的特征，过点O分别作于点G，于点H，证明，从而将四边形的面积转化成了小正方形的面积． （1）通过浩浩和小航的思路点拨﹐我们可以得到__________；__________． 类比探究（2）①如图⒉，在矩形中，，，O是边的中点，，点E在上，点F在上，则__________． ②如图3，将问题中的正方形改为菱形，且，当时，其他条件不变，四边形的面积还是一个定值吗？若是，请求出四边形的面积；若不是，请说明理由． 拓展延伸（3）如图4，在四边形中，，，，，是的平分线，求四边形的面积． 【答案】（1）4，4；（2）①6；②是定值，（3） 【详解】解：（1）浩浩：四边形是正方形，边长为4，， ，，，，，， ，，，，， ，； 小航：，，， ，四边形是矩形，， ，，四边形是正方形，边长为4， ，，，， 是的中位线，，同理：， ，，四边形是正方形，，， ， ；故答案为：4，4； （2）①如图2，过点作于点， 则，四边形是矩形，， 四边形是矩形，，，， ，点是边的中点，，， 四边形是正方形，， ，，，， ，∴，∴，故答案为：6． ②是定值，理由如下：如图3，过点O作，垂足分别为M，N，过点 A作，垂足为H， ∵四边形为菱形，∴平分，∴， ∵，∴． ∵∴， 又∵，∴，∴， 在和中，∴． ∵， ，∴， ∴， ∵，∴，∴ 又∵O为的中点，且，∴，， ∴． (3)如图4，延长到点E，使，连接，过点B作于点F． ∵，是的平分线∴， ∴是等边三角形，∴，，∴． ∵，∴，在和中， ∴，∴，∴，， ∵，∴，∴， ∴ 1．（2022·湖南·中考真题）如图，点是等边三角形内一点，，，，则与的面积之和为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将绕点顺时针旋转得，连接， ，，，是等边三角形， ， ∵，，，， 与的面积之和为．故选：C． 2．（2023·广东·八年级专题练习）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在线段BC、CD上运动，且满足∠EAF＝45°，AE、AF分别与BD相交于点M、N，下列说法中：①BE+DF＝EF；②点A到线段EF的距离一定等于正方形的边长；③BE＝2，DF＝3，则S△AEF＝15；④若AB＝6，BM＝3，则MN＝5．其中结论正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】解：如图，把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH， 由旋转的性质得，BH＝DF，AH＝AF，∠BAH＝∠DAF， ∵∠EAF＝45°，∴∠EAH＝∠BAH+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝90°﹣∠EAF＝45°，   ∴∠EAH＝∠EAF＝45°，在△AEF和△AEH中，， ∴△AEF≌△AEH（SAS），∴EH＝EF，∴∠AEB＝∠AEF，∴BE+BH＝BE+DF＝EF，故①正确； 过A作AG⊥EF于G，∴∠AGE＝∠ABE＝90°， 在△ABE与△AGE中，， ∴△ABE≌△AGE（AAS），∴AB＝AG， ∴点A到线段EF的距离一定等于正方形的边长；故②正确； ∵BE＝2，DF＝3，∴EF＝BE+DF＝5，设BC＝CD＝n， ∴CE＝n﹣2，CF＝n﹣3，∴EF2＝CE2+CF2，∴25＝（n﹣2）2+（n﹣3）2， ∴n＝6（负值舍去），∴AG＝6，∴S△AEF＝×6×5＝15．故③正确； 如图，把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABQ，连接QM， 由旋转的性质得，BQ＝DN，AQ＝AN，∠BAQ＝∠DAN，∠ADN＝∠ABQ＝45°， ∵∠EAF＝45°，∴∠MAQ＝∠BAQ+∠BAE＝∠DAN+∠BAE＝90°﹣∠EAF＝45°， ∴∠MAQ＝∠MAN＝45°，在△AMQ和△AMN中，， ∴△AMQ≌△AMN（SAS），∴MQ＝MN， ∵∠QBM＝∠ABQ+∠ABM＝90°，∴BQ2+MB2＝MQ2，∴ND2+MB2＝MN2， ∵AB＝6，∴BD＝AB＝12，设MN＝x，则ND＝BD﹣BM﹣MN＝9﹣x， ∴32+（9﹣x）2＝x2，解得：x＝5，∴MN＝5，故④正确，故选A． 3．（2023·黑龙江黑河·八年级期中）Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论：①(BE+CF)=BC，②，③AD·EF，④AD≥EF其中正确结论的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解:∵Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°， ∴AD =DC，∠EAD=∠C=45°，∠EDA=∠MDN－∠ADN =90°－∠ADN=∠FDC． ∴△EDA≌△FDC（ASA）．∴AE=CF．∴BE+CF= BE+ AE=AB． 在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB=BC．∴(BE+CF)=BC．∴结论①正确． 设AB=AC=a，AE=b，则AF=BE= a－b． ∴． ∴．∴结论②正确． 如图，过点E作EI⊥AD于点I，过点F作FG⊥AD于点G，过点F作FH⊥BC于点H，ADEF相交于点O． ∵四边形GDHF是矩形，△AEI和△AGF是等腰直角三角形， ∴EO≥EI（EF⊥AD时取等于）=FH=GD，OF≥GH（EF⊥AD时取等于）=AG． ∴EF=EO＋OF≥GD＋AG=AD．∴结论④错误． ∵△EDA≌△FDC，∴．∴结论③错误． 综上所述，结论①②正确．故选C． 4．（23-24九年级上·河南焦作·期中）如图，点E在正方形的对角线上，且，直角三角形的两直角边、分别交、于点M、N．若正方形的边长为a，则重叠部分四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，过作于点，于点，， 四边形是正方形，，，四边形是矩形，， 是直角三角形，，， 是的角平分线，，，四边形是正方形， 在和中，，（）， ，正方形的边长为，， ，，，， 重叠部分四边形的面积为；故选：C． 5．（2024·江苏·八年级期中）如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝8，AB＝AC，∠CBD＝30°，BD＝4，M，N分别在BD，CD上，∠MAN＝45°，则△DMN的周长为_____． 【答案】4+4． 【详解】将△ACN绕点A逆时针旋转，得到△ABE，如图： 由旋转得：∠NAE＝90°，AN＝AE，∠ABE＝∠ACD，∠EAB＝∠CAN， ∵∠BAC＝∠D＝90°，∴∠ABD+∠ACD＝360°﹣90°﹣90°＝180°， ∴∠ABD+∠ABE＝180°，∴E，B，M三点共线，∵∠MAN＝45°，∠BAC＝90°， ∴∠EAM＝∠EAB+∠BAM＝∠CAN+∠BAM＝∠BAC﹣∠MAN＝90°﹣45°＝45°， ∴∠EAM＝∠MAN，在△AEM和△ANM中，， ∴△AEM≌△ANM（SAS），∴MN＝ME，∴MN＝CN+BM， ∵在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠CBD＝30°，BD＝4，CD＝BD×tan∠CBD＝4， ∴△DMN的周长为DM+DN+MN＝DM+DN+BM+CN＝BD+DC＝4+4，故答案为4+4． 5.（23-24八年级下·江苏南通·期末）如图，正方形的边长为8，点在边上，，将边沿翻折得到线段，连接并延长交于点，则线段的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ， ∵四边形是正方形，∴，，∴， 由折叠的性质可得：，，，∴， ∵，∴，∴， 设，则，， 勾股定理可得：， ∴，解得：，∴，故答案为：． 6．（2024·山东·校考一模）问题解决】如图1，，点C是∠AOB平分线上一点，点D在射线OA上，将射线CD绕点C逆时针旋转与OB交于点E．求证：(1)；(2)． 【变式探究】(3)图2，，点C是∠AOB平分线上一点，点D在射线OA上，将射线CD绕点C逆时针旋转与OB交于点E．填空：此时线段OD、OE、OC之间的数量关系是 ． 【拓展提升】(4)图3，矩形ABCD中，，，E为AD中点，点F在AB上，且，连接CF，作于H，连接AH，求线段AH的长度． 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)OD＋OE＝OC；(4)AH＝ 【详解】（1）证明：作CM⊥OA于点M，CN⊥OB于点N，则∠CMA＝∠CNE＝90°， ∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， ∵∠AOB＝120°，∠DCE＝60°，∴∠CDM＋∠CEO＝360°－120°－60°＝180°， ∵∠CEN＋∠CEO＝180°，∴∠CDM＝∠CEN． 在和中， ∴，∴CD＝CE，DM＝EN （2）证明：∵∠CMA＝∠CNE＝90°，OC平分∠AOB，∴∠OCM＝∠OCN，∴OM＝ON， ∴OD＋OE＝OM＋DM＋ON－EN＝OM＋ON＝2OM， ∵∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，∴∠COM＝60°，∠OCM＝30°，∴OD＋OE＝2OM＝OC， （3）：OD＋OE＝OC；理由如下：作CM⊥OA于点M，CN⊥OB于点N， ∴∠CMA＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴∠MOC＝∠NOC，∠OCM＝∠OCN， ∴OM＝ON，∴OD＋OE＝OM＋DM＋ON－EN＝OM＋ON＝2OM， ∵∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，∴∠COM＝45°，∠OCM＝45°，∴OD＋OE＝2OM＝OC， （4）：作AM⊥CF于点M，AN⊥EH于点N． 则∠M＝∠ANE＝90°，∵四边形ABCD是矩形，EH⊥CF于点H， ∴∠BAD＝∠EHF＝90°，∴∠AFH＋∠AEN＝360°－90°－90°＝180°， ∵∠AFH＋∠AFM＝180°，∴∠AFM＝∠AEN， 在和中，∴，∴AM＝AN， ∵点A在∠EHF内部，∴HA平分∠EHF，∴∠AHM＝45°，△AMH是等腰直角三角形，∴AH＝AM， ∵AB＝11，AD＝12，E为AD中点，AF＝AE，∴AF＝6，BF＝11－6＝5，BC＝AD＝12， 在Rt△BCF中，由勾股定理得，CF＝13，∴sin∠BFC＝，∴sin∠AFM＝， ∴AM＝AF＝，∴AH＝AM＝， 7．（2024·江苏·三模）问题呈现：已知等边三角形边的中点为点，，的两边分别交直线，于点，，现要探究线段，与等边三角形的边长之间的数量关系．（1）特例研究：如图1，当点，分别在线段，上，且，时，请直接写出线段，与的数量关系：________； （2）问题解决：如图2，当点落在射线上，点落在线段上时，（1）中的结论是否成立？若不成立，请通过证明探究出线段，与等边三角形的边长之间的数量关系； （3）拓展应用：如图3，当点落在射线上，点落在射线上时，若，，请直接写出的长和此时的面积． 【答案】（1）；（2）不成立，理由见解析；；（3），． 【详解】（1）∵△ABC是等边三角形，∴， 又∵，，∴， ∴,,∴． （2）不成立．理由如下：如图1，分别过点作于点，于点， 易证得，则，． ∵，，∴． ∵，∴，则，∴， ∴，即． 在中，，∴，即． （3），． 解法提示：如图2，过点作，可求得． 同（2）可证，可求得．在中可求出， 根据顶角为的等腰三角形面积的算法可求出的面积为． 8．（2024·北京·校考一模）如图，∠AOB = 90°，OC为∠AOB的平分线，点P为OC上一个动点，过点P作射线PE交OA于点E．以点P为旋转中心，将射线PE沿逆时针方向旋转90°，交OB于点F． （1）根据题意补全如图，并证明PE = PF； （2）如图，如果点E在OA边上，用等式表示线段OE，OP和OF之间的数量关系，并证明； （3）如图，如果点E在OA边的反向延长线上，直接写出线段OE，OP和OF之间的数量关系． 【答案】（1）补全图形见解析；（2）线段OE，OP和OF之间的数量关系是OF+OE=OP . 证明见解析；（3）线段OE，OP和OF之间的数量关系是OF - OE=OP . 【详解】（1）补全图形（如图）； 理由：如图1中，作PQ⊥PO交OB于Q，∴∠OPQ=∠EPF=90°，∴∠EPO=∠FPQ， 又∵OC平分∠AOB，∠AOB=90°，∴∠EOP=∠POB=45°， 又∵∠POQ+∠OQP=90°，∴∠PQO=45°，∴∠POE=∠PQF=∠POQ， ∴PO=PQ，∴△EPO≌△FPQ（ASA），∴PE=PF； （2）结论：线段OE，OP和OF之间的数量关系是OF+OE=OP． 理由：如图1中，∵△EPO≌△FPQ，又∵OQ=OF+FQ=OF+OE，又∵OQ=OP，∴OF+OE=OP； （3）结论：线段OE，OP和OF之间的数量关系是OF-OE=OP． 理由：如图2中，作PQ⊥PO交OB于Q，∴∠OPQ=∠EPF=90°，∴∠EPO=∠FPQ， 又∵OC平分∠AOB，∠AOB=90°，∴∠AOP=∠POB=45°， 又∵∠POQ+∠OQP=90°，∴∠PQO=45°，∴∠POA=∠PQO=∠POQ=45°， ∴PO=PQ，∠POE=∠PQE=135°，∴△EPO≌△FPQ（ASA），∴PE=PF，OE=FQ， 又∵OQ=OF-FQ=OF-OE，又∵OQ=OP，∴OF-OE=OP． 9．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）已知，平分．    (1)如图1将三角尺的直角顶点落在的任意一点P上，现探究、的大小关系： ①特例探究：当三角尺的两条直角边分别与、垂直，垂足为E、F时，依据学过的定理： （写出定理文字表述的具体内容），得到；②一般探究：当三角尺的两条直角边分别交、于点E、F时，试判断： （填“”、“”或“”）；(2)如图2，点P是内一点，E、F分别在边、上，，．求证：点P在上；(3)在（2）的条件下，建立如图3所示的平面直角坐标系，已知是第一象限的角平分线，若点P的坐标为．①求点P的坐标；②过点P作交x轴于点G，交y轴于点H，当点E从点H运动到点O时，则的中点Q运动所形成的路径长为 ． 【答案】(1)①角平分线上的点到角两边的距离相等；②(2)见解析(3)①；② 【详解】（1）解：①角平分线上的点到角两边的距离相等 ②根据角平分线性质可得，，故答案是： （2）证明：如图2，过点P作、，垂足分别为M、N，    ∵，，，∴，∴， 又，， ∴≌，∴ 又∵平分．∴P在上； （3）解：①∵是第一象限的角平分线，若点P的坐标为，在P上， ∴，解得：，∴； ②依题意，，是等腰直角三角形， ∵，∴，，∴， ∵是第一象限的角平分线，，则是等腰直角三角形，如图3所示，    设、的中点分别为M、N，则，，∴， 当点E在点H时，点Q与点M重合，当点E在点O时，点Q与点N重合， ∴当点E从点H运动到点O时，的中点Q点从点M运动到N， 即Q的运动路径长为，故答案是：． 10．（2023·辽宁沈阳·八年级校考期中）在等边三角形ABC中． (1)如图1，D、E是边BC上两动点，且∠DAE=30°，将△ABE绕点A逆时针旋转60°后，得到△ACF，连接DF；①求证：△AED≌△AFD；②当BE=2，CE=5时，求DE的长； (2)如图2，点D是等边三角形ABC的边BC所在直线上的一动点，连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，连接CE，当BD=2，BC=6时，CE的长为________． 【答案】(1)（1）①见解析；②DE的长为；(2)或 【详解】（1）解：①由旋转的性质得：△BAE≌△CAF，∴AE=AF，∠BAE=∠CAF， ∵△ABC是等边三角形，∠DAE=30°， ∴∠BAC=60°，∠CAD+∠BAE=∠CAD+∠CAF=30°，∴∠DAE=∠DAF=30°， ∵DA=DA，AE=AF，∴△AED≌△AFD； ②过点F作FG⊥BC于G，设DE=x， ∵△AED≌△AFD，△BAE≌△CAF， ∴DE=FD=x，BE=CF=2，∠B=∠ACB=∠ACF=60°，CD=CE-DE=5-x， 在Rt△CFG中，∠FCG=180°-60°-60°=60°，∠CFG=30°，CF=2， ∴CG=CF=1，FG=，在Rt△DFG中，FD=x，FG=，DG=6-x， 由勾股定理得：DG2+FG2=DF2，即(6-x)2+()2=x2，解得：x=；∴DE的长为； （2）解：①当点D在线段BC上时，连接BE，且BD=2，BC=6，CD=4， 根据旋转的性质得∠DAE=60°，DA=AE， ∵△ABC是等边三角形，∠BAC=60°，AB=AC，∴∠DAC=∠EAB， 在△DAC和△EAB中，，∴△DAC≌△EAB， ∴BE=CD=4，∠ACB=∠ABE=60°，过点E作EH⊥BC于H， 在Rt△EBH中，∠EBH=180°-60°-60°=60°，∠BEH=30°，BE=4， ∴BH=BE=2，EH=，在Rt△CEH中，EH=，CH=2+2+4=8， 由勾股定理得：CE=； ②当点D在CB的延长线上时，连接BE，且BD=2，BC=6，CD=8， 根据旋转的性质得∠DAE=60°，DA=AE， ∵△ABC是等边三角形，∠BAC=60°，AB=AC，∴∠DAC=∠EAB， 在△DAC和△EAB中，，∴△DAC≌△EAB， ∴BE=CD=8，∠ACB=∠ABE=60°，过点E作EM⊥BC于M， 在Rt△EBM中，∠EBM=180°-60°-60°=60°，∠BEM=30°，BE=8， ∴BM=BE=4，EH=，在Rt△CEM中，EM=，CM=4+6=10， 由勾股定理得：CE=；综上，CE的长为或． 故答案为：或． 11．（2024·福建龙岩·九年级期中）阅读下列材料：数学课上老师出示了这样一个问题：如图，等腰的直角顶点在正方形的边上，斜边交于点，连接，求证：．某学习小组的同学经过思考，交流了自己的想法：利用现在所学的旋转知识，可将旋转到，然后通过证明全等三角形来完成证明． （1）（问题解决）请你根据他们的想法写出证明过程； （2）（学以致用）如图，若等腰的直角顶点在正方形的边的延长线上，斜边的延长线交的延长线于点，连接，猜想线段，，满足怎样的数量关系？并证明你的结论； （3）（思维拓展）等腰直角中，，为内部一点，若，则的最小值______． 【答案】（1）证明见解析；（2），理由见解析；（3） 【详解】（1）证明：如图，将绕点顺时针旋转到， ，，，， ，点，点，点三点共线， ，，，， ， 又，，，，； （2），理由如下：如图，将绕点顺时针旋转到， ，，，，，， ，， 又，，，， ，； （3）如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接，，过点作，交的延长线于，，，，， 是等边三角形，，， ∴当点，点，点，点四点共线时，有最小值为的长， ，，，， ，的最小值为．故答案为：． 12．（2023春·成都八年级期中）中，，，点在边上，将线段逆时针旋转得到，连接． (1)当，时，求证：．(2)当，时，若，求的值． 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）证明：如图，连接，，， 在和中，，，，， ，，，； （2）在的延长线上取点，使 ，由同理得，， ，设，∴ 作于，，是等腰直角三角形， ∴． 13．（2023·河南洛阳·八年级校考阶段练习）【问题发现】（1）如图1，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接，容易发现：①的度数为 ；②线段、之间的数量关系为 ； 【类比探究】（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点B，D，E在同一直线上，连接，试判断 的度数以及线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】（3）如图3，，，，，则的值为 ． 【答案】（1）①；②；（2），，见解析；（3）8 【详解】解：（1）∵和均为等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中，，∴（）， ∴， ∴，故答案为：； （2）， 理由如下：∵，和均为等腰直角三角形， ∴，， ，即， 在和中，，∴（）， ∴，∴， ∵，∴； （3）如图3，过点C作，交的延长线于F，过点B作于E， ∴，∴四边形是矩形，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴（），∴， 设，则，，∴∴， ∴，，∴， ∴在中，．故答案为：． 15．（2024·山东临沂·八年级统考期末）【知识背景】我们在第十一章《三角形》中学习了三角形的边与角的性质，在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在第十三章《轴对称》中学习了等腰三角形的性质和判定．在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题． (1)【问题初探】如图（1），中，，，点D是BC上一点，连接AD，以AD为一边作，使，，连接BE，猜想BE和CD有怎样的数量关系，并说明理由． (2)【类比再探】如图（2），中，，，点M是AB上一点，点D是BC上一点，连接MD，以MD为一边作，使，，连接BE，则______．（直接写出答案，不写过程；需要作辅助线的，请说明辅助线的作法，并在图（2）中作出辅助线） (3)【方法迁移】如图（3），是等边三角形，点D是BC上一点，连接AD，以AD为一边作等边三角形ADE连接BE，则BD，BE，BC之间有怎样的数量关系？（直接写出答案，不写过程）． (4)【数学思考】如图（4），是等边三角形，点M是AB上一点，点D是BC上一点，连接MD，以MD为一边作等边三角形MDE，连接BE猜想的度数，并说明理由． 【答案】(1)BE＝CD．证明见详解；(2)90°；(3)BC＝BD+BE．证明见详解；(4)∠EBD＝120°． 【详解】（1）证明：问题初探：BE＝CD． 如图（1），∵∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠BAE+∠BAD=∠BAD+∠CAD，∴∠BAE＝∠CAD， 在△BAE和△CAD中，，∴△BAE≌△CAD（SAS），∴BE＝CD； （2）解：在图（2）中过点M作MF∥AC交BC于点F， ∵，，∴∠ACB=∠ABC=， ∵MF∥AC，∴∠BMF=∠A=90°，∠BFM=∠C=45°，∴MB=MF， ∵∠DME＝∠BMF＝90°，∴∠BME＝∠DMF， 在△BME和△FMD中，，∴△BME≌△FMD（SAS）， ∴∠MBE＝∠MFD=45°；∴∠EBD＝∠MBE+∠ABC＝90°．故答案为：90°； （3）解：BC＝BD+BE．如图（3），∵△ABC和△ADE是等边三角形， ∴∠DAE＝∠BAC＝60°，∴∠BAE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=60°，∴∠BAE＝∠CAD， 在△BAE和△CAD中，，∴△BAE≌△CAD（SAS）， ∴BE＝CD，∴BC＝BD+CD＝BD+BE； （4）拓展创新：∠EBD＝120°．理由：在图（4）中过点M作MG∥AC交BC于点G， 如图则∠BMG=∠A=60°，∠BGM=∠C=60°，∴△BMG是等边三角形，∴BM=GM， ∵∠DME＝∠BMG＝60°，∴∠BME+∠BMD=∠BMD+∠GMD=60°，∴∠BME＝∠DMG， 在△BME和△GMD中，，∴△BME≌△GMD（SAS）， ∴∠MBE＝∠MGB＝60°，∴∠EBD＝∠MBE+∠MBG＝120°． 16．（23-24八年级下·山东济南·期末）在中，，点是线段上一点（不与、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图1，如果．① 的度数为　　 °；②则与全等吗？请说明理由； (2)如图2，如果，当点在线段上移动，① 的度数是 　 　°； ②当点运动到什么位置时，的周长最小？ 【答案】(1)①；②全等，证明见解析(2)①；②当点运动到的中点时，是周长最小 【详解】（1）解：①；②与全等， 理由：，， ，，， 在和中，，， ，； （2）①，， ，，，又， 在和中，，， ，，故 答 案 为：； ②由①知，，，， 的周长， 为定值，当的值最小时，得到周长最小， ，，是等边三角形，， 时，的值最小，此时， 当点运动到的中点时，是周长最小． 17．（23-24八年级下·陕西西安·期中）阅读理解（1）如图1，在正方形中，若、分别是，边上的点，，则我们常会想到：把绕点顺时针旋转得到，易证______，得出线段，，之间的数量关系为______； 类比探究（2）如图2，在等边中，，为边上的点，，，，求线段的长； 拓展应用（3）如图3．在中，，，点，在边上，，若是等腰的腰长，请求出的值．    【答案】（1），；（2）；（3）的值为或 【详解】解：（1）由旋转的性质可得：，，， ，， 在和中，，， ，，，故答案为：，； （2）如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，   ，   ， 是等边三角形，， 由旋转的性质可得：，，，， ，， ，，，， 作交的延长线于点，， ， ，，，， ，， ，； （3）当时，如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接，过点作，交于点； 在中，，，， ，，，， ，， 由旋转的性质可得：，，，，， ， ，，， ， ，，， ，，，， ，，； 当时，如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接，过点作，交于点；   ， 在中，，，， ，，， ，， ， 由旋转的性质可得：，，，，， ， ，，， ， ，， ，，，，，， ，，， 综上所述，的值为或． 18．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）【问题初探】 （1）在数学课上，张老师给出如下问题：如图1，，平分，求证：． ①如图2，小强同学从角平分线性质的角度出发给出如下解题思路：过点C分别作，，垂足分别为M，N．以此来证明阴影部分的三角形全等得到． ②如图3，小颖同学从平分的条件出发给出另一种解题思路：过C作，交于点F．以此来证明阴影部分的三角形全等得到． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）张老师发现两名同学都运用了作垂线的方法造的全等三角形，为了帮助学生更好地感悟，张老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答．如图4，，平分，求证：． 【学以致用】（3）如图5，在中，，，D是边的中点，，与边相交于点E，与边相交于点F．请直接写出线段，和的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【详解】（1）①选择小强同学， 证明：如图2，过点作于，于， 平分， ，，， ，， 在与中，，； ②选择小颖同学，证明：如图3，过点作，交于点，则， ，平分，，且， ，，，， 在和中，，，． （2）如图，过点作，，垂足分别为，， ，又平分，， ，， 在四边形中，， 又，， 又，，且，， ，； （3）取中点，连接， 点、分别是、边上的中点，， 是等边三角形，， ，， ，，， ， 4 / 54 学科网（北京）股份有限公司 $$