精品解析： 江西省赣州市寻乌县2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题

2024—2025学年度第一学期期末考试 八年级数学试题卷 说明：本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 一．选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 蜜蜂建造的蜂巢既坚固又省料，其厚度约为0.000073米，用科学记数法可表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 3. 如图，为估计池塘岸边A、B的距离，小杰在池塘的一侧选取一点O，测得米，米，A、B间的距离可能是（ ） A. 4米 B. 12米 C. 16米 D. 22米 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将图1中阴影部分的小长方形变换到图2位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是线段上的一点，和都是等边三角形，交于，交于，交于，则①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是_______． 8. 一个多边形的内角和是外角和的一半，这个多边形的边数为______． 9. 因式分解：_____． 10. 若多项式是完全平方式，则的值为_____． 11. 如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点E，，，则的面积等于__________． 12. 如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，连接．当_____时，是等腰三角形． 三、解答题：（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1） （2） 14. 如图，已知，，，．求证：． 15. 如图．线段的端点在正方形网格的格点上，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中作等腰直角三角形，使线段为底边，点格点上； （2）在图2中作等腰直角三角形，使线段为腰，点格点上． 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 如图，，点在线段上，，求的度数． 四、解答题（本大题共3小题，每题8分，共24分） 18. 如图，三个顶点的坐标分别为． （1）请画出关于轴对称的； （2）若与关于轴对称，点的坐标为_____； （3）在轴上有一点，能使的周长最小，请画图标出点的位置，并直接写出点的坐标_____． 19. 某商场计划购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多30元，已知用360元购进的足球和用480元购进的篮球数量相等． （1）篮球和足球的单价各是多少元？ （2）若按此价格购进篮球10个，足球15个，商场共花了多少钱？ 20. 如图，学校计划在一块长方形土地中间修建一座雕像，雕像底部是边长为的正方形，其余部分进行绿化做成草坪．请根据图中的数据．（单位：米）． （1）计算出草坪（图中阴影部分）的面积； （2）当时，求出草坪的面积． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 【阅读材料】因式分解：． 解：令，则原式．第①步 ．第②步 再将“”还原，原式．第③步 【问题解决】 （1）上面解法中的第②步运用了因式分解的方法中的_____； A．提公因式法， B．平方差公式法， C．两数和的完全平方公式法 （2）因式分解：的结果是_____； （3）证明：若为正整数，则的值是某个整数的平方． 22. 如图1，△ABC是边长为6cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段AB，BC运动，且它们的速度都为1厘米/秒．当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（秒）． （1）当运动时间为t秒时，BQ的长为　 　厘米，BP的长为　 　厘米．（用含t的式子表示） （2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形； （3）如图2，连接AQ、CP，相交于点M，则点P，Q在运动的过程中，∠CMQ会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请直接写出它的度数． 六、解答题（本大题共12分） 23. 在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE =∠BAC，连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE= 度； （2）设，． ①如图2，当点D在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由； ②当点D在直线BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期期末考试 八年级数学试题卷 说明：本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 一．选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，准确分析判断是解题的关键． 根据轴对称的定义，把一个图形一部分沿着某一条直线折叠，如果它能够与图形另一部分完全重合，称这个图形为轴对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形的定义可知，A、B、C都是轴对称图形，D不是轴对称图形， 故选：D． 2. 蜜蜂建造的蜂巢既坚固又省料，其厚度约为0.000073米，用科学记数法可表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.000073=7.3×10-5， 故选：B． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 3. 如图，为估计池塘岸边A、B的距离，小杰在池塘的一侧选取一点O，测得米，米，A、B间的距离可能是（ ） A. 4米 B. 12米 C. 16米 D. 22米 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系得到，根据的范围判断即可． 【详解】解：如图：连接， 根据三角形的三边关系得： ， 即：， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，能正确运用三角形的三边关系是解此题的关键． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法、积的乘方等运算．根据同底数幂的乘除法、积的乘方与幂的乘方的运算法则逐一计算可得． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：C． 5. 如图，将图1中阴影部分的小长方形变换到图2位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平方差公式与几何图形，数形结合是解决问题的关键． 通过题意，分别表示出图1和图2中阴影部分的面积即可得到答案． 【详解】解：图1中阴影部分的小长方形变换到图2位置成为边长为的正方形， 图1中阴影部分的长方形长为、宽为，则面积为； 图2中阴影部分的是边长为的大正方形面积减掉边长为的小正方形面积，则面积为； 由于两个阴影部分面积相等，则得， 故选：C． 6. 如图，是线段上的一点，和都是等边三角形，交于，交于，交于，则①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角性质，证明，可得，，即可判断①；求出可判断②；证明可判断④②，据此即可求解，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：和都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ，，故①正确； ∴， ，故③错误； ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，，故④②正确； ∴正确的是①②④， 故选：． 二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是_______． 【答案】3 【解析】 【详解】根据分式的有意义的条件，分母不能为0，可知x-3≠0，解得x≠3， 因此符合题意的x的取值范围为x≠3． 故答案为：x≠3． 【点睛】本题考查分式的意义条件，熟练掌握分母不为0是分式有意义的条件是解题的关键． 8. 一个多边形的内角和是外角和的一半，这个多边形的边数为______． 【答案】3 【解析】 【分析】此题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握内角和公式及外角和公式是解本题的关键．根据多边形的外角和为及题意，求出这个多边形的内角和，即可确定出多边形的边数． 【详解】解：一个多边形的外角和是内角和的2倍，且外角和为， 这个多边形的内角和为， 则这个多边形的边数是3， 故答案为：3 9. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解：原式 ． 10. 若多项式是完全平方式，则的值为_____． 【答案】8或##或8 【解析】 【分析】本题考查完全平方式，根据所给多项式可得两平方项分别为、，则一次项为，据此可得答案． 【详解】解：多项式是完全平方式， ∴， ∴， ∴或， 故答案为：8或． 11. 如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点E，，，则的面积等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】作于F，根据角平分线的性质定理得到，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：过E作于F， ∵是边上的高线，平分， ∴， ∵， ∴的面积为， 12. 如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，连接．当_____时，是等腰三角形． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质，等腰三角形的定义等知识，先由全等三角形的性质得到，，再证明是等边三角形，得到，据此分别求出三个内角的度数，再根据等腰三角形的定义讨论求解即可． 【详解】解：， ∴，， 又∵， ∴是等边三角形， ． ， ∴， ∵， ， 当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得：． 综上所述，当或或时，是等腰三角形． 故答案为：或或． 三、解答题：（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题考查了单项式的除法、负整数指数幂、零指数幂，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先去括号，再计算单项式除以单项式，最后合并同类项即可； （2）根据负整数指数幂、零指数幂的定义化简式子，再计算有理数的减法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 14. 如图，已知，，，．求证：． 【答案】证明：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定与性质．利用证明，根据全等三角形的性质求得． 【详解】略 15. 如图．线段的端点在正方形网格的格点上，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中作等腰直角三角形，使线段为底边，点格点上； （2）在图2中作等腰直角三角形，使线段为腰，点格点上． 【答案】（1） 为所求， （2） 为所求， 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． （1），那么，则，故为所求； （2）由勾股定理可求，则，则，故为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，掌握分式的化简求值运算顺序和运算法则是解答本题的关键． 先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算即可． 【详解】解：原式， 当时，原式． 17. 如图，，点在线段上，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理．根据全等三角形的性质得到，从而得到，从而求出，进而根据等边对等角即可解答． 【详解】解：， ． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 四、解答题（本大题共3小题，每题8分，共24分） 18. 如图，三个顶点的坐标分别为． （1）请画出关于轴对称的； （2）若与关于轴对称，点的坐标为_____； （3）在轴上有一点，能使的周长最小，请画图标出点的位置，并直接写出点的坐标_____． 【答案】（1） 即为所求： （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，轴对称最短路径问题： （1）关于y轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数，据此可得A、B、C对应点的坐标，描出，再顺次连接即可； （2）关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得答案； （3）连接交轴于P，点P即为所求，再结合图形写出点P坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵与关于轴对称，， ∴， ∵与关于轴对称， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 解；如图所示，连接交轴于P，点P即为所求； ∴． 19. 某商场计划购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多30元，已知用360元购进的足球和用480元购进的篮球数量相等． （1）篮球和足球的单价各是多少元？ （2）若按此价格购进篮球10个，足球15个，商场共花了多少钱？ 【答案】（1）足球单价为90元，篮球单价为120元 （2）2700元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用： （1）设足球单价为元，则篮球单价为元，根据用360元购进的足球和用480元购进的篮球数量相等建立方程求解即可； （2）根据（1）所求分别求出篮球和足球的费用，二者相加即可得到答案． 【小问1详解】 解：设足球单价为元，则篮球单价为元， 由题意得：． 解得． 经检验：是原分式方程的解，且符合题意． 则． 答：足球单价为90元，篮球单价为120元； 【小问2详解】 解：元． 答：商场共花了2700元． 20. 如图，学校计划在一块长方形土地中间修建一座雕像，雕像底部是边长为的正方形，其余部分进行绿化做成草坪．请根据图中的数据．（单位：米）． （1）计算出草坪（图中阴影部分）的面积； （2）当时，求出草坪的面积． 【答案】（1）平方米 （2）940平方米 【解析】 【分析】此题考查了整式混合运算和求代数式的值的应用． （1）根据题意列式，再用完全平方公式和多项式乘以多项式法则展开，合并同类项得到化简结果； （2）把字母的值代入（1）中的化简结果计算即可． 【小问1详解】 解： ． 答：这块草坪的面积为平方米； 【小问2详解】 当时，平方米． 答：草坪的面积为平方米． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 【阅读材料】因式分解：． 解：令，则原式．第①步 ．第②步 再将“”还原，原式．第③步 【问题解决】 （1）上面解法中的第②步运用了因式分解的方法中的_____； A．提公因式法， B．平方差公式法， C．两数和的完全平方公式法 （2）因式分解：的结果是_____； （3）证明：若为正整数，则的值是某个整数的平方． 【答案】（1）C （2） （3）证明： 原式 ． 为正整数， 为正整数． 代数式的值是某个整数的平方． 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）根据解题过程可知，第②运用了完全平方公式，据此可得答案； （2）仿照题意令，再利用完全平方公式分解因式即可； （3）先把原式前两项相乘得到，进一步变形得到，再利用完全平方公式分解因式即可． 【小问1详解】 解：观察解题过程可知，第②步运用了因式分解的方法中的两数和的完全平方公式法， 故选：C； 【小问2详解】 解：令，则原式． 再将“”还原，原式． 【小问3详解】 略 22. 如图1，△ABC是边长为6cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段AB，BC运动，且它们的速度都为1厘米/秒．当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（秒）． （1）当运动时间为t秒时，BQ的长为　 　厘米，BP的长为　 　厘米．（用含t的式子表示） （2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形； （3）如图2，连接AQ、CP，相交于点M，则点P，Q在运动的过程中，∠CMQ会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请直接写出它的度数． 【答案】（1）t，（6﹣t）； （2）2或4； （3） 解：∠CMQ不变，理由如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠ABC=∠CAB=60°， 在△ABQ与△CAP中， ， ∴△ABQ≌△CAP（SAS）， ∴∠BAQ＝∠ACP， ∴∠CMQ＝∠ACP+∠CAM＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°， ∴∠CMQ不会变化． 【解析】 【分析】（1）根据点P、Q的速度都为1厘米/秒．得到BQ＝t厘米，AP＝t厘米，则BP=AB-AP=（6-t）厘米； （2）分当∠PQB＝90°时和当∠BPQ＝90°时，两种情况讨论求解即可； （3）只需要证明△ABQ≌△CAP得到∠BAQ＝∠ACP，则∠CMQ＝∠ACP+∠CAM＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°，即∠CMQ不会变化． 【小问1详解】 解：∵点P、Q的速度都为1厘米/秒． ∴BQ＝t厘米，AP＝t厘米， ∴BP=AB-AP=（6-t）厘米， 故答案为：t，（6﹣t）； 【小问2详解】 解：由题意得：AP＝BQ＝t厘米，BP=AB-AP=（6-t）厘米， ①如图1，当∠PQB＝90°时， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝60°， ∴∠BPQ＝30°， ∴PB＝2BQ，得6﹣t＝2t， 解得，t＝2， ②如图2，当∠BPQ＝90°时， ∵∠B＝60°， ∴∠BQP＝30°， ∴BQ＝2BP，得t＝2（6﹣t）， 解得，t=4， ∴当第2秒或第4秒时，△PBQ为直角三角形； 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定等等，熟知等边三角形的性质是解题的关键． 六、解答题（本大题共12分） 23. 在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE =∠BAC，连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE= 度； （2）设，． ①如图2，当点D在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由； ②当点D在直线BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论． 【答案】（1）90； （2）①，理由：∵， ∴． 即． 又， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ②当点D在射线BC．上时，a+β=180°，当点D在射线BC的反向延长线上时，a=β． 【解析】 【分析】（1）可以证明△BAD≌△CAE，得到∠B＝∠ACE，证明∠ACB＝45°，即可解决问题； （2）①证明△BAD≌△CAE，得到∠B＝∠ACE，β＝∠B＋∠ACB，即可解决问题； ②证明△BAD≌△CAE，得到∠ABD＝∠ACE，借助三角形外角性质即可解决问题． 【详解】解：（1）∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∵∠DAE=∠BAC， ∴∠BAD=∠CAE， ∵AB=AC，AD=AE， ∴△BAD≌△CAE（SAS） ∴∠ABC=∠ACE=45°， ∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°， 故答案为：； （2）①略 ②如图：当点D在射线BC上时，α+β=180°，连接CE， ∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAD=∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE， 在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°， ∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=∠BAC+∠BCE=180°， 即：∠BCE+∠BAC=180°， ∴α+β=180°， 如图：当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β．连接BE， ∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAD=∠CAE， 又∵AB=AC，AD=AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE， ∴∠ABD=∠ACE=∠ACB+∠BCE， ∴∠ABD+∠ABC=∠ACE+∠ABC=∠ACB+∠BCE+∠ABC=180°， ∵∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB， ∴∠BAC=∠BCE． ∴α=β； 综上所述：点D在直线BC上移动，α+β=180°或α=β． 【点睛】该题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；应牢固掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $