精品解析： 浙江省杭州市八县区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试卷

2024学年第一学期期末学业水平测试 九年级数学试题卷 考生须知： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题纸上写姓名和准考证号，并在试卷首页的指定位置写上姓名和座位号． 3．必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效．答题方式详见答题纸上的说明． 4．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑． 5．考试结束后，试题卷和答题纸一并上交． 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，照片E放大到F这种图形变化是（ ） A. 相似 B. 平移 C. 旋转 D. 轴对称 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似图形的相关概念及性质，深刻理解相似的定义是解题的关键． 根据相似的定义并结合题意即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，照片放大到，二者形状相同，大小不同，属于图形的相似变换， 故选：． 2. 下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的识别，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键：一般地，形如（、、是常数，）的函数叫做二次函数，其中是自变量，、、分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项．根据二次函数的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ，不是二次函数，故选项不符合题意； B. ，不是二次函数，故选项不符合题意； C. ，不是二次函数，故选项不符合题意； D. ，是二次函数，故选项符合题意； 故选：． 3. 在同一平面内，已知半径为5的及点P，M，N，Q．若，，，，则在外的点是（ ） A. P B. M C. N D. Q 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系：当点到圆心距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心距离大于半径时，点在圆外． 根据点到圆心的距离即可得出答案． 【详解】解：∵的半径为，，，，， ∴，，,， ∴点P、M在圆内，N在圆上，Q在圆外． 故选：D． 4. 在一个箱子里放有1个白球和2个红球，他们除颜色外其余都相同．给出下列说法：①从箱子里摸出1个球是黑球，属于不可能事件；②从箱子里摸出1个球是白球或者是红球，属于必然事件；③从箱子里摸出1个球，摸到红球的可能性大于白球．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③ C. ②③ D. ①② 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类和事件的可能性大小，正确的理解题意是解题的关键．由不可能事件与必然事件的定义即可判断①和②，由事件发生的可能性大小即可判断③． 【详解】解：①箱子中不含黑球，只含红球和白球，故从箱子里摸出一个球是黑球是不可能事件，故①正确； ②从箱子里摸出一个球，有两种可能，有可能是白球，也有可能是红球，则从箱子里摸出1个球是白球或者是红球，属于必然事件，故②正确； ③在一个箱子里放有1个白球和2个红球，红球的个数多于白球的个数，则从箱子里摸出1个球，摸到红球的可能性大于白球．故③正确； 综上可知，正确的是①②③， 故选：A 5. 如图，点P是锐角的边上任意一点，过点P作于点Q．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求角的正切值，熟练掌握正切的定义是解题的关键． 根据正切的定义即可直接得出答案． 【详解】解：， ， 是锐角且， ， 故选：． 6. 如图，内接于，，是的半径，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，等边对等角，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握弧、弦、圆心角的关系是解题的关键． 由已知条件，可设，则，，，于是可得，由等边对等角及三角形的内角和定理可得，由此即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ， 可设，则，， ， ， ， ， 故选：． 7. 函数和在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象及反比例函数图象的综合判断，根据二次函数图象和性质得到的取值范围，再判断反比例函数的图象，即可得到答案． 【详解】解：A. 由的图象可知，，，则，得到，的图象应该分别在二、四象限，故选项错误，不符合题意； B.由可知，图象必过原点，选项中的二次数图象不经过原点，故选项错误，不合题意； C. 由的图象可知，，，则，得到，的图象分别在一、三象限，故选项正确，符合题意； D. 由的图象可知，，，则，得到，则的图象应该分别在一、三象限，但选项中的反比例函数图象分别位于二、四象限，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 8. 如图，D是边上的一点，，的平分线交边于点E，交于点F，则在下列给出的三角形中，与相似的是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形角平分线的定义，三角形外角的性质，相似三角形的判定等知识点，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 由三角形角平分线的定义可得，即，由三角形外角的性质可推出，于是可证得，且依据已知条件，无法证明、、与相似，综上，即可得出答案． 【详解】解：是的平分线， ， 即：， 又， ， ， 且依据已知条件，无法证明、、与相似， 故选：． 9. 已知二次函数图象与x轴只有一个交点，且图象过和两点，设，则（ ） A. p最小值为 B. p的最小值为1 C. p的最大值为 D. p的最大值为1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，先求解，，，再建立二次函数，从而可得答案. 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴只有一个交点， ∴，即，对称轴为直线． ∴， ∵二次函数过和两点， ∴，， ∴， ∴， ∴， 当时，的最小值为， 故选：A 10. 如图，以的边为直径的半圆分别交，于点D，E，O是圆心，连结，，若给出下列结论：①；②，则．其中下列判断正确的是（） A. ①，②都对 B. ①对，②错 C. ①错，②对 D. ①，②都错 【答案】B 【解析】 【分析】连接，，先证明，可得出，再得出，，再由，得出，最后由三角形内角和得出结论，从而判断①；证明是等边三角形，则，即，但根据题目现有条件不能推导出，再判断②． 【详解】解：连接，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故①正确； 是的直径， ， ， 又，则， ， 又因为， 所以是等边三角形， 则，即， 但根据题目现有条件不能推导出， 即不能推导出， 故②错误． 故选：B． 【点睛】综合考查了三角形的内角和定理、圆周角定理和等边三角形的判定和性质及等腰三角形的性质．熟练运用圆周角定理及其推论、四量关系：在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等． 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 已知，则____ 【答案】## 【解析】 【分析】此题主要考查了比例的性质．利用已知设，则，进而代入化简即可． 【详解】解：， 设，则， 则． 故答案为：． 12. 取5张扑克牌，其中2张“方块”，1张“梅花”，2张“红桃”．现从中任取1张，恰好是“红桃”的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据概率公式计算概率，深刻理解概率公式的含义是解题的关键：一般地，如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率． 先分析出所有等可能的结果数以及其中恰好是“红桃”的结果数，然后根据概率公式计算概率即可． 【详解】解：取5张扑克牌，其中2张“方块”，1张“梅花”，2张“红桃”，现从中任取1张，则所有等可能的结果共有种，其中恰好是“红桃”的结果有种， 恰好是“红桃”的概率， 故答案为：． 13. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】由，可得答案． 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值的运算是解题的关键． 14. 已知二次函数的图象经过点，，若，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先求出对称轴，根据二次函数的增减性，进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴对称轴为直线：，开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 15. 如图，等腰三角形的顶角，以腰为直径作半圆，交于点D，交于点E，连结和．若，则阴影部分面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，圆周角定理以及扇形面积，连接，则，，由知是等腰直角三角形，求出，过点作求出，过点作于点，则四边形是矩形，所以，，分别求出扇形的面积和的面积，即可得出结论． 【详解】解：连接，如图， ∵是等腰三角形，，, ， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 过点作则， ∴， ∴ 过点作于点，则四边形是矩形， 所以，， ∴, ∴． 故答案为：． 16. 如图，是正方形的边上一点，连结，将顺时针旋转得到，连结，分别交，于点，．若与相似，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的性质，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 作于点，根据旋转性质得到，，由得，，得到，得出，进而得出，，计算即可得到答案． 【详解】解： 如图，作于点 ， 正方形， ， ， ， 顺时针旋转得到， ，， ， ，， ，， ∴平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： ． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知二次函数图象的对称轴为直线，求m的值及图象的顶点坐标． 【答案】，顶点坐标为 【解析】 【分析】本题考查的是求解二次函数的解析式与顶点坐标，根据抛物线的对称轴可得，再求解抛物线的顶点坐标即可. 【详解】解：由题得：， ∴， ∵当时，， ∴顶点坐标为． 18. 如图，中，点D在上，连接．已知，，， 求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据已知线段的长度，推出，利用两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似，即可得证． 【详解】证明：∵，，． ∴，， ∴，即， 又， ∴． 19. 如图，两同学从，两地观测空中处的气球，分别测得仰角，为和，已知，两地相距米．求气球离地面的高度． 【答案】米． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，由，，则有，在中，然后求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴米． 20. 有一个转盘（材质均匀）如图，已知红色、黄色区域的圆心角度数分别为和，当指针刚好落在分界线时，重新转动． （1）自由转动转盘一次，指针落在“红色区域”的概率为，分别求x和y的值． （2）在（1）的条件下，若自由转动转盘两次，求“指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域”的概率． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了几何概率，列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，熟练掌握几何概率的求法以及列表法或树状图法求概率是解题的关键． （1）由题意可得，由此即可求出的值，然后根据即可求出的值； （2）把黄色区域均分为圆心角都是的扇形，分别记作黄，黄，先用表格列出所有等可能的结果，并找出“指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域”的结果数，然后利用概率公式计算概率即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：， ， ； 【小问2详解】 解：如图，把黄色区域均分为圆心角都是的扇形，分别记作黄，黄， 列表如下： 第一次 第二次 红 黄1 黄2 红 红，红 红，黄1 红，黄2 黄1 黄1，红 黄1，黄1 黄1，黄2 黄2 黄2，红 黄2，黄1 黄2，黄2 由表格可知，共有种等可能的结果，其中“指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域”的结果有种， （一次红色区域，一次黄色区域）． 21. 如图，是的直径，是弦，半径，连结． 求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和圆周角定理，延长交于点E，得，由垂径定理得，故可得，由 的度数，的度数，可得结论． 【详解】证明：延长交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵的度数，的度数， ∴． 22. 如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，且，．已知，记的面积为S，四边形的面积为T． （1）试用含k的代数式表示． （2）将沿对折，若点A与点F刚好重合，求证： ①； ②． 【答案】（1） （2）①证明见解析；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）由可证得，于是可得，进而可得，同理可得，根据即可得出答案； （2）①连接，设与交于点，由折叠可知，于是可得，由平行线分线段成比例定理可得，然后将代入（1）所得的代数式中求值即可；②由折叠可知，由①可得，则，进而可得，由等边对等角可得，由两直线平行同位角相等可得，进而可得，再由等角对等边即可得出结论． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 同理，， ， ； 【小问2详解】 ①证明：如图，连接，设与交于点， 由折叠可知：， ， ， ， ； ②证明：由折叠可知：， 由①可得：， ， ， ， 而， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，列代数式，整式加减的应用，轴对称的性质，平行线分线段成比例定理，代数式求值，等边对等角，两直线平行同位角相等，等角对等边等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质及轴对称的性质是解题的关键． 23. 如图，一小球从斜坡点以一定方向弹出球的飞行路线可用二次函数刻画，斜坡可用一次函数刻画，小球飞行的水平距离（米）可与小球飞行高度（米）变化规律如下表： x 0 1 2 3 4 n 6 7 …… y 0 m 6 7.5 8 7.5 6 3.5 …… （1）填空： ①______，______；②小球落点的坐标为______； （2）求小球在飞行过程中离斜坡的最大高度（垂直于地面）． （3）计划在斜坡上点种一棵树，设点横坐标为，树高为米，要使小球飞过这棵树，问的取值范围是多少？ 【答案】（1）①，；②． （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，从图象和表格中获取数据是解题的关键． （1）①将和代入得出，得到抛物线解析式为，当时 ；当时， ； ②由题意得，解得，代入得出，即可得到点的坐标； （2）由表格中的数据得到抛物线的顶点坐标为，得到抛物线的解析式为，即可得到答案； （3）由题得小球离斜坡竖直高度，得到，解不等式即可得到答案． 【小问1详解】 解：①将和代入得 ， 解得：， 抛物线解析式为， 当时，， ； 当时，， 或， ； ②， ， 解得：（舍去），， ， 点坐标为， 故答案为：①，；②． 【小问2详解】 解：由表格信息可得：顶点坐标为， 设，将代入，得， ， ∴， 直线的解析式为， ∴小球离斜坡的竖直高度为 ， 即当时，． 【小问3详解】 解：由题意可得，树高为3米， ∴小球离斜坡的竖直高度， 即， ∴， ∴． 24. 已知为直径，弦于E，作点B关于的对称点H，连结并延长交于点P，连结． （1）如图1，若对称点H与点O重合，试求的度数． （2）如图2，连结交于点M，求证：． （3）如图3，连结交于点F，若，， ①试求的长； ②直接写出的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）证明是等边三角形得，再证明可求的度数； （2）由垂径定理和轴对称的性质得，，由圆周角定理得，再证明即可证明； （3）①连接，由得，证明，利用相似三角形的性质可求出的长； ②由（2）得，，，求出得，证明得，进而可求出的值． 【小问1详解】 解：∵作点B关于的对称点H，而且对称点H与点O重合， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． ∵为直径，弦于E， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：连接， ∵，点B关于的对称点H， ∴，． ∵为直径，弦于E， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ 【小问3详解】 解：①连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②由（2）得，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，等边三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第一学期期末学业水平测试 九年级数学试题卷 考生须知： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题纸上写姓名和准考证号，并在试卷首页的指定位置写上姓名和座位号． 3．必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效．答题方式详见答题纸上的说明． 4．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑． 5．考试结束后，试题卷和答题纸一并上交． 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，照片E放大到F这种图形变化是（ ） A. 相似 B. 平移 C. 旋转 D. 轴对称 2. 下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 在同一平面内，已知半径为5的及点P，M，N，Q．若，，，，则在外的点是（ ） A. P B. M C. N D. Q 4. 在一个箱子里放有1个白球和2个红球，他们除颜色外其余都相同．给出下列说法：①从箱子里摸出1个球是黑球，属于不可能事件；②从箱子里摸出1个球是白球或者是红球，属于必然事件；③从箱子里摸出1个球，摸到红球的可能性大于白球．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③ C. ②③ D. ①② 5. 如图，点P是锐角的边上任意一点，过点P作于点Q．若，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，内接于，，是半径，则的度数为（ ） A B. C. D. 7. 函数和在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，D是边上的一点，，的平分线交边于点E，交于点F，则在下列给出的三角形中，与相似的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数图象与x轴只有一个交点，且图象过和两点，设，则（ ） A. p的最小值为 B. p的最小值为1 C. p的最大值为 D. p的最大值为1 10. 如图，以边为直径的半圆分别交，于点D，E，O是圆心，连结，，若给出下列结论：①；②，则．其中下列判断正确的是（） A. ①，②都对 B. ①对，②错 C. ①错，②对 D. ①，②都错 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 已知，则____ 12. 取5张扑克牌，其中2张“方块”，1张“梅花”，2张“红桃”．现从中任取1张，恰好是“红桃”的概率是______． 13. 计算：__________． 14. 已知二次函数的图象经过点，，若，则的取值范围是______． 15. 如图，等腰三角形顶角，以腰为直径作半圆，交于点D，交于点E，连结和．若，则阴影部分面积为______． 16. 如图，是正方形的边上一点，连结，将顺时针旋转得到，连结，分别交，于点，．若与相似，则______． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知二次函数图象的对称轴为直线，求m的值及图象的顶点坐标． 18. 如图，中，点D在上，连接．已知，，， 求证：． 19. 如图，两同学从，两地观测空中处的气球，分别测得仰角，为和，已知，两地相距米．求气球离地面的高度． 20. 有一个转盘（材质均匀）如图，已知红色、黄色区域的圆心角度数分别为和，当指针刚好落在分界线时，重新转动． （1）自由转动转盘一次，指针落在“红色区域”的概率为，分别求x和y的值． （2）在（1）的条件下，若自由转动转盘两次，求“指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域”的概率． 21. 如图，是直径，是弦，半径，连结． 求证：． 22. 如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，且，．已知，记的面积为S，四边形的面积为T． （1）试用含k的代数式表示． （2）将沿对折，若点A与点F刚好重合，求证： ①； ②． 23. 如图，一小球从斜坡点以一定方向弹出球的飞行路线可用二次函数刻画，斜坡可用一次函数刻画，小球飞行的水平距离（米）可与小球飞行高度（米）变化规律如下表： x 0 1 2 3 4 n 6 7 …… y 0 m 6 7.5 8 7.5 6 3.5 …… （1）填空： ①______，______；②小球落点的坐标为______； （2）求小球在飞行过程中离斜坡的最大高度（垂直于地面）． （3）计划在斜坡上点种一棵树，设点横坐标为，树高为米，要使小球飞过这棵树，问的取值范围是多少？ 24. 已知为直径，弦于E，作点B关于的对称点H，连结并延长交于点P，连结． （1）如图1，若对称点H与点O重合，试求的度数． （2）如图2，连结交于点M，求证：． （3）如图3，连结交于点F，若，， ①试求的长； ②直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$