2025年中考数学二轮复习提升训练：二次函数综合（特殊三角形问题）

2025年中考数学二轮复习提升训练： 二次函数综合（特殊三角形问题） 1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的图象经过点和，并与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）连接BC，过点A作交抛物线于点D，E为直线BC下方抛物线上的一个动点，连接DE，交线段BC于点F，连接CE，AF，求四边形ACEF面积的最大值； （3）直线与线段BC交于点G，将该抛物线水平向右平移，使得平移后的抛物线刚好经过点G，点M为平移后的抛物线对称轴上一动点，在（2）的条件下，是否存在以点A，E，M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 2．如图①，二次函数的图象交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C点，连接，过点C作交于点D． (1)求点D的坐标； (2)如图②，在直线上取一点M（不与点B重合），在直线的右上方是否存在这样的点N，使得以C、M、N为顶点的三角形与全等？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴、轴分别交于点和点，抛物线经过点，且与直线的另一个交点为． （1）求的值和抛物线的解析式； （2）是平面内一点，将绕点沿逆时针方向旋转90°后，得到，点、、的对应点分别是点、、，若的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点的横坐标． 4．已知：如图，二次函数的图象与轴交于、两点，其中点坐标为，点，另抛物线经过点，为它的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）求的面积． （3）是否存在在抛物线上的点使得的面积为15，如果存在求出点的坐标，若不存在请说明理由． 5．定义：如果二次函数（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，，，则这两个函数互为“N”函数． （1）写出的“N”函数的表达式； （2）若题（1）中的两个“N”函数与正比例函数的图像只有两个交点，求k的值； （3）如图，二次函数y1与y2互为“N”函数，A、B分别是“N”函数y1与y2图象的顶点，C是“N”函数与y轴正半轴的交点，连接、、，若点且为直角三角形，求点C的坐标． 6．已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=2x2−(1+2c)x+c（c>，c是常数）的图像与x轴分别交于点A，点B（点B在点A右侧），与y轴交于点C，连接BC． (1)证明：△BOC是等腰直角三角形； (2)抛物线顶点为D，BC与抛物线对称轴交于点E，当四边形AEBD为正方形时，求c的值． 7．如图1，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0，3），连接BC，抛物线的对称轴直线x＝1与BC交于点D，与x轴交于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，把△DEB绕点D顺时针旋转60°得到△DMN，求证：点M在抛物线上； （3）如图3，点P是抛物线上的动点，连接PN，BN，当∠PNB＝30°时，请直接写出直线PN的解析式． 8．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，其中点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上． (1)试写出该抛物线的对称轴和顶点C的坐标； (2)在抛物线上是否存在一点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点、，交轴于点，在轴上有一点，连接. （1）求二次函数的表达式； （2）若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值； （3）抛物线对称轴上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请直接写出所有点的坐标，若不存在请说明理由. 10．二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，为抛物线上的两点． (1)求二次函数的表达式； (2)当两点关于抛物线对称轴对称，是以点为直角顶点的直角三角形时，求点的坐标； (3)拓展设问：点是平面直角坐标系中的一点，当点在第四象限内的抛物线上时，是否存在点，使得以为顶点的四边形是以为边的矩形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，二次函数的图象经过A(2，0)，B(0，－6)两点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积． （3）在x轴上是否存在一点P，使△ABP为等腰三角形，若存在，求出P的坐标，若不存在，说明理由. 12．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，y与轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知A（-1 ，0），C（0，3）． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上有一点M，使得MA+MC的值最小，求此点M的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在P点，使△PCD是等腰三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由． 13．如图，已知二次函数与x轴正半轴交于点B（另一个交点为A），与y轴负半轴交于点C，且． (1)求抛物线的解析式； (2)设直线AC的解析式为，求点A的坐标，并结合图象写出不等式的解集； (3)已知点，，且线段PQ与抛物线有且只有一个公共点，直接写出t的取值范围． 14．如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线 经过点 A，C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P 是抛物线上一动点，过点 作轴的垂线，交直线 于点M，设点 P 的横坐标为m．连接 ，当 是直角三角形时，求点 P 的坐标． 15．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接、，点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作轴，垂足为点M，交于点Q． (1)求抛物线的解析式； (2)运动过程中是否存在点P，使线段的值最大？若存在，请求出这个最大值并求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)试探究在点P的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年中考数学二轮复习提升训练：二次函数综合（特殊三角形问题）》参考答案 1．（１）；（２）当时，；（３）存在这样的 2．(1)； (2)存在，满足要求的N点坐标有，，． 3．（1）2，；（2）点的横坐标或． 4．（1）；（2）；（3）存在，，，， 5．（1）；（2）k的值为3或－1；（3）点C的坐标为（0，）或（0，5）． 6．(2)当四边形AEBD为正方形时，求c的值为． 7．（1）y＝﹣x2+2x+3；（3）直线NP的表达式为y＝x﹣1或y＝（﹣2）x+3﹣5． 8．(1)抛物线的对称轴是y轴，顶点C的坐标为 (2)不存在 9．（1）二次函数的解析式为；（2）当时，的面积取得最大值；（3）点的坐标为，，. 10．(1)； (2)； (3)． 11．（1）y＝－x2＋4x－6； （2）S△ABC＝6； （3）点P坐标为（-2，0）或或或 12．(1) (2)点M坐标（1，2） (3)存在，点P坐标为（1，6），（1，），（1，），（1，） 13．(1) (2)，或 (3) 14．(1) (2)点P的坐标为或 15．(1) (2)存在，最大值为4，P点的坐标为 (3)存在，Q点坐标为或 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$