2025年苏科版数学中考二轮专题复习——方程思想与函数思想讲义

知识点 方程思想与函数思想（1） 方程是从算术方法到代数方法的一次质的飞跃，方程思想是指在求解数学问题时，从题中的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式或方程与不等式的混合组），然后解方程（组）、不等式（组）使问题得以解决。 函数描述数量之间的关系，函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。首先要深入、全面、充分的观察、分析问题，然后运用数学语言将问题中的条件转化为函数关系型的数学模型或者构造函数关系型的数学模型，从而进行研究，进而利用函数的性质解决问题。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。函数有三种表示方法：表达式、表格、图象。可以从这三个方面去发现函数关系，构造函数关系型的数学模型。 函数是方程与不等式的中介，从函数角度分析，方程（组）、不等式（组）通常均可归为某类函数的一部分或特例。 1. 函数与方程（组）之间的转化是数学中最为基础和常见的.函数在特定条件下可以转化为方程（组）。根据函数值求自变量的值，其实就是解方程（组）；函数图象与x轴(其他图象)的交点的横坐标即为方程（组）的解. 反之，方程也可以看作是函数的特殊形式，通过求解方程可以得到函数的特定性质，如增减性。 2. 函数与不等式（组）之间也有着密切的联系.不等式（组）可以看作是自变量在某个范围内时，因变量满足一定的条件. 同时，不等式问题也可以通过构造函数、利用函数的图象和性质进行求解. 3. 方程（组）与不等式（组）之间也可以相互转化.在某些情况下，方程（组）可以看作是不等式（组）的一种特殊情况（即等号成立的情况），而不等式（组）则可以看作是对方程解的一种约束条件.因此，在处理方程（组）和不等式（组）问题时，可以灵活运用这种转化思想来简化问题、求解问题. 综上所述，函数与方程（组）、不等式（组）之间的相互转化思想是数学中的重要内容之一.掌握这种思想不仅有助于解决具体的数学问题，也有助于深入理解数学的本质。 函数与方程（组）、不等式（组）之间基本的转化方法： 1. 函数与方程（组）的相互转化 (1) 方程转化为函数：将方程中的未知数视为变量，将方程转化为关于这个变量的函数表达式. (2) 函数转化为方程：将函数中的变量关系转化为方程形式. (3) 利用函数的性质转化：根据函数的增减性、函数图象的对称性等，将函数转化为方程（组）. 2. 函数与不等式（组）的相互转化 (1) 不等式（组）转化为函数：将不等式中的条件转化为函数的自变量、因变量的限制. (2) 函数转化为不等式（组）：将函数的自变量、因变量与某个数值比较，转化为不等式. 3. 方程（组）与不等式（组）的相互转化：将方程（组）的解转化为不等式（组）的解集，或反之. (1) 由方程转化为不等式： 当需要求解方程（组）的解的范围时，可以将方程（组）转化为不等式（组）. (2) 由不等式（组）转化为方程（组）： 当需要求解不等式（组）的精确解时，可以将不等式（组）转化为方程（组）.例如，求解某个不等式（组）的解集时，可以先将不等式转化为等式，求出方程的解，再根据不等式的性质确定解的范围. 在解决具体问题时，根据题目要求灵活运用这些转化方法，可以帮助简化问题，找到解题的途径. 方程思想与函数思想通常综合在一起使用。常见形式有： 1. 利用函数的性质，解决有关求值、求参数的取值范围、解方程（组）、解（证明）不等式（组）等问题。 2. 建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，进而利用函数的性质解决问题。 例题分析 方程思想与函数思想——数与式 1. 若多项式是关于x，y的三次多项式，则 ． 2. 如果(2＋)2＝a＋b(a，b为有理数)，那么a＋b等于(　　) A．2 B．3 C．8 D．10 3. 第十四届国际数学教育大会（ICME-14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME-14的举办年份． (1)八进制数3746换算成十进制数是_______； (2)小华设计了一个进制数143，换算成十进制数是120，求的值． 4. A=，B=，若A=B，其中、均为整数，则的值是 ． 5. 若多项式2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被x2+x﹣2整除，求ab． 6. 已知x2+x﹣6是多项式2x4+x3﹣ax2+bx+a+b﹣1的因式，则a＝　　；b＝　　． 7. 用因式分解法解方程，若将左边因式分解后有一个因式是，则m的值是（   ） A．0 B．1 C． D．2 8. 分式的值为0，则的值是（    ） A．0 B． C．1 D．0或1 9. 若，，则 ． 10. 先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 11. 若实数，，满足，，则代数式的值可以是（    ） A． B． C． D． 12. 已知实数m，n满足，则的最大值为（    ） A．24 B． C． D． 13. 求的最小值。 14. 已知ab＝﹣3，a+b＝2．求a2+b2的值： 15. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为？ 16. 已知，，求的值． 17. 已知实数、满足、，且，求的值． 18. 已知实数满足． (1)求证：为非负数； (2)若均为奇数，是否可以都为整数？说明你的理由． 19. 已知=1，a、b、c是实数，则( ) A.b2>4ac B.b2≥4ac C.b2<4ac D.b2≤4ac 20. 问题：已知实数a、b、c满足a≠b，且，求证：． 我们可以构造一个一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系及整体思想即可解答： 令，则，原等式可变形为关于x的一元二次方程： ． 可以发现：． 从而可知构造的方程两个根分别是1和 利用根与系数的关系得： _____；_____；… 请你根据这个思路完整地解答本题． 函数与方程（组）之间的转化 21. 如图，点A、点B是双曲线y＝上的两点，OA＝OB＝6，sin∠AOB＝，则k＝？ 22. 在平面直角坐标系中，我们定义：点的“变换点”为，且规定：当时，点为．当．点为． (1)分别写出各点的“变换点”；______；______；______； (2)当点的“交换点”在函数的图象上，求的值； (3)已知直线与坐标轴交于两点，将直线上所有的“变换点”组成一新的图形，记为．当抛物线与图形的交点个数2个或3个时，求出对应的取值范围． 23. 抛物线y＝﹣x2+bx+c（b、c为常数）与x轴交于A（﹣1，0）、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，3）．点P在该抛物线上且在x轴上方，设其横坐标为m． (1) 直接写出b，c的值：b＝　　，c＝　　； (2) 连结AC、PB．当∠PBA＝2∠OCA时，求m的值； (3) 过点P作x轴的平行线与直线BC交于点Q，PQ两点的距离记为d．请直接写出根据d的不同取值所对应的点P个数情况．（补充说明：当两点重合时，记d＝0） 函数与不等式（组）之间的转化 24. 如图，直线经过点，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 25. 如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＞n的解集是　 　． 26. 已知抛物线y＝﹣3x2+bx+c经过点A（0，2）、B（4，2），则不等式﹣3x2+bx+c＜2的解集是 　 　． 27. 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成任务． 用均值不等式求最值 若实数，则有，当且仅当时，取等号，我们称不等式为均值不等式． 证明： 由上可知，①当为定值的时候，有最大值；②当为定值的时候，有最小值． 所以，利用均值不等式可以求一些函数的最值． 任务： (1)已知，则当_____时，取最小值，最小值为______； 已知，则当_____时，代数式取最小值，最小值为______； (2)已知若，函数，试说明当取何值时，取得最小值，并求出的最小值； (3)如图，已知点是反比例函数图象上一动点，点，则的面积的最小值为______． 方程（组）与不等式（组）之间的转化 28. 已知关于x的方程的两个实数根的倒数和等于3，且关于x的方程有实数根．当k为正整数时，求不等式的解． 29. 若数a使关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且使关于y的分式方程有非负数解，则所以满足条件的整数a的值之和是（ ） A．3 B．1 C．0 D．－3 30. 设p是奇数，则方程满足的正整数解是 ． 函数与方程（组）、不等式（组）之间的相互转化 31. 如图，已知点A（2，3），B（3，4），反比例函数图象的一支与线段AB有交点，写出一个符合条件的k的整数值： 　． 32. 设表示x，y两个数中的最大值．例如“”．则关于x的函数的最小值为 ． 33. 若0<x<1，则下列关系式成立的是（   ） A． B． C． D． 34. 如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3．与y轴负半轴交于点C，在下面五个结论中： ①2a﹣b=0；②c=﹣3a；③当m≠1时，a+b＜am2+bm； ④若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2=2； ⑤使△ACB为等腰三角形的a值可以有三个．其中正确的结论是 ．（只填序号） 35. 已知m＞n＞0，若关于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解为x3，x4（x3＜x4）．则下列结论正确的是（　　） A．x3＜x1＜x2＜x4 B．x1＜x3＜x4＜x2 C．x1＜x2＜x3＜x4 D．x3＜x4＜x1＜x2 36. 已知二次函数和y2＝（x﹣a）（x﹣b）且ab≠0，（　　） A．若﹣1＜x＜1，a＞，则y1＞y2 B．若x＜1，a＞，则y1＞y2 C．若﹣1＜x＜1，，则y1＜y2 D．若x＜﹣1，，则y1＜y2 37. 若关于的不等式组，恰有三个整数解，则关于的一次函数的图像与反比例函数的图像的公共点的个数为？ 38. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a、b、c为常数，且a≠0） （1）若抛物线的对称轴为x＝3，若抛物线与x轴的两个交点的横坐标比为1：2，求这两个交点的坐标； （2）抛物线的顶点为点C，抛物线与x轴交点分别为A、B，若△ABC为等边三角形，求证：b2—4ac＝12； （3）若当x＞—1时，y随x的增大而增大，且抛物线与直线y＝ax—＋c相切于点D，若OD≥2恒成立，求c的取值范围． 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $$