数列中档大题专项训练-2025届高三数学二轮复习

模块六·中档大题专项训练·数列 一、解答题 1．（24-25高三上·山西太原·期中）已知单调递增的等比数列满足，. (1)求的通项公式； (2)设（），是数列的前n项和，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)（） (2) 【难度】0.85 【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算、错位相减法求和、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）根据等比数列定义及其基本量的计算求得公比可得通项公式； （2）利用错位相减求得的表达式，再根据不等式恒成立即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）设的公比为q， 则， 解得或（舍去）， ∴（）； （2）由（1）可得（）， ∴，① ∴，② ①－②，整理得， 所以对于任意的，不等式恒成立， 即不等式对于任意的恒成立， ∴，解得， ∴实数的取值范围是. 2．（24-25高三上·河南南阳·期中）设数列是首项为1的等比数列，已知成等差数列，数列满足. (1)求数列和的通项公式； (2)记和分别为数列和的前项和，证明：. 【答案】(1)，. (2)证明见解析 【难度】0.85 【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、错位相减法求和 【分析】（1）设的公比为，利用等比数列的基本量运算代入计算求出即得； （2）利用等比数列求和公式计算，利用错位相减法计算，运用作差法比较两者即得证. 【详解】（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，设的公比为， 由，可得，解得：或（舍去）. 故，. （2）由（1）可得. 数列的前项和，① 则.② 由①②得 ， 即. 由， 可得，得证. 3．（24-25高三上·黑龙江鸡西·阶段练习）已知数列的首项为，且满足. (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前项和为； (3)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【难度】0.85 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、求等差数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）将递推数列变形，结合等差数列的定义，即可证明； （2）由（1）的结果根据等差数列的前项和公式可求. （3）分别讨论为奇、偶的两种情况的前项和. 【详解】（1）因为，， 若，则，与矛盾， 所以，所以， 所以，因为，所以， 所以数列是以首项为2，公差为4的等差数列. （2）由（1）知， 数列的前项和为. （3）因为， 设数列的前n项和为， 当n为偶数时，， 因为， 所以， 当为奇数时，为偶数. ， 所以. 4．（24-25高三上·河南周口·期末）记等差数列的前项和为，已知，. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，求. 【答案】(1) (2)8872 【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、含绝对值的等差数列前n项和 【分析】（1）利用等差数列的性质和基本量法，列出方程，即可求解； （2）根据通项公式去绝对值，再根据等差数列的前项和公式，即可求解. 【详解】（1）由 则 设的公差为 则 则 所以数列的通项公式为. （2）由题可知 ， . 5．（24-25高三上·广东东莞·阶段练习）已知数列的前项和为，，数列是以1为公差的等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若对于任意正整数，都有，求实数的最小值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】(1)求出给定的等差数列通项公式，再利用前项和求通项公式的方法求解作答即可； (2)运用裂项相消法求和，化简整理，判断数列的最值，再由恒成立思想，即可得到所求实数的最小值. 【详解】（1）数列是以1为公差的等差数列，且， ，， 当时，； 经检验，当时，满足上式. （2）由， 则 ， 而，所以，即的最小值为. 6．（24-25高三上·辽宁辽阳·期末）已知为数列的前项和，且. (1)求. (2)证明：数列是等比数列. (3)求数列的前项和. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【难度】0.85 【知识点】由递推关系证明等比数列、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）令计算可得； （2）根据，作差得到，结合等比数列的定义即可证明； （3）由（2）可得，从而得到，再利用分组求和法计算可得. 【详解】（1）因为， 当时，，解得； （2）因为，则， 所以，即， 所以，又，所以是以为首项，为公比的等比数列； （3）由（2）可知，则， 所以， 所以 . 7．（22-23高三上·山东青岛·开学考试）记关于的不等式（）的整数解的个数为，数列的前项和为，满足． (1)求数列的通项公式： (2)设，若对任意的，都有成立，试求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、数列不等式恒成立问题、根据数列的单调性求参数 【分析】（1）由，得，结合，可以求出的通项公式，再根据，计算数列的通项公式即可； （2）结合（1）知，，通过，得到，将分正偶数和正奇数两种情况分析讨论即可． 【详解】（1）由，得， 因为，故，于是. 所以，易知，即. 当时，， 故，，当时，上式也成立， 所以，. （2）， 所以， 所以， 由，可得， 由于，若为偶数时，则， 由于，所以， 若为奇数时，则， 因为，所以， 所以． 故的取值范围为． 8．（24-25高三上·山东青岛·阶段练习）已知数列是等差数列，其前和为，数列满足 (1)求数列的通项公式； (2)若对数列，在与之间插入个1，组成一个新数列，求数列的前2025项的和． 【答案】(1)，； (2)2080 【难度】0.65 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）设出公差，结合题目条件得到方程组，求出首项和公差，得到，根据题目条件得到时，，两式相减求出，，经过检验，得到； （2）在中，从开始到项为止，计算出项数为，从而确定数列前2025项是项之后，还有项为1，分组求和即可. 【详解】（1）为等差数列，设其公差为， 则，解得， 故； ①， 故当时，②， 两式相减得， 故，所以，， 又，故，满足， 从而； （2）由（1）知，，， 所以在中，从开始到项为止， 共有项数为， 当时，， 当时，， 所以数列前2025项是项之后，还有项为1， 故. 9．（24-25高三上·湖北十堰·期末）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，记数列的前项和为，若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）解法一：根据作差得到，即可求出公比，再求出，即可得解；解法二：设数列的公比为，令、，即可求出、，即可求出通项公式； （2）由（1）可得，利用错位相减法求出，参变分离可得，令，利用作商法判断的单调性，即可求出的最大值，即可得解. 【详解】（1）解法一：由，可得， 两式相减可得，则，即数列的公比为. 当时，，则，解得， 所以. 解法二：设数列的公比为， 当时，，即， 当时，，即， 解得，所以. （2）由（1）可得， 所以， 则， 所以， 即， 解得， 由，可得， 令，则， 当时，，当时，， 当时，1，所以， 所以，所以的取值范围为. 10．（2025高三·全国·专题练习）已知等比数列的首项为正实数，若，，也构成等比数列，且数列唯一确定. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，，（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)数列中不存在3项，，成等比数列，理由见解析. 【难度】0.65 【知识点】等差中项的应用、等比中项的应用、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）设的公比为，然后根据题意列方程化简可得，再由且数列唯一确定，可得方程必有一个根为零，从而可求出的值，进而可求出，则可求得数列的通项公式； （2）由（1）知，则可得，不妨设数列中存在3项，，，（其中成等差数列）成等比数列，然后列方程化简得出矛盾，从而可得结论. 【详解】（1）设的公比为，由，，也构成等比数列， 得，解得（*） 由得，故方程（*）必有两个不同的实根， 而唯一，知方程（*）必有一根为0，代入（*）得， 从而得，即， 所以数列的通项公式. （2）数列中不存在3项，，成等比数列，理由如下： 由（1）知，则，所以， 所以， 不妨设数列中存在3项，，，（其中成等差数列）成等比数列，则， 所以，即， 又因为成等差数列，所以， 所以，化简得， 所以，又，所以，这与已知矛盾. 所以在数列中不存在3项，，成等比数列. 11．（2024高三·全国·专题练习）已知各项均为正数的数列满足，且. (1)写出，并求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 【答案】(1)3，5 ， (2) 【难度】0.65 【知识点】累加法求数列通项、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）分别令，依次求出，再根据数列的递推关系求通项公式； （2）由（1）求出分段数列的通项公式，进而得的通项，再利用错位相减法求和即可 【详解】（1）因为，，， 所以当时，，，解得； 当时，，，解得． 当时， ， 所以． 当时，也符合上式． 综上，． （2）由（1）得，， 又∵ ，∴. ∴， 则， 即，① ，② 由①②得， ， 故. 12．（24-25高三上·重庆·期末）集合为集合的子集，若数列满足：恒为的倍数，则称与“相关”. (1)若，请写出一个不同于数列且首项为1的等差数列，使得与“相关”.（无需证明）; (2)若数列满足：. （i）证明：数列为等比数列，并求出; （ii）若与"相关"，求所有满足条件的集合. 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析，；（ii） 【难度】0.65 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、写出等比数列的通项公式、由定义判定等比数列 【分析】（1）根据等差数列的概念与“相关”的概念求解即可； （2）（i）根据等比数列的定义证明，结合等比数列通项公式求解即可得；（ii）当时，不是9的倍数，当时，只需为整数，分情况说明即可得满足条件集合. 【详解】（1），（满足要求即可） （2）（ⅰ）． 是以6为首项，2为公比的等比数列， 即． 两边同除以，有．而． 因此是以为首项，为公比的等比数列，则． （ⅱ）当时，不是9的倍数 当时， 故只需为整数． ①时，，不是整数． ②时，，不是整数． ③时，． 而． 当为偶数，，即． 此时． 当为奇数，． 综上，满足条件集合是的子集． 【点睛】关键点点睛：数列新定义，弄清题意新定义的含义，结合所学内容，分析问题与解决问题，以及要有较强的运算求解能力和转化与化归的思想. 13．（22-23高三上·江苏无锡·阶段练习）已知数列中，为数列的前n项和，满足 (1)求的通项公式； (2)设，求的前n项和； (3)在和之间插入k个数构成一个新数列，其中插入的所有数依次构成数列，通项公式，求数列的前30项和． 【答案】(1); (2); (3). 【难度】0.65 【知识点】写出等比数列的通项公式、裂项相消法求和、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用的关系式，转化为通项递推，这里要讨论前2项关系，是否也满足通项递推，再构造等比数列来求出通项； （2）利用分式裂项相消法求和，即可； （3）插入k个数构成一个新数列，则数列的前30项和包含了数列的前7项及数列的前23项，采用分组求和法求解即可. 【详解】（1）由题意，当时，， 得，, ． 当时，，① ，② ①②得， 因为， 所以． 则， ∵，∴, 所以是以为首项，2为公比的等比数列． 即，则． （2）由，则， 所以的前项和：； （3）在数列中，项之前（含）共有， 所以数列的前30项中包含了数列的前7项及数列的前23项， 所以 ． 14．（23-24高三上·江苏无锡·阶段练习）已知数列满足． (1)设，写出； (2)证明数列为等比数列； (3)求数列的前项和． 【答案】(1)，， (2)证明见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、由定义判定等比数列、由递推关系证明等比数列、分组（并项）法求和 【分析】（1）根据已知的数列递推关系，分别代入计算的前三项. （2）通过分析的递推关系，利用等比数列的定义来证明为等比数列. （3）先求出的通项公式，再根据与的关系求出. 【详解】（1）已知，因为，所以. 当时，，即.   当时，. 先求，因为为偶数，. 再求，因为为奇数，，即.   当时，. 先求，因为为偶数，. 再求，因为为奇数，，即. （2）由可得. 所以. 则. 又. 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. （3）由（2）可知，则. . 因为，. 所以. 即. 由等比数列求和公式可得. 所以. 15．（24-25高二上·河南平顶山·阶段练习）已知数列的前n项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)若不等式对任意恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】确定数列中的最大（小）项、由递推关系式求通项公式、利用an与sn关系求通项或项、根据数列的单调性求参数 【分析】（2）利用时，，可得，再利用“累乘法”求数列的通项公式. （2）将不等式恒成立问题转化为最值问题，然后求的最大值即可. 【详解】（1）当时， 所以， . 当时，，上式亦成立. 所以. （2）对任意恒成立， 即对任意恒成立， 记，故， 所以当时，，所以，即， 当时，，即随着n的增大，递减， 所以的最大值为， 所以，即. 16．（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【难度】0.65 【知识点】裂项相消法求和、累乘法求数列通项、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，降次作差得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式； （2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得. 【详解】（1）∵，∴，∴， 又∵是公差为的等差数列， ∴，∴， ∴当时，， ∴， 整理得：， 即， ∴ ， 显然对于也成立， ∴的通项公式； （2） ∴ 17．（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知数列，若为等比数列，则称具有性质. (1)若数列具有性质，且，求的值； (2)若，判断并证明数列是否具有性质； (3)设，数列具有性质，其中，试求数列的通项公式. 【答案】(1) (2)具有，证明见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】由递推关系式求通项公式、写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列、数列新定义 【分析】（1）利用前三项可算等比数列的公比，从而可求后面的项，即可求出； （2）利用等比数列的定义进行证明，即可得到数列是不是具有性质； （3）利用前三项可算等比数列的公比，从而可得等比通项，再用累加法来求通项，这里需要进行讨论分析. 【详解】（1）由题意数列具有性质为等比数列，设公比为， 由，得， ，又 （2）数列具有性质；证明如下： 因为，所以， 则，即为等比数列，所以数列具有性质 （3）因为，则 当， 故，适合该式，故， 所以由，得 ， 因为数列具有性质，故为等比数列，设其公比为，则， 故 当为偶数时，， 当为奇数时， ， 故 18．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】对数的运算性质的应用、写出等比数列的通项公式、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用与项的关系，结合等比数列的定义及通项公式即可求解； （2）利用（1）的结论及对数的运算，利用裂项相消法求数列的前项和即可求解． 【详解】（1）由①， 当时，解得， 当时，②， ①-②，得， 数列是以首项为，公比为2的等比数列， ． 经验证符合上式，所以． （2）由（1）知， ． 则， 故， 所以， 故． 19．（2022高三·全国·专题练习）已知数列中，，. (1)证明数列是等比数列，并求的通项公式； (2)数列满足，设为数列的前n项和，求使恒成立的最小的整数k. 【答案】(1)证明见解析，； (2)4. 【难度】0.65 【知识点】由递推关系证明等比数列、求等比数列前n项和、错位相减法求和、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）利用取倒数后构造数列，结合等比数列定义推理即得，再求出通项公式. （2）由（1）求出，再利用错位相减法求和及数列不等式恒成立求得答案. 【详解】（1）在数列中，由，得，则， 所以数列是以3为公比，以为首项的等比数列， 则，解得， 所以的通项公式. （2）由（1）知， ， ， 两式相减得， 因此，由恒成立，得， 所以使恒成立的最小的整数k为4. 20．（24-25高三上·北京·期中）已知是无穷数列，，，且对于中任意两项，，在中都存在一项，使得. (1)若，，求； (2)若，求证：数列中有无穷多项为0； (3)若，求数列的通项公式. 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【难度】0.4 【知识点】判断数列的增减性、反证法证明、数学归纳法证明数列问题、数列新定义 【分析】（1）依题意代入计算即可； （2）利用反证法证明即可； （3）①分与两种情况讨论，①当时，首先证明数列是递增数列，再证明即可，②当时，令，结合①的结论即可得解. 【详解】（1）取，则存在，使得， 因为，，所以 （2）假设中仅有有限项为0，不妨设，且当时，均不为0，则， 取，则存在，使得，与矛盾. （3）①当时，首先证明数列是递增数列，即可证，恒成立， 若不然，则存在最小的正整数，使得，且， 显然，取，则存在，使得， 因为， 所以这个不同的数恰为这项. 所以与矛盾， 所以数列是递增数列， 再证明：，， 记，即证， 当时，结论成立， 假设存在最小的正整数，使得对任意恒成立， 但，则， 取，，则存在，使得， 因为数列是递增数列， 所以， 所以， 因为这个数恰为这项， 所以， 这与矛盾， 所以， 当时，令，，则，，且， 对于中任意两项， 因为对任意，存在，使得， 所以，即存在，使得， 因此数列满足题设条件， 由①可知， 所以， 综上所述，， 经检验，数列满足题设条件. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解数列新定义问题，关键是数学归纳法和反证法的应用. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 模块六·中档大题专项训练·数列 一、解答题 1．（24-25高三上·山西太原·期中）已知单调递增的等比数列满足，. (1)求的通项公式； (2)设（），是数列的前n项和，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 2．（24-25高三上·河南南阳·期中）设数列是首项为1的等比数列，已知成等差数列，数列满足. (1)求数列和的通项公式； (2)记和分别为数列和的前项和，证明：. 3．（24-25高三上·黑龙江鸡西·阶段练习）已知数列的首项为，且满足. (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前项和为； (3)求数列的前项和. 4．（24-25高三上·河南周口·期末）记等差数列的前项和为，已知，. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，求. 5．（24-25高三上·广东东莞·阶段练习）已知数列的前项和为，，数列是以1为公差的等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若对于任意正整数，都有，求实数的最小值. 6．（24-25高三上·辽宁辽阳·期末）已知为数列的前项和，且. (1)求. (2)证明：数列是等比数列. (3)求数列的前项和. 7．（22-23高三上·山东青岛·开学考试）记关于的不等式（）的整数解的个数为，数列的前项和为，满足． (1)求数列的通项公式： (2)设，若对任意的，都有成立，试求实数的取值范围． 8．（24-25高三上·山东青岛·阶段练习）已知数列是等差数列，其前和为，数列满足 (1)求数列的通项公式； (2)若对数列，在与之间插入个1，组成一个新数列，求数列的前2025项的和． 9．（24-25高三上·湖北十堰·期末）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，记数列的前项和为，若恒成立，求的取值范围. 10．（2025高三·全国·专题练习）已知等比数列的首项为正实数，若，，也构成等比数列，且数列唯一确定. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，，（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由. 11．（2024高三·全国·专题练习）已知各项均为正数的数列满足，且. (1)写出，并求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 12．（24-25高三上·重庆·期末）集合为集合的子集，若数列满足：恒为的倍数，则称与“相关”. (1)若，请写出一个不同于数列且首项为1的等差数列，使得与“相关”.（无需证明）; (2)若数列满足：. （i）证明：数列为等比数列，并求出; （ii）若与"相关"，求所有满足条件的集合. 13．（22-23高三上·江苏无锡·阶段练习）已知数列中，为数列的前n项和，满足 (1)求的通项公式； (2)设，求的前n项和； (3)在和之间插入k个数构成一个新数列，其中插入的所有数依次构成数列，通项公式，求数列的前30项和． 14．（23-24高三上·江苏无锡·阶段练习）已知数列满足． (1)设，写出； (2)证明数列为等比数列； (3)求数列的前项和． 15．（24-25高二上·河南平顶山·阶段练习）已知数列的前n项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)若不等式对任意恒成立，求的取值范围. 16．（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 17．（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知数列，若为等比数列，则称具有性质. (1)若数列具有性质，且，求的值； (2)若，判断并证明数列是否具有性质； (3)设，数列具有性质，其中，试求数列的通项公式. 18．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，求证：． 19．（2022高三·全国·专题练习）已知数列中，，. (1)证明数列是等比数列，并求的通项公式； (2)数列满足，设为数列的前n项和，求使恒成立的最小的整数k. 20．（24-25高三上·北京·期中）已知是无穷数列，，，且对于中任意两项，，在中都存在一项，使得. (1)若，，求； (2)若，求证：数列中有无穷多项为0； (3)若，求数列的通项公式. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$