解三角形中档大题专项训练-2025届高三数学二轮复习

模块一·中档大题专项训练·解三角形 一、解答题 1．（2024·浙江·一模）在中，角对应的三边分别是，，，且. (1)求角的值； (2)若，，求的面积. 2．（24-25高三上·广东深圳·期末）在中，，点P为内部一点，． (1)若，求的面积； (2)若，求的长． 3．（23-24高三上·江苏无锡·阶段练习）在中，，且，，为内一点，． (1)若，求的长； (2)若，求． 4．（24-25高三上·湖南长沙·期中）锐角 的三个内角是 ，满足 ， 的外接圆的圆心为 ，半径是 1 . (1)求角 的大小及 的值； (2)求 的取值范围. 5．（24-25高三上·安徽·阶段练习）在△中，内角的对边分别是，且. (1)求证：； (2)若，且是边的中点，求的最小值. 6．（24-25高三上·湖北武汉·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，． (1)求； (2)若角的平分线交边于点，，求面积的最小值． 7．（24-25高三上·福建泉州·期中）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答． 问题：在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且_________． (1)求角C； (2)若AB边上的高为1，的面积为，求的周长． （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．） 8．（24-25高三上·湖南·阶段练习）在中，内角的对边分别为，已知． (1)若，求； (2)若，求的最小值． 9．（24-25高三上·湖南·阶段练习）在中，分别为角的对边，. (1)求的值； (2)若的周长为，求的面积. 10．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知在钝角中，角所对的边长分别为，，且为正整数. (1)求边长； (2)已知，求. 11．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知，，，分别是角，，的对边，的面积． (1)证明：； (2)若为的平分线，交于点，且，，求的长． 12．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）在中，，且边上的中线长为1． (1)若，求的长； (2)若，求的长． 13．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）在中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且 (1)求B； (2)若，D为AC边上的一点，且，，求AC的最大值． 14．（24-25高三上·上海松江·期中）在中，角A，B，C对应边为，，，满足 (1)求的大小； (2)（i）已知，若在AC上，且，求BD的最大值； （ii）延长BC至点，使得.若求的大小. 15．（21-22高三下·河北·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足 (1)求角C； (2)CD是的角平分线，若，的面积为，求c的值. 16．（22-23高三上·湖南长沙·阶段练习）如图，为中点，曲线上任一点到点的距离相等，在曲线上且关于对称. (1)若点与点重合，求的值； (2)求五边形面积的最大值. 17．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）在锐角中，角的对边分别为，已知 (1)求角； (2)若，求面积的取值范围. 18．（24-25高二上·湖北武汉·阶段练习）在中，内角，，所对的边分别为，，，且. (1)若，，求边上的角平分线长； (2)若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$模块一 中档大题专项训练 解三角形 一、解答题 1.(2024 浙江 一模)在中,角对应的三边分别是,,,且. (1)求角的值; (2)若,,求的面积. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】三角恒等变换的化简问题、三角形面积公式及其应用、诱导公式二、三、四、正弦定理边角互化的应用 【分析】(1)利用正弦定理以及三角恒等变换可求得,可得; (2)根据可求得,,再利用切弦互化以及正弦定理可得,,再利用正弦定理可求得边长即求出面积. 【详解】(1)根据题意由正弦定理可得, 整理可得, 即,所以; 可得,又,所以, 又,因此. (2)由三角形内角关系可得, 由可得,解得或; 当时,,又,所以两角均为钝角,不合题意; 因此,; 又,可得,同理; 由正弦定理可得,可得, 同理 因此的面积为. 2.(24-25高三上 广东深圳 期末)在中,,点P为内部一点,. (1)若,求的面积; (2)若,求的长. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、二倍角的正弦公式、正弦定理解三角形 【分析】(1)借助余弦定理的推论可得,即可得,再结合等腰三角形性质及三角形面积公式计算即可得; (2)在中运用正弦定理可得,在中运用余弦定理可得,结合可得,即可得与有关等式,解出即可得. 【详解】(1)由、、, 则, 由,则, 则, 又,故,则, 则 , 则; (2)由,则, 在中,由正弦定理可得, 即,化简得, 在中,由余弦定理可得, 即, 则,即,即. 3.(23-24高三上 江苏无锡 阶段练习)在中,,且,,为内一点,. (1)若,求的长; (2)若,求. 【答案】(1)3 (2) 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、图形的性质 【分析】(1)根据勾股定理,可先确定点的位置,再求的长. (2)在中,利用正弦定理列式求值. 【详解】(1)如图: 因为在中,,,,所以,. 在中,,,,所以,. 所以点在线段上,所以. (2)如图: 设, 在直角中,. 在中,由正弦定理可得: . 所以:. 4.(24-25高三上 湖南长沙 期中)锐角 的三个内角是 ,满足 , 的外接圆的圆心为 ,半径是 1 . (1)求角 的大小及 的值; (2)求 的取值范围. 【答案】(1); (2) 【难度】0.65 【知识点】求cosx(型)函数的值域、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、用定义求向量的数量积 【分析】(1)先用二倍角的余弦值进行化简,进而结合正弦定理角化边利用余弦定理可求角值,从由圆周角定理可得,从而利用平面向量的数量积即可求解; (2)由可得,进而根据题意求的取值范围,从而由的取值范围可得结果. 【详解】(1)(1) 由 , 得, ; 由正弦定理得, 即 ,又锐角 中, , , 由圆周角定理可得,, 又, . (2) . 是锐角三角形, , ,又在上单调递减, 所以,即. 故 的取值范围是. 5.(24-25高三上 安徽 阶段练习)在 中,内角的对边分别是,且. (1)求证:; (2)若,且是边的中点,求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值、用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用 【分析】(1)由同角三角函数的商数关系,两角和的正弦定理可得,最后由正弦定理即可证明; (2)由余弦定理得可得,再将代入结合基本不等式可求出的最小值. 【详解】(1)设 内角,、、的对边分别是、、. ∵,∴, 整理得, 由正弦定理得. (2)∵,且是边的中点,∴, 由余弦定理得,,则. ∵,∴, 由,得(当且仅当时等号成立.), ∴,∴,故的最小值为. 6.(24-25高三上 湖北武汉 期中)在中,内角,,的对边分别为,,,. (1)求; (2)若角的平分线交边于点,,求面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形面积的最值或范围、用和、差角的正弦公式化简、求值、辅助角公式 【分析】(1)利用正弦定理化边为角,再根据三角形内角和定理结合两角和差的正弦公式化简即可得解; (2)根据角平分线性质,求得和,再将转化为与的关系,利用基本不等式求解即可. 【详解】(1)因为, 由正弦定理得, 则, 即, 又,所以,所以, 又,所以, 所以,所以; (2)如图,由题意及第(1)问知,, 且, ∴, ∴,化简得, ∵,,∴由基本不等式得,∴, 当且仅当时,等号成立, ∴, ∴, 故的面积的最小值为. 7.(24-25高三上 福建泉州 期中)在①,②,③,这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并进行解答. 问题:在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且_. (1)求角C; (2)若AB边上的高为1,的面积为,求的周长. (注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.) 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、余弦定理边角互化的应用 【分析】(1)根据正弦定理或余弦定理对已知条件进行转化,结合三角公式和特殊角三角函数值,求得角C的大小; (2)根据面积易得,进而结合余弦定理可得,进而求解周长. 【详解】(1)选①,因为, 由正弦定理可得, 且, 即, 整理可得, 且,则,可得,即, 且,所以. 选②,在中,由正弦定理得, 因为,所以,化简得. 在中,由余弦定理得. 又因为,所以. 选③由及, 有, 又由正弦定理,有, 有,有,有, 又由,可得. (2)因为AB边上的高为1,的面积为, 所以,得, 由(1)知,所以,得, 由余弦定理得, 即,得, 所以,即, 所以,则, 即的周长为. 8.(24-25高三上 湖南 阶段练习)在中,内角的对边分别为,已知. (1)若,求; (2)若,求的最小值. 【答案】(1) (2). 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值 【分析】(1)由三角恒等变换可得,可得,结合已知可求; (2)由(1)可得,所以,由正弦定理可得,进而可得,利用基本不等式可求最小值. 【详解】(1)因为, 所以, 所以,因为,,所以, 所以,所以, 故. (2)由(1)知,又,所以. 所以. 由正弦定理,得, 所以 , 当且仅当,即时取等号. 所以的最小值为. 9.(24-25高三上 湖南 阶段练习)在中,分别为角的对边,. (1)求的值; (2)若的周长为,求的面积. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】(1)通过正弦定理将角的关系化为边的关系,根据两角和正弦公式即可得解; (2)由(1)得,通过正弦定理将边的关系化为角的关系,可得,令,则,结合的周长为,可得,最后根据三角形面积公式得结果. 【详解】(1)由正弦定理得, ,, , , 又. 由得,,所以. (2), 由正弦定理,得, 令,则, 则,解得, 的面积. 10.(24-25高三上 湖南长沙 阶段练习)已知在钝角中,角所对的边长分别为,,且为正整数. (1)求边长; (2)已知,求. 【答案】(1)2 (2) 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】(1)由余弦定理结合三角形的任意两边之和大于第三边,即可求解; (2)在中,先由余弦定理求得,再结合正弦定理即可求解; 【详解】(1)为钝角三角形, 又角为钝角, , , 三角形的任意两边之和大于第三边, ,即,即, 为正整数,. (2)由(1)知:, , , 在中,, 在中,,即,解得. 11.(24-25高三上 湖南 阶段练习)已知,,,分别是角,,的对边,的面积. (1)证明:; (2)若为的平分线,交于点,且,,求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、三角恒等变换的化简问题、余弦定理解三角形 【分析】(1)由三角形的面积公式以及正弦定理的边角互化代入计算,即可证明; (2)根据题意,由等面积法以及三角形的面积公式代入计算可得,再由余弦定理代入计算,即可得到结果. 【详解】(1)证明:因为,化简得, 由正弦定理,得, 又, 所以,整理得. 又,为的内角,所以,即. (2)因为为的平分线,且,所以, 所以, 在等腰三角形中,.① 又, ∴, 则, 化简得, 又,∴.② ①代入②,得,解得或(舍去), ∴, 在中,由余弦定理得, ∴. 12.(24-25高三上 江苏盐城 阶段练习)在中,,且边上的中线长为1. (1)若,求的长; (2)若,求的长. 【答案】(1) (2)2 【难度】0.4 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】(1)由题意,根据余弦定理建立方程,可得答案. (2)由题意,利用正弦定理表示出边与角之间的等量关系,结合余弦定理建立方程,可得答案. 【详解】(1)设,则, 在中,, 在中,, 在中,为中线,则,, 则,化简可得, 由,则,解得, 所以. (2)由题可知, 设,则, 在中,由正弦定理得,即, 在中,由正弦定理得,即, 所以,则,① 在和中,出余弦定理得 , 所以,② 在中,由余弦定理得, 即,即,③ 将代入得,④ 由①④得,即,即, 即,即, 因为,所以,则,所以. 故的长为2. 13.(23-24高三上 江苏南通 阶段练习)在中,内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,且 (1)求B; (2)若,D为AC边上的一点,且,,求AC的最大值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】(1)利用正弦定理结合两角和差的正弦公式进行化简即可求角B的大小; (2)由,得出,得出,结合余弦定理,利用基本不等式,即可求出结果. 【详解】(1)在中,由正弦定理,得 因为,所以,所以 因为,所以 因为,所以, 所以,因为,所以 因为,所以,所以,所以; (2)因为D为AC边上的一点,且,, 所以, 所以, 所以,即, 在中,由余弦定理, 得 因为,所以 所以 因为,所以,所以, 所以, 所以,所以, 所以,当且仅当时等号成立. 所以AC的最大值为 14.(24-25高三上 上海松江 期中)在中,角A,B,C对应边为,,,满足 (1)求的大小; (2)(i)已知,若在AC上,且,求BD的最大值; (ii)延长BC至点,使得.若求的大小. 【答案】(1) (2)(i)的最大值为;(ii)或 【难度】0.4 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、用和、差角的正弦公式化简、求值、三角形面积公式及其应用 【分析】(1)由,代入已知等式中,利用两角和与差的正弦公式化简得,可得B的大小; (2)(i)由三角形的面积公式得到,再由余弦定理和基本不等式求其最大值即可; (ii)设,,在和中,由正弦定理表示边角关系,化简求的大小. 【详解】(1)在中,,所以. 因为,所以, 即 化简得. 因为,所以,. 因为,所以. (2) (i)由三角形面积公式可得,即, 在中由余弦定理可得,即, 所以,所以的最大值为, 此时,当且仅当时取等号; (ii)设,,则. 由(1)知,又,所以在中,. 在中,由正弦定理得,即①. 在中,由正弦定理得,即②. ① ②,得,即,所以. 因为,,所以或,故或. 【点睛】关键点点睛:本题第二问的第一小问关键是能用三角形面积公式把用表示,再结合基本不等式求解. 15.(21-22高三下 河北 期中)已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足 (1)求角C; (2)CD是的角平分线,若,的面积为,求c的值. 【答案】(1); (2) 【难度】0.4 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、用向量解决线段的长度问题 【分析】(1)先由正弦定理得,化简整理得,再由余弦定理求得,即可求解; (2)先由面积求得,再由角平分线得,结合平面向量得,平方整理求得,再由(1)中即可求出c的值. 【详解】(1)由正弦定理得,即,整理得, 化简得,由余弦定理得,又,则; (2) 由面积公式得,解得,又CD是的角平分线,则, 即,则, 所以,即, 整理得,又,解得,则, 由(1)知,则. 16.(22-23高三上 湖南长沙 阶段练习)如图,为中点,曲线上任一点到点的距离相等,在曲线上且关于对称. (1)若点与点重合,求的值; (2)求五边形面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【分析】(1)利用余弦定理求出,再利用正弦定理即可得出答案; (2)根据题意可得,则,设,则,根据三角形的面积公式结合三角函数的性质即可得出答案. 【详解】(1)若点P与点C重合,连接, , 在中,, 所以, 因为, 所以, (2)连接, 因为曲线CMD上任一点到O距离相等, 所以, 因为P,Q关于OM对称, 所以, 设,则, 则 ,其中, 当时,取得最大值, 所以五边形面积S的最大值为. 17.(24-25高三上 湖南长沙 阶段练习)在锐角中,角的对边分别为,已知 (1)求角; (2)若,求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】(1)运用正弦定理边角互化,结合三角恒等计算; (2)运用正弦定理,结合三角函数计算值域即可. 【详解】(1)由正弦定理得:, 即, , , ,又; (2)由正弦定理得:, , , 在锐角中:,解得:, , ,, 则. 18.(24-25高二上 湖北武汉 阶段练习)在中,内角,,所对的边分别为,,,且. (1)若,,求边上的角平分线长; (2)若为锐角三角形,点为的垂心,,求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、用和、差角的正弦公式化简、求值、三角形面积公式及其应用 【分析】(1)先根据平方关系及正弦定理化角为边,再利用余弦定理求出;利用余弦定理求出,再由等面积法计算可得答案; (2)延长交于,延长交于,设,分别求出、,再根据三角恒等变换化,结合正切函数的性质即可得解. 【详解】(1)因为,, 所以, 由正弦定理得,即, 由余弦定理得,因为,所以; 又因为,,所以, 即,解得,设边上的角平分线长为, 则 ,即, 即,解得,即边上的角平分线长为; (2)延长交于,延长交于,设, 所以,在中, 在中,,,所以, 在中, 同理可得在中,所以 , 因为,所以,所以, 所以,即的取值范围为. 试卷第1页,共3页 试卷第1页,共3页 学科网(北京)股份有限公司 $$