5.2 导数的运算（九个重难点突破）-2024-2025学年高二第二学期数学重难点突破及易错点分析（人教A版）

5.2导数的运算 一、求基本初等函数的导数 六、利用导数求过点处的切线方程 二、求函数的四则运算的导数 七、利用导数公式求切点坐标 三、求复合函数的导数 八、切线的平行、垂直问题 四、利用导数求函数式中的参数 九、公切线问题 五、利用导数求在点处的切线方程 知识点1基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 （为常数） 知识点2导数的运算法及复合函数的导数 若f′(x)，g′(x)存在，则有： 加减运算 乘法运算 除法运算 ，则． 复合函数的导数 一般地,对于由函数和复合而成的函数,它的导数和函数，的导数间关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积. 重难点一、求基本初等函数的导数 【例1】（多选）下列求导运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，，A错误，故A满足题意； 对于B，，B错误，故B满足题意； 对于C，，C正确，故C不满足题意； 对于D，，D错误，故D满足题意. 故选：ABD. 【例2】已知函数，则 ． 【答案】6 【详解】因， 由可得， 故. 故答案为：6. 【变式1-1】求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【详解】（1）由幂函数的导数公式有； （2）由幂函数的导数公式有； （3）由幂函数的导数公式有； （4）由指数函数的导数公式有； （5）由对数函数的导数公式有. 【变式1-2】(多选)下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【详解】对于A，因为是常数函数，所以，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，则，故D正确. 故选：ACD. 【变式1-3】设函数，则（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，得，，所以． 故选：B 重难点二、求函数的四则运算的导数 【例3】函数的导函数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 故选：B 【例4】求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)： 【答案】(1) (2)； (3) 【详解】（1）解：因为， 所以； （2）解：因为， 所以； （3）解：因为， 所以. 【变式2-1】已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以， 则， 故选：C. 【变式2-2】（多选）下列求导运算正确的有（  ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，；对于B，，故A错B对， 对于C，，故C对； 对于D，，故D对， 故选：BCD. 【变式2-3】若函数满足，则（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【详解】由，得， 易知为奇函数，所以， 所以． 故选：D 重难点三、求复合函数的导数 【例5】已知函数，则 . 【答案】 【详解】函数，求导得， 所以. 故答案为： 【例6】已知某函数的导数为，则这个函数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，函数可以看作和的复合函数， ∴，符合题意； 对于B，，∴，不符合题意； 对于C，可以看作和的复合函数， ∴，不符合题意； 对于D，，∴，不符合题意． 故选：A. 【变式3-1】函数的导数为 ． 【答案】 【详解】因为：． 故答案为： 【变式3-2】已知函数的导函数是，且，则实数a的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】，则，解得． 故选：B. 【变式3-3】对于，且这类函数的求导，可以使用下面的方式进行： 第一步：； 第二步：； 第三步：； 第四步：. 根据框内的信息，函数的导数 ． 【答案】 【详解】因为，故可得， 所以，即， 所以. 故答案为：. 重难点四、利用导数求函数式中的参数 【例7】已知函数，则（   ） A．6 B．3 C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以， 所以，即， 所以， 所以， 故选：D 【例8】已知函数的导数为，且，则（    ） A． B．1 C．1 D．e 【答案】B 【详解】由，得， 当时，，解得， 所以，则. 故选：B 【变式4-1】已知函数，则（    ） A．6 B．3 C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以， 令，得， ∴， 所以，故 故选：D. 【变式4-2】已知是函数的导函数，若，则（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【详解】因为，所以. 令，得，所以， 所以，则. 故选：B． 【变式4-3】已知函数，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】，则，解得. 故选：D. 知识点3求切线方程 1.求曲线“在”点处的切线方程： 第一步：计算切点的纵坐标；第二步：计算切线斜率； 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率； 第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 2.求曲线“过”点处的切线方程 第一步：设切点为；第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 重难点五、利用导数求在点处的切线方程 【例9】曲线在点处的切线方程为 . 【答案】 【详解】由求导得：， 依题意，， 故曲线在点处的切线方程为，即. 故答案为：. 【例10】曲线在处的切线方程为 . 【答案】 【详解】，则，， 故所求切线方程为，即. 故答案为： 【变式5-1】函数的图象在点处的切线方程为 ． 【答案】 【详解】∵， ∴， ∴， 又， 故所求切线的方程为，即． 答案： 【变式5-2】函数在点处的切线方程为 ． 【答案】 【详解】因为，所以切点坐标为， 又，则切线的斜率， 由直线的点斜式方程可得，即， 所以切线方程为. 故答案为： 【变式5-3】已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由题设，，则，又， 所以处的切线方程为，整理得. （2）由（1），令时，；令时，； 所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为. 重难点六、利用导数求过点处的切线方程 【例11】过点且与曲线相切的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，点不在曲线上， 设切点为，则， 解得：，得切点，则 切线方程为：， 故选：． 【例12】过点作两条直线与曲线（e是自然对数的底数）相切，切点的横坐标分别为，，则的值为（    ） A．e B．e C．3 D．3 【答案】C 【详解】由，得， 设切点坐标为，则切线斜率为，所以切线方程为. 因为点在切线上，所以，即， 结合题意，则，是上述方程的根，所以根据韦达定理得. 故选：. 【变式6-1】过点的直线l与曲线相切，则直线l的斜率为（    ） A．不存在 B．-1 C．3 D．3或-1 【答案】D 【详解】解：因为，所以，， 当为切点时，； 当不为切点时，设切点为，， 所以， 所以切线方程为， 又切线过点， 所以， 即，即， 解得或（舍去），所以切点为， 所以． 综上所述，直线l的斜率为3或-1． 故选：D 【变式6-2】过原点可以作曲线的两条切线，则这两条切线方程为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【详解】由，得为偶函数， 故过原点作的两条切线一定关于y轴对称． 当时，，则， 设切点为，故，解得或（舍）， 所以切线斜率为1，从而切线方程为． 由对称性知：另一条切线方程为． 故选：A 【变式6-3】（多选）设，点是直线上的任意一点，过点作函数图象的切线，可能作（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】BC 【详解】设为直线上任意一点， 过点作的切线，切点为， 则函数图象在点B处的切线方程为， 即，   整理得，， 解得1或 当时，，方程仅有一个实根，切线仅可以作1条； 当时，，方程有两个不同实根，切线可以作2条. 故选：. 重难点七、利用导数公式求切点坐标 【例13】已知直线是曲线的切线，则切点坐标为（    ） A．（，-1） B．（e，1） C．（，） D．（0，1） 【答案】B 【详解】直线过原点， 设是曲线上任意一点， ，所以在点的曲线的斜率为， 所以在点的曲线的切线方程为， 即，将代入上式得， 所以切点为. 故选：B 【例14】直线和曲线相切，则的值为 ，切点坐标为 ． 【答案】 【详解】设直线与曲线的切点为，则 由题意可知，，解得或， 当时，， 又点在直线上，将，. 代入得，与已知条件矛盾，不合题意舍去． 当时，. 将代入直线中，得. 故答案为：，. 【变式7-1】曲线在点A处的切线方程为，则切点A的坐标为 ． 【答案】 【详解】由，得，因为，所以， 则切点A的横坐标为－1，所以， 解得，所以A的坐标为． 故答案为：. 【变式7-2】已知函数，直线l为曲线的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标． 【答案】直线l的方程为，切点的坐标为 【详解】设切点为， 因为 ，所以． 当趋于0时，趋于，即， 所以切线方程为， 因为切线过原点，所以， 所以，解得， 所以，故直线l的方程为，又，所以切点的坐标为． 【变式7-3】过点能作曲线的切线 条，切点坐标为 【答案】 或 【详解】，设切点为， 则切线方程为， 将代入得， 整理得，解得或， 所以切线有2条，切点坐标为或. 故答案为：2；或. 重难点八、切线的平行、垂直问题 【例15】已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若曲线在处的切线与曲线在处的切线平行，求的值． 【答案】(1) (2). 【详解】（1），，， 所以曲线在处的切线方程为，即； （2）由(1)可得：曲线在点处的切线方程为， 由，可得曲线在处的切线斜率为， 由题意可得，从而. 【例16】曲线在 处的切线与直线垂直，则的值为（    ） A．-1 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【详解】解：令，则， 依题意，即，解得； 故选：B 【变式8-1】若曲线的一条切线与直线垂直，则切线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， ∴， 设切点坐标为，则切线的斜率， 解得，所以， 故切线的方程为，即． 故选：A 【变式8-2】若曲线在点处的切线与直线平行，则 . 【答案】 【详解】由题意知，令，则 ，， ， 所以点在曲线上， ， ， ，， ， 所以， 又曲线在点处的切线与直线平行， 所以，得. 故答案为：. 【变式8-3】已知曲线y＝在点处的切线与直线平行，且与的距离等于，求直线的方程. 【答案】或 【详解】由导数的几何意义，得曲线y＝在点处的切线的斜率为 ， 所以曲线y＝在点处的切线方程为 ，即.　 设直线l的方程为，则 由题意可知，，解得或， 所以直线的方程为或. 重难点九、公切线问题 【例17】已知函数的图象与函数（且）的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为 . 【答案】 【详解】设公共点为，即可得到，再由导数的几何意义得到，从而求出，即可求出切点坐标，从而求出，再求出切线方程. 【详解】解：因为函数与的图象关于直线对称， 所以与互为反函数，所以， 则．由，得， 设直线与函数的图象的切点坐标为， 与函数的图象的切点坐标为， 则直线的斜率，故， 显然，故， 所以直线的倾斜角为， 故选：B． 【变式9-1】已知直线分别与曲线，相切于点，，则的值为 . 【答案】1 【详解】由，，有，， 在点处的切线方程为， 在点处的切线方程为， 则有，得， 所以，可得. 故答案为：1. 【变式9-2】已知曲线与的公切线为，则实数 . 【答案】 【详解】由函数，可得， 设切点坐标为，可得，则切线方程为， 即，与公切线重合，可得， 可得，所以切线方程为， 对于函数，可得，设切点为，则 则 ，解得. 故答案为： 【变式9-3】在平面直角坐标系中，若过点且同时与曲线，曲线都相切的直线有两条，则点的坐标为 ． 【答案】 【详解】设点的坐标为， 显然这两条曲线的公切线存在斜率，设为， 因此切线方程为， 设曲线的切点为，即， 由，所以过该切点的切线的斜率为， 则有， 设的切点为，即， 由，所以过该切点的切线的斜率为， 则有， 由题意可知：，于是有： ，得，或， 当时，则有， 当时，则有， 由可解，. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用导数的几何意义求出公切线的方程. 一、单选题 1．已知函数，则（   ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【详解】因为， 所以，则. 故选：B 2．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 则，得，故B错误； 所以，， 则，， ，故AD错误，C正确. 故选：C. 3．已知函数，则曲线在处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，， 故， 故在处的切线方程为，即. 故选：B 4．已知，使得命题“曲线在点处的切线与曲线没有公共点”成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，则切线斜率， 故曲线在点处的切线方程为，即， 联立，得， 因为切线与曲线没有公共点， 所以方程没有实数解， 当时，方程有唯一解，不满足题意， 当时，，可得. 综上所述，， 由是的真子集，符合题意. 故选：B. 5．已知过点的直线与曲线相切于点，则切点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设切点坐标为，由，得， 则过切点的切线方程为， 把点代入切线方程得，，即， 又，所以，则， 则切点坐标为. 故选：A 6．已知过点可以作曲线的两条切线，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得， 设过点的直线与曲线切于点， 则切线斜率为， 所以切线方程为 因为切线过点， 所以，整理得， 因为过点的切线有两条， 所以方程有两不同实根， 因此，解得或， 即实数a的取值范围是. 故选：B 二、多选题 7．下列求导结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对A，，故A正确； 对B，，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，，故D正确. 故选：AD 8．若存在过点的直线l与曲线和都相切，则a的值可以是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】AB 【详解】由题意可得，， 因为在直线l上，当为的切点时， 则，所以直线l的方程为， 又直线l与相切， 所以满足，得； 当不是的切点时， 设切点为， 则， 所以，得， 所以，所以直线的方程为. 由，得， 由题意得，所以. 综上得或. 故选:AB 三、填空题 9．若曲线在处的切线的倾斜角为，则 . 【答案】3 【详解】因为， 所以，，则. 故答案为：3. 10．已知定义在上的函数满足，则曲线在点处的切线方程为 . 【答案】 【详解】因为，所以， 令，得，解得，所以切线斜率为2， 因为，令，得， 解得，所以切点坐标为. 所以在点处的切线方程为，即. 故答案为：. 11．已知曲线存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【详解】，依题意知有两个不同的实数解， 即有两个不同的实数解， 即有两个不同的实数解. 令，则，所以有两个不同的实数解， 所以与的图象有两个交点. ， 因为，所以，又，故, 故实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 12．求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）设，， 则 ． （2）设，，， 则． （3）设，，， 则． （4）设，， 则． 13．写出过点，并且和曲线相切的直线方程． 【答案】和 【详解】当时，上式化为，这样的曲线不存在，故， 所以曲线化为，其导函数为 设过点的直线与曲线相切于点，则切线的斜率为 所以切线方程为 由切线过点，所以，解得或 当时，切线方程为： 当时，切线方程为： 因此，过点A有两条切线，方程分别为和， 如图所示．    14．已知与曲线在点处相切，为该曲线另一条切线，且． （1）求直线及直线的方程； （2）求由直线、和轴所围成的三角形的面积． 【答案】（1），；（2） 【详解】（1）设直线、的斜率分别为、， 对函数求导得，则， 所以，直线的方程为，即， 设直线与曲线的切点坐标为，则， 因为，则，解得，则， 所以，直线的方程为，即； （2）直线与轴交于点，直线与轴交于点， 联立，解得， 因此，由直线、和轴所围成的三角形的面积为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.2导数的运算 一、求基本初等函数的导数 六、利用导数求过点处的切线方程 二、求函数的四则运算的导数 七、利用导数公式求切点坐标 三、求复合函数的导数 八、切线的平行、垂直问题 四、利用导数求函数式中的参数 九、公切线问题 五、利用导数求在点处的切线方程 知识点1基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 （为常数） 知识点2导数的运算法及复合函数的导数 若f′(x)，g′(x)存在，则有： 加减运算 乘法运算 除法运算 ，则． 复合函数的导数 一般地,对于由函数和复合而成的函数,它的导数和函数，的导数间关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积. 重难点一、求基本初等函数的导数 【例1】（多选）下列求导运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【例2】已知函数，则 ． 【变式1-1】求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【变式1-2】(多选)下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1-3】设函数，则（    ） A．0 B．1 C． D． 重难点二、求函数的四则运算的导数 【例3】函数的导函数（    ） A． B． C． D． 【例4】求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)： 【变式2-1】已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（多选）下列求导运算正确的有（  ） A． B． C． D． 【变式2-3】若函数满足，则（   ） A． B．0 C．1 D． 重难点三、求复合函数的导数 【例5】已知函数，则 . 【例6】已知某函数的导数为，则这个函数可能是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】函数的导数为 ． 【变式3-2】已知函数的导函数是，且，则实数a的值为（   ） A． B． C． D．1 【变式3-3】对于，且这类函数的求导，可以使用下面的方式进行： 第一步：； 第二步：； 第三步：； 第四步：. 根据框内的信息，函数的导数 ． 重难点四、利用导数求函数式中的参数 【例7】已知函数，则（   ） A．6 B．3 C． D． 【例8】已知函数的导数为，且，则（    ） A． B．1 C．1 D．e 【变式4-1】已知函数，则（    ） A．6 B．3 C． D． 【变式4-2】已知是函数的导函数，若，则（   ） A． B． C．2 D．3 【变式4-3】已知函数，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 知识点3求切线方程 1.求曲线“在”点处的切线方程： 第一步：计算切点的纵坐标；第二步：计算切线斜率； 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率； 第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 2.求曲线“过”点处的切线方程 第一步：设切点为；第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 重难点五、利用导数求在点处的切线方程 【例9】曲线在点处的切线方程为 . 【例10】曲线在处的切线方程为 . 【变式5-1】函数的图象在点处的切线方程为 ． 【变式5-2】函数在点处的切线方程为 ． 【变式5-3】已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积． 重难点六、利用导数求过点处的切线方程 【例11】过点且与曲线相切的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【例12】过点作两条直线与曲线（e是自然对数的底数）相切，切点的横坐标分别为，，则的值为（    ） A．e B．e C．3 D．3 【变式6-1】过点的直线l与曲线相切，则直线l的斜率为（    ） A．不存在 B．-1 C．3 D．3或-1 【变式6-2】过原点可以作曲线的两条切线，则这两条切线方程为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式6-3】（多选）设，点是直线上的任意一点，过点作函数图象的切线，可能作（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 重难点七、利用导数公式求切点坐标 【例13】已知直线是曲线的切线，则切点坐标为（    ） A．（，-1） B．（e，1） C．（，） D．（0，1） 【例14】直线和曲线相切，则的值为 ，切点坐标为 ． 【变式7-1】曲线在点A处的切线方程为，则切点A的坐标为 ． 【变式7-2】已知函数，直线l为曲线的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标． 【变式7-3】过点能作曲线的切线 条，切点坐标为 重难点八、切线的平行、垂直问题 【例15】已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若曲线在处的切线与曲线在处的切线平行，求的值． 【例16】曲线在 处的切线与直线垂直，则的值为（    ） A．-1 B．1 C．2 D．4 【变式8-1】若曲线的一条切线与直线垂直，则切线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】若曲线在点处的切线与直线平行，则 . 【变式8-3】已知曲线y＝在点处的切线与直线平行，且与的距离等于，求直线的方程. 重难点九、公切线问题 【例17】已知函数的图象与函数（且）的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为 . 【变式9-1】已知直线分别与曲线，相切于点，，则的值为 . 【变式9-2】已知曲线与的公切线为，则实数 . 【变式9-3】在平面直角坐标系中，若过点且同时与曲线，曲线都相切的直线有两条，则点的坐标为 ． 一、单选题 1．已知函数，则（   ） A．5 B．6 C．8 D．10 2．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，则曲线在处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 4．已知，使得命题“曲线在点处的切线与曲线没有公共点”成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 5．已知过点的直线与曲线相切于点，则切点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．已知过点可以作曲线的两条切线，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．下列求导结果正确的是（   ） A． B． C． D． 8．若存在过点的直线l与曲线和都相切，则a的值可以是（    ） A．1 B． C． D． 三、填空题 9．若曲线在处的切线的倾斜角为，则 . 10．已知定义在上的函数满足，则曲线在点处的切线方程为 . 11．已知曲线存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围为 . 四、解答题 12．求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)． 13．写出过点，并且和曲线相切的直线方程． 14．已知与曲线在点处相切，为该曲线另一条切线，且． （1）求直线及直线的方程； （2）求由直线、和轴所围成的三角形的面积． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$