云南省昆明市第一中学2024-2025学年高三上学期第六次联考(期末)数学试题

昆明市第一中学2025届高三年级第六次联考 数学试卷 命题人：昆一中数学命题小组 审题人：杨昆华张波张兴虎杨仕华江明李春宣吕文芬蔺书琴陈泳序崔锦 本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在诚卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、 草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡 上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 L.已知集合U={yly=lnx,A=10,1,2},B=2,3,5,71,则An(CgB)= A.☑ B.{1 C.{0,1} D.{0,1,2} 2.若命题p:HxeR,e≥ex,则一p为 A.3x∈R,e'≤ex B.3xR,e*<ex C.3xER,e'<ex D.Hx∈R,e<ex 3.在复平面内，O为原点，A,B两点对应的复数分别为-1+2i,i,若四边形OABC为平行四边形， 则点C对应的复数为 A.1-i B.-1+3i C.-1+i D.2i 4函数)=(+a)h#是奇函数，则a A.-1 B.0 C.1 D.2 5.已知数列{an}满足a1=3,a,a+1=a。-1,则a1o%= A号 D.-1 6.在纯角△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=1,b=2,则c的取值范围是 A.(1,5) B.(5,5) C.(5,3) D.(1,5)U(5,3) 数学·第1页（共4页） 客个面承是边长为2的正三角形，其三个顶点在圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是上底面 的圆心，则圆柱的外接球的表面积 A.8 B.7m C.4m 心，6若关于的不武他-2少在0，+o上福成立，则24-酮 D.3m 最小值是 A.0 B.1 C.万 一、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 D.2 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 4(人教A版数学必修一第212页例6变式)已知函数代)=m-+写引， 则下列说法正确的是 人f凡)的定义域是x≠km-君，ke乙 B.f(x)的最小正周期为2π C代)在区间如-石，km+),ke乙上单调递减 D.)图象的对称中心为km+号，0，kE乙 10.正方体ABCD-A,B,C,D的棱长为2，点E,F分别是B,C,D,C,的中点，且点P在正方形 A,B,C,D1内运动（含边界），则下列说法正确的是 人正方体的所有棱与平面A品，0所成角的正弦值为号 B.存在点P,使得DP∥面CEF C若aP|=5。则点P的轨迹长度为受 D.AC,⊥面CEF 1.根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线。若圆锥 的高P0=2,底面圆的半径为4，M为母线PB的中点，则 0. 0 0 A.圆的周长为4π B.椭圆的长轴长为37 C.双曲线的离心率为5 D.抛物线的焦点到准线的距离为45 数学·第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 2函数了片在=2处的切线方程为 13.若m,n,p成等差数列，则直线l:mx+y+p=0过定点 4公元1651车，法国一位若名的统计学家德梅越(Deme)向另一位若名的数学家帕斯卡(BP】 提了一个问题：设两名暗徒约定谁先赢（≥1，：N~)局，谁便赢得全部赌注a元。每局甲藏 的概率为p0<p<1),乙赢的概率为1-p,且每局赌博相互独立.在甲赢了m(m<)局，乙赢了 n(a<)局时，赌博意外终止.赌注该怎么分才合理？之后帕斯卡邀请费马(Fermat))讨论了这个问 题，后来惠更斯(CHuy8s)也加人了讨论，当时这三位全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出 了正确的解答：若出现无人先赢：局，赌博就意外终止的情况，则甲、乙便按照赌博再继续进行下 去各自赢得全部赌注的概率之比P,:P2分配赌注.当a=27,k=4,m=2,n=1时，若p≥兮 则赌徒乙最多可获得 元 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 某医科大学实习小组为研究实习地昼夜温差与感冒人数之间的关系，分别到当地气象部门和某医 院抄录了9月至11月每月5日、20日的昼夜温差情况与因感冒而就诊的人数，得到如表资料： 11月20日 日期 9月5日 9月20日 10月5日 10月20日 11月5日 昼夜温差x(℃） 10 11 13 12 8 6 就诊人数y(个) 22 25 29 26 16 12 该小组确定的研究方案是：先从这6组数据中随机选取4组数据求线性回归方程，再用剩余的2组 数据进行检验， 参考公式：.6~)G,5刃 含-n对 a=y-b. 含(%-)户 -n(a)2 (1)求剩余的2组数据都是20日的概率； (2)若选取的是9月20日、10月5日、10月20日、11月5日这4组数据。 ①请根据这4组数据，求出y关于x的线性回归方程夕=bx+a; ②若某日的昼夜温差为7℃，请预测当日就诊人数.（结果保留整数） 数学·第3页（共4页） 16.(15分) 已知函数h(x)=ax2+xnx (1)若()为减函数，求a的取值范围； (2)如果函数y=x)在定义域内存在实数场，使代名+)=)+)成立，其中为大于0的 常数，则称点(，)为函数孔)的级“平移点”.若()在[1，+四)上存在1级“平移点”， 求a的取值范围。 如图，在四棱台ABCD-A,B,C,D,中，底面ABCD是菱形，BB,=DD,H为CG,上一点，过AH的 17.(15分) D 平面交BB,DD于E,F两点，且BD∥平面AEHF (1)证明：EF1CC,; (2)若H为CC,的中点，AB=2A,B,2AA1=2CC,=5AB,且AM, 与平面A,B,C,D,所成的角为60，求平面A,AE与平面AEF夹 角的余弦值 18.(17分) 已知4，B是描圆C:苦+y=1上的两点. (1)若直线AB的斜率为1，求|AB的最大值； (2)设线段AB的垂直平分线与x轴交于点N(:,O),求：的取值范围. 19.(17分) 在密码学领域，著名的欧拉函数应用在数据加密算法中，设，q是两个正整数，若P,q的最大公 约数是l,则称p,g互素，对于任意正整数n,欧拉函数是不超过n且与n互素的正整数的个数， 记为p(n),如：p(4)=2. (1)求p(6),p(8)的值； (2)设p,9(p≠g)是两个素数，试用p,k表示p(p)(keN),并证明：p(p9)=p(p)·p(g)； 1(n=1) (3)数列{a,}的通项公式为an= 设该数列的前n项的和为S。,是否存在整数m, 2a≥2 使S,<m对任意正整数n都成立？若存在，求m的最小值；若不存在，请说明理由。 数学·第4页（共4页）昆明市第一中学2025届高三年级第六次联考 数学参考答案 命题、审题组教师 杨昆华张波张兴虎杨仕华江明李春宜吕文芬蔺书琴陈泳序崔锦 一、选择题 题号 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C A B C D A D .解析：U=yy=lnx}=R,所以An(6B)={0,1},选C 2.解析：命题p:x∈R,c之cr的否定为：3x∈R,c<cx,选C 3.解析：设点C对应的复数为a+bi,由OC-AB得a+bi=1-i,所以a=1,b=-1,则z=1-i,选A. 4.解析：f()的定义域是(0，-U1,+o),关于原点对称：令g)=x2+ar,h()=n-因为 x+1 h(-x)=-h(x),所以h(x)是奇函数，又因为f(x)=g(x)h(x)是奇函数，所以g(x)是偶函数，由g(-x)=g(x)得 a=0,选B. 5解折由aaa1知a0,则a1士所以a=1兮号l-古1子分 a,1一5=一5a4三57s=二 1 ,所以包n}是以3为周期的数列，则a1w=a3+335=a3= 2,选c 6.解折：当B为能角时，由余弦定理得c0sB=+C-B<0,4+c2-6<0,所以+C2-2<0,解得 2ac c<√3，因为a+c>b,所以c>1,所以1<c<√3：当C为钝角时，由余弦定理得 cosC=+-C<0,d2+62-c2<0,所以P+2-c2<0,解得c>5,因为a+b>c,所以c<3. 2ab 所以√5<c<3,选D. 7.解析：正三角形的外接圆半径为r= 223 2si , 四面体的高h 3 26 ,所以圆柱的外接球的 3 3 2 =2,即该球的表面积S=4π×2=8π，选A. 8.解析：设f)=ar-1,8()=+r-1,因为a>0,所以f9在0，+o)上单调递增 0<x< 时，f()K0,当>a时，f()》0:因为8⊙的图象开口向上，且8O)=-1,所以8()在 0<x<1 (0,切)上有且仅有一个变号零点，因为)8()20在0，+o)上恒成立，即当<a时，8)50，当 >a时，8)20，所以a是方程2+x-1=0的根，即日 }+b.1-1=0b=a-1 ,解得a,因为a>0, 第1页（共6页） a-b=2a-a+-=a+-22 所以 a,当且仅当a=1时等号成立，选D. 二、多选题 题号 9 10 11 答案 AC BC ABC 9 解析：自变量x的取值应满足-x+刀≠k红+刀，k∈Z,解得x≠-k-工，k∈Z,所以f)的定义域是 2 6 a-eZ π ,A正确： f(x) 的最小正周期为。 =π，所以B错误：由 ka-<-x+<标+，keZ解得-机-工<x<-m+红，keZ,所以f田在区间a-,kx+ 2 3 2 6 6 6 6 上单调递减，C正确：由-x+=任，k∈乙，解得x=-任+，k∈乙，所以)图像的对称中心为 32 23 红+不，0，k∈Z,D错误，选AC 23 10解析：A选项，三校维4-480中，由等体积法得点4到平面的距离d=25,所以血0=号-日 3 23 A铅， 即正方体的所有棱与平面AB,D所成角的正弦值为5 取AD,AB,的中点分别为M,N,连接MN.DM,DN,则面DMN∥面CEF, 点P在线段MN上，B选项正确：C选项，若AP=√5，点P的轨迹是以A为圆心 为半径的四分之一圆上，即长度为2红x1×}7,即℃选项正确：如图建立空间 直 角坐标系C(0,2,0),E(1,2,2),F(0,12),A(2,0,0),C(0,2,2,所以CE=(1,0,2),CF=(0,-1,2,则平面的法向量 n=(2,-2,-),又因为AC=(-2,2,2),n≠元AC,所以直线AC与平面CEF不垂直，D选项错，所以选BC 11. 解析：对于A,因为截面的半径r=2,所以圆的周长为4π，A正确：对于B,因为PA=√20，所以 8乙PB=4P十BP二AB},所以AM=37,B正确：对于C以M为右顶点建立平面直角坐标系 2AP.BP 设双酯线的标准方程为号一-茶=1(。，b>0,有a=1,易知点亿2)在双线上，所以b2,所以高 心率e=V5,C正确：对于D,以M为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为y2=2px( P>0),易知点(5,4)在抛物线上，所以p-85 S,D错误，选ABC. 三、填空题 一)·切线斜率k=y=-2,切点为2,3)，切线方程为：2x+y-7=0 12.解析：y=,-2 第2页（共6页） 13.解析：由题，有n=m+卫，所以mr+四+p=0一m(2x+y)+p心+1)=0，所以直线1过定点0，-2) 2 14.解析：当X=3时，P(X=3)=(0-p):当X=4时，P(X=4)=CP(0-p}=3p0-p).记事件A为赌博 继续进行下去乙赢得全部赌注”，则P(4)=(0-p}+3p0-p}=(0+3p)0-p，令f(p)=0+3p)01-p, 有fo)-l2p-p,因为p所以/()在[上单调递减，所以pL=f得)-培.所以 赌徒乙最多可获得16元. 四、解答题 15.解：(1)记6组依次为1,2,3,4,5,6，从这6组中随机选取4组数据，剩余的2组数据所有等可能的情 况为2)，（，3)，(，4)，(15)，16)，(2,3)，(2,4)，(25)，(2,6)，(34)，(35)，(3,6)(4,5) (4,6),(5,6)共15种，其中2组数据都是20日，即都取自2,4,6组的情况有3种.根据古典概型概率计 算公式，剩余的2组数据都是20日的概率♪-- .6分 =1+13+12+8=1万=25+29+26+16=24 (2)①由所选数据，得 4 =1×25+13×29+12×26+8×16-4×11×2418 所以 112+132+122+82-4×112 7, 所4=-24-x1=-9」 所以)关于：的线椎同白方整为-9一9 7」 .12分 ②当x=7时， 7714 所以某日的昼夜温差为7℃，预测当日就诊人数约为14人. 13分 16.解：D因为()为减函数，所以()=2r+nr+1≤0在0，+切)上恒成立， r,令8)=-n+1 as-Inr+1 即 易相80=1，所s号 2 6分 (2)因为在L+)上存在1级平移点”，所以存在∈L+切)，使(6+)=()+h0) 由a(,+l)+(G+1)lh(+l)=ax+xnx。+a 得2=-6c+0加+0.即2=-++) 9分 图象有公共点， 0=-rh+≥).o){g}he,0 x2 第3页（共6页） 所以p(o)在+)上单调递增，所以p()上p0)=-22, 13分 因为l,所r<he),,所P-mh(c+e0, 所以p()e21n2,0),所以a∈Hn2,0) 15分 17.(1)证明：连接AC交BD于点O,连接AC,交B,D于点O, 因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC, 又BB=DD,O,O分别是线段BD,B,D的中点，所以BD⊥OO, 因为AC∩OO,=O,所以BD⊥平面AACC,又CC,c平面AACC,所以BD⊥CC, 因为BD∥平面AEHF,BDC平面DD,B,B, 因为平面DD,BB,∩AEHF=EF,所以BD∥EF,所以EF⊥CC: …7分 (2)由(1)得BD⊥AC且BD⊥OO, 因为AA=CC,且O,O分别是线段AC,AC的中点， 所以OO⊥AC,又AC∩BD=O,所以OO⊥平面ABCD, 因为A4与平面AB,C,D所成的角为60，所以∠AAO=60°， 设AB=2,所以AA=CC=V5,又AB=2AB,所以AC=2AC, 所以00=40=5,08=VB-A0= 以O为坐标原点，OA,OB,OO,所在直线为x轴，y轴，z轴， 如图建立空间直角坐标系O-z, 由题知o0a0叭.45ao叭得a}auo,Da-10叭c(号ac(5ao 设平面4F的法向量为m=(G,》,则回孤=0 -√3x1+y=0 m·AA=0 所以 5.3。，可取m=（5.3) 2+2=0 2y2=0 设平面AEF的法向量为n=(x2,2,32) 则 (nDB=0 nAH=0 4+ =0可取=(6@) 所以{75、3. 第4页（共6页） m·n 设平面44E与平面AEF夹角为0，所以cos0= 10 5 13x52 所以平面AAE与平面AEF夹角的余弦值为 3 .15分 18.解：(1)设直线AB的方程为y=x+m,A(名，y),B(:) 联立方程 y=x+m, 得4x2+6mr+3m2-3=0, x2+3y2=3. 所以x+3= ，55=3m2-3 3m △=48-12m2>0, 2 4 12-3m2 2 当m=0时，满足△>0，AB取得最大值V6 .7分 (2)设A(,y),B(x,乃2)，AB的中点M(,),当直线AB平行于x轴时，=0： 因为线段AB的垂直平分线与x轴相交，所以直线AB不平行于y轴，即x≠x,, +=1 由 3 两式相减整理得上上.上+丛=-} 3 ①， +=山 x-x2x+x2 (3 因为M()是AB的中点，所以2x=x+:,2%+为， 因为MN1AB,所以k=占-业=-1=1-五 x2 kx yo 所以0变形为学受-白化满箱，其中-<0或0气<5。 所以-23 <1<0或0<1< 25 3 15分 综上，1的取值范围是 2W525 33 .17分 19.解：(1)不超过6且与6互素的正整数有1,5，所以(6)=2， 不超过8且与8互素的正整数有1,3,5,7，所以0(8)=4 …4分 (2)在不大于P广的正整数中，只有P的倍数不与P互素，而p的倍数有P“个， 所以()p-p=(p-)pH 由于p,9(p≠q)是两个素数，所以(D)=p-1,(g)=9-1, 在不大于四-1的正整数中，P的倍数有9-1个，9的倍数有P-1个， 第5页（共6页） 所以0(p四)=p9-1-(p-)(g-1)=p四-p-q+1=(p-1)(g-1), 所以(pg)=p(p)p(q) …12分 (3)由(2)得-+1 2- (n22) 所以S=1+3+7 2 ① 则 22室+2+…420+1 157 2”· ② *0、 ①②得： 2=3+22 ，之，+24 2-司)2n+1 2- 2 1 2 1- 2 所以S=8-4n+10 2” 因为5=8如0<8，又因为号=80=7六7 2" 16 所以，存在整数m,使S。<m对任意正整数n都成立，且m的最小值为8.…17分 第6页（共6页）