精品解析： 重庆市黔江区2024-2025学年八年级上学期期末考试考试数学试题

黔江区2024年秋期末考试八年级数学试题 （全卷共三个大题，26个小题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括辅助线）请一律用黑色铅笔完成 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 节约用水，从我做起，小明把自己家1月至6月份的用水量绘制成折线图，从统计图中可以看出小明家这6个月中用水量最少的月份是( ) A. 1月 B. 3月 C. 5月 D. 6月 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在△ABC中，AC=4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（ ） A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm 5. 如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是（　　） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 6. 下列说法中错误的是（ ） A. 一个正数有两个平方根 B. 无限不循环小数是无理数 C. 实数与数轴上的点一一对应 D. 平方根等于本身的数是0，1 7. 如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线剪开，再按如图②的方式摆成正方形，则阴影部分的周长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示， 的顶点 、 、 在边长为 的正方形网格点上，于点 ，则 的长为（ ） A. B. C. D. 9. 已知 ， ， 为 三边，且满足，则它的形状为(　　) A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 10. （ 为非负整数）当0，1，2，3，…时的展开情况如下所示：观察这些式子的等号右边各项的系数，我们得到了如图所示： 这就是南宋数学家杨辉在其著作《九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了展开后各项系数的情况，被后人称为“杨辉三角”．根据图，你认为展开式中所有项系数的和应该是（ ） A. 128 B. 256 C. 512 D. 1024 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 的平方根是______． 12. 如图，，，，，则______． 13. 已知数据：、、，π， ，其中无理数出现的频率是_______． 14. ____．（填“＞”、“＜”或“=”） 15. 如图， ，，于D，，，，则 _______． 16. 若，，则__________． 17. 已知，，则__________． 18. 如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了__米． 三、解答题（本大题8个小题，第19题8分，20～26题每题10分，共78分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 解决下列问题： （1）计算：； （2）因式分解：． 20. 如图，已知在 中，点D在边 上，且 ． （1）用尺规作图法，作的平分线，交 于点P；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）的条件下，连接 、求证：． 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 如图，，点D在 边上，和 相交于点O． （1）求证：； （2）若，求的度数． 23. 第七届全国学生“学宪法、讲宪法”活动开展以来，全国各地师生积极响应．某校为了解本校学生对宪法知识的了解情况，对八年级学生进行了知识测试，测试成绩全部合格，现随机选取了部分学生的成绩，整理并制作成了如下不完整的图表： 分数段 频数 频率 9 a 36 0.4 27 0.3 0.2 请根据上述统计图表，解答下列问题： （1）表中___________，___________； （2）请补全频数分布直方图； （3）根据以上数据，如果90分以上（含90分）为优秀，若该学校八年级学生有900名，请你估算一下该学校八年级学生成绩优秀的人数． 24. 如图，四边形 中，，点E是 上一点， ，，． （1）求 的长度； （2）判断的形状，并说明理由． 25. 阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例：求多项式的最小值． 解：．因为所以 当时，，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： （1）【理解探究】已知代数式，求A的最小值； （2）【类比应用】张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由； （3）【拓展升华】如图， 中， ，cm，cm，点M，N分别是线段AC和BC上的动点，点M从A点出发以的速度向C点运动；同时点N从C点出发以的速度向B点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为t，则当t的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？ 26. 在 中， ， 平分 ，交 于点D， ． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，E是 的中点，连接 并延长，交 的延长线于点F，连接AF．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黔江区2024年秋期末考试八年级数学试题 （全卷共三个大题，26个小题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括辅助线）请一律用黑色铅笔完成 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，首先计算平方根，然后根据无理数的概念求解即可． 【详解】解：A、属于有理数，故本选项不符合题意； B、是无理数，故本选项符合题意； C、是整数，是有理数，故本选项不符合题意； D、是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； 故选B． 2. 节约用水，从我做起，小明把自己家1月至6月份的用水量绘制成折线图，从统计图中可以看出小明家这6个月中用水量最少的月份是( ) A. 1月 B. 3月 C. 5月 D. 6月 【答案】C 【解析】 【分析】观察折线图可直接得出答案． 【详解】解：观察折线图可知，6个月中5月份用水量最少， 故选C． 【点睛】本题考查折线图的认识，看懂图形是解题的关键． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方、合并同类项，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方、合并同类项的运算法则，对选项逐一分析判断即可． 【详解】解：A、，故此选项正确，符合题意； B、，故此选项错误，不符合题意； C、，故此选项错误，不符合题意； D、，故此选项错误，不符合题意． 故选：A． 4. 如图，在△ABC中，AC=4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（ ） A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm 【答案】C 【解析】 【分析】利用线段垂直平分线的性质证得AN=BN即可求解. 【详解】∵MN是线段AB的垂直平分线， ∴AN=BN， ∵△BCN的周长是7cm， ∴BN+NC+BC=7（cm）， ∴AN+NC+BC=7（cm）， ∵AN+NC=AC， ∴AC+BC=7（cm）， 又∵AC=4cm， ∴BC=7﹣4=3（cm）． 故选C． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答的关键. 5. 如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是（　　） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】过点P作PE⊥BC于E， ∵AB∥CD，PA⊥AB， ∴PD⊥CD， ∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB， ∴PA=PE，PD=PE， ∴PE=PA=PD， ∵PA+PD=AD=8， ∴PA=PD=4， ∴PE=4． 故选：C． 6. 下列说法中错误的是（ ） A. 一个正数有两个平方根 B. 无限不循环小数是无理数 C. 实数与数轴上的点一一对应 D. 平方根等于本身的数是0，1 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了实数、平方根的定义等知识，直接利用平方根以实数的定义和性质分析得出答案． 【详解】A、一个正数有两个平方根，故原说法正确，不合题意； B、无限不循环小数是无理数，故原说法正确，不合题意； C、实数与数轴上的点一一对应，故原说法正确，不合题意； D、平方根等于本身的数是0，1的平方根为，故原说法错误，符合题意； 故选：D． 7. 如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线剪开，再按如图②的方式摆成正方形，则阴影部分的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，根据图形得出阴影部分的边长为，即可解答． 【详解】解：由图可知，阴影部分的边长为， ∴阴影部分的周长为， 故选：C． 8. 如图所示， 的顶点 、 、 在边长为 的正方形网格点上，于点 ，则 的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，网格三角形的面积的计算，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．根据图形和三角形的面积公式求出三角形的面积，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，由勾股定理得： ， 根据 的面积，得： ， 即：， 解得：． 故选：C． 9. 已知 ， ， 为 三边，且满足，则它的形状为(　　) A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解和勾股定理的逆定理，把式子变形化简后判定则可．如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴或，所以或即它是等腰三角形或直角三角形． 故选：D． 10. （ 为非负整数）当0，1，2，3，…时的展开情况如下所示：观察这些式子的等号右边各项的系数，我们得到了如图所示： 这就是南宋数学家杨辉在其著作《九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了展开后各项系数的情况，被后人称为“杨辉三角”．根据图，你认为展开式中所有项系数的和应该是（ ） A. 128 B. 256 C. 512 D. 1024 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，通过观察展开式中所有项的系数和，得到规律即可求解． 由“杨辉三角”得到：（n为非负整数）展开式的项系数和为，进而求解即可． 【详解】解：当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， … 当时，展开式的项系数和为， 故选：B． 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 的平方根是______． 【答案】 【解析】 【分析】先计算出的值，再根据平方根的定义求解最终结果． 【详解】解：∵， ∴的平方根为． 12. 如图，，，，，则______． 【答案】 ##55度 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，由全等三角形的性质可得出，再利用三角形内角和定理可得出，最后再根据角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为： ． 13. 已知数据：、、，π， ，其中无理数出现的频率是_______． 【答案】0.6## 【解析】 【分析】本题考查无理数的识别、频率，用无理数的个数除以总数即可求解． 【详解】解：、、，π， 中，、，π是无理数，共3个， 所以无理数出现的频率是：， 故答案为：0.6． 14. ____．（填“＞”、“＜”或“=”） 【答案】＞． 【解析】 【详解】∵5＞4， ∴＞2． ∴﹣1＞2﹣1，即﹣1＞1． ∴． 故答案为：＞． 15. 如图， ，，于D，，，，则 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用．首先根据直角的条件以及角度之间的关系，证明和全等(AAS)．然后利用全等三角形对应边相等的性质，求出 和 的长度，进而得到 的长度．最后在中，运用勾股定理求出斜边 的长度． 【详解】已知 ，则． ， ，且， （同角的余角相等）， 又 ， ， ，， ， 在中，， ． 综上，答案为． 16. 若，，则__________． 【答案】19 【解析】 【分析】根据完全平方公式变形计算即可得解． 【详解】∵， ∴， ∴． 故答案为：19． 【点睛】本题考查整体代入法和完全平方公式，掌握这两点是解题关键． 17. 已知，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用幂的乘方法则和同底数幂的除法法则变形，再代入相应的值运算即可． 【详解】当，，时， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查幂的乘方法则和同底数幂的除法法则，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 18. 如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了__米． 【答案】9． 【解析】 【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD=AB-AD可得BD长． 【详解】在Rt△ABC中： ∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米， ∴AB＝＝＝15（米）， ∵CD＝10（米）， ∴AD＝＝6（米）， ∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米）， 答：船向岸边移动了9米， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 三、解答题（本大题8个小题，第19题8分，20～26题每题10分，共78分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 解决下列问题： （1）计算：； （2）因式分解：． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、因式分解等知识点，掌握相关运算法则以及因式分解的方法是解题关键． （1）先根据算术平方根、立方根、绝对值等知识化简，然后再计算即可； （2）把看做一个整体，利用十字相乘法分解因式即可解答． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式； 20. 如图，已知在 中，点D在边 上，且 ． （1）用尺规作图法，作的平分线，交 于点P；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）的条件下，连接 、求证：． 【答案】（1） 如图，为所作； （2） 证明：∵平分， ∴， 在和 中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的作图方法，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的作图方法和步骤，全等三角形的判定方法以及全等三角形对应边相等． （1）根据尺规作图—角平分线的作图方法和步骤即可解答； （2）根据 证明，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据整式的运算法则和运算顺序进行化简，再代值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时，原式． 【点睛】本题考查整式的化简求值．熟练掌握整式的运算法则，正确的进行化简，是解题的关键． 22. 如图，，点D在 边上，和 相交于点O． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和、三角形的外角性质： （1）先由三角形的外角性质得，结合，即可证明作答． （2）由得，结合三角形的内角和公式列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵ ∴ ∵ ∴； 【小问2详解】 解：∵ ∴ 则 ∵ ∴ 23. 第七届全国学生“学宪法、讲宪法”活动开展以来，全国各地师生积极响应．某校为了解本校学生对宪法知识的了解情况，对八年级学生进行了知识测试，测试成绩全部合格，现随机选取了部分学生的成绩，整理并制作成了如下不完整的图表： 分数段 频数 频率 9 a 36 0.4 27 0.3 0.2 请根据上述统计图表，解答下列问题： （1）表中___________，___________； （2）请补全频数分布直方图； （3）根据以上数据，如果90分以上（含90分）为优秀，若该学校八年级学生有900名，请你估算一下该学校八年级学生成绩优秀的人数． 【答案】（1），18 （2）见解析 （3）该学校八年级学生成绩优秀的人数约为180人． 【解析】 【分析】（1）根据已知频数和频率的分数段即可计算调查的总人数，然后根据某个分数段的频率计算该分数段的频数，或者根据频数计算频率； （2）根据表中数据绘制条形图即可； （3）使用样本中的优秀率估计总体学生的优秀人数即可． 【小问1详解】 解：参与调查的总人数为：（人）， ∴，， 故答案为；18； 【小问2详解】 解：补全的频数分布直方图如下图所示， ； 【小问3详解】 解：∵， ∴该学校八年级学生成绩优秀的人数约为180人． 【点睛】本题主要考查频数分布表，频数以及频率的定义，理解样本与总体、频数与频率之间的区别与联系是求解本题的关键． 24. 如图，四边形 中，，点E是 上一点， ，，． （1）求 的长度； （2）判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2）是等腰直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角、对应边相等的性质，本题中求证是解题的关键． （1）易证，即可证明，可得 ，再求解即可； （2）由可得，即可求得，即可解题． 【小问1详解】 解：∵ ∴ 又∵ ∴在与中 ， ∴ ∴ ∴ 【小问2详解】 解：是等腰直角三角形，理由如下 ， ， ， ， ， ∵ 为等腰直角三角形． 25. 阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例：求多项式的最小值． 解：．因为所以 当时，，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： （1）【理解探究】已知代数式，求A的最小值； （2）【类比应用】张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由； （3）【拓展升华】如图， 中， ，cm，cm，点M，N分别是线段AC和BC上的动点，点M从A点出发以的速度向C点运动；同时点N从C点出发以的速度向B点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为t，则当t的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？ 【答案】（1） （2） （3）当t的值为4时，的面积最大，最大值为 【解析】 【分析】（1）直接利用完全平方公式可得答案； （2）先求出，再利用完全平方公式即可求解； （3）根据题意表示出，再利用完全平方公式即可求解． 【小问1详解】 解： ∵， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为－9 即A的最小值为－9； 【小问2详解】 解：∵，， ∴ ∵， ∴， ∴ 【小问3详解】 解：由题意得：，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为16． 即当t的值为4时，的面积最大，最大值为． 【点睛】本题考查的是非负数的性质，利用完全平方公式分解因式进而求解代数式的最值，灵活运用完全平方公式是解本题的关键． 26. 在 中， ， 平分 ，交 于点D， ． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，E是 的中点，连接 并延长，交 的延长线于点F，连接AF．求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）设，根据等边对等角和角平分线推出，，利用三角形内角和列方程求出x，可得； （2）依据E是 的中点，即可得到， ，可得垂直平分 ，进而得出，依据，即可得到，再根据，可得，进而得到，从而证明结论． 【小问1详解】 解：∵ ， ∴， ∵ ， ∴， 设，∵ 平分 ， ∴，， 在 中，， 解得：， ∴； 【小问2详解】 ∵E是 的中点， ， ∴，即； ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，解决问题的关键是综合运用等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，三角形外角的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $