精品解析：山东省日照第一中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试卷

日照一中2024-2025学年高一上学期第二次质量检测 数学试题 2024.12 注意事项：1．本试卷共150分．考试时间120分钟． 2．请将答案涂写在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求得答案. 【详解】由，得，解得，则， 而，所以. 故选：B 2. 设命题，则为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为，即本题的正确选项为C. 3. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可. 【详解】对于A，因为在上单调递增，所以在上单调递减，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，因为，， 显然在上不单调，D错误. 故选：C. 4. 已知幂函数是定义域上的奇函数，则（ ） A. B. 或3 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数定义求出，再检验函数的奇偶性得解. 【详解】由函数为幂函数可知，解得或， 当时，为上的奇函数，符合题意； 当时，，定义域为，是非奇非偶函数，不符合题意. 故选：D 5. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式、，利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】由可得，由可得，解得或， 因为或， 因此，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 6. 若函数的图象如图所示，则下列函数与其图象相符的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由函数的图象可知，函数，则下图中对于选项A，是减函数，所以A错误；对于选项B,的图象是正确的；对C，是减函数，故C错；对D，函数是减函数，故D错误。 故选B． 7. 设，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出的范围即可求解. 【详解】，， ，， ，， . 故选：D. 8. 已知函数满足，若函数与图像的交点为则 A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】[方法一]：直接法. 由得关于对称， 而也关于对称， ∴对于每一组对称点， ∴，故选B． [方法二]：特值法. 由得 不妨设因为，与函数的交点为 ∴当时，，故选B． [方法三]：构造法. 设，则，故为奇函数. 设，则，故为奇函数. ∴对于每一组对称点. 将，代入，即得 ∴，故选B． [方法四]： 由题意得,函数和的图象都关于对称, 所以两函数的交点也关于对称, 对于每一组对称点和，都有. 从而.故选B. 考点：函数的性质. 【易错点睛】本题主要考查了函数的性质.本题作为高考选择题的压轴题,考生的易错点是不明确本题要考察的知识点是什么,不知道正确利用两个函数的对称性（中心对称）,确定两个函数的交点也是关于对称,最后正确求和得出结论.本题考查了函数的对称性,但不是从奇偶性的角度进行考查,从而提高了考试的难度. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（ ） A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 极差 【答案】A 【解析】 【分析】根据中位数、平均数、方差、极差的定义判断即可. 【详解】设9位评委评分按从小到大排列为． 对于A，原始中位数为，去掉最低分，最高分，后剩余， 中位数仍为，A正确． 对于B，原始平均数，后来平均数， 平均数受极端值影响较大，所以与不一定相同，B不正确. 对于C，，， 结合B选项易知，方差会改变，C不正确． 对于D，原极差，新极差，可能相等可能变小，D不正确． 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由对数定义可得，，借助对数函数单调性判断A；由对数运算计算判断B；借助基本不等式与对数运算求解判断C；借助基本不等式“1”的妙用推理D. 【详解】由，得，，即， 对于A，，A错误； 对于B：，B正确； 对于C：由，，则，即， 因此，C正确； 对于D，由，， 得，D正确. 故选：BCD 11. 已知函数同时满足：①其定义域是，②是奇函数，③当时，，④．则（ ） A. B. 当时， C. 函数的反函数的图像一定过点 D. 函数零点的个数为2 【答案】ABC 【解析】 【分析】由是奇函数且，求得的值判断A，再由奇函数求解析式判断B，根据函数解析式确定存在反函数，由反函数性质判断C，根据解析式确定零点判断D. 【详解】由是奇函数且，则， 则，得，即，解得，故A正确； 设，则，所以， 又是奇函数，所以，故B正确； 因为，所以函数单调递增，存在反函数，又， 所以函数的反函数的图像一定过点，故C正确； 由知，无解，故函数无零点，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数过定点M，且点M在直线上，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数的性质，先得出函数所过定点，再利用基本不等式得出最小值. 【详解】因为，令可得，， 所以该函数过定点； 又该定点在直线上， 所以， 因此， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为： 13. 已知函数，若对于任意的都有，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】 【详解】因为函数的图象开口向上的抛物线， 所以要使对于任意的都有成立， ，解得， 所以实数的取值范围为． 【考点】二次函数的性质． 14. 如图，函数的图象为折线，且线段的中点坐标为，则不等式的解集是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先作函数图象，再求交点，最后根据图象确定解集. 【详解】根据题意有：， 在同一坐标中作出函数与的图象: 当时，，所以与的交点为， 由图可有的解集为：. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的定义域是，函数. （1）求； （2）设的定义域为，函数的值域为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用函数的解析式结合对数运算可求得的值； （2）求出集合、，利用补集和交集的定义可求得集合. 【小问1详解】 因为，且， 所以，. 【小问2详解】 因为函数的定义域为，则，所以，， 所以，函数的定义域为， 当时，则，则， 当时，，则， 所以，函数的值域为，则， 因此，. 16. 某校举行了“喜迎国庆 强国有我”知识竞赛，全校共60名学参赛，比赛结束后，将这60名学生的比赛成绩（单位：分）进行整理，按分成5组，并绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求a，并估计样本的分位数． （2）若每组数据均以中间值作代表，估计样本的平均数； （3）按分层随机抽样的方法，从与内的学生中抽14人，求内被抽取到的学生人数． 【答案】（1），分位数为87.5； （2）76.5； （3）6. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图频率和为求得值，再利用分位数的定义求得答案. （2）利用样本频率分布直方图估计平均数. （3）求出成绩落在指定区间的频率，再利用分层抽样的抽样比求出抽取人数. 【小问1详解】 由频率分布直方图，得，解得； 成绩落在的频率为， 成绩落在的频率为， 因此分位数，则，解得， 所以，分位数为87.5. 【小问2详解】 平均数. 【小问3详解】 由频率分布直方图知，成绩落在与的频率分别为与， 所以内抽取的人数为. 17. 某科研单位的研究人员对某种细菌的繁殖情况进行了研究，在培养III．中放入了一定数量的细菌，发现该细菌的个数增长的速度越来越快．经过2小时，细菌的数量变为36个；经过4小时，细菌的数量变为81个．现该细菌数量（单位：个）与经过时间个小时的关系有两个函数模型与可供选择． （1）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； （2）求开始时放入的细菌的数量，并求至少经过几个小时该细菌的数量能多于开始放入时的10000倍？（参考数据：，） 【答案】（1）； （2）16，至少经过23个小时. 【解析】 【分析】（1）根据函数的增长速度比较即可得模型，代入数值即可待定出参数； （2）由题意列出指数不等式，根据指数函数单调性以及指对互换、对数运算即可求解. 【小问1详解】 的增长速度越来越快，的增长速度越来越慢， 依题意应选函数， 则有，解得，． 【小问2详解】 由（1）知，当时，，即开始时放入的细菌的数量是16个； 由，得， ． 开始时放入的细菌的数量为16，至少经过23个小时该细菌的数量能多于开始放入时的10000倍． 18. 已知，函数的图象关于原点对称． （1）求实数a的值； （2）设函数，若，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由函数奇偶性的定义代入计算，然后检验，即可得到结果； （2）根据题意，将问题转化为，再由函数的单调性可得，由二次函数的值域可得，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 因为函数是奇函数，所以， 即，即，则，解得， 因为，所以. 当时，， 由，得，解得， 即的定义域为， ，满足题意. 综上，. 【小问2详解】 由题意得，， 由（1）知，， 由为上的增函数，为增函数， 所以在上单调递增，故. ， 当时，，所以， 由题意得， 解得，即实数的取值范围为. 19. 我们知道，十进制中的任何一个正实数x都可以表示成．当时，等于x的整数部分的位数；当时，．例如． （1）求，并写出的表达式（不必写出过程）； （2）若，且取，求以及； （3）已知，猜想：与的大小关系，并证明你的结论． 【答案】（1）3，1，； （2）30，，31； （3） 猜想：， 当时，为正整数且不可能是10的倍数， 因此存在，使得，此时， 而，因此， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据给定的定义直接求出答案. （2）利用对数化简，把表示成的形式，再利用定义求解. （3）猜想，利用定义推理证明即可. 【小问1详解】 依题意，，， 当时，整数部分的位数为，当时，的非有效数字的位数为， 所以. 【小问2详解】 由，得，则， 所以，，. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 日照一中2024-2025学年高一上学期第二次质量检测 数学试题 2024.12 注意事项：1．本试卷共150分．考试时间120分钟． 2．请将答案涂写在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设命题，则为 A. B. C. D. 3. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知幂函数是定义域上的奇函数，则（ ） A. B. 或3 C. D. 3 5. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 6. 若函数的图象如图所示，则下列函数与其图象相符的是 A. B. C. D. 7. 设，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数满足，若函数与图像的交点为则 A. 0 B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（ ） A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 极差 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数同时满足：①其定义域是，②是奇函数，③当时，，④．则（ ） A. B. 当时， C. 函数的反函数的图像一定过点 D. 函数零点的个数为2 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数过定点M，且点M在直线上，则的最小值为_______． 13. 已知函数，若对于任意的都有，则实数的取值范围为 . 14. 如图，函数的图象为折线，且线段的中点坐标为，则不等式的解集是_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的定义域是，函数. （1）求； （2）设的定义域为，函数的值域为，求． 16. 某校举行了“喜迎国庆 强国有我”知识竞赛，全校共60名学参赛，比赛结束后，将这60名学生的比赛成绩（单位：分）进行整理，按分成5组，并绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求a，并估计样本的分位数． （2）若每组数据均以中间值作代表，估计样本的平均数； （3）按分层随机抽样的方法，从与内的学生中抽14人，求内被抽取到的学生人数． 17. 某科研单位的研究人员对某种细菌的繁殖情况进行了研究，在培养III．中放入了一定数量的细菌，发现该细菌的个数增长的速度越来越快．经过2小时，细菌的数量变为36个；经过4小时，细菌的数量变为81个．现该细菌数量（单位：个）与经过时间个小时的关系有两个函数模型与可供选择． （1）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； （2）求开始时放入的细菌的数量，并求至少经过几个小时该细菌的数量能多于开始放入时的10000倍？（参考数据：，） 18. 已知，函数的图象关于原点对称． （1）求实数a的值； （2）设函数，若，使得，求实数的取值范围． 19. 我们知道，十进制中的任何一个正实数x都可以表示成．当时，等于x的整数部分的位数；当时，．例如． （1）求，并写出的表达式（不必写出过程）； （2）若，且取，求以及； （3）已知，猜想：与的大小关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $