专项9 追及问题-小升初奥数思维提升讲义

小升初经典奥数——追及问题 10种类型讲练测 本章讲义在立足课本的基础上，对重难点进行引申和拓展，有机渗透各种数学思想和创新思维方法，通过剖析竞赛真题，将课本知识内联和外延、迁移和重组，使课本与竞赛一体化，使奥数不再遥不可及！ 三大板块： 经典范例——通过解题思路及技巧的点拨，领会解题原理，建立思维模型。 巩固提升——在“经典范例”的基础上强化解题能力，巩固知识点。 综合测试——提升综合能力，累积考试经验。 朱熹曰：有疑者，须教有疑；有疑者，却要无疑，到这里方是长进。我期盼，通过本章讲义，让更多的孩子思维得到发展，素养得到提升！ ‌‌ 追及问题‌是指两个物体在同一直线或封闭图形上运动时，一个物体追赶另一个物体的情景。这类问题通常涉及速度、时间和路程的计算，是数学中的常见类型。 追及问题的基本公式： ‌速度差×追及时间=追及路程‌ ‌追及路程÷速度差=追及时间（同向追及）‌ ‌甲路程—乙路程=追及时相差的路程‌ 这些公式帮助解决追及问题中的关键要素，如速度差、追及时间和追及路程。‌ 双人追及、双人相遇‌：这类问题相对简单。多人追及、多人相遇‌：这类问题较为复杂。 【直线追及之两人追及】 甲、乙二人练习跑步，若甲让乙先跑10米，则甲跑5秒可追上乙；若乙比甲先跑2秒,则甲跑4秒能追上乙。问:两人每秒各跑多少米? 【解析】甲让乙先跑10米，则甲跑5秒可追上乙，可以求出甲、乙速度差10÷5=2（米/秒）；若乙比甲先跑2秒,则甲跑4秒能追上乙，可以求出追及路程为4×（10÷5）=8（米），即乙2秒钟的路程；再求出乙的速度和甲的速度。 【解答】 （1）速度差=追及路程÷追及时间=10÷5=2（米/秒） （2）4秒钟的追及路程=速度差×追及时间=2×4=8（米） （3）乙速度：8÷2=4（米/秒） （4）甲速度：4+2=6（米/秒） 【点评】根据题意，由追及问题解答即可 1.一队自行车运动员以24千米/时的速度骑车从甲地到乙地，2时后一辆摩托车以56千米/时的速度也从甲地到乙地,在甲地到乙地距离的一半处追上了自行车运动员。问:甲、乙两地相距多远? 2.甲、乙两人都从A地经B地到C地。甲8点出发,乙8点45分出发。乙9点45分到达B地时,甲已经离开B地20分。两人刚好同时到达C地。问:到达℃地时是什么时间? 3.在一条马路上，小明骑车与小光同向而行，小明骑车速度是小光速度的3倍，每隔10分有一辆公共汽车超过小光，每隔20分有一辆公共汽车超过小明。已知公共汽车从始发站次间隔同样的时间发一辆车,问:相邻两车间隔几分? 【直线追及之多人追及】 快、中、慢三辆车同时同地出发,沿同一公路去追赶前面一骑车人,这三辆车分别用6分、10分、12分追上骑车人。知快、慢车的速度分别为24千米/时和19千米/时,求中速车的速度。 【解析】假设骑车人的速度为x千米/小时，根据快车与骑车人的追及路程等于慢车与骑车人的追及路程，求出骑车人的速度和追及路程；再用追及路程÷中速车追及时间=速度差，求出中速车速度。 【解答】 （1）解：设骑车人的速度为x千米/小时。列出方程： （24-x）×6=（19-x）×12 x=14 （2）追及路程=（24-14）×6=60（千米） （3）中速车与骑车人的速度差=追及棱长÷追及时间=60÷10=6（千米/小时） （4）中速车速度=6+14=20（千米/小时） 【点评】这是一道追及问题。利用追及路程、追及速度能求出中车的速度。 1.学校组织军训，甲、乙、丙三人步行从学校到军训驻地。甲、乙两人早晨6点一起从学校出发,甲每时走5千米,乙每时走4千米,丙上午8点才从学校出发，下午6点甲、丙同时达军训驻地。问:丙在何时追上乙? 2.甲、乙、丙三辆车先后从A地开往B地，乙比丙晚出发5分，出发后45分追上丙;甲比乙晚出发15分，出发后1时追上丙。甲出发后多长时间追上乙? 3.甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去,出发后6分甲车超过了一名长跑运动员，2分后乙车也超过去了，又过了2分丙车也超了过去。已知甲车每分走1000米,乙车每分走80米,丙车每分钟走多少米? 【直线追及之返回后再追及】 自行车队出发12分后，通信员骑摩托车去追他们，在距出发地点9千米处追上了自行车队，然后通信员立即返回出发点，到达后又返回去追自行车队，再追上时恰好离出发点18千米。自行车队和摩托车每分各行多少千米? 【解析】先求出通讯员骑摩托车速度与自行车队速度之比为（9+18）：（18-9）=3:1；在相同时间里他们的所行的路程比也为3:1，所以通讯员骑9千米，自行车队骑9÷3=3（千米）；所以自行车队12分钟的路程为9-3=6（千米），得出自行车队速度为6÷12=0.5（千米/分），通讯员骑摩托车速度为0.5×3=1.5（千米/分） 【解答】 （1）摩托车与自行车速度比为（9+18）：（18-9）=3:1 （2）自行车队速度：（9-9÷3）÷12=0.5（千米/分钟） （3）摩托车速度：0.5×3=1.5（千米/分钟） 【点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间=路程，路程÷时间=速度，路程÷速度=时间，要熟练掌握；解答此题的关键是判断出摩托车速度是自行车速度的3倍。 1.小马虎上学忘了带书包，爸爸发现后立即骑车去追他,把书包交给他后立即返回家。小马虎接到书包后又走了10分到达学校，这时爸爸也刚好到家。已知爸爸的速度是小马虎速度的4倍,问:小马虎从家到学校共用多少时间? 2.某班学生列队从学校到一农场参加劳动,队列以4千米/时的速度行进,走完6千米时,一名学生回学校取一件东西,他以6千米/时的速度跑回学校,取了东西后又立刻以同样的速度追赶队伍,结果在距离农场2千米的地方追上队伍。求学校到农场的距离。(队伍的长度忽略不计) 3.甲从 A地出发去一个地方办事,速度是100米/分。1小时钟以后,乙发现甲在出发地落了东西,于是以甲2倍的速度去追甲;又过了2分钟,甲也发现自己落了东西,便以原速返回去取,最后甲、乙相遇。求从乙出发到甲、乙相遇一共用了多少分钟? 【直线追及之变速追及】 甲、乙二人同时从起点出发沿同一方向行走,甲每时行5千米,而乙第1时行1千米,第2时行2千米,以后每时都比前1时多行1千米。问:经过多长时间乙追上甲? 【解析】先设第x小时乙追上甲，由乙第一小时行1千米，第2小时行2千米，第3小时行3千米，就可得出第x小时的速度是x米，根据高斯求和可求出乙x小时共行的路程是（x+1）×x÷2千米，再根据追及问题，甲行的路程就等于乙行的路程，列出方程解答即可。 经过x小时后乙追上甲，由题意可得：  （x+1）×x÷2=5x （x+1）×x÷2÷x×2=5x÷x×2      x+1=10       x=9 答：经过9小时后乙追上甲。 【点评】解答此题关键是根据高斯求和求出乙x小时共行驶的路程（x+1）×x÷2，追及问题，就是等于甲行的路程，列方程解答即可。 甲、乙两人从A地去B地,甲的速度是每小时5千米,乙的速度是每小时4千米,甲出发时,乙已先走了3小时,甲走10千米后/决定改以每小时6千米的速度前进,甲还要几小时追上乙? 【直线追及之停留后再追及】 甲、乙两人同时从A地到B地去。甲骑车每分行250米，每行驶10分后，休息20分；乙不间歇地步行，每分行100米。结果在甲即将休息的时刻两人同时到达B地。问:A,B两地相距多远? 【解析】根据题意，每30分钟甲行250×10=2500米，乙行100×30=3000米，乙10分钟行100×10=1000米，由于3000÷2500=1……500，500×3+1000=2500（米）。因此，AB相距：3000×3+1000=10000（米）。 【解答】100×（10+20）-250×10=500（米） 250×10-100×10=1500(米） 1500÷500=3(个） 100×100=10000（米） 【点评】此题也可这样解答：甲行驶了4个10分钟，歇了3个20分钟，即共用时100分钟，行程10000米；已不间断行程100分钟，行程10000米，正好两人相遇，AB两地相距10000米。 1.某公共汽车线路中间有10个站。车有快车及慢车种,快车车速是慢车车速的1.2倍。慢车每站都停,快车则只停靠中间1个站,每站停留时间都是3分。当某次慢车发出40分后,快车从同一始发站开出,两车恰好同时到达终点。问:快车从起点到终点共用多少时间? 2.骑车人沿公共汽车路线前进，他每分行300米，当他离始发站3000米时，一辆公共汽车从始发站出发，公共汽车每分行700米,并且每行3分到达一站停车1分。问:公共汽车多长时间追上骑车人? 3.乌龟和兔子进行1000米赛跑,免子速度是乌龟速度的5倍,当它们从起点同时出发后,乌龟不停地跑,兔子跑到某一地点开始睡觉，免子醒来时乌龟已经领先它，兔子奋起直追,但乌龟到达终点时,兔子仍落后10米求兔子睡觉期间,乌龟爬了多少米? 【直线追及之猎犬追及】 猎狗追赶前方30米处的野兔。猎狗步子大，它跑4步的路程兔子要跑7步,但是免子动作快,猎狗跑3步的时间兔子能跑4步。猎狗至少跑出多远才能追上野兔? 【解析】根据题意，可知猎狗与兔子的每步步长比为7：4，猎狗与兔子的每步时间比为3：4，则二者的路程比21：16。 【解答】 （1）猎狗步长：兔子步长=7:4 （2）相同时间里所跑路程比为：猎狗：兔子=（7×3）：（4×4）=21:16 （3）差比方法解决。棱长差为30米 （4）猎狗追上野兔所跑得路程：30÷（21-16）×21=126（米） 【点评】关键是要求出猎狗与兔子在同等时间里的路程比，转化为差比问题解决。 1.一只猎狗正在追赶前方20米处的兔子，已知狗一跳前进3米,兔子一跳前进2.1米,狗跳3次的时间兔子可以跳4次。问:兔子跑出多远将被猎狗追上? 2.一只野免逃出80步后猎狗才追它,野免跑8步的程猎狗只需跑3步,猎狗跑4步的时间免子能跑9步。猎狗至少要跑多少步才能追上野免? 【环形追及之两人追及】 甲、乙二人在操场的400米跑道上练习竞走，两人同时出发,出发时甲在乙后面,出发后6分甲第一次超过乙,22分时甲第二次超过乙。假设两人的速度保持不变,问:出发时甲在乙后面多少米? 【解析】第二次超过时甲比乙多跑一个全程400米，可以求出甲、乙二人的速度差为400÷（22-6）=25（米/分钟）；则6分钟的路程差为25×6=150（米）。 【解答】 （1）速度差=追及路程÷追及时间=400÷（22-6）=25（米/分钟） （2）6分钟的路程差=速度差×追及时间=25×6=150（米） （3）出发时甲在乙后面150米处。 【点评】明确从第一次相遇后，每相遇一次甲比乙多行一周，并由此求出两人的速度差是完成本题的关键。 1.甲、乙二人按顺时针方向沿圆形跑道练习跑步，已知甲跑一圈要12分，乙跑一圈要15分，如果他们分别从圆形跑道直径的两端同时出发，那么出发后多少分甲追上乙? 2.如图是一个正五边形，已知甲走3分的路乙要走7分。如果甲、乙同时从A点出发,顺时针行走,那么甲第三追上乙时在哪条边上? 【环形追及之停留再追及】 如图是一个边长为100米的正三角形,甲自A点、乙自B点同时出发，按顺时针方向沿三角形的边行进。甲每分走120米,乙每分走150米,但过每个顶点时,因转弯都要耽误10秒。问:乙出发后多长时间在何处追上甲? 【解析】甲的速度=120米/分=2米/秒，乙的速度=150米/分=2.5米/秒．根据题意可知，乙要追上甲，需要多走100米还要多转一个转弯，但在转弯处还要耽误10秒钟，此时甲又多走出10米，所以甲、乙的距离差为（100+10）=110米；由此可知，乙追上甲时共需时间：110÷（2.5-2）=220（秒）． 【解答】 120米/分=2米/秒，150米/分=2.5米/秒， （100+10）÷（2.5-2） =110÷0.5 =220（秒） 答：乙在出发220秒之后在B点追上甲。 【点评】此题属于复杂的追及应用题，此类题的解答方法是根据“追及（拉开）路程÷（速度差）=追及（拉开）时间”，代入数值，计算即可。 环形跑道周长是500米，甲、乙两人从起点按顺时针方向同时出发。甲每分跑120米,乙每分跑100米,两人都是跑200米停下休息1分。甲第一次追上乙需多少分? 【复杂环形追及一】 在一个周长90厘米的圆上，有三个点将圆周三等分。A、B、C三个爬虫分别在这三点上，它们每秒依次爬行10厘米、5厘米、3厘米。如果它们同时出发按顺时针方向沿圆爬行,那么它们第一次到达同一位置需多长时间? 【解析】此题分两种情况，一种是顺时针顺时针方向沿圆周爬行，A在C的前面，只要先求出B追C的时间，再求出B追A的时间即可；二种是它们同时出发按顺时针方向沿圆周爬行时A在B的前面，只要求出B追上C的时间，再求出B第二次追上A的时间就是要求是答案。 【解答】 （1）第一种情况A在C的前面， B追C的时间：90÷3÷（5-3）=15（秒）， B追A的时间：90÷3×2÷（3-1）=15（秒）， 因为时间相同，所以需要15秒。 （2）第二种情况A在B的前面， B追上C的时间：60÷（5-3）=30（秒）， B追上A的时间：30÷（5-1）=7.5（秒）， 第二次B追上A的时间：120÷（5-1）=30（秒）， 此时与B追上C的时间的时间相等，所以需要30秒。 答：它们第一次到达同一位置需15秒，或30秒． 【点评】解答此题的关键是，要弄清题意，分情况讨论，再找准数量关系，列式解答即可。 1.甲、乙、丙三人在一个周长是300米的环形跑道上同时出发,出发地和行走方向如图所示。已知出发15秒后乙和丙第一次相遇,又过了10秒,甲和乙第一次相遇。那么，再经过几秒,甲第一次追上丙。 2.图中,外圆周长40厘米,画阴影部分是个“逗号”,两只蚂蚁分别从A,B同时爬行。甲蚂蚁从 A出发,沿“逗号”四周顺时针爬行，每秒爬3厘米;乙蚂蚁从B出发，沿外圆圆周顺时针爬行，每秒爬行5厘米。两只B蚂蚁第一次相遇时,乙蚂蚁共爬行了多少米? 【复杂环形追及二】 如图所示，某单位沿着围墙外面的小路形成一个边长300米的正方形。甲、乙两人分别从两个对角处沿逆时针方向同时出发。如果甲每分走90米,乙每分走70米,那么经过多少时间甲才能看到乙? 【解析】首先分析出当甲、乙在同一边上时，甲才能看到乙。接着用估计的方法，甲走3面墙900米用了10分钟，乙走了700米，过了2面墙带100米，这时甲还看不到乙。甲再走一面墙，用了分钟，乙走了米，100+＞300，说明乙又过了拐角，甲仍看不到乙．甲还要走一面墙，用了分钟，乙又前进了 700 3 米，100+ +＜600，此时甲能看到乙了。甲共走了10++=16分40秒。故要经过16分40秒，甲才能看到乙。 【解答】 （1）300×3=900（米）； 900÷90=10（分钟）；   （2）10÷3=（分）=3分20秒； （3）10分+3分20秒+3分20秒=16分40秒； 答：经过16分40秒甲才能看到乙。 【点评】解答这类题目，一定要弄清题里数量间的关系，理清思路，抓住关键问题“必须在一条直线上时甲才能看到乙”，再进行推算就可以了。 甲、乙两人从周长为1600米的正方形水池ABCD相对的两个顶点A，C同时出发绕池边沿A→B→C→D→A的方向行走。甲每分行50米,乙每分行34米,甲、乙第一次在同一边上行走,是发生在出发后的第多少分?第一次在同一边上行走了多少分? 满分：100分 时间：60分钟 一、填空题。（12分） 1.一只兔子奔跑时,每一步都跑0.5米,一只狗奔跑时,每一步都跑1.5米,狗跑一步,兔子能跑三步。如果让狗和兔子在100米跑道上跑一个来回,那么获胜的一定 是 。 2.良种马每天走120米,劣马每天走75米,劣马先走12天,良种马 天追上劣马。 3.当甲在60米赛跑中冲过终点线时，比乙领先10米、比丙领先20米，如果乙和丙按原来的速度继续冲向终点，那么当乙到达终点时将比丙领先 米。 二、选择题。（12分） 4.两辆汽车同时从某地出发到同一目的地,路程为165千米,甲车比乙车早到0.8小时,当甲车到达目的地时,乙车离目的地24千米。甲车行驶全程用了( )小时。 A.4.7 B.6.3 C.5.5 D.5.3 5.A、B两辆汽车同时从东站开往西站,A车每小时比B车多行12千米。A车行驶4个半小时到达西站后,没有停留,立即原路返回,在距离西站31.5千米的地方和B车相遇。A车每小时行( )千米。 A.84 B.63 C.42 D.16.8 6.甲、乙两辆汽车同时从A城出发到距离180千米的B城送一批货物,甲汽车比乙汽车先到24分钟，当甲车到B城时,乙汽车离B城还有18千米甲汽车行全程用( )小时。 A.4.4 B.3.6 C.1.6 D .6.4 三、解答题。（76分） 7.A、B、C三个站在同一直线上，B占到A、C两站的距离相等。小明和小强分别从A、C两站同时出发相向而行,小明过B站100米后与小强相遇;然后两人又继续前进,小明走到C站立即返回,经过B站300米又追上小强问:A、C两站的距离是多少米? 8.东、西两城相距75千米,小东从东向西走,每小时走6.5千米;小华从西向东走,每小时走6千米;小光骑自行车从东向西走,每小时走15千米。三人同时动身,途中小光遇见了小华即折回向东走,一直走到三人在途中相遇时为止。小光共走了多少千米? 9.环形公路长11千米,甲、乙两人同时同地沿公路骑自行车反向而行,0.2小时相遇;若他们同时同地同向而行,经过2.2小时后,甲追上乙。甲、乙两人的速度各是多少? 10.张平、王亮从甲地到乙地,同时骑自行车出发,张平每小时行18千米,王亮每小时行15千米,张平因事在途中停了2小时,所以比王亮晚到1小时。甲、乙两地相距多少千米? 12.一支队伍长3000米,以每分钟50米的速度行进。队伍的联络员因事要从排尾赶到排头,又立即返回排尾。如果联络员骑自行车每分钟行200米，他往返一趟用了多少分钟? 13.一个湖周长3000米,甲、乙两人由湖滨同时同地出发练习跑步,甲每分钟跑160米,乙每分跑240米。如果两人向相同方向跑,那么多少分钟乙第一次追上甲? 【巩固提升】参考答案 1.一队自行车运动员以24千米/时的速度骑车从甲地到乙地，2小时后一辆摩托车以56千米/时的速度也从甲地到乙地,在甲地到乙地距离的一半处追上了自行车运动员。问:甲、乙两地相距多远? 【解析】根据题意先算出两小时以后自行车运动员与摩托车之间的路程，24×2=48(千米)；再求出摩托车追上运动员的时间，然后用摩托车的速度×追及时间就是甲、乙两地距离的一半，最后就可求出甲、乙两地之间的距离。 【解答】 （1）两小时以后自行车运动员与摩托车之间的路程：24×2=48(千米) （2）摩托车追上运动员的时间：48÷(56-24)=1.5（小时） （3）摩托车行的路程：56×1.5=84(千米) （4）甲、乙两地的距离：84×2=168(千米)； 答：甲、乙两地相距168千米。 【点评】考查了学生运用数学知识解决实际问题的能力，解答本题的关键是要理解距离÷速度差=追及时间，培养了学生思考问题的能力和计算方面的能力. 2.甲、乙两人都从A地经B地到C地。甲8点出发,乙8点45分出发。乙9点45分到达B地时,甲已经离开B地20分。两人刚好同时到达C地。问:到达℃地时是什么时间? 【解析】由甲8点出发，乙8点45分出发，乙9点45分到达B地时，甲已经离开B地20分钟，可知甲到B地9点25分，可求出甲乙到达B地的时间比为85：60，速度比为60：85。根据追及问题的基本关系式：路程差÷速度差=追及时间即可解答。 【解答】 （1）60×20÷（85-60 =1200÷25 =48（分） （2）9点45分+48分=10点33分 答：到达C地是10点33分． 【点评】本题主要考查追及问题，根据甲、乙二人到达B地所用时间比求出速度比是解答本题的关键。 3.在一条马路上，小明骑车与小光同向而行，小明骑车速度是小光速度的3倍，每隔10分有一辆公共汽车超过小光，每隔20分有一辆公共汽车超过小明。已知公共汽车从始发站次间隔同样的时间发一辆车,问:相邻两车间隔几分? 【解析】本题可以看作两个追及问题分别是公共车和小光，公共车和小明，设每两辆公共车间隔（即追及路程）为1，由此可以得出公共汽车与小光的速度之差为：1÷10=；公共汽车与小明的速度差为：1÷20=。由此可求得小光的速度为：（- ）÷2= ，由此即可解决问题。 【解答】设每辆公共汽车的间隔为1，则根据题意可得 （1）公共汽车与小光的速度之差为：1÷10= （2）公共汽车与小明的速度差为：1÷20=， （3）因小明骑车速度是小光速度的3倍，所以小光的速度为：（ - ）÷2= （4）则公共汽车的速度是+= （5）1÷=1×8=8（分钟） 答：每隔8分钟发一辆车 【点评】此题考查了追及问题中，间隔距离、速度差与追及时间之间关系的灵活运用。 1.学校组织军训，甲、乙、丙三人步行从学校到军训驻地。甲、乙两人早晨6点一起从学校出发,甲每时走5千米,乙每时走4千米,丙上午8点才从学校出发，下午6点甲、丙同时达军训驻地。问:丙在何时追上乙? 【解析】甲、乙都比丙早出发8－6＝2(小时) ，甲、丙路程差为5×2＝10(千米)， 乙、丙路程差为4×2＝8(千米)，而丙用了12＋6－8＝10(小时)追上甲，由此可求出甲、丙的速度差每小时为10÷10＝1(千米)。于是丙的速度为每小时5＋1＝6(千米)，所以丙追乙所需时间为：8÷(6－4)＝4(小时)，仅为求出丙追上乙的具体时间在8＋4＝12(时)。 【解答】 （1）甲、丙路程差：5×(8－6)＝10(千米) （2）甲丙速度差：10÷(12＋6－8)＝1(千米) （3）丙的速度：5＋1＝6(千米) （4）丙追上乙的时刻：4×2÷(6－4)＋8＝12(时) 答：丙在12点追上乙。 【点评】先求出丙的速度，再算出丙追上乙所需的时间，最后求出丙追上乙的具体时间。 2.甲、乙、丙三辆车先后从A地开往B地，乙比丙晚出发5分，出发后45分追上丙；甲比乙晚出发15分，出发后1时追上丙。甲出发后多长时间追上乙? 【解析】（1）乙45分钟的路程，等于丙45+5=50分钟的路程；乙丙速度比为50：45=10：9，（2）甲1小时（60分钟）的路程，等于丙60+15+5=80分钟的路程，所以甲丙速度比为80：60=4：3=12：9；（3）所以甲乙的速度比为12：10=6：5；则行同样路程，甲乙的时间之比是5：6，由此即可求得甲追上乙所用的时间。 【解答】 （1）乙45分钟的路程，等于丙45+5=50分钟的路程； （2）乙丙速度比为50：45=10：9， （3）甲1小时（60分钟）的路程，等于丙60+15+5=80分钟的路程，所以甲丙速度比为80：60=4：3=12：9； （4）所以甲乙的速度比为12：10=6：5； （5）则行同样路程，甲乙的时间之比是5：6， （6）所以甲追上乙的时间是15÷（6-5）×5=75（分钟）； 答：甲出发75分钟后追上乙． 【点评】路程一定时，速度与时间成反比，由此推理得出甲乙行同样的路程所用的时间之比是解决此题的关键． 3.甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去,出发后6分甲车超过了一名长跑运动员，2分后乙车也超过去了，又过了2分丙车也超了过去。已知甲车每分走1000米,乙车每分走80米,丙车每分钟走多少米? 【解析】6分钟甲车超过了长跑运动员，是在距离A地1000×6=6000（米）处，2分钟后乙车也超过去了，是在距离A地800×（6+2）=6400（米）处，长跑运动员每分钟的速度是：（6400-6000）÷2=200（米），又过了2分钟，丙车也超了过去，是在距离A地6400+200×2=6800（米）。则丙车每分钟走6800÷（6+2+2），计算即可。 【解答】 （1）长跑运动员每分钟的速度是： [800×（6+2）-1000×6]÷2 =[6400-6000]÷2 =400÷2 =200（米） （2）丙车每分钟走： （6400+200×2）÷（6+2+2） =（6400+400）÷10 =6800÷10， =680（米） 答：丙车每分钟走680米。 【点评】此题属于追及问题，求出长跑运动员的速度，是解答此题的突破口。 1.小马虎上学忘了带书包，爸爸发现后立即骑车去追他,把书包交给他后立即返回家。小马虎接到书包后又走了10分到达学校，这时爸爸也刚好到家。已知爸爸的速度是小马虎速度的4倍,问:小马虎从家到学校共用多少时间? 【解答】 （1）（1000÷2+100）×3-1000-（1000÷2-100） =1800-1000-400 =400米 （2）4×10=40（分钟），40+10=50（分钟） 答：小马虎从家到学校共用50分钟 2.某班学生列队从学校到一农场参加劳动,队列以4千米/时的速度行进,走完6千米时,一名学生回学校取一件东西,他以6千米/时的速度跑回学校,取了东西后又立刻以同样的速度追赶队伍,结果在距离农场2千米的地方追上队伍。求学校到农场的距离。(队伍的长度忽略不计) 【解答】 （1）6÷6=1(小时) （2）4×1=4(千米) （3）(6+4)÷(6-4) =10÷2 =5(小时) （4）6×5=30(千米) （5）30+2=32(千米) 答:学校到农场的距离是32千米。 3.甲从 A地出发去一个地方办事,速度是100米/分。1小时钟以后,乙发现甲在出发地落了东西,于是以甲2倍的速度去追甲；又过了2分钟,甲也发现自己落了东西,便以原速返回去取,最后甲、乙相遇。求从乙出发到甲、乙相遇一共用了多少分钟? 【解析】 （1）甲的速度是100米/分，乙的速度是200米/分13分钟后，甲行驶的路程是(11+2)×100=1300(米) （2）此时，甲以原速度返回，乙行驶了200x2=400(米) （3）这时，甲，乙是相向而行，从此刻起，甲乙相遇需要(1300-400)÷(100+200)=3(分钟) （4）所以从乙出发到甲乙相遇一共用了32=5(分钟) 答:从乙出发到甲乙相遇一共用了5分钟 甲、乙两人从A地去B地,甲的速度是每小时5千米,乙的速度是每小时4千米,甲出发时,乙已先走了3小时,甲走10千米后/决定改以每小时6千米的速度前进,甲还要几小时追上乙? 【解析】乙先走距离：3×4=12（千米）, 甲走10千米用时： 10÷5=2（小时）, 2小时内乙走距离：2×4=8（千米）, 此时二者相距：12+8-10=10（千米）,追及时间为10÷（6-4） =5小时。 【解答】 根据追及问题的解法,甲追上乙还要(4×3-10+10÷5×4)÷(6-4)=5(小时) 答:甲追上乙还要5小时。 1.某公共汽车线路中间有10个站。车有快车及慢车种,快车车速是慢车车速的1.2倍。慢车每站都停,快车则只停靠中间1个站,每站停留时间都是3分。当某次慢车发出40分后,快车从同一始发站开出,两车恰好同时到达终点。问:快车从起点到终点共用多少时间? 【解析】慢车比快车多停了3×（10-1）=27分钟。那么慢车比快车多用40-27=13分钟．快车行了13÷（1.2-1）=65（分钟）；即共用了65+3=68（分钟）。 【解答】 [40-3×（10-1）]÷（1.2-1）+3 =[40-27]÷0.2+3 =13÷0.2+3 =68（分钟） 答：快车从起点到终点共用68分钟。 2.骑车人沿公共汽车路线前进，他每分行300米，当他离始发站3000米时，一辆公共汽车从始发站出发，公共汽车每分行700米,并且每行3分到达一站停车1分。问:公共汽车多长时间追上骑车人? 【解析】 （1）因为共汽车比骑车人多行700×3-300×4=900（米） （2）但最后追上时就不用算停车时间了,所以最后3分公共汽车比骑车人多行700×3-300×3=1200, （3）所以3000=900×2＋1200,这里的900×2的2代表有2个4分钟,还有最后的三分钟,2×4＋3=11（分钟） 3.乌龟和兔子进行1000米赛跑,免子速度是乌龟速度的5倍,当它们从起点同时出发后,乌龟不停地跑,兔子跑到某一地点开始睡觉，免子醒来时乌龟已经领先它，兔子奋起直追,但乌龟到达终点时,兔子仍落后10米求兔子睡觉期间,乌龟爬了多少米? 【解析】 （1）首先根据兔子的速度是乌龟的5倍可知，兔子跑的路程是乌龟的5倍 （2）当他们都不休息时兔子跑全程的1000-10=990（米） （3）乌龟跑的路程是990÷5=198（米） （4）兔子睡觉乌龟继续跑的路程为：1000-198=802（米） 答：兔子睡觉期间乌龟跑了802米。 1.一只猎狗正在追赶前方20米处的兔子，已知狗一跳前进3米,兔子一跳前进2.1米,狗跳3次的时间兔子可以跳4次。问:兔子跑出多远将被猎狗追上? 【解析】 （1）在一个单位时间里,狗跑 3×3=9(米),兔子跑 4×2.1=8.4(米) （2） 所以兔子跑的距离为:[20÷(9-8.4)]×8.4=280(米) 2.一只野免逃出80步后猎狗才追它,野免跑8步的程猎狗只需跑3步,猎狗跑4步的时间免子能跑9步。猎狗至少要跑多少步才能追上野免? 【解析】 野兔跑9步的时间猎狗只能跑4步，设都等于1秒。野兔跑8步的路程猎狗只需跑3步，设兔子一步3米，狗一步8米，则狗速度为32米/秒，兔速度为27米/秒，距离为80×3=240米，追上的时间为240÷（32-27）=48秒，狗一秒跑4步，所以总共跑了4×48=192步。 【解答】 （1）设野兔跑9步和猎狗跑4步的时间为1秒， （2）野兔跑8步的路程猎狗只需跑3步，设兔子一步3米，狗一步8米， （3）则狗速度每秒为：8×4=32（米）， （4）兔速度每秒为9×3=27（米）； （5）距离为：80×3=240（米）， （6）追上的时间为240÷（32-27）=48（秒）， （7）狗一秒跑4步，所以总共跑了4×48=192（步）． 答：猎狗至少要跑192步才能追上野兔． 【点评】此题解答的关键在于“两次设数法”： ①设单位时间，得出每秒几步； ②设步长，从而得出各自速度. 1.甲、乙二人按顺时针方向沿圆形跑道练习跑步，已知甲跑一圈要12分，乙跑一圈要15分，如果他们分别从圆形跑道直径的两端同时出发，那么出发后多少分甲追上乙? 【解析】甲、乙分别从圆形跑道直径两端同时出发，甲追乙，它们之间的距离为圆形跑道的一半，即；甲跑一圈用12分钟，那么甲1分钟就跑了，乙1分钟就跑了，再用距离除以速度差，求出时间即可。 【解答】÷（-）=30（分钟） 2.如图是一个正五边形，已知甲走3分的路乙要走7分。如果甲、乙同时从A点出发,顺时针行走,那么甲第三追上乙时在哪条边上? 【解析】每追及一次，甲比乙多走一圈，第五次追及时，则多走了5圈，又知甲乙走相同路程的时间比是3：7，所以他们的速度比是7：3（也是路程比），把这个正五边形的周长看做单位“1”，平均分成7份，则第一次追击，甲7走份，乙走了3份，多走4份，5圈，所以追及时，甲走了：×7=8（圈），显然，圈比3条边圈要长，比四条边要小。即追及时在在BC这条边上。 【解答】 根据题干分析可得：甲乙走相同路程的时间比是3：7，所以他们的速度比是7：3， 所以甲走的路程是：×7=8（圈），圈比3条边圈要长，比四条边要小， 所以追及时在第四条边长上，即在BC这条边上。 答：在BC边上． 【点评】此题属于环形跑道的追及问题，甲乙二人行驶的路程之差是跑道5圈的长度．求出第五次相遇时甲行驶的总路程是解题的关键． 环形跑道周长是500米，甲、乙两人从起点按顺时针方向同时出发。甲每分跑120米,乙每分跑100米,两人都是跑200米停下休息1分。甲第一次追上乙需多少分? 【解析】 （1）因为当甲行200米之后，再出发的时间是200÷120+1＞2分钟 （2）所以这时，乙用2分钟，也行了的地方是：100×2=200（米） （3）意思是说，乙行了2分钟，就和在休息的甲在200米的地方停留 （4）又因为行完之后，甲比乙多行500米，那么就说明多休息的次数是；500÷200=2…100，即2次。 （5）即甲追乙的路程是：500+100×2=700（米）， （6）要追700米，甲需要走的时间是：700÷（120-100）=35（分）， （7）甲行35分钟需要休息d的时间是：35×120÷200-1=20（分）， （8）所以共需35+20=55（分）； 答：甲第一次追上乙需要55分钟． 1.甲、乙、丙三人在一个周长是300米的环形跑道上同时出发,出发地和行走方向如图所示。已知出发15秒后乙和丙第一次相遇,又过了10秒,甲和乙第一次相遇。那么，再经过几秒,甲第一次追上丙。 【解析】 （1）(300÷2)÷15 =150 ÷15 =10(米/秒) （2）300÷(15+10) =300÷25 =12(米/秒) （3）(300÷2)÷(12-10) =150 ÷2 =75(秒) （4）75-(15+10) =75-25 =50(秒) 故答案为:50. 2.图中,外圆周长40厘米,画阴影部分是个“逗号”,两只蚂蚁分别从A,B同时爬行。甲蚂蚁从 A出发,沿“逗号”四周顺时针爬行，每秒爬3厘米;乙蚂蚁从B出发，沿外圆圆周顺时针爬行，每秒爬行5厘米。两只B蚂蚁第一次相遇时,乙蚂蚁共爬行了多少米? 【解析】“逗号”的周长与外圆的周长相等，都是40厘米．乙比甲多爬20厘米需20÷（5-3）=10（秒），此时甲爬了30厘米，位于圆内的弧线上，而乙位于外圆周上，两只蚂蚁没有相遇．乙比甲多爬60厘米需60÷（5-3）=30（秒），此时两只蚂蚁都在外圆周上，是第一次相遇，乙爬了5×30=150（厘米）。 【解答】 （1）“逗号”的周长=外圆的周长， （2）乙蚂蚁要追上甲蚂蚁要比甲蚂蚁多行：40÷2+40=60（厘米）， （3）两只蚂蚁第一次相遇需要：60÷（5-3）=30（秒）， （4）所以乙蚂蚁爬了5×30=150（厘米）=1.5米， 答：两只蚂蚁第一次相遇时，乙蚂蚁共爬行了1.5米． 【点评】此题考查了路程、速度、与时间关系的灵活应用，要求学生要弄清题意，找准等量关系；根据圆的周长公式得出：“逗号”的周长=外圆的周长，是解决本题的关键。 甲、乙两人从周长为1600米的正方形水池ABCD相对的两个顶点A，C同时出发绕池边沿A→B→C→D→A的方向行走。甲每分行50米,乙每分行34米,甲、乙第一次在同一边上行走,是发生在出发后的第多少分?第一次在同一边上行走了多少分? 【解析】要求甲第一次追上乙在哪条边上，就要使两人在同一边行走，甲乙相距必须小于一条边，并且甲要迈过顶点，甲追乙1600÷4×2=800米，至少需要800÷（50-34）=分钟，此时甲行了50×÷400=5条边还余15米，因此甲第一次追上乙在BC边上。 【解答】 （1）甲追乙1600÷4×2=800米，至少需要800÷（50-34）=50分钟 （2）此时甲行了50×50=2500米， （3）2500÷400=6条边还余100米， （4）因此甲第一次追上乙在CD边上． 答：甲第一次追上乙在CD边上． 【点评】此题考查环形跑道问题，解决此题关键是审清题意，确定好算法，逐步解决问题 参考答案 一、填空题。 1.一只兔子奔跑时,每一步都跑0.5米,一只狗奔跑时,每一步都跑1.5米,狗跑一步,兔子能跑三步。如果让狗和兔子在100米跑道上跑一个来回,那么获胜的一定是 。 【解析】 从面上看,和兔子的速度是一样的,但因为当狗跑了66步后，共跑了99米,剩下1米,这时它也得再花一步的时间,相当于跑100.5米；而当狗跑了66步后,子了3×66=198(步),再花2步的时间,即到达终点,所以狗较慢,兔子获胜。 2.良种马每天走120米,劣马每天走75米,劣马先走12天,良种马 天追上劣马。 【解析】分析题意，可知好马走的时间和劣马在后来走的时间相同； 在相同的时间里，好马比劣马多走劣马12天的路程；好马多走的路程除以好马每天比劣马多走的路程就是追上的时间。 【解答】75×12÷(120－75) =900÷45 =20（天） 所以好马20天可以追上劣马。 故答案为：20。 3.当甲在60米赛跑中冲过终点线时，比乙领先10米、比丙领先20米，如果乙和丙按原来的速度继续冲向终点，那么当乙到达终点时将比丙领先 米。 【解析】 解法一：相同时间内,乙跑50米,丙跑40米,所以丙速是乙速的.因此当乙到达终点时,丙的行程为 60×=48(米) 此时丙距终点60-48=12（米） 解法二： 由于乙、丙两人速度不变,又丙与乙在第一段时间内的路程差(50—40)=10米，是乙的路程的10÷50=,所以当乙跑完后10米时,丙在第二段时间与乙的路程差为10×=2(米) 两次路程差和10+2=12(米),就是乙比丙领先的路程。 二、选择题。 4.两辆汽车同时从某地出发到同一目的地,路程为165千米,甲车比乙车早到0.8小时,当甲车到达目的地时,乙车离目的地24千米。甲车行驶全程用了( )小时。 A.4.7 B.6.3 C.5.5 D.5.3 【解析】 （1）已知路程：165千米，甲车比乙车早到：0.8小时，乙车剩余路程：24千米， （2）乙车速度： 24÷0.8=30（千米/小时）, （3）乙车行驶全程时间： 165÷30=5.5（小时）, （4）甲车行驶全程时间： 5.5-0.8 =4.7（小时）, 答：甲车行驶全程用了4.7小时，选A。 5.A、B两辆汽车同时从东站开往西站,A车每小时比B车多行12千米。A车行驶4个半小时到达西站后,没有停留,立即原路返回,在距离西站31.5千米的地方和B车相遇。A车每小时行( )千米。 A.84 B.63 C.42 D.16.8 【解析】A车到达西站时，比B车多行12×4.5=54千米，易得这54千米是两车相遇这段的总路程，继续行至相遇，A车行了31.5千米，B车行了54-31.5=22.5千米； 整个路程A比B多行了54+31.5-22.5=63千米，原因是A每小时比B车多行驶12千米，所以A车整个路程所用时间63÷12=5.25（小时），相遇这段只用5.25-4.5=0.75小时，B车行相遇这段的路程为22.5千米，用的时间为5.25-4.5=0.75小时； 再根据路程÷时间=速度即可求出B车的速度，再用B车的速度加上12即可。 【解答】 （1）A车到达西站时，A车比B车多行12×4.5=54（千米）， （2）继续行至相遇，A车行了31.5千米，B车行了54-31.5=22.5（千米）， （3）整个路程A比B多行了54+31.5-22.5=63（千米）， （4）A车整个路程所用时间：63÷12=5.25（小时）， （5）相遇这段只用5.25-4.5=0.75（小时）， （6）B车行相遇这段的路程为22.5千米，用的时间也为0.75小时， （7）所以B车速度=22.5÷0.75=30（千米）， （8）A车速度=30+12=42（千米）。 故选C。 6.甲、乙两辆汽车同时从A城出发到距离180千米的B城送一批货物,甲汽车比乙汽车先到24分钟，当甲车到B城时,乙汽车离B城还有18千米甲汽车行全程用()小时。 A.4.4 B.3.6 C.1.6 D.6.4 【解析】答案:B。 24分钟=0.4小时 18÷0.4=45(千米/时) 180÷45-0.4 =4-0.4 =3.6(小时) 故选 B。 三、解答题。 7.A、B、C三个站在同一直线上，B占到A、C两站的距离相等。小明和小强分别从A、C两站同时出发相向而行,小明过B站100米后与小强相遇;然后两人又继续前进,小明走到C站立即返回,经过B站300米又追上小强问:A、C两站的距离是多少米? 【解析】设A、B(或B、C)间的距离为米，可得 3(x-100)=x+300 3x-300=x+300 2x=600 x=300 300×2=600(米) 答:A、c两站间的距离是600米。 8.东、西两城相距75千米,小东从东向西走,每小时走6.5千米;小华从西向东走,每小时走6千米;小光骑自行车从东向西走,每小时走15千米。三人同时动身,途中小光遇见了小华即折回向东走,一直走到三人在途中相遇时为止。小光共走了多少? 【解析】 75÷（6.5+6） =75÷12.5 =6（小时） 6×15=90（千米） 答：从出发到三人相遇小光一共行了90千米。 9.环形公路长11千米,甲、乙两人同时同地沿公路骑自行车反向而行,0.2小时相遇;若他们同时同地同向而行,经过2.2小时后,甲追上乙。甲、乙两人的速度各是多少? 【解析】 甲的速度: (11-0.2+11-2.2)÷2 =60÷2 =30(千米/时)， 乙的速度: (11÷0.2-11÷0.2)÷2 =50÷2 =25(千米/时)。 10.张平、王亮从甲地到乙地,同时骑自行车出发,张平每小时行18千米,王亮每小时行15千米,张平因事在途中停了2小时,所以比王亮晚到1小时。甲、乙两地相距多少千米? 【解析】张平因事在途中停了2小时，所以比王亮晚到1小时，假设张平中途未停止，根据题意描述，当王亮到达时，张平比王亮多前行1小时的路程。根据公式：路程差÷速度差=时间，则：18÷(18-5)=6(小时)，再根据：路程=速度×时间，15×6=90(千米)，可以计算出甲到乙的距离。 18÷(18-5)=6(小时) 15×6=90(千米) 答：甲、乙两地相距90千米。 12.一支队伍长3000米,以每分钟50米的速度行进。队伍的联络员因事要从排尾赶到排头,又立即返回排尾。如果联络员骑自行车每分钟行200米，他往返一趟用了多少分钟? 【解析】 （1）到排头用时: 3000÷(200-50) =3000÷150 =20(分) （2）到排尾用时: 3000÷(200+50) =3000÷250 =12(分) （3）共用时:20+12=32(分) 答:他往返一趟用了32分钟。 13.一个湖周长3000米,甲、乙两人由湖滨同时同地出发练习跑步,甲每分钟跑160米,乙每分跑240米。如果两人向相同方向跑,那么多少分钟乙第一次追上甲? 【解析】 追及时间: 3000÷(240-160)=37.5(分钟) 1 学科网（北京）股份有限公司 $$