数列：错位相减法、裂项相消法 专项训练-2025届高三数学二轮复习

数列：错位相减法、裂项相消法专项训练 数列：错位相减法、裂项相消法专项训练 考点一 错位相减法 1．（24-25高三上·福建·开学考试）某城市采用摇号买车的方式，有20万人摇号，每个月摇上的人退出摇号，没有摇上的人继续进入下月摇号，每个月都有人补充进摇号队伍，每个季度第一个月摇上的概率为，第二个月为，第三个月为，则平均每个人摇上需要的时间为（    ）个月. A．7 B．8 C．9 D．10 2．（2024·河南濮阳·模拟预测）已知是递增的等比数列 ，且，等差数列满足，，．设m为正整数，且对任意的，，则m的最小值为（    ） A．8 B．7 C．5 D．4 3．（2024·海南·模拟预测·多选）已知数列的首项为4，且满足，则（   ） A．为等差数列 B．为递增数列 C．的前项和 D．的前项和 4．（24-25高三上·河北·阶段练习）已知数列满足，设为数列的前项和，则 ． 5．（24-25高三上·山东泰安·阶段练习）已知等差数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，问：是否存在，使得成等比数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 6．（24-25高三上·安徽淮南·阶段练习）已知数列是等差数列，是其前项和，且，. (1)求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，求. 7．（24-25高三上·湖北十堰·期末）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，记数列的前项和为，若恒成立，求的取值范围. 8．（24-25高三上·吉林松原·期末）已知各项都为正数的数列满足，，且（，），等差数列满足，. (1)求和的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 9．（24-25高三上·海南·阶段练习）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，比较大小. 10．（24-25高三上·福建宁德·阶段练习）已知数列是公差大于1的等差数列，，且成等比数列，若数列前n项和为，并满足. (1)求数列，的通项公式. (2)若，求数列前n项的和. 考点二 裂项相消法 1．（24-25高三上·河北承德·阶段练习）已知数列满足，则数列的前30项和（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·福建·阶段练习）设等差数列的前n项和，若，，则数列前99项和为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 3．（24-25高三上·吉林松原·期末·多选）已知数列满足，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．数列是等差数列 C．数列是等差数列 D．数列的前100项的和为 4．（24-25高三上·重庆·阶段练习·多选）已知数列满足，.则下列选项正确的是（   ） A．是等比数列 B．数列是单调递增数列 C．若，则 D．若，则 5．（24-25高三上·湖北·开学考试）在的展开式中，若的系数为，则 ． 6．（2024·四川成都·模拟预测）已知数列满足，. (1)设，求的值，使得对于任意且，都有； (2)求证；. 7．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知正项数列是等差数列，前项和为，满足，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 8．（24-25高三上·河北唐山·阶段练习）已知正项数列是等差数列，前项和为，满足，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 9．（24-25高三上·安徽淮南·阶段练习）已知公比小于1的等比数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 10．（24-25高三上·山东滨州·期末）已知数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$数列：错位相减法、裂项相消法专项训练 数列：错位相减法、裂项相消法专项训练 考点一 错位相减法 1．（24-25高三上·福建·开学考试）某城市采用摇号买车的方式，有20万人摇号，每个月摇上的人退出摇号，没有摇上的人继续进入下月摇号，每个月都有人补充进摇号队伍，每个季度第一个月摇上的概率为，第二个月为，第三个月为，则平均每个人摇上需要的时间为（    ）个月. A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【详解】设表示摇上需要的时间，则可能取、、、、、， 则，， ，， ， ，， 故 ， 则 ， 故 即， 当时，，故平均每个人摇上需要的时间为9个月. 故选：C. 2．（2024·河南濮阳·模拟预测）已知是递增的等比数列 ，且，等差数列满足，，．设m为正整数，且对任意的，，则m的最小值为（    ） A．8 B．7 C．5 D．4 【答案】D 【详解】设等比数列的公比为， 由得，① 因为是等差数列，所以， 即，可得，② 由①②解得，或， 因为是递增的等比数列，所以，即， 设数列的公差为， 由，，得 ，，解得，， 所以， 设， 则， 两式相减可得 ，所以， 因为，所以， 若，则， 可得， 所以最小值为4. 故选：D. 3．（2024·海南·模拟预测·多选）已知数列的首项为4，且满足，则（   ） A．为等差数列 B．为递增数列 C．的前项和 D．的前项和 【答案】BCD 【详解】对于选项A：由，得， 所以是以为首项，2为公比的等比数列，故A错误； 对于选项B：因为，即， 显然，且，即， 所以为递增数列，故B正确； 对于选项C：因为， 则， 两式相减得， 所以，故C正确； 对于选项D：因为， 所以的前项和，故D正确． 故选：BCD． 4．（24-25高三上·河北·阶段练习）已知数列满足，设为数列的前项和，则 ． 【答案】 【详解】由，得， 又，所以是首项为1公差为1的等差数列， 可得，所以， ，， 两式相减得 ，所以. 故答案为：. 5．（24-25高三上·山东泰安·阶段练习）已知等差数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，问：是否存在，使得成等比数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 由，， 可得，解得， 故. （2）， 故, 则， 两式相减可得， 故 ， 因此， 假若存在，使得，，成等比数列，则， 即， 即， 故， 进而，即， 由于为奇数，而为偶数，因此不存在使得， 故不存在，使得，，成等比数列， 6．（24-25高三上·安徽淮南·阶段练习）已知数列是等差数列，是其前项和，且，. (1)求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设的公差为， 由，可得 解得，所以， 即数列的通项公式为. （2）由（1）可得 因为， 所以①， ②， ①-②得， 所以. 7．（24-25高三上·湖北十堰·期末）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，记数列的前项和为，若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解法一：由，可得， 两式相减可得，则，即数列的公比为. 当时，，则，解得， 所以. 解法二：设数列的公比为， 当时，，即， 当时，，即， 解得，所以. （2）由（1）可得， 所以， 则， 所以， 即， 解得， 由，可得， 令，则， 当时，，当时，， 当时，1，所以， 所以，所以的取值范围为. 8．（24-25高三上·吉林松原·期末）已知各项都为正数的数列满足，，且（，），等差数列满足，. (1)求和的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）因为数列的各项都为正数， 且（，）， 所以数列是等比数列，设等比数列的公比为（）， 由，，得， 即，解得或（舍）， 所以. 设等差数列的公差为， 由题意得，解得 所以. （2）由（1）知， 所以， 所以， 所以 ， 所以. 9．（24-25高三上·海南·阶段练习）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，比较大小. 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 当时， 当时，，两式相减得， ， 数列是以2为首项，2为公比的等比数列， （2）由（1）可知数列是以2为首项，2为公比的等比数列， ，， ， ， 两式相减得 10．（24-25高三上·福建宁德·阶段练习）已知数列是公差大于1的等差数列，，且成等比数列，若数列前n项和为，并满足. (1)求数列，的通项公式. (2)若，求数列前n项的和. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由成等比数列，则， 可得， 由，则方程化简可得，解得，易知， 所以首项为，公差为的等差数列的通项公式为. 当时，，则，解得； 当时，， 可得，两边同时减，可得， 由，则数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以，可得. （2）由题意可得， ， ， 两式相减可得， ， 解得. 考点二 裂项相消法 1．（24-25高三上·河北承德·阶段练习）已知数列满足，则数列的前30项和（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】把代入整理得：， 故. 故选：D 2．（24-25高三上·福建·阶段练习）设等差数列的前n项和，若，，则数列前99项和为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【详解】依题意，，所以，因为，由， 易知， 所以 所以数列的前99项和为， 故选：C. 3．（24-25高三上·吉林松原·期末·多选）已知数列满足，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．数列是等差数列 C．数列是等差数列 D．数列的前100项的和为 【答案】ABD 【详解】因为，所以， ，，故A正确； 当（）时，， ，两式相减得，， 所以的奇数项是以为首项，4为公差的等差数列，故B正确； 当（）时，. 当（）时，， ，两式相减得，， 所以的偶数项是以5为首项，为公差的等差数列， 所以当时，. 综上，. 因为，所以不是等差数列，故C错误； ， 所以， 所以 ， 所以数列的前100项的和为，故D正确. 故选：ABD. 4．（24-25高三上·重庆·阶段练习·多选）已知数列满足，.则下列选项正确的是（   ） A．是等比数列 B．数列是单调递增数列 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【详解】A选项：， ，又， 所以是等比数列，公比为，首项为， ，，所以选项A正确； B选项：，所以选项B错误； C选项：为奇数时，，所以； D选项：为偶数时，， 所以． 故选：ACD. 5．（24-25高三上·湖北·开学考试）在的展开式中，若的系数为，则 ． 【答案】 【详解】由二项式的展开式的通项公式可得第， 令，可得的系数为， 所以， 则， 则. 故答案为：. 6．（2024·四川成都·模拟预测）已知数列满足，. (1)设，求的值，使得对于任意且，都有； (2)求证；. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为，， 所以，得，，得， 因为对于任意且，都有，又， 所以，则，解得， 当时，， 由，得，整理得， 即，所以是以为公差的等差数列， 所以当时，对于任意且，都有. （2）因为，即， 由（1）得， 所以， 所以，， 所以 . 7．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知正项数列是等差数列，前项和为，满足，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为，， 由，且，，成等比数列， 有，解得或（舍去）， 有， 所以数列的通项公式为； （2）由，有， 有， 可得. 8．（24-25高三上·河北唐山·阶段练习）已知正项数列是等差数列，前项和为，满足，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设正项数列的公差为， 由，且成等比数列可得， 解得或（舍）， 所以， 所以数列的通项公式为. （2）由可得， 所以， 可得. 9．（24-25高三上·安徽淮南·阶段练习）已知公比小于1的等比数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设数列的公比为，则由已知得， 整理可得，分解因式可得， 解得或，又，， . （2），，， ， . 10．（24-25高三上·山东滨州·期末）已知数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）因为， 所以当时，． 当时，． 当时，上式也成立． 所以． （2）由（1）得，， 所以， 所以， 所以， 整理得． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$