精品解析：重庆市四川外语学院重庆第二外国语学校2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

重庆市第二外国语学校高2027级12月考 数学试题 (全卷共四个大题 满分：150分 考试时间：120分钟) 一、单项选择：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡上. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的交集运算直接得出答案. 【详解】根据题意，. 故选：B 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分、必要条件的定义判断. 【详解】由，可得或， 所以“”不是“”的充分条件， 当时，， 所以“”是“”的必要条件， 综上，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3. 幂函数，在上单调递减， 则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用幂函数的定义及单调性列式求解即得. 【详解】由幂函数，在上单调递减，得，所以. 故选：C 4. 给定函数对于用表示中的较小者，记为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先把写成分段函数的形式，再求最大值即可. 【详解】解：令，即,解得, 所以， 当时，， 当或时，, 所以函数的最大值为3， 故选：． 5. 下列函数中，最小正周期是π且图象关于直线对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用最小正周期及对称轴，逐项验证判断得解. 【详解】对于A，函数的最小正周期为， 当时，，即函数图象关于直线对称，A是； 对于B，当时，，即函数图象不关于直线对称，B不是； 对于C，当时，，即函数图象不关于直线对称，C不是； 对于D，函数的最小正周期为，D不是. 故选：A 6. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦函数、指数函数以及对数函数单调性即可求解. 【详解】由题意. 故选：B. 7. 为了给地球减负，提高资源利用率，2020年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚，假设某市2020年全年用于垃圾分类的资金为5000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元的年份是（ ）（参考数据：，） A. 2023年 B. 2024年 C. 2025年 D. 2026年 【答案】D 【解析】 【分析】设2020后第年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元，由题意得出与有关不等式计算即可得. 【详解】设2020后第年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元， 则，即， 则， 则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元的年份是2026. 故选：D. 8. 设是定义在R上的偶函数，对任意的，都有，且当时，，若在区间内关于的方程恰有三个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知中是定义在上的偶函数，对于任意的，都有，我们可以得到函数关于直线对称，则不难画出函数在区间，上的图象，结合方程的解与函数的零点之间的关系，我们可将方程恰有3个不同的实数解，转化为函数的与函数的图象恰有3个不同的交点，数形结合即可得到实数的取值范围. 【详解】对于任意的，都有， 函数关于直线对称， 又当，时，，且函数是定义在上的偶函数， 故函数在区间，上的图象如下图所示： 若在区间，内关于的方程恰有3个不同的实数解 则，， 解得： 故选：A 【点睛】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，指数函数与对数函数的图象与性质，其中根据方程的解与函数的零点之间的关系，将方程根的问题转化为函数零点问题，是解答本题的关键． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 是第三象限角 B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 C. 若角的终边上有一点，则 D. 若角为锐角，则角为钝角 【答案】BC 【解析】 【分析】利用象限角的定义可判断A选项；利用扇形的面积公式可判断B选项；利用三角函数的定义可判断C选项；取可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为且为第二象限角， 故是第二象限角，A错； 对于B选项，若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的半径为， 因此，该扇形的面积为，B对； 对于C选项，若角的终边上有一点，则，C对； 对于D选项，因为为锐角，不妨取，则为直角，D错. 故选：BC. 10. 已知，且，则（ ） A. 为 B. 为 C. 为 D. 为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式及“1”的妙用逐项求解即可. 【详解】，且 对于A，， 当且仅当，即时取等号，A正确； 对于B，，当且仅当时取等号，B错误； 对于C，，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，，当且仅当时取等号，D正确. 故选：ACD 11. 设函数，则（ ） A. 在单调递增 B. 的值域为 C. 的一个周期为 D. 的图像关于点对称 【答案】BC 【解析】 【分析】 根据余弦函数及指数函数的单调性，分析复合函数的单调区间及值域，根据周期定义检验所给周期，利用函数的对称性判断对称中心即可求解. 【详解】令，则，显然函数为增函数， 当时，为减函数， 根据复合函数单调性可知，在单调递减， 因为， 所以增函数在时，， 即的值域为； 因为， 所以的一个周期为， 因为，令， 设为上任意一点， 则为关于对称的点， 而， 知点不在函数图象上， 故的图象不关于点对称，即的图像不关于点对称. 故选：BC 【点睛】本题主要考查了余弦函数的性质，指数函数的性质，复合函数的单调性，考查了函数的周期性，值域，对称中心，属于难题. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. _________. 【答案】 【解析】 【分析】利用对数运算和分式指数幂，以及根式的运算公式，化简求值. 【详解】原式， . 故答案为： 13. 已知函数f(x)＝为定义是区间[－2a，3a－1]上的奇函数，则a＋b＝________． 【答案】2. 【解析】 【分析】由奇函数定义，列出等式可求得b的值，由奇函数定义域的对称性可列式求得a的值. 【详解】因为函数为定义是区间[－2a，3a－1]上的奇函数，所以－2a＋3a－1＝0，所以a＝1. 又，所以b＝1.故a＋b＝2. 【点睛】本题考查奇函数的定义以及奇函数定义域的特点，注意由解析式判断函数奇偶性要利用定义法，判断函数奇偶性的第一步就是要判断函数定义域是否关于原点对称. 14. 已知函数， 若关于方程有四个解， 分别为， 其中， 则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】作出图形可得，结合一元二次方程和对数等式分别求出即可. 【详解】作出函数的图象，由有4个解，得， 当时，由，得，则， 于是， 当时，由，得， 即，整理得， 所以的取值范围是． 故答案为： 四、解答题：本题共5个小题，共77分. 解答应写出必要的说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，求集合； （2）若，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式化简集合，再利用补集、交集的定义求解. （2）由（1）的结论，按是否为空集分类求解即得. 【小问1详解】 当时，，则或， 由，解得，则， 所以. 【小问2详解】 当，即时，，满足； 当，由，得，解得， 所以实数a的取值范围是. 16. 已知. （1）化简，并求； （2）若，求的值. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式，结合同角公式化简，再利用特殊角的三角函数求值. （2）利用（1）的结论，结合齐次式法计算即得. 【小问1详解】 依题意，； 所以 【小问2详解】 由（1）知，， 所以. 17. 中国车企在电动汽车自动驾驶技术方面日益成熟. 问界汽车凭借华为的技术支持， 在市场上取得了显著的成绩， 问界M9是华为旗下的一款大型SUV， 于2023年12月26日正式上市， 上市后受到广大车友的青睐.近期华为拟推出一款更加高阶的M9智驾新车型， 并决定大量投放市场.已知该车型年固定研发成本为10亿元，受到场地和产能等其它因素的影响， 该公司一年内生产该车万台且全部售完， 每台售价20万元，每年需投入成本为 (单位:亿元). （1）写出年利润(亿元)关于(万台)的函数解析式； （2）当年产量为多少万台时， 该企业的年获利润最大， 并求出最大年利润； （3）若该企业不亏本， 求年产量(万台)的取值范围. 【答案】（1）； （2）当年产量为6万台时，该企业的年获利润最大，最大年利润49亿元； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据利润的计算公式，分别对不同的产量范围求出利润函数的表达式. （2）在每个分段上分别求函数的最大值，比较得出整个定义域上的最大利润. （3）对于不亏本的情况，即利润大于等于，分别在不同分段上求解不等式得出产量的取值范围. 【小问1详解】 当时，销售收入为亿元，总成本为固定研发成本亿元加上其他成本亿元. 因此； 当时，销售收入为亿元，总成本为亿元， 因此， 所以年利润(亿元)关于(万台)的函数解析式为. 【小问2详解】 当时，在上单调递增，则亿元； 当时，，当且仅当，即时取等号， 而，所以当年产量为万台时，该企业获利最大，最大年利润为亿元. 【小问3详解】 当时，由，解得，则； 当时，，即， 函数在上单调递减，当时，， 则当，恒成立，因此， 所以该企业当年不亏本，则年产量（万台）的取值范围为. 18. 已知函数. （1）记集合，若，求证：； （2）设函数，若存在实数，使，求实数取值范围. 【答案】（1） 依题意集合， 由得， ，即， 由于，， 所以不等式解得， 不等式 解得， 所以不等式组的解为， 所以， 所以 . （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式，根据其解集为，求得，进而证得不等式成立. （2）将问题转化为在区间有解，结合分离常数法以及函数的单调性求得的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意，函数，且存在实数，使， 所以在区间有解且在上恒成立， 即在区间有解且在上恒成立， 即，， ，函数在上递增，所以， 且在上恒成立，所以， 所以的取值范围是. 【点睛】本小题的第一问比较抽象和难理解，关键点是解对数不等式，大胆往下计算，即可求得.第二问类似奇函数图象关于原点对称，突破口在于将问题进行转化，转化为，研究方程有解来进行求解. 19. 若存在实数λ∈（0，1）使得x＝λa+（1﹣λ）b，则称x是区间（a，b）（a＜b）的λ一内点. （1）求证：x∈（a，b）的充要条件是存在λ∈（0，1），使得x是区间（a，b）的λ一内点； （2）若实数a，b满足：0＜a＜b，求证：存在λ∈（0，1），使得是区间（，）的λ一内点； （3）给定实数ω∈（0，1），若对于任意区间（a，b）（a＜b），x1是区间的λ1一内点，x2是区间的λ2一内点，且不等式x12≤ωa2+（1﹣ω）b2和不等式x22≤（1﹣ω）a2+ωb2对于任意a，b∈R都恒成立，求证：λ1+λ2＝1. 【答案】（1）证明：①若x是区间（a，b）（a＜b）的λ一内点，则存在实数λ∈（0，1） 使得x＝λa+（1﹣λ）b，则x＝λa+（1﹣λ）b＝（a﹣b）λ+b∈（a，b）； ②若x∈（a，b），取，则x＝λa+（1﹣λ）b，且， 则x是区间（a，b）（a＜b）的λ一内点； 可得x∈（a，b）的充要条件是存在λ∈（0，1），使得x是区间（a，b）的λ一内点； （2）证明：由，即； .即， 则， 由（1）可得存在λ∈（0，1），使得是区间的λ一内点； （3）证明：x1是区间的λ1一内点，可得x1＝λ1a+（1﹣λ1）b， 则（λ1a+（1﹣λ1）b）2≤ωa2+（1﹣ω）b2， 则（ω﹣λ12）a2﹣2（λ1﹣λ12）ab+（2λ1﹣λ12﹣ω）b2≥0恒成立， 可得ω﹣λ12≤0时，上式不恒成立； 可得ω﹣λ12＞0，且，即4（λ1﹣λ12）2﹣4（ω﹣λ12）（2λ1﹣λ12﹣ω）≤0， 化为（λ1﹣ω）2≤0，即有λ1＝ω； 另外，x2是区间的λ2一内点，可得x2＝λ2a+（1﹣λ2）b， 则[λ2a+（1﹣λ2）b]2≤ωb2+（1﹣ω）a2， 则（1﹣ω﹣λ22）a2﹣2（λ2﹣λ22）ab+（2λ2﹣λ22+ω﹣1）b2≥0恒成立， 可得1﹣ω﹣λ22≤0时，上式不恒成立； 可得1﹣ω﹣λ22＞0，且，即4（λ2﹣λ22）2﹣4（1﹣ω﹣λ22）（2λ2﹣λ22+ω﹣1）≤0， 化为（λ2﹣1+ω）2≤0，即有λ2＝1﹣ω， 可得λ1+λ2＝1. 【解析】 【分析】（1）先理解定义，再由已知证明x∈（a，b）的充要条件是存在λ∈（0，1），使得x是区间（a，b）的λ一内点； （2）利用作差法比较的大小关系，得，结合（1）结论，即可得证； （3）由已知可得（ω﹣λ12）a2﹣2（λ1﹣λ12）ab+（2λ1﹣λ12﹣ω）b2≥0恒成立，由二次不等式恒成立问题可得ω﹣λ12＞0，利用判别式，可解得λ1＝ω，同理可得λ2＝1﹣ω，即可得证. 【详解】（1）略； （2）略； （3）略. 【点睛】本题考查充分、必要条件、比较大小、二次不等式的恒成立问题，重点考查分析理解，求值计算的能力，出题新颖，属难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市第二外国语学校高2027级12月考 数学试题 (全卷共四个大题 满分：150分 考试时间：120分钟) 一、单项选择：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡上. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 3. 幂函数，在上单调递减， 则（ ） A. 2 B. C. D. 4. 给定函数对于用表示中的较小者，记为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数中，最小正周期是π且图象关于直线对称的是（ ） A. B. C. D. 6. 设，则（ ） A. B. C. D. 7. 为了给地球减负，提高资源利用率，2020年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚，假设某市2020年全年用于垃圾分类的资金为5000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元的年份是（ ）（参考数据：，） A. 2023年 B. 2024年 C. 2025年 D. 2026年 8. 设是定义在R上的偶函数，对任意的，都有，且当时，，若在区间内关于的方程恰有三个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 是第三象限角 B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 C. 若角的终边上有一点，则 D. 若角为锐角，则角为钝角 10. 已知，且，则（ ） A. 为 B. 为 C. 为 D. 为 11. 设函数，则（ ） A. 在单调递增 B. 的值域为 C. 的一个周期为 D. 的图像关于点对称 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. _________. 13. 已知函数f(x)＝为定义是区间[－2a，3a－1]上的奇函数，则a＋b＝________． 14. 已知函数， 若关于方程有四个解， 分别为， 其中， 则的取值范围是________. 四、解答题：本题共5个小题，共77分. 解答应写出必要的说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，求集合； （2）若，求实数a的取值范围. 16. 已知. （1）化简，并求； （2）若，求的值. 17. 中国车企在电动汽车自动驾驶技术方面日益成熟. 问界汽车凭借华为的技术支持， 在市场上取得了显著的成绩， 问界M9是华为旗下的一款大型SUV， 于2023年12月26日正式上市， 上市后受到广大车友的青睐.近期华为拟推出一款更加高阶的M9智驾新车型， 并决定大量投放市场.已知该车型年固定研发成本为10亿元，受到场地和产能等其它因素的影响， 该公司一年内生产该车万台且全部售完， 每台售价20万元，每年需投入成本为 (单位:亿元). （1）写出年利润(亿元)关于(万台)的函数解析式； （2）当年产量为多少万台时， 该企业的年获利润最大， 并求出最大年利润； （3）若该企业不亏本， 求年产量(万台)的取值范围. 18. 已知函数. （1）记集合，若，求证：； （2）设函数，若存在实数，使，求实数取值范围. 19. 若存在实数λ∈（0，1）使得x＝λa+（1﹣λ）b，则称x是区间（a，b）（a＜b）的λ一内点. （1）求证：x∈（a，b）的充要条件是存在λ∈（0，1），使得x是区间（a，b）的λ一内点； （2）若实数a，b满足：0＜a＜b，求证：存在λ∈（0，1），使得是区间（，）的λ一内点； （3）给定实数ω∈（0，1），若对于任意区间（a，b）（a＜b），x1是区间的λ1一内点，x2是区间的λ2一内点，且不等式x12≤ωa2+（1﹣ω）b2和不等式x22≤（1﹣ω）a2+ωb2对于任意a，b∈R都恒成立，求证：λ1+λ2＝1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $