精品解析：江苏省海安高级中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

高一年级数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由函数在上单调递增， 又， 所以，即， 又不等式，即， 解得，即， 所以， 故选：C. 2. 已知，为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】通过分析条件能否推出结论，结论能否推出条件，即可确定正确选项. 【详解】因为，则，所以，即由可推出， 取，可得，而，即由不可推出， 所以“”是“”的充分不必要条件，故A对，B,C,D错, 故选：A. 3. 设，则的值为（ ） A. 9 B. 11 C. 28 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】由，结合函数解析式可得，再由解析式求求结论. 【详解】因为，， 所以， 又，故，， 所以. 故选：B 4. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（） A. 1.5 B. 1.2 C. 0.8 D. 0.6 【答案】C 【解析】 【分析】根据关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解. 【详解】由，当时，， 则. 故选：C. 5. 已知函数为幂函数，若函数，则的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用幂函数的定义求出，再根据零点存在性定理可得答案. 【详解】因为函数为幂函数，所以，得， 所以，， 因为，，， ，且在上为增函数， 所以在上有唯一零点. 故选：C 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求不等式，的解，再求时，的取值，观察各选项确定不满足条件的选项，及满足条件的选项，确定结论. 【详解】令，得或，排除D， 令，得，有两个零点，排除C， 当时，，排除B， 观察可得选项BCD不同时符合以上条件，而选项A符合以上所有条件. 故选：A． 7. 若定义在上的函数满足对任意的，且，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，由题意可以推出函数的单调性，结合函数定义域利用函数的单调性解不等式即可. 【详解】因为对任意的，且，都有， 即对任意两个不相等的正实数，不妨设，都有， 所以有， 所以函数是上的减函数， 由的定义域为，则在中满足，解得， 当时， ， 则，所以，解得， 故不等式的解集为． 故选：D. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是由已知条件去构造函数，并结合已知求出不等式中的范围再解不等式即可. 8. 若实数，，满足，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用对数函数的性质可判定，构造函数，利用导数研究其单调性可判定. 【详解】因为，利用换底公式可知， 构造函数， 显然时，，则在上单调递增， 时，，则在上单调递减， 所以由，即， 所以，综上. 故选：A 【点睛】难点点睛：观察式子发现利用对数函数的性质可判定，即底数大于1时，底数越大图象在第一象限内越平缓，步骤上可以由换底公式计算；对于后两项对比可以构造，通过其单调性进行对比即可. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，使得” B. 若，，则的最大值为2 C. 若集合中只有一个元素，则 D. 若关于的不等式的解集，则不等式的解集为 【答案】BD 【解析】 【分析】因为命题的否定一定要否定结论，故A错误；利用换元法结合基本不等式可求最大值判断B的真假；C中方程应该对是否为0进行讨论，有两个结果，故C错误；根据一元二次不等式的解法确定D的真假. 【详解】对A：命题“，”的否定是“，使得”，故A错误； 对B：因为，所以， 所以， 当且仅当即时，取等号，故B正确； 对C：当时，集合中也只有一个元素，故C错误； 对D：因为关于的不等式的解集为，故， 不妨设，则由韦达定理可得，， 所以不等式，故D正确； 故选：BD 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 已知，则 B. 函数的定义域为，则的定义域为 C. 若，，都大于0且不等于1，则 D. 关于的方程与的根分别为，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，令，即可求出的值；对于B，根据函数的定义域求出的定义域，再求的定义域；对于C，由，可得结论；对于D，利用函数图象的对称性，求出，的关系，由此求得的值． 【详解】对于A，已知，则时，有，选项C正确，选项A正确； 对于B，函数的定义域为，所以，即的定义域为， 令，解得，所以的定义域为，选项B错误； 对于C，因为，所以，所以，故C正确； 对于D，关于的方程与的根分别为，， 则函数与的图象，分别与直线相交于点与点， 函数与互为反函数，图象关于直线对称， 直线也关于直线对称，所以点与点关于直线对称， 有，，所以，选项D正确． 故选：ACD． 11. 已知函数和在上的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 方程有且只有6个不同的解 B. 方程有且只有3个不同的解 C. 方程有且只有5个不同的解 D. 方程有且只有4个不同的解 【答案】ACD 【解析】 【分析】令，结合图象可得有3个不同的解，，，不妨设，则可知，，，令，结合图象可得有2个不同的解，，不妨设，则可知，，再数形结合求出复合函数的解的个数. 【详解】A选项，令，结合图象可得有3个不同的解，，， 不妨设，则可知，，， 由图可知有2个不同的解，有2个不同的解，有2个不同的解， 即有6个不同的解，A正确； B选项，令，结合图象可得有2个不同的解，， 不妨设，则可知，， 由图可知有1个解，有3个不同的解， 即有4个不同的解，B错误； C选项，令，结合图象可得有3个不同的解，， 且，，， 由图可知有1个解，有3个不同的解，有1个解， 即有5个不同的解，C正确； D选项，令，结合图象可得有两个不同的解， 不妨设，则可知，， 由图可知有2个不同的解，有2个不同的解， 即有4个不同的解，D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若命题：“，”为假命题，则实数a的取值范围为____________. 【答案】 【解析】 【分析】分析可知命题“”为真命题，对实数的取值进行分类讨论，再根据二次不等式恒成立即可求解. 【详解】由题意可知，题“”为真命题， 当时，由可得，不符合题意， 当时，根据题意知不等式恒成立则， 解之可得. 故答案为： 13. 设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，，若，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合奇、偶函数的性质，列方程组求出和，即可求解. 【详解】根据题意，由为奇函数，得关于对称， 故，即， ∵，∴， 又∵， ∴，即， 由 ，解得，， ∵， ∴. 故答案为：. 14. 已知实数x，y满足，，则_____. 【答案】## 【解析】 【分析】利用指数与对数运算，结合函数的单调性即可求解． 【详解】因为，所以， 又，所以， 即， 即有， 因为函数在上为增函数， 所以，所以． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求下列各式的值： （1）（其中，．注意：结果用分数指数幂表示）； （2）； （3）已知，，试用，表示． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据根式与分数指数幂的转化以及指数幂的运算法则进行求解； （2）利用指数的运算法则、对数恒等式以及对数的运算法则进行求解； （3）利用换底公式求解即可. 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 原式 ； 【小问3详解】 ， ，，， （或）. 16. 已知集合，集合． （1）当时，求； （2）请在下面两个条件中任选一个，作为已知条件，求实数k的取值范围（全选按照第一个给分） 条件：①“”是“”的充分条件；②． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）将代入集合中，解出两个集合，然后求两个集合的并集， （2）分别选择两个条件，根据条件关系找出集合间的关系求出参数的取值范围. 【小问1详解】 由题意得，解得， 所以，当时，， 所以； 【小问2详解】 若选①： 由“”是“”的充分条件，可得， 由（1）知， 当，即，时，显然有，满足题意， 当，即时，由可得，，解得． 综上所述，或． 若选②： 由，可得，．由（1）知， 当，即，时，显然有，满足题意， 当，即时， 由可得，，解得． 综上所述，或． 17. 随着经济发展，越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系，一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台，从建立起，得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习.已知前四年，平台会员的个数如图所示： （1）若建立平台年后，平台会员人数为（千人）.依据图中数据，下列三种模型哪种最合适?请说明理由.并求出你选择模型的解析式； ①，②（且），③（且）. （2）为控制平台会员人数盲目扩大，平台规定无论怎样发展，会员人数不得超过千人，请依据（1）中你选择的函数模型求的最小值. 【答案】（1） 选模型③， 理由： 由图，函数单调递增，且增长速度较快，而模型①单调递减，故不符合； 而模型②对数函数在单调增时图象是上凸的，增加幅度越来越慢，故也不符合， 模型③为指数型函数，符合题意，故选模型③． 代入点坐标：， 得：，解得：， 故模型③的解析式为：． （2）的最小值为． 【解析】 【分析】（1）根据图形的单调性，再结合三种函数模型的图形特点，即可判断； （2）问题转化为对任意的均成立，分离参数求最值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题：对任意的均成立， 即， 令， 则对任意的恒成立， 又， 故，即的最小值为． 18. 已知函数是奇函数.（e是自然对数的底） （1）求实数k的值； （2）若时，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围； （3）设，对任意实数，若以a，b，c为长度的线段可以构成三角形时，均有以，，为长度的线段也能构成三角形，求实数n的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据求出，再检验的奇偶性； （2）若，将关于x的不等式恒成立，转化为恒成立，利用基本不等式得，从而可得； （3）化简，设，得，且，根据题意得恒成立，根据基本不等式得，由求出的最大值即为的最大值. 【小问1详解】 因为是奇函数，且定义域为R，所以， 即，解得.经检验，此时是奇函数 所以. 【小问2详解】 由（1）知， 由时，恒成立，得， 因为，所以， 设， 因为，当且仅当时，等号成立，又，所以， 故， 所以. 【小问3详解】 由题意得： 不妨设， 以a，b，c为长度的线段可以构成三角形，即，且， 以，，为长度的线段也能构成三角形，则恒成立，得恒成立， 因为，仅当a=b时前一个等号成立， 所以，即，于是n的最大值为. 19. 若函数与满足：对任意，都有，则称函数是函数在集合上的“约束函数”.已知函数是函数在集合上的“约束函数”. （1）若，，判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）若，，，求实数a的取值范围； （3）若为严格减函数，，，且函数的图象是连续曲线，求证：是上的严格增函数. 【答案】（1）偶函数，理由：因为，所以对有， 令，且， 因为， 所以， 所以， 所以，且定义域为关于原点对称， 所以是偶函数； （2） （3）证明：不妨设，因为是严格减函数，所以，即， 而，所以， 所以对，都有， ①首先证明：当时，， 假设存在，且， 设，则，， 所以使得，则，则， 这与“，都有”矛盾， 所以不存在，使得； 假设存在，使得， 设，则，， 所以使得，则，则， 这与“，都有”矛盾， 所以不存在，使得， 由上可知，当时，； ②再证明：当时，， 假设存在，使得，则， 设，则， 所以，使得，则，则， 这与“，都有”矛盾， 所以假设不成立，即对任意，都有， 所以是上的严格增函数. 【解析】 【分析】（1）先分析得到，然后根据得到的关系，由此完成证明； （2）根据题设条件将问题转化为“时，”，然后构造并进行分类讨论，由此求解出结果； （3）先根据条件证明“，都有”，然后采用反证法证明“当时，”和“当时，”，由此完成证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，对称轴且开口向上，对称轴且开口向上， 所以在上单调递增，在上单调递增， 不妨假设， 所以， 即， 设， 当时，，在上单调递增，显然满足要求， 当时，为二次函数，对称轴，开口向上，故只需即可，解得， 当时，为二次函数，对称轴，开口向下，此时不满足要求， 综上可知，的取值范围是； 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义的综合应用，对学生理解与分析问题的能力要求较高，难度较大.“新定义”题型的关键是根据新定义的概念、新公式、新定理、新法则、新运算去解决问题，有时解答问题时还需要用类比的方法去理解问题，本题第三问用反证法证明较为方便. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 设，则的值为（ ） A. 9 B. 11 C. 28 D. 14 4. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（） A. 1.5 B. 1.2 C. 0.8 D. 0.6 5. 已知函数为幂函数，若函数，则的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 若定义在上的函数满足对任意的，且，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 若实数，，满足，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，使得” B. 若，，则的最大值为2 C. 若集合中只有一个元素，则 D. 若关于的不等式的解集，则不等式的解集为 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 已知，则 B. 函数的定义域为，则的定义域为 C. 若，，都大于0且不等于1，则 D. 关于的方程与的根分别为，，则 11. 已知函数和在上的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 方程有且只有6个不同的解 B. 方程有且只有3个不同的解 C. 方程有且只有5个不同的解 D. 方程有且只有4个不同的解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若命题：“，”为假命题，则实数a的取值范围为____________. 13. 设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，，若，则_________. 14. 已知实数x，y满足，，则_____. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求下列各式的值： （1）（其中，．注意：结果用分数指数幂表示）； （2）； （3）已知，，试用，表示． 16. 已知集合，集合． （1）当时，求； （2）请在下面两个条件中任选一个，作为已知条件，求实数k的取值范围（全选按照第一个给分） 条件：①“”是“”的充分条件；②． 17. 随着经济发展，越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系，一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台，从建立起，得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习.已知前四年，平台会员的个数如图所示： （1）若建立平台年后，平台会员人数为（千人）.依据图中数据，下列三种模型哪种最合适?请说明理由.并求出你选择模型的解析式； ①，②（且），③（且）. （2）为控制平台会员人数盲目扩大，平台规定无论怎样发展，会员人数不得超过千人，请依据（1）中你选择的函数模型求的最小值. 18. 已知函数是奇函数.（e是自然对数的底） （1）求实数k的值； （2）若时，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围； （3）设，对任意实数，若以a，b，c为长度的线段可以构成三角形时，均有以，，为长度的线段也能构成三角形，求实数n的最大值. 19. 若函数与满足：对任意，都有，则称函数是函数在集合上的“约束函数”.已知函数是函数在集合上的“约束函数”. （1）若，，判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）若，，，求实数a的取值范围； （3）若为严格减函数，，，且函数的图象是连续曲线，求证：是上的严格增函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $