8.3 分类变量与列联表 课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

8.3 分类变量与列联表 新人教A版 高中数学 选择性必修第三册 8.3.2 独立性检验 情境引入 方法探寻 从新闻报道中可知，吸烟与肺癌有关。我们怎样从数学的角度去判断吸烟和肺癌是否有关呢？或者说,我们有多大把握认为吸烟与肺癌有关呢？ 问题 为研究吸烟是否与肺癌有关，某肿瘤研究机构采取有放回简单随机抽样的方法，调查了9965个成年人，得到成对样本观测数据的分类统计结果，如下表所示。 吸烟与肺癌列联表（表中数据的单位：人） 吸烟 肺癌 合计 非肺癌患者 肺癌患者 非吸烟者 7775 42 7817 吸烟者 2099 49 2148 合计 9874 91 9965 那么吸烟与肺癌是否关呢？ 问题 吸烟 肺癌 合计 非肺癌患者 肺癌患者 非吸烟者 7775 42 7817 吸烟者 2099 49 2148 合计 9874 91 9965 （1）在非吸烟者中患肺癌的比重是： （2）在吸烟者中患肺癌的比重是： 方法一 通过比较非吸烟者和吸烟者中患肺癌的比重 吸烟 肺癌 合计 非肺癌患者 肺癌患者 非吸烟者 7775 42 7817 吸烟者 2099 49 2148 合计 9874 91 9965 方法二 通过等高堆积条形图直观判断 思考：这种判断可靠吗？ 患肺癌比例 不患肺癌比例 数学家庞加莱与朋友打赌街对面那家面包店的面包份量不足。 为了验证，庞加莱先生每天都从这家面包店买一块1000g的面包，并记录实际质量，一年后，这位数学家发现，所记录数据的均值为950g.于是庞加莱推断这家面包店的面包份量不足。 数学家庞加莱的方法： 假设“面包份量足”，则一年购买面包的份量的平均值应该不少于1000g； “这个平均值为950g”是一个与假设“面包份量足”矛盾的小概率事件； 这个小概率事件的发生使数学家庞加莱得出推断结构。 故事一则 假设检验原理： 在一个已知假设下，如果一个与该假设矛盾的小概率事件发生，就推断这个假设不成立。 我们今天借鉴数学家庞加莱的方法来学习（探索）一种新的方法：独立性检验。 新人教A版 高中数学 选择性必修第三册 8.3.2 独立性检验 公式推导 方法生成 X Y 合计 Y=0 Y=1 X=0 7775 42 7817 X=1 2099 49 2148 合计 9874 91 9965 X Y 合计 Y=0 Y=1 X=0 X=1 合计 我们希望判断 与 之间是否有关联。 我们假设：吸烟与患肺癌之间没有关联。（零假设H0） 如果这些性质成立，我们就称分类变量 与 独立。 用概率语言，可以将上面的零假设概述为： 吸烟 肺癌 合计 非患肺癌者 患肺癌者 非吸烟者 吸烟者 合计 如果假设H0成立，那么从理论上来说，吸烟者中患肺癌的频率应当和人群中患肺癌的频率接近。你能在H0成立的前提下填写下表吗？ 实际观测频数 理论预期频数 不吸烟且不患肺癌 不吸烟但患肺癌 吸烟但不患肺癌 吸烟且患肺癌 数学家构造出如下的统计量： 该表达式可化简为 卡尔•皮尔逊 (1857-1936) 卡尔•皮尔逊(Karl Pearson，1857-1936) 英国统计学家，现代统计学的创始人之一，被誉为统计学之父。 X Y 合计 Y=0 Y=1 X=0 X=1 合计 统计学家建议，用随机变量 取值的大小作为判断零假设H0是否成立的依据，当它比较大时推断H0不成立，否则认为H0成立。 根据小概率事件在一次试验中不大可能发生的规律，在假定H0的条件下，对于任何小概率值 ，可以找到相应的正实数 ，使得下面关系成立： .我们称 是 的临界值。 由 可知，只要把概率值 取得充分小，在假设 成立的情况下，事件 是不大可能发生的。根据这个规律，如果该事件发生，我们就可以推断 不成立。不过这个推断有可能犯错误，但犯错误的概率不会超过 。 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 基于小概率值 的检验规则是： 当 时，我们推断 不成立，即认为 和 不独立，该推断犯错误的概率不超过 ； 当 时，我们没有充分证据推断 不成立，可以认为 和 独立。 这种利用 的取值推断分类变量 和 是否独立的方法称为 独立性检验，读着“卡方独立性检验”，简称独立性检验。 下表给出了 独立性检验中5个常用的小概率值和相应的临界值。 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 例如，对于小概率值 ，我们有如下的具体检验规则： （1）当 时，我们推断 不成立，即认为 和 不独立，该推断犯错误的概率不超过0.05. （2）当 时，我们没有充分证据推断 不成立，可以认为 和 独立. 新人教A版 高中数学 选择性必修第三册 8.3.2 独立性检验 问题解决 方法提炼 问题 为研究吸烟是否与肺癌有关，某肿瘤研究机构采取有放回简单随机抽样的方法，调查了9965个成年人，得到成对样本观测数据的分类统计结果，如下表所示。 吸烟与肺癌列联表（表中数据的单位：人） 吸烟 肺癌 合计 非肺癌患者 肺癌患者 非吸烟者 7775 42 7817 吸烟者 2099 49 2148 合计 9874 91 9965 依据小概率值 的 独立性检验，能否据此推断吸烟与肺癌有关联？ 解题规范 解： 根据列联表中的数据，经计算得到 零假设为 ：吸烟与患肺癌之间无关联. 根据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，即认为吸烟与患肺癌有关，此推断犯错的概率不大于0.001. 方法提炼 应用独立性检验解决实际问题大致包括以下主要步骤： （3）根据检验规则得出推断结论。 （1）提出零假设 ， 和 相互独立，并给出在问题中的解释； （2）根据抽样数据整理出 列联表，计算 的值，并与临界值 比较； 新人教A版 高中数学 选择性必修第三册 8.3.2 独立性检验 知识应用 方法实践 死亡 存活 合计 第一种剂量 14 11 25 第二种剂量 6 19 25 合计 20 30 50 为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠.在照射14天后整理统计的结果如表所示： 1 进行统计分析的零假设是 . 电离辐射的剂量与人体受损程度无关 2 在研究吸烟与患肺癌这两个变量是否有关中,下列说法正确的是( ) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 D.以上三种说法都不正确 A.若 ，我们有 的把握认为吸烟与患肺病有关系，则在100个吸烟的人中必有99人患有肺病 B.从独立性检验可知，有 的把握认为吸烟和患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有 的可能患有肺病 C.若从统计量中求出有 的把握认为吸烟与患肺病有关，是指有 的可能性使得推断错误 3 室内活动 室外活动 合计 女 35 20 55 男 15 30 45 合计 50 50 100 随着生活水平的提高，人们的休闲方式也发生了变化.某机构为了了解休闲方式与性别是否有关,随机调查了100人,得到如下的列联表: 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式: 附表: 试根据小概率值 的独立性检验,分析休闲方式与性别是否有关. 新人教A版 高中数学 选择性必修第三册 8.3.2 独立性检验 课堂小结 作业布置 二、应用独立性检验解决实际问题大致包括以下主要步骤 （1）提出零假设 ， 和 相互独立，并给出在问题中的解释； （2）根据抽样数据整理出 列联表，计算 的值，并与临界值 比较； （3）根据检验规则得出推断结论。 一、统计量 计算公式 1.写出卡方统计量的化简过程 3.思考：假设检验原理和我们学过的哪种方法的原理类似，有何区别？ 2.固学案：独立性检验 4.查阅独立性检验相关资料，进一步了解独立性检验的方法和思想，学习统计量的其他构造方法。 课后作业 谢谢聆听! $$