8.3 列联表与独立性检验-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦“列联表与独立性检验”核心知识点，从分类变量概念切入，通过实例构建2×2列联表，系统讲解独立性检验的χ²计算公式、临界值判断及应用步骤，形成从概念到方法再到实践的完整学习支架。 资料以生活实例（如安全头盔佩戴与年龄、疾病与超声波检查）驱动教学，通过等高堆积条形图直观分析培养数据分析素养，分题型练习强化数学运算能力，课中辅助教师高效授课，课后助力学生通过知识落实与技法强化查漏补缺，体现用数学眼光观察现实、用数学思维解决问题的核心素养。

8．3　列联表与独立性检验 8．3.1　分类变量与列联表 8．3.2　独立性检验 学业标准 素养目标 1．通过实例，理解2×2列联表的统计意义．(重点) 2．通过实例，了解2×2列联表独立性检验及其应用．(重点、难点) 1．通过列联表和独立性检验概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．在对分类变量进行独立性检验的过程中，提升数据分析和数学运算等核心素养． [对应学生用书P71] 导学　独立性检验 　山东省教育厅大力推行素质教育，增加了高中生的课外活动时间，某校调查了学生的课外活动方式，结果整理成下表： 性别 活动方式 合计 体育 文娱 男生 210 230 440 女生 60 290 350 合计 270 520 790 如何判定“喜欢体育还是文娱与性别是否有联系”？ [提示]　可通过表格与图形进行直观分析，也可通过统计分析定量判断． ◎结论形成 1．分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的__不同类别__，像这样的变量称为分类变量． 2．列联表 (1)定义：列出的两个分类变量的__频数表__，称为列联表． (2)抽样数据列联表 X Y 合计 Y＝0 Y＝1 X＝0 a b a＋b X＝1 c d c＋d 合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d 3．独立性检验 (1)χ2的计算公式：记n＝a＋b＋c＋d，则χ2＝. (2)利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验． (3)应用独立性检验解决实际问题包括以下几个环节： ①提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释； ②根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2的值，并与临界值xα比较； ③根据检验规则得出推断结论； ④在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律． 4．临界值 忽略χ2的实际分布与该近似分布的误差后，对于任何小概率值α，可以找到相应的正实数xα，使得下面关系成立：P(χ2≥xα)＝α，我们称xα为α的临界值． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)列联表中的数据是两个事件的频数．(　　) (2)事件A与B的独立性检验无关，即两个事件互不影响．(　　) (3)χ2的大小是判断事件A与B是否相关的统计量.(　　) (4)在独立性检验中，χ2的值越大，判断事件A与B有关的把握就越大．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．用等高堆积条形图粗略估计两个分类变量是否相关，观察下列各图，其中两个分类变量关系最强的是(　　) 解析　由等高堆积条形图易知，D选项两个分类变量关系最强． 答案　D 3．以下关于独立性检验的说法中，错误的是(　　) A．独立性检验依据小概率原理 B．独立性检验得到的结论一定正确 C．样本不同，独立性检验的结论可能有差异 D．独立性检验不是判定两个分类变量是否相关的唯一方法 解析　独立性检验只是在一定的可信度下进行判断，不一定正确．故选B. 答案　B 4．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班学生的数学成绩优秀和及格统计人数后，得到如下列联表： 班别 数学成绩 总计 优秀 及格 甲班 11 34 45 乙班 8 37 45 总计 19 71 90 则随机变量χ2的值约为(　　) A．0.600　 B．0.828　　 C．2.712　 D．6.004 解析　根据列联表中的数据，可得χ2＝≈0.600.故选A. 答案　A [对应学生用书P72] 题型一　等高堆积条形图及应用 　为了解铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关联，分别对病人组和对照组的尿液作尿棕色素定性检查，结果如下： 组别 尿棕色素 总计 阳性数 阴性数 铅中毒病人 29 7 36 对照组 9 28 37 总计 38 35 73 试画出列联表的等高堆积条形图，分析铅中毒病人和对照组的尿棕色素阳性数有无差别，铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关联？ [解析]　等高条形图如图所示： 其中两个浅色条的高分别代表铅中毒病人和对照组样本中尿棕色素为阳性的频率． 由图可以直观地看出铅中毒病人与对照组相比，尿棕色素为阳性的频率差异明显，因此铅中毒病人与尿棕色素为阳性有关联． 在等高条形图中，可以估计满足条件X＝x1的个体中具有Y＝y1的个体所占的比例，也可以估计满足条件X＝x2的个体中具有Y＝y1的个体所占的比例.两个比例的值相差越大，X与Y有关联成立的可能性就越大． [触类旁通] 1．网络对现代人的生活影响较大，尤其是对青少年，为了解网络对中学生学习成绩的影响，某地区教育主管部门从辖区初中生中随机抽取了1 000人调查，发现其中经常上网的有200人，这200人中有80人期末考试不及格，而另外800人中有120人不及格．利用图形判断学生经常上网与学习成绩有关联吗？ 解析　根据题目所给的数据得到如下2×2列联表： 期末成绩 网络 总计 经常上网 不经常上网 不及格 80 120 200 及格 120 680 800 总计 200 800 1 000 得出等高堆积条形图如图所示： 比较图中阴影部分的高可以发现经常上网不及格的频率明显高于经常上网及格的频率，因此可以认为经常上网与学习成绩有关联． 题型二　两个分类变量无关联的独立性检验 　[教材例3·拓展]有关研究表明，正确佩戴安全头盔，规范使用安全带能够将交通事故死亡风险大幅降低，对保护群众生命安全具有重要作用．某市针对电动自行车骑乘人员是否佩戴安全头盔问题进行调查，在随机调查的1 000名骑行人员中，年龄低于40岁的占60%，记录其年龄和是否佩戴头盔情况，得到2×2列联表如表所示． 年龄 头盔 合计 佩戴 未佩戴 低于40岁 540 不低于40岁 合计 880 1 000 (1)完成上面的列联表； (2)依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为遵守佩戴安全头盔与年龄有关？ 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. α 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 [解析]　(1)年龄低于40岁的有1 000×60%＝600(人)，完成2×2列联表如表所示． 年龄 头盔 合计 佩戴 未佩戴 低于40岁 540 60 600 不低于40岁 340 60 400 合计 880 120 1 000 (2)零假设为H0：遵守佩戴安全头盔与年龄无关， 由公式得χ2＝＝≈5.682＜6.635＝x0.01， ∴根据小概率值α＝0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立， 因此可以认为H0成立， 即认为遵守佩戴安全头盔与年龄无关． 根据题意列出2×2列联表，计算χ2的值，如果χ2的值很大，说明两个事件有关的可能性很大；如果χ2的值比较小，则认为没有充分的证据显示两个事件有关．这需要给出正确的计算，避免计算失误． [触类旁通] 2．考察棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到下表数据： 生病 情况 种子 总计 种子处理 种子未处理 得病 32 101 133 不得病 61 213 274 总计 93 314 407 根据以上数据，依据小概率值α＝0.1的独立性检验，可得出(　　) A．种子是否经过处理跟是否生病有关联 B．种子是否经过处理跟是否生病无关联 C．种子是否经过处理决定是否生病 D．以上都是错误的 解析　由χ2＝≈0.164＜2.706＝x0.1，根据小概率值α＝0.1的独立性检验，没有把握认为是否经过处理跟是否生病有关． 答案　B 题型三　两个分类变量有关联的独立性检验 　(2025·全国一卷)为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1 000人，得到如下列联表： 组别 超声波检查结果 合计 正常 不正常 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1 000 (1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值； (2)根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关． 附χ2＝， α 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 [解析]　(1)由题表可知，检查结果不正常者有200人，检查结果不正常者中患有该疾病的有180人， 所以由样本估计总体得p＝＝0.9. (2)零假设H0：超声波检查结果与是否患该疾病无关． χ2＝＝765.625>10.828， 所以依据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为超声波检查结果与是否患该疾病有关． [素养聚焦]　解决此类问题的难点在于运算，所以在解题过程中重点培养数学运算核心素养． 1．先利用χ2＝求出χ2的值．再利用小概率值α以及对应的临界值来判断有多大的把握判断两个事件有关． 2．解题时应注意准确代数与计算，不可错用公式，准确进行比较与判断． [触类旁通] 3．为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位：μg/m3), 得下表： 　　　SO2 PM2.5　　　 [0，50] (50，150] (150，475] [0，35] 32 18 4 (35，75] 6 8 12 (75，115] 3 7 10 (1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率； (2)根据所给数据，完成下面的2×2列联表． 　　　SO2 PM2.5　　　 [0，150] (150，475] [0，75] (75，115] (3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关？ 附：χ2＝， P(χ2≥xα) 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 解析　(1)根据抽查数据，该市100天空气中的PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150的天数为32＋18＋6＋8＝64，因此，该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150的概率的估计值为＝0.64. (2)根据抽查数据，可得2×2列联表： 　　　　SO2 PM2.5　　　　 [0，150] (150，475) [0.75] 64 16 (75，115] 10 10 (3)根据(2)的列联表得 χ2＝≈7.484. 由于7.484＞6.635＝x0.010，故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关． 知识落实 技法强化 1．分类变量． 2．2×2列联表． 3．等高堆积条形图． 4．独立性检验，χ2公式． 解题时常出现对独立性检验的原理不理解，导致不会用χ2分析问题． [必备知识·基础巩固] 1．(多选题)给出下列实际问题，其中用独立性检验可以解决的问题有(　　) A．两种药物治疗同一种病是否有区别 B．吸烟者得肺病的概率 C．吸烟是否与性别有关系 D．网吧与青少年的犯罪是否有关系 解析　独立性检验是判断两个分类变量是否有关系的方法，而B是概率问题，故选ACD. 答案　ACD 2．下面是一个抽样数据列联表： X Y 总计 y1 y2 x1 a 21 73 x2 2 25 27 总计 b 46 100 则表中a，b处的值分别为(　　) A．94，96　　　　　　　 B．52，50 C．52，54 D．54，52 解析　由得 答案　C 3．对于χ2，下列说法正确的是(　　) A．χ2越大，“事件A与B有关系”的可信程度越小 B．χ2越小，“事件A与B有关系”的可信程度越小 C．χ2越接近于0，“事件A与B没有关系”的可信程度越小 D．χ2越大，“事件A与B没有关系”的可信程度越大 解析　χ2越大，“事件A与B没有关系”的可信程度越小，则“事件A与B有关系”的可信程度越大，χ2越小，“事件A与B有关系”的可信程度越小． 答案　B 4．如图是调查某地区男女中学生喜欢某一学科的等高条形图，阴影部分表示喜欢该科的百分比，从图可以看出(　　) A．性别与喜欢科目无关 B．女生中喜欢该科的比为80% C．男生比女生喜欢该科的可能性大些 D．男生不喜欢该科的比为60% 解析　由题图知女生中喜欢理科的比为20%，男生不喜欢理科的比为40%，故B、D不正确．由题图知，男生比女生喜欢理科的可能性大些． 答案　C 5．χ2的大小可以决定是否拒绝原来的统计假设H0，如果χ2值较大，就拒绝H0，即接受两个分类变量________(填“有”或“无”)关系． 答案　有 6．根据下表计算χ2≈________(保留3位小数). 不看电视 看电视 男 37 85 女 35 143 解析　χ2＝≈4.514. 答案　4.514 7．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目的观众抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示． 岁数 节目 总计 文艺节目 新闻节目 20岁至40岁 40 18 58 大于40岁 15 27 42 总计 55 45 100 由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关：________(填“是”或“否”). 解析　因为在20岁至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而在大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目，即＝，＝，两者相差较大，所以经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的． 答案　是 8．甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表． 一级品 二级品 合计 甲机床 150 50 200 乙机床 120 80 200 合计 270 130 400 (1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？ (2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？ 附：χ2＝. P(χ2≥xα) 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 解析　(1)甲机床生产的产品中的一级品的频率为＝75%，乙机床生产的产品中的一级品的频率为＝60%. (2)χ2＝＝>10>6.635， 故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异． [关键能力·综合提升] 9．(多选题)下列关于回归分析与独立性检验的说法不正确的是(　　) A．回归分析和独立性检验没有什么区别 B．回归分析是对两个变量准确关系的分析，而独立性检验是分析两个变量之间的不确定关系 C.回归分析研究两个变量之间的相关关系，独立性检验是对两个变量是否具有某种关系的一种检验 D．独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系 解析　由回归分析及独立性检验的特点知，选项C正确． 答案　ABD 10．某工厂为了调查工人文化程度与月收入的关系，随机抽取了部分工人，得到如下列联表： 文化程度与月收入列联表(单位：人) 文化程度 收入 总计 月收入2 000 元以下 月收入2 000 元及以上 高中文化以上 10 45 55 高中文化及以下 20 30 50 总计 30 75 105 由上表中数据得χ2＝≈6.109，如果认为文化程度与月收入有关系，那么犯错误的概率不会超过(　　) A．0.01 B．0.025 C．0.03 D．0.05 解析　因为χ2≈6.109>3.841＝x0.05，所以认为文化程度与月收入有关系，那么犯错误的概率不会超过0.05. 答案　D 11．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生的情况，具体数据如下表： 性别 专业 总计 非统计专业 统计专业 男 13 10 23 女 7 20 27 总计 20 30 50 为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到χ2＝≈4.844，因为χ2>3.841，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性最大为________． 解析　因为χ2>3.841＝x0.05，所以出错的可能性为0.05. 答案　0.05 12．下表是某一医院关于出生男婴与女婴调查的列联表那么，A＝__________，B＝____________，C＝________，D＝________，E＝________． 性别 时间 总计 晚上 白天 男婴 45 A B 女婴 E 35 C 总计 98 D 180 解析　根据题意，由于45＋E＝98，E＝53，98＋D＝180，D＝82，A＝47，E＋35＝C，B＋C＝180，可知B＝92，C＝88，故答案为A＝47，B＝92，C＝88，D＝82，E＝53. 答案　47　92　88　82　53 13．某校对有心理障碍的学生进行测试得到下表： 性别 心理障碍 总计 焦虑 说谎 懒惰 女生 5 10 15 30 男生 20 10 50 80 总计 25 20 65 110 试说明在这三种心理障碍中哪一种与性别的关联最大？ 解析　对于题中三种心理障碍分别构造三个随机变量χ，χ，χ. 由表中数据列出焦虑是否与性别有关的抽样数据列联表 性别 心理 总计 焦虑 不焦虑 女生 5 25 30 男生 20 60 80 总计 25 85 110 可得χ＝≈0.863<2.706， 同理，χ＝≈6.366>3.841， χ＝≈1.410<2.706. 因此，可以推断说谎与性别有关联，该推断犯错误的概率不大于0.05，并且没有充分的证据显示焦虑、懒惰与性别有关． [核心价值·探索创新] 14．(多选题)有两个分类变量X，Y，其2×2列联表如下所示： X Y 合计 Y1 Y2 X1 a 20－a 20 X2 15－a 30＋a 45 合计 15 50 65 其中a，15－a均为大于5的整数，若依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为X，Y有关，则a的值为(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 解析　由题意可知 χ2＝＝>3.841， 根据a>5且15－a>5，a∈Z， 求得当a＝8或9时满足题意． 答案　CD 15．(2025·崇左高二期末)某高校为了了解大学生对篮球运动的喜好是否与性别有关联，随机在该校调查了100名大学生，得到的数据如表所示： 单位：人 性别 篮球运动 合计 喜欢 不喜欢 男 40 20 60 女 15 25 40 合计 55 45 100 (1)根据小概率值α＝0.005的独立性检验，能否认为该校大学生是否喜欢篮球运动与性别有关联？ (2)从表中喜欢篮球运动的55人中，按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法抽取11人，再从这11人中选取3人进行采访，设被采访的3人中女生的人数为X，求X的分布列及数学期望． 附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 解析　(1)零假设为H0：该校大学生是否喜欢蓝球运动与性别无关． 由题可知χ2＝＝≈8.249>7.879， 根据小概率值α＝0.005的独立性检验，可以推出H0不成立．即认为该校大学生是否喜欢篮球运动与性别有关联． (2)根据题意可知抽取的男大学生有11×＝8人，女大学生3人， 则再从这11人中选取3人，女生人数X可取0，1，2，3， P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 学科网（北京）股份有限公司 $